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473
研究: ジョルダン標準形とその応用
ジョルダン標準形の勉強するに当たって、それがどのような意義(目標)があるのかを知
っておく必要があろうと思う。それには最小限の微積分、微分方程式の予備知識が必要にな
る。それについて若干の説明をしておきたい。
5.1行列指数関数
若干の数列と級数の説明を簡単にしておく。ここでは証明はすべて省略する。詳細は微積
分編で解説するであろう。
数列 が に収束するとは、任意の正の数 について、適当な自然数 を選んだとき、
が成立するときをいう。このことを と表す。aを数列{an}の極限(値)という。数
列が収束しないとき発散するという。 limn→∞
が線形性を持つことは極限の定義に基づいて容易
に証明できる。 が単調増加数列であるとは、 のといをいう。
が上に有界であるとは、 であるような nに依存しない実数 が取れるときをい
う。
「数列 が単調増加数列で上に有界なら、 は収束する」といことはワイエルシュト
ラス(Weieratrass)の定理としてよく知られている。
たとえば、 とする。数列 は単調増加数列で、 であることが容易にわ
かる。そこで、 、 はネピアーの定数と呼
ばれる非常に重要な値である。
参考
Limit((1+1/n)^n,n = infinity);%=value(%)
evalf(rhs(%),200) ----------------------(上の式の右辺:eの 200 桁近似計算)
seq([n,(1+1/n)^n],n=1..10)
evalf(%)
{an} a ε nε
an−a <ε for all n such that n> nε
limn→∞
an = a
{an} a1≤ a2 ≤!≤ an ≤ an+1≤!
{an} an ≤M M
{an} {an}
an = 1+
1n
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟
n
{an} an < 3
limn→∞
1+1n
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟
n
= e ( 2.7182818284590452354 ⋅⋅⋅ ) e
474
fn (x) (n=1,2,! )は区間 Iで定義された関数とする。列{ fn (x)} を Iで定義された関数列
という。各 x∈ Iごとに数列{ fn (x)}が収束するとき、関数列が Iで収束するという。その極
限は xごとに決まる値でそれを f (x)と表し、これを関数列 { fn (x)}の極限関数という。
すなわち、任意の正の数 εに対して、適当な自然数 nε,x ( ε, xに依存して決まる)をうまく選
んで、
fn (x)− f (x) <ε for all n such that n> nε,x
が成立している。特に nε,x = nε ( εのみに依存し, xには依存しないで決まる自然数)とき、関
数列 { fn (x)}は Iで一様収束するという。
を級数という。 とおいて、これを級数の第 部分和という。そして、
数列 が収束するとき、級数 は収束するという。 とするとき、
を級数の和といい、 と表す。収束しないとき発散するという。級数 におい
て、 が収束するとき、 は絶対収束するという。
2つの絶対収束する級数 について、級数 を と の積という。
とかく。実際、 とおくとき、
を と とのコーシーの乗積級数という。そして、
であることが容易にわかる。
fn (x)
n=1
∞
∑ ( = f1(x)+ f2 (x)+! )
を関数項級数という。第 n部分和からなる関数列 {Sn (x)}が Iで収束するとき、関数項級数
fn (x)
n=1
∞
∑ が収束するという。関数列{Sn (x)}が Iで一様収束するとき、関数項級数は一様収束
an
n=1
∞
∑ = a1 +a2 +!+an +! ( )
Sn = a1 +a2 +!+an n
{Sn}
ann=1
∞
∑ limn→∞
Sn = S
S S= an
n=1
∞
∑
ann=1
∞
∑
an
n=1
∞
∑
ann=1
∞
∑
an
n=0
∞
∑ , bnn=0
∞
∑
ai0≤i, j∑ bj
an
n=1
∞
∑
bnn=1
∞
∑
an
n=1
∞
∑⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⋅ bn
n=1
∞
∑⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
cn = ai
i+ j=n, i, j≥0∑ bj = a0bn +a1bn−1 +!+anb0
cn
n=0
∞
∑
an
n=1
∞
∑
bnn=1
∞
∑
an
n=1
∞
∑⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⋅ bn
n=1
∞
∑⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟= cn
n=0
∞
∑
475
するという。また、
fn (x)
n=1
∞
∑ が収束するとき、
fn (x)
n=1
∞
∑ は絶対収束するという。
『関数項級数
fn (x)
n=1
∞
∑ において、 fn (x) <Mn ( 定数Mn (n=1,2,!))がうまくとれて
Mn
n=1
∞
∑ が収束しているとき、関数項級数
fn (x)
n=1
∞
∑ は Iで絶対一様収束する』といことはワイ
エルシュトラス(Weieratrass)の判定法としてよく知られている。さて、1つの関数項級
数
を巾(ベキ)級数または整級数という。
のとき、 が絶対収束し、 のとき、 が発散するという正の実数
( )が定まる。これの実数 Rを巾級数 の収束半径という。
とか、
のようにして求めることができる。
limn→∞
an+1
an= 0, lim
n→∞ann = 0のときは R= +∞と定め、ま
た、
limn→∞
an+1
an= +∞, lim
n→∞ann = +∞のとき、 R= 0ということにする。
R= +∞のとき、至る所で巾級数は収束、 R= 0のとき巾級数は発散することを意味する。
を巾級数 の収束域という。 の和は の関数で、 とすると、これ
は収束域で連続であることは容易にわかる。
さて、正方行列 について、 と定める。
ここで、 が対角化可能で、固有値 λi < R ( i=1,2,!,n)とするとき、適当な正則行列 P
を選んで、
an
n=0
∞
∑ xn
x < R
ann=0
∞
∑ xn x > R
ann=0
∞
∑ xn R
0≤ R≤+∞
ann=0
∞
∑ xn
1R
= limn→∞
an+1
an 1R
= limn→∞
ann
x < R
ann=0
∞
∑ xn
ann=0
∞
∑ xn x f (x)
A∈M (n,n;R) f (A)= an
n=0
∞
∑ An
A
476
P−1AP=
λ1 O!
0 λn
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟で、
P−1 f (A)P= f (P−1AP)=f (λ1) O
!O f (λn )
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
となる。そして、
f (A)= Pf (λ1) O
!O f (λn )
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟P−1
として計算できる。
たとえば、 g(x) =1+ x+ x2 +!=
11− x
( x <1 )とすると、
行列
A=
16
16
−13
13
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
について、固有多項式
fA(λ)= λ−
12
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟ λ−
13
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟であり、
A の固有空間の基底は
12
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟, 11
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟で、対角化変換行列
P= 1 1
2 1
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟となる。そして
g(A)= 1 12 1
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
g 12⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟ 0
0 g 13⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
−1 12 −1
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟=
1 12
−1 52
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
のように計算できる。
さて、
級数:
の収束半径は +∞であり、この級数の和を とか と表し、これを指数関数という。
すなわち、
exp(x)= xn
n!n=0
∞
∑
と定義する。
任意の x1, x2 ( 0< x1 < x2 )について、 x1n < x2
nであるから、exp(x)は x> 0で狭義の単調増
xn
n!n=0
∞
∑
ex exp(x)
477
加関数である。また、級数の積の性質(コーシーの乗積級数)から、
exp(x1)exp(x2 )= 1+
x11!
+x212!
+x313!
+!⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ 1+
x21!
+x222!
+x323!
+!⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
=1+
x1 + x21!
+(x1 + x2 )
2
2!+(x1 + x2 )
3
3!+!
∴ 、 {exp(x)}m = exp(mx)
であることもわかる。明らかに、 exp(0)=1で、 exp(x)exp(−x)=1であるから、 exp(x)≠ 0 ,
exp(x)> 0がわかる。そして、 exp(x)はRで狭義の単調増加関数であることもわかる。
また、
であることも容易にわかる。
参考
seq([n,sum(1/factorial(k),k=0..n)],n=1..10)
evalf(%)
である。このことから、 は よりはるかに収束のスピードが速いことがわか
るでろう。さて、
A(x)= ai, j (x)( )∈M (m,n;R)とする。ここで、各 ai, j (x)は微分可能な関数とする。
limx→x0
A(x) = limx→x0
ai, j (x)( ), dA(x)dx
=dai, j (x)dx
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟, A(x)dx=
ddx
ai, j (x)dx∫⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟∫ ∈M (m,n;R)
と定める。明らかに、
limx→x0{αA(x)+βB(x)}=α lim
x→x0A(x)+β lim
x→x0B(x)
ddx{αA(x)+βB(x)}=α
dA(x)dx
+βdB(x)dx
{αA(x)+βB(x)}dx=α A(x)dx∫∫ +β B(x)dx∫
exp(x1)exp(x2 )=
(x1 + x2 )n
n!n=0
∞
∑ = exp(x1 + x2 )
exp(x) = lim
n→∞1+
xn
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟
n
, exp(1) =1n!n=0
∞
∑ = e
1n!n=0
∞
∑ limn→∞
1+1n
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟
n
478
が成立する。 Maple で計算するとき、次のように入力する。
map(limit,A,x=a) ------------- limx→a
A(x)
map(diff,A,x) ------------- dA(x)dx
map(int,A,x) ------------- A(x)dx∫
たとえば、 with(linalg): A:=matrix(2,3,[tan(x)/x,arctan(x)/x,sin(a*x)/sin(b*x),sin(x)/x, x*sin(1/x), arcsin(x)/x])
map(Limit,A,x = 0);%=value(%)
B:=matrix(2,3,[x*(x-1),x*sin(x), x*cos(x), x*log(x),tan(x),log(x)/x])
map(Diff, B, x);%=value(%)
map(Int, B, x);% =map(factor,value(%))
map(Int,matrix(3,2,[seq(x^k*sin(x),k = 0 .. 5)]),x = 0..(1/2)*Pi); % =value(%)
479
のように計算される。この Maple の機能はベクトル解析を学ぶ際にに大いに役に立つと思
う。 注意 B において、1行のみを微分、2行のみを微分、積分した行列を求めるには次のよう
に入力して計算することができる。 matrix(2,3,[seq(diff(B[1,k],x),k=1..3),seq(B[2,k],k=1..3)])
matrix(2,3,[seq(int(B[1, k],x),k=1..3),seq(B[2, k],k =1.. 3)])
matrix(2,3,[seq(B[1,k],k=1..3),seq(int(B[2,k],x),k=1..3)])
さて、正方行列 について、
exp(A)= Aν
ν!ν=0
∞
∑ と定義する。 exp(A)を行列指数関数という。
まず、この級数が収束することを示しておこう。
M = max
1≤i, j≤nai, j とする。この正の数M を行列 Aのノルムという。また、
Aν = ai, j
(ν )( )とおく。
A= (ai, j )∈M (n,n;R)
480
そのとき、
ai, j
(ν ) < nν−1M ν ( 1≤ i, j≤ n ) が成立する。これは νに関する数学的帰納法により次のよ
うに示される。
ai, j
(ν−1) < nν−2M ν−1 ( 1≤ i, j≤ n )が成立していると仮定(帰納法の仮定)する。
そこで、 ai, j(ν )は (A
ν−1)Aνの (i, j)成分であるから、
ai, j(ν ) = ai,k
(ν−1)ak , jk=1
n
∑ ≤ ai,k(ν−1) ak , j
k=1
n
∑ ≤ nν−2M ν−1 ak , jk=1
n
∑ ≤ nν−1M ν
ai, j(ν )
ν!ν=0
∞
∑ ≤nν−1M ν
ν!ν=0
∞
∑ =1nexp(nM )であるから、Weierstrass の判定法により、
Aν
ν!ν=0
∞
∑ は収
束する。 A,B∈M (n,n;R)について、 A ⋅B= B ⋅Aのとき、
exp(A)⋅exp(B)= exp(A+ B) が成立することは容易にわかる。
次に、
E = 1 0
0 1
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟, J = 0 −1
1 0
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
とおく。複素数 z= x+ iyに対して、2次の正方行列
Z = xE+ yJ =x −y−y x
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟を考える。
この形の行列の集合をM としよう。
写像: τ : C→ Z ( z= x+ iy! xE+ yJ ) は全単射である。そして、
z1 = x1 + iy1, z2 = x2 + iy2 ∈Cについて、
τ(z1 + z2 )=x1 + x2 −(y1 + y2 )y1 + y2 x1 + x2
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟=
x1 −y1y1 x1
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟+
x2 −y2y2 x2
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟= τ(z1)+ τ(z2 )
τ(z1z2 )=x1x2− y1y2 −(x1y2 + x2y1)x1y2 + x2y1 x1x2− y1y2
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟=
x1 −y1y1 x1
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
x2 −y2y2 x2
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟= τ(z1)τ(z2 )
z= x+ iy≠ 0について、
481
τ1z⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟= τ
x− iyx2 + y2⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟=
xx2 + y2
yx2 + y2
−yx2 + y2
xx2 + y2
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
= {τ(z)}−1
このことは、 x+ iyと
x −y−y x
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟は同一視できることを意味する。そして、 Re(z)↔ xE,
Im(z)↔ yJ である。さらに、 J2=−E, J 3=−J,EJ = JEであるから、
exp(xE)= E+(xE)1!
+(xE)2
2!+!=
xn
n!n=0
∞
∑ 0
0 xn
n!n=0
∞
∑
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
= exp(x)E
exp(yJ )= E+
11!(yJ )+ 1
2!(−y2E)+ 1
3!(−y3J )+ 1
4!(y4E)+ 1
5!(y5J )+ 1
6!(−y6E)+!
=
(−1)n y2n
(2n)!n=0
∞
∑⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟E+
(−1)n y2n+1
(2n+1)!n=0
∞
∑⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟J
cos y=
(−1)n y2n
(2n)!n=0
∞
∑ , sin y=(−1)n y2n+1
(2n+1)!n=0
∞
∑
であるから、
∴ exp(yJ )= (cos y)E+ (sin y)J (Euler の公式: eiθ = cosθ+ i sinθ )
をうる。そして、
exp(xE+ yJ ) = exp(xE)exp(yJ ) = exp(x)E exp(yJ ) = exp(x) (cos y)E+ (sin(y)J{ } ! ex+iy = ex (cos y+ isin y)
正方行列 A について、Maple で exp(A)を計算するには、 exponential(A) と入力する。たとえば、
482
(i)
A=x −yy x
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟について、(ii)
A=1 1 00 2 10 0 −2
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟について、exp(A)を計算して
みよう。 (i) with(linalg): A := matrix(2,2,[x,-y,y,x])
exponential(A)
(ii) A := evalm(band([0, 0, 1], 3)+diag(1, 2, -2))
exponential(A)
のように計算できる。
A∈M (n,n;R)が対角化可能とすると、適当な正則行列 Pをとって、
P−1AP=
λ1 O!
O λn
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
とできる。そこで、
483
P−1 exp(A)P= exp(P−1AP)=
λ1ν
ν!ν=0
∞
∑ O
!
O λnν
ν!ν=0
∞
∑
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
=exp(λ1) O
!O exp(λn )
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
exp(A)= Pexp(λ1) O
!O exp(λn )
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟P−1
をうる。 たとえば、
A=−2 2 16 −1 64 −2 1
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟について、 fA(λ)= (λ+1)(λ−2)(λ+ 3)であるから、 Aは対角化可能
である。 Aの固有空間の基底は
{−1−11
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟,120
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟,−101
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟}で、
P=−1 1 −1−1 2 01 0 1
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
とすると、
P−1AP=2 −1 21 0 1−2 1 −1
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
−2 2 16 −1 64 −2 1
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
−1 1 −1−1 2 01 0 1
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟=−1 0 00 2 00 0 −3
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
であるから、
exp(A)= Pe−1 0 00 e2 00 0 e−3
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
P−1 =
−2e−1 + e2 +2e−3 e−1−e−3 −2e−1 + e2 + e−3
−2e−1 +2e2 e−1 −2e−1 +2e2
2e−1−2e−3 −e−1 + e−3 2e−1−e−3
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
のように計算される。
さて、 A∈M (n,n;R)について、
F(t)= exp(At) とする。
dF(t)dt
= Aexp(At)
が成立する。次のようにして容易に示される。
484
dF(t)dt
= limΔt→0
F(t+Δt)−F(t)Δt
= limΔt→0
exp(A(t+Δt))−exp(At)Δt
= limΔt→0
exp(At)exp(AΔt))−exp(At)Δt
= exp(At) lim
Δt→0
exp(AΔt))−EΔt
= exp(At) limΔt→0
1Δt
E+11!AΔt+
12!(AΔt)2 +!
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟−E
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
= exp(At) lim
Δt→0A+
12!Δt ⋅(A2 +
13!A3Δt+
14!A4 (Δt)2 +!)
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
= exp(At)A= Aexp(At)
また、
exp(A) =1⇔ tr(A)= 0
であることもわかる。それは次のようにして示される。
A(x)= ai, j (x)( )∈M (n,n;R)について、
ddx
A(x) =
a1,1(x) a1,2 (x) a1,3(x) ! a1,n (x)" " " " "
dai,1(x)dx
dai,2 (x)dx
dai,3(x)dx
!dai,n (x)dx
" " " " "an,1(x) an,2 (x) an,3(x) ! an,n (x)
i=1
n
∑
が成立することはすでに例題 37 (105 ページ参照)で示した。
右辺
=
dai,1(x)dx
!ai, ji=1
n
∑j=1
n
∑ (上の行列式の第 i行展開)
A!(x) dA(x)dx
=
"a1,1(x) "a2,1(x) # "an,1(x)"a1,2 (x) "a2,2 (x) # "an,1(x)$ $ $ $"a1,n (x) "a2,n (x) # "an,n (x)
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
da1,1(x)dx
da1,2 (x)dx
#da1,n (x)dx
da2,1(x)dx
da2,2 (x)dx
#da2,n (x)dx
$ $ $ $dan,1(x)dx
dan,2 (x)dx
#dan,n (x)dx
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
485
=
!ai,1dai,1(x)dxi=1
n
∑ *
!ai,2dai,2 (x)dxi=1
n
∑"
* !ai,ndai,n (x)dxi=1
n
∑
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
∴d A(x)dx
= tr A!(x) dA(x)dx
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟
他方、 A(x) ≠ 0のとき、 A(x) A(x)−1 = A(x)!であるから、
1A(x)
d A(x)dx
= tr A(x)−1 dA(x)dx
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟
ここで特に、 A(x)= exp(Ax)( exp(Ax) ≠ 0 , A は定数行列 )とすると、
ddxA(x) =
ddx
exp(A(x)) = Aexp(A(x)) = A(x)A
であることはすでに上で示した。そして、
d exp(xA)exp(xA)
= tr(A)dx, exp(Ax) =C exp(tr(A)x) ( C は定数)
をうる。この式に x= 0を代入すると、 C =1をうる。すなわち、 exp(Ax) = exp(tr(A)x)
exp(A) = exp(tr(A))で、 exp(A) =1⇔ tr(A)= 0をうる。
たとえば、次の行列についてこの命題をチェックしてみよう。
A=
2 1 −10 2 2
2 52−4
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
( tr(A) = 0 )
A:=matrix(3,3,[2,1,-1,0,2,2,2, 5/2,-4])
486
factor(charpoly(A,lambda))
L:=eigenvects(A)
L[1][3][1],L[2][3][1],L[3][3][1]
P:=augment(%)
inverse(P),evalm(A),evalm(P)
AA:=simplify(multiply(%))
diag(exp(AA[1, 1]),exp(AA[2, 2]),exp(AA[3, 3]))
487
simplify(det(%))
また、
A=−3 1 −1−7 5 −1−6 6 −2
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟ ( tr(A) = 0 )
としてみよう。
P=0 1 −11 1 −11 0 −1
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟ととると、
P−1AP=−1 1 00 1 −1−1 1 −1
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
−3 1 −1−7 5 −1−6 6 −2
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
0 1 −11 1 −11 0 −1
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟=
4 0 00 −2 10 0 −2
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
となる。そして、
exp(A)=0 1 −11 1 −11 0 −1
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
e4 0 00 e−2 e−2
0 0 e−2
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
−1 1 00 1 −1−1 1 −1
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
=0 e−2 −e−2
−e4 e4 + e−2 −e−2
−e4 + e−2 e4−e−2 e−2
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
, ∴ exp(A) =1
注:変換行列(Jordan 変換行列)P の求め方については後で解説する。
さて、
11+ x
=1
1−(−x)=1+ (−x)+ (−x)2 + (−x)3 +!= (−1)ν xν
ν=0
∞
∑ ( x <1 )
488
はよく知られている。 A= (ai, j )∈M (n,n;R) について、A のノルム M <
1nのとき、
(−1)ν Aν
ν=0
∞
∑ は収束する。この和を
1E+ A
と表す。
1E+ A
= E−A+ A2−A3 +!
で、これをノイマン(Neuman)級数という。そして、
log(1+ x)= (−1)ν−1
νxν
ν=1
∞
∑
であることは微積分でもよく知られている。
log(E+ A)= (−1)ν−1
νAν
ν=1
∞
∑
と定義する。これを行列対数関数という。 5.2 連立線形微分方程式 まず、微分方程式の最低限度の基本知識を若干説明しておく。ベクトル空間、連立1次方
程式の解法などはよく復習しておく必要がある。 未知関数 について, を 階の常微分方程式という。 の形を正規形という。 この関係式を満たす関数 を微分方程式の解くという。それを求めることを微分
方程式を解くという。 個の任意定数を含む解 を微分方程式の一
般解という。 に特定の値を指定したときの解を特殊解という。 一般解からは得られない解を特異解という。 未知関数 について、
の形の微分方程式を変数分離形という。 であるから、
(C は任意定数)
の形に解ける。解を必ずしも陽関数 y= f (x)の形に表さなくともよい。 たとえば、 ( 変数分離形)を解いてみよう。
∴ ( C は任意定数)
y(x)
F(x, y, ′y , ′′y ,!, y(n) )= 0
n y(n) =G(x, y, ′y , ′′y ,!, y(n−1) )
y(x)n y= y(x,c1,c2,!,cn )
c1,c2,!,cn
y(x)
′y = f (x)g(y)
1g(y)
′y =ddx
dyg(y)∫
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟= f (x)
dyg(y)∫ = f (x)dx∫ +C
′y = (y2−1)tan x
1y2−1
′y = tan x⇔ 12
1y−1−
1y+1
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟′y =−
−sin xcos x
⇔ log y−1y+1
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⎟= log 1
cos x+ c
y=
C cos2 x+1C cos2 x−1
489
と解は表される。 未知関数 について、 ☆ を満たす関数 を求めることを考える。これを 階線形微分方程式という。特に、
のとき、斉次形という。これを満たす を方程式の解 (soluteons)という。
L=
dn
dxn+a1(x)
dn−1
dxn−1+!+an−1(x)
ddx
+an (x) とおくとき、上の方程式を と表すこともできる。明らかに、 が成立する。すなわち、 は線形性を持っている。線形微分作用素とも呼ばれている。☆が
線形微分方程式と呼ばれる所以であろう。 個の関数 について、 を の 1 次結合という。 が 1 次独立であるとは
が成立するのは のときに限る場合をいう。1 次独立でないとき、1 次
従属であるという。たとえば、 は1次独立である。それは次のようにして示さ
れる。 両辺を 2 回微分して、
を未知数とみて、斉次連立1次方程式の係数行列式は
であるから、自明な解 のみを持つ。一般に 個の関数
が1次独立であることを示すにはどうしたらよいかを考えてみよう。 とする。1から 回微分すると これらを を未知数とする斉次の連立1次方程式とみて、自明な解のみ を持つことを示せばよい。それには、係数行列式
y(x)
y(n) +a1(x)y
(n−1) +!+an (x)y= b(x)y(x) n
b(x)≡ 0 y(x)
L y(x)( )= b(x)
L(αy1 +βy2 )=αL(y1)+βL(y2 )L
k y1(x),!, yk (x)
c1y1(x)+!+ ckyk (x)
y1(x),!, yk (x) y1(x),!, yk (x)
c1y1(x)+!+ ckyk (x)≡ 0
ci = 0 ( i=1,2,!,k )1,sin x,cos x
c11+ c2 sin x+ c2 cos x= 0
c10+ c2 cos x−c2 sin x= 0
c10−c2 sin x−c2 cos x= 0c1,c2,c3
1 sin x cos x0 cos x −sin x0 −sin x −cos x
=−1≠ 0
ci = 0 ( i=1,2,3 ) n y1(x), y2 (x),!, yn (x)
c1y1(x)+ c2y2 (x)+!cnyn (x)≡ 0
n−1
c1 ′y1(x)+ c2 ′y2 (x)+!+ cn ′yn (x)≡ 0
!
c1y1(n−1)(x)+ c2y2
(n−1)(x)+!+ cnyn(n−1)(x)≡ 0
c1,c2,!,cn
490
がゼロでないこをを示せればよい。この行列式を のロンスキーの行列
式 (Wronskian)といい、 と表す。 これを Maple で計算するには、次のように入力する。
たとえば、 を計算してみよう。 with(linalg): w:=vector([exp(-x),exp(x),seq(x^k*exp(2*x),k = 0 .. 3)])
wronskian(w,x)
W := simplify(det(%))
は、 は1次独立であることを意味する。
なんらかの方法で、☆の1つの解 (特殊解と呼ばれる)を求めて、☆の一般解
( 個の任意定数を含む解)は の形に表されることが知られている。 ここで、 個の関数 は の1次独立な解である。 を
の基本解の系という。 ☆において、 が定数のとき、定数係数の線形微分方程式という。 特に、 のとき、すなわち、
y1(x) y2 (x) ! yn (x)′y1(x) ′y2 (x) ! ′yn (x)" " # "
y1(n−1)(x) y2
(n−1)(x) ! yn(n−1)(x)
y1(x), y2 (x),!, yn (x)
W y1(x), y2 (x),!, yn (x)( )
wronskian([f1(x), f2 (x),!, fn (x)],x)
W (e−x ,ex ,e2x , xe2x , x2e2x , x3e2x )
W ≠ 0 {e−x ,ex ,e2x , xe2x , x2e2x , x3e2x}
ysp (x)
n
y= c1y1(x)+ c2y2 (x)+!+ cnyn (x)+ ysp (x)
n y1(x),!, yn (x) L(y)= 0 {y1(x),!, yn (x)}
L(y)= 0
a1(x),a2 (x),!,an (x)
n=1
491
が1階の線形微分方程式である。解の公式を求めておこう。まず を考える。
ここで、 (C は任意定数:積分定数)である。さて C を の関数 と見做して,
が の1つの特殊解になるように を決めたい。こ
れを方程式に代入すると、
とすればよいことがわかる。すなわち、 の一般解は
である。この解法を(ラグランジュの)定数変化法(method of variation of constants)と呼ばれている。
を 1 階線形微分方程式の解の公式として覚えておく必要がある。 たとえば、 を解いてみよう。解の公式を使うと、一般解
をうる。 定数係数 階線形微分方程式 ★ を考察する。関数 を★ の左辺に代入すると、 ◆ である。そこで、 とおく。 の零点を
とすると、 であるから、 が★の1つの解であることがわかる。そこで、 の
次の多項式 を★の特性多項式という。 を★の特性方程式という。
′y +a(x)y= b(x)
′y +a(x)y= 0
′y +a(x)y= 0⇔
′yy
=−a(x)⇔ log y =− a(x)dx∫ + c⇔ y=C exp − a(x)dx∫( )
C = ±ec x C(x)
C(x)exp − a(x)dx∫( ) ′y +a(x)y= b(x) C(x)
′C (x)exp − a(x)dx∫( )−C(x)a(x)exp − a(x)dx∫( )+a(x)C(x)exp − a(x)dx∫( )= b(x)
∴ ′C (x)exp − a(x)dx∫( )= b(x)⇔ ′C (x)= b(x)exp a(x)dx∫( )
∴C(x)= b(x)exp a(x)dx∫( )dx∫
′y +a(x)y= b(x)
y(x)=C exp − a(x)dx∫( )+ b(x)exp a(x)dx∫( )dx∫( )exp − a(x)dx∫( )
y(x)= exp − a(x)dx∫( ) C+ b(x)exp a(x)dx∫( )dx∫( )
′y + ycos x= e−sin x
y= e
−cos xdx∫ C+ e−sin x ∫ ecos xdx∫ dx
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟= e−sin x ( C+ x )
n
y(n) +a1y
(n−1) +!+any= 0
y= eλx
(λn +a1λ
n−1 +a2λn−1 +!+an−1λ+an )e
λx
ϕ(λ)=λn +a1λ
n−1 +a2λn−1 +!+an−1λ+an ϕ(λ) α
ϕ(α)eαx = 0 eαx λ
n ϕ(λ) ϕ(λ)= 0
492
の形にかけることは代数学の基本定理からわかる。 お因数分解の様子で解の形が わかる。 が単純零点 をもつとき、 が基本解の系である。
これは Vandermonde の行列式で、これについては 133 ページ参照をされたい。 ★の一般解は と表される。 のとき,★ : を考えてみよう。 Case1 は異なる実数) が★ の基本解の系である。 。 一般解は は任意の定数) たとえば、 を解いてみよう。 であるから、 一般解は であることがわかる。 Case2
が★ の基本解の系である。 まず が微分方程式の解であることを示そう。
微分方程式は の形をもつ。 をこの式に代入すると、
そして、 であるから、 が★ の基本解の系である。
が一般解である。 たとえば、 の一般解は である。 Case3 ( は複素数)
とする。 である。
で, であるから、 が基本解の系である。 が一般解である。 たとえば、 の一般解は である。
のとき,★ : を考えてみよう。 Case1 は異なる実数)
ϕ(λ) = (λ−α1)m1 (λ−α2 )m2!(λ−αr )
mr mi ≥ 0 (i=1,2,!,r), mii=1
r
∑ = n⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
ϕ(λ)
ϕ(λ) α1,α2,!,αn {eα1x ,!,eαnx}
∵W (eα1x ,",eαnx )=
1 1 " 1α1 α2 " αn# # $ #α1n−1 α2
n−1 " αnn−1
= (−1)n(n−1)2 Δ(α1,α2,",αn )≠ 0
y= c1eα1x + c2e
α2x +!+ cneαnx
n= 2 2 ′′y +a1 ′y +a2y= 0
ϕ(λ) = (λ−α1)(λ−α2 ) ( α1,α2
{eα1x ,eα2x} 2 ∵W (e
α1x ,eα2x )= (α2−α3)eα1+α2 ≠ 0
y= c1eα1x + c2e
α2x ( c1,c2
′′y −3 ′y −4y= 0 ϕ(λ)= (λ+1)(λ−4)
y= c1e−x + c2e
4 x
ϕ(λ)= (λ−α)2
{eαx , xeαx} 2 ∵ xeαx
′′y −2α ′y +α2y= 0 (xeαx ′) = eαx +αxeαx , (xe
αx ′′) =
2αeαx +α2xeαx
(2αeαx +α2xeαx )−2α(eαx +αxeαx )+α2xeαx = 0
W (eαx , xeαx )= e2αx ≠ 0 {e
αx , xeαx} 2
y= c1eαx + c2xe
αx = (c1 + c2x)eαx
′′y +2 ′y + y= 0 y= (c1 + c2x)e−x
ϕ(λ)= (λ−α)(λ−α) α
α= a+ ib eαx = eax (cosbx+ isinbx),eαx = eax (cosbx− isinbx)
eax cosbx=
eαx + eαx
2,eax sinbx=
eαx−eαx
2i
W (eax cosbx,eax sinbx)= beax ≠ 0 {eax cosbx,eax sinbx}
y= (c1 cosbx+ c2 sinbx)eax
′′y +2 ′y +2y= 0 y= (c1 cos x+ c2 sin x)e−x
n= 3 3 ′′′y +a1 ′′y +a2 ′y +a3y= 0
ϕ(λ) = (λ−α1)(λ−α2 )(λ−α3) ( α1,α2,α3
493
一般解は である。 たとえば、 の一般解は である。 Case2
が基本解の系である。それは次の計算からわかる。
微分方程式は の形をしている。 が解になる条件を考える。
とすると、 従って、 のとき、 は微分方程式の解である。 wronskian([exp(alpha*x),x*exp(alpha*x), x^2*exp(alpha*x)],x)
simplify(det(%))
この計算から、 をうる たとえば、 の一般解は である。 Case3 は異なる実数)
が基本解の系である。 が解であることを示そう。
微分方程式は の形をしている。 を
この方程式に代入すると、0 であることが簡単な計算でわかる。 さらに、 wronskian([exp(alpha[1]*x),x*exp(alpha[1]*x), exp(alpha[2]*x)],x)
simplify(factor(det(%)))
今の計算から、 が得られた。 一般解は と表される。
y= c1eα1x + c2e
α2x + c3eα3x
′′′y −2 ′′y −5 ′y +6= 0 y= c1e−2x + c2e
x + c3e3x
ϕ(λ)= (λ−α)3
{eαx , xeαx , x2eαx}
′′′y −3a ′′y + 3a2 ′y −a3y= 0 xkeαx
y= xkeαx
′′′y −3a ′′y + 3a2 ′y −a3y= k(k−1)(k−2)⋅xk−3eax
k = 0,1,2 xkeαx
W (eαx , xeαx , x2eαx )= 2e3αx ≠ 0
′′′y +6 ′′y +12 ′y +8y= 0 y= (c1 + c2x+ c3x2 )e−2x
ϕ(λ) = (λ−α1)2 (λ−α2 ) (α1,α2
{eα1x , xeα1x ,eα2x} xeα1x
′′′y −(2α1 +α2 ) ′′y + (α12 +2α1α2 ) ′y −α1
2α2y= 0 y= xeα1x
W (eα1x , xeα1x ,eα2x )= e(2α1+α2 )x (α1−α2 )
2 ≠ 0
y= (c1 + c2x)eα1x + c3e
α2x
494
たとえば、 を解いてみよう。
でるから、 が一般解である。 Case4 ( は実数、 は複素数)
とすると、 が基本解の系である。 が で表されていることはら、微分方程式の解であることは
明らかである。 W := wronskian([exp(alpha*x), exp(a*x)*cos(b*x), exp(a*x)*sin(b*x)], x)
simplify(det(W))
この計算から、 がわかる。
( は任意定数 ) が一般解である。 たとえば、 ( )の一般解は である。 一般に、★の特性多項式は
ただし、 , は実数、 は複素数で、
とする。
このとき、★の基本解の系は
である。これらの1次結合が★の一般解である。 たとえば、
′′′y + ′′y −8 ′y −12= 0 ϕ(λ)=λ3 +λ2−8λ−12= (λ+2)2(λ−3)
y= (c1 + c2x)e−2x + c3e
3x
ϕ(λ)= (λ−α)(λ−β)(λ−β ) α β
β= a+ ib {eαx ,eax cosbx,eax sinbx}
eax cosbx,eax sinbx eβx ,eβx
W = e(2a+α)xb (a−α)2 +b2{ }≠ 0
y= c1eαx + (c2 cosbx+ c3 sinbx)e
ax c1,c2,c3
′′′y −4 ′′y +6 ′y −4y= 0 ϕ(λ)= (λ−2)(λ2−2λ+2)
y= c1e2x + (c2 cos x+ c2 sin x)e
x
ϕ(λ)= (λ−α1)m1!(λ−αs )
ms {(λ−β1)(λ−β1)}ns!{(λ−βt )(λ−βt )}
nt
mνν=1
s
∑ + 2 nνν=1
t
∑ = n ⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ( α1,!,αs β1,!,βt
β j = aj + ibj ( j =1,!,t )( ) )
eαix , xeαix ,!, xmi−1eαix ( i=1,2,!, s), eajx cosbjx, xeajx cosbjx,!xnj−1eajx cosbjx
eajx sinbjx, xeajx sinbjx,!xnj−1eajx sinbjx ( j =1,2,!,t )
y(12)− y(11)− y(10)−5y(9) +5y(8)−3y(7) +13y(6)−7y(5) +10y(4 )
−20 ′′′y +12 ′′y −12 ′y +8y= 0
495
を解いてみよう。 因数定理より、 とかける。 一般解は である。
を未知関数とする微分方程式
を連立線形微分方程式という。
とおくと、上の微分方程式は
と表すことができる。 を係数行列という。特に、 のとき、斉次形であ
るという。また、 のとき、非斉次形という。 注意: 線形微分方程式☆を連立線形微分方程式で表すことができる。実際
とおくと、
ϕ(λ)= (λ−1)3(λ−2)(λ2 +2λ+2)2(λ2 +1)2
y= ex (c1 + c2x+ c3x2 )+ c4e
2x + (c5 cos x+ c6 sin x)e−x + (c7 cos x+ c8 sin x)xe
−x
+(c9 cos x+ c10 sin x)+ x(c11 cos x+ c12 sin x)
y1(x), y2 (x),!, yn (x)
′y1(x) = a1,1(x)y1(x)+a1,2 (x)y2 (x)+!+a1,n (x)yn (x)+b1(x)′y2 (x) = a2,1(x)y1(x)+a2,2 (x)y2 (x)+!+a2,n (x)yn (x)+b2 (x)
" "′yn (x) = an,1(x)y1(x)+an,2 (x)y2 (x)+!+an,n (x)yn (x)+bn (x)
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
yj (0) = y0, j (j =1,2,!,n)
y(x) =
y1(x)y2 (x)!
yn (x)
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
, A(x) =
a1,1(x) a1,2 (x) " a1,n (x)a2,1(x) a2,2 (x) " a2,n (x)! ! # !
an,1(x) a2,2 (x) " an,n (x)
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
, b(x) =
b1(x)b2 (x)!
bn (x)
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
dy(x)dx
= A(x)y(x)+b(x) y(0) = y0( )
A(x) b(x)= 0
b(x)≠ 0
y1 = yy2 = ′y!
yn = y(n−1)
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
496
連立線形微分方程式
に帰着することができる。このとき、
とすると、
と表される。
さて、係数行列 A のすべての成分 が定数のとき、定数係数の線形連立微分
方程式という。ここでは定数係数の場合のみを考えるものとする。すなわち、
▼
まず、斉次形
▽
を考える。
とすると、 , である。すなわち、
微分方程式▽の解は の形にかけることがわかる。 例題 236 次の定数係数連立線形微分方程式を解いてみよう。
′y1 = y2′y2 = y3!
′yn−1 = yn′yn =−a1(x)yn−a2 (x)yn−−"−an (x)y1 +b(x)
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
y(x) =
y1(x)y2 (x)!
yn (x)
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
, A(x) =
0 1 O0 "
! " 1−an (x) # −a1(x) 0
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
, b(x) =
0!0b(x)
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
dy(x)dx
= Ay(x)+b(x)
ai, j (x)
dy(x)dx
= Ay(x)+b(x) y(0) = y0( )
dy(x)dx
= A y(x) y(0) = y0( )
y(x)= eA⋅x y0
′y (x)= AeA⋅x y0 = A eA⋅x y0( )= Ay ∴ ′y (x)= Ay
y(x) = eA⋅x y0 ( y(0) = y0 )
497
[解]
とおくと、微分方程式は と表される。
一般解は とかける。 が計算さえできればよい。 f[A](lambda) = charmat(A,lambda)
f[A](lambda) =factor(det(rhs(%)))
固有値は (相異なる)であるから、A は対角化可能である。 eigenvects(A)
で、このことから、対角化変換行列 P は
であることがわかる。そして、
と対角化できる。そこで、
′y1 =−22y1 +10y2 + 4y3′y2 =−38y1 +17y2 +8y3′y3 =−23y1 +10y2 +5y3
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎪
A=−22 10 4−38 17 8−23 10 5
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟ ′y = Ay
y= eAx y0 ( y0 = t (c1,c2,c3)
eA⋅x
λ1 =1,λ2 = 2,λ3 =−3
P=4 1 28 2 33 1 2
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
P−1AP=1 0 −1−7 2 42 −1 0
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
−22 10 4−38 17 8−23 10 5
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
4 1 28 2 33 1 2
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟=
1 0 00 2 00 0 −3
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
exp (P−1AP)⋅x( )=ex 0 00 e2x 00 0 e−3x
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
498
であるから、
であるから、 一般解は
は任意定数)
と表される。 さて、
を考えてみよう。これは
表されている。
で、A の最小多項式が 2 位の零点をもつから、
対角化可能でない。このようなとき、 の計算をどうするのか? その解決が Jordan(ジョルダン)標準形にするということである。それは後ほど説明する。 この問題は次のようにすることもできる。
の両辺を微分して、 で特性多項式は であるから、
一般解は
と表される。 参考
y=
y1
y2
y3
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
= Pexp(P−1AP)⋅x)P−1( )y0 ( y0 =
c1
c2
c3
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
)
y1 = 4(c1−c3)ex + (−7c1 +2c2 + 4c3)e
2x +2(2c1−c2 )e−3x
y2 = 8(c1−c3)ex + (−14c1 + 4c2 + 8c3)e2x + 3(2c1−c2 )e−3x (c1,c2,c3
y3 = 3(c1−c3)ex + (−7c1 +2c2 + 4c3)e
2x +2(2c1−c2 )e−3x
′y1 = 3y1− y2 !! (i)′y2 = y1 + y2 !! (ii)
⎧⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
dydx
= Ay y=y1
y2
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟,A= 3 −1
1 1
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
fA(λ)=
λ−3 1−1 λ−1
= (λ−2)2
eA
(ii)
′′y2 = ′y1 + ′y2 = 3y1− y2 + ′y2 = 3( ′y2− y2 )− y2 + ′y2 = 4 ′y2−4y2
′′y2−4 ′y2 + 4y2 = 0 ϕ(λ)= (λ−2)2
y2 = c1e2x + c2xe
2x
y1 = ′y2− y2 = (2c1e2x + c2e
2x +2c2xe2x )−(c1e
2x + c2xe2x )= (c1 + c2 )e
2x + c2xe2x
y1= (c1 + c2 + c2x)e
2x
y2 = (c1 + c2x)e2x
⎧⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
499
とすると、 である。まず、 を計算したい。
A := band([0,a,1],2)
seq(evalm(A^k), k = 1 .. 10)
この計算から、
が推定できる。 exponential(A*x)
なお次のようにも考えられる。
とおくと、 である。そして、
,
をうる。 例題 237 を連立線形微分方程式による解法を考察せよ [解] とおくと、
P= 1 1
1 0
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
P−1AP= 2 1
0 2
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
2 10 2
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
n
An = 2n n ⋅2n−1
0 2n⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟
S= 2 0
0 2
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟,N = 0 1
0 0
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ SN = NS, N k =O ( k≥ 2 )
(S+N )x{ }n
n!=(Sn +nSn−1N )xn
n!=
(2x)n
n!0
0 (2x)n
n!
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
+ 0 xn(2x)n−1
n!0 0
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
e
2 10 2
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⎟⋅x
= e2x xe2x
0 e2x⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟
eAx = Pe2 10 2
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⎟⋅x
P−1 =(1+ x)e2x −xe2x
xe2x (1− x)e2x
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
y(n) = ay ( a> 0 )
y1 = y, y2 = ′y , y3 = ′′y ,!, yn = y(n−1)
500
とかける。 与式は
と表される。係数行列( 次の正方行列)を A とする。解(ベクトル) は ( は任意定数ベクトル)
と表される。 の1行目を とすると、
(一般解)
とかける。 が示せれば、 が基本解の
系である。 の計算手順を説明する。
,An+1 =
0 a 0 ! 00 " #
# # " 00 0 ! aa2 0 ! 0
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
= aA,!,A2n =
a2 0 ! 00 a2 " ## 0 " "" " 0
0 ! 0 0 a2
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
= a2E,!
′y1 = y2
y2′ = y3
! "′yn−1 = yn′yn = ay1
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
ddx
y1y2!yn
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
=
0 1 " " 00 0 1 # !! 0 # # !0 ! # 0 1a 0 " 0 0
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
y1y2!yn
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
n y
y= exp(Ax)y0 y0
exp(A ⋅x) ψ1(x),ψ2 (x),!,ψn (x)( )
y= y1 = c1ψ1(x)+ c2ψ2 (x)+!+ cnψn (x)
W ψ1(x),ψ2 (x),!,ψn (x)( )≠ 0 ψ1(x),ψ2 (x),!,ψn (x)( )
exp(Ax)
A=
0 1 ! ! 00 0 1 " ## 0 " " #0 # " 0 1a 0 ! 0 0
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
,A2 =
0 0 1 ! 0
0 0 01"#
# 0 " " 1a # " 0 00 a ! 0 0
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
,!,An =
a 0 0 ! 00 a 0 " ## 0 " " 00 # " a 00 0 ! 0 a
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
exp(Ax)= (Ax)ν
ν!ν=0
∞
∑ =Aνxν
ν!ν=0
∞
∑
501
を考慮して、 の 成分が であるから、
の一般解は と表される。 特に、 の場合を考えてみよう。
の特性多項式は であるから、
が基本解の系である。 A := band([a 0,0,0,1,0,0],4)
f[A](lambda) = charpoly(A, lambda)
-------------------- がわかる
seq([k,evalm(A^k)],k = 1..8) ----------------------- の表示
Sum((A*x)^n/factorial(n), n = 0 .. 11);% = evalm(value(%)) ---------- の計算
row(rhs(%),1) --------------- の1行目の表示
exp(Ax) (1, j) (j =1,2,!,n) ψ1(x),ψ2 (x),!,ψn (x)( )
ψ1(x)=1+
axn
n!+a2x2n
(2n)!+!
ψ2 (x)= x+
axn+1
(n+1)!+
a2x2n+1
(2n+1)!+!
!
ψn (x)= xn+1 +
ax2n−1
(2n−1)!+
ax3n−1
(3n−1)!+!
y(n) = ay y= c1ψ1(x)+ c2ψ2 (x)+!+ cnψn (x)
n= 4
y(4 ) = ay
ϕ(λ)=λ4−a= λ− a4( ) λ+ a4( ) λ− a4 i( ) λ+ a4 i( )
e a4 x ,e− a4 x ,cos a4 x,sin a4 x{ }
fA(λ)=ϕ(λ)
Ak (k=1,2,!,8)
(Ax)k
k!k=0
11
∑
exp(Ax)
502
M := map(simplify, exponential(A*x)) ------------------ の計算
W := map(simplify, wronskian(row(M, 1), x)) ----- の1行目の Wronskian
simplify(factor(det(W))) ----------ロンスキーの行列式の値の計算
1 この計算から、 の1行目の関数系は1次独立であることがわかる。 map(taylor, M,x = 0, 11) ---------- をテーラー展開してみた
の1行目の成分は の1次結合で表されていることもわか
る。 非斉次形▼の解の公式をあげておこう。 ▼の一般解 ▽の一般解+▼の特殊解であることを念頭においておく。
が▼の解になるように を決めよう。
であるから、
exp(A ⋅x)
exp(A ⋅x)
exp(A ⋅x)
exp(A ⋅x)
exp(Ax) ea4 x ,e− a4 x ,cos a4 x,sin a4 x
=
exp(A ⋅x)Y(x) Y(x)
exp(A ⋅x)Y(x)( )′ = Aexp(A ⋅x)( )Y(x)+ exp(A ⋅x) dY(x)
dx
exp(A ⋅x)Y(x)( )′ = Aexp(A ⋅x)( )Y(x)+ exp(A ⋅x) dY(x)
dx= A exp(A ⋅x)Y(x)( )+b(x)
∴dY(x)dx
= exp(−A ⋅x)b(x)
503
とすればよい。
したがって、一般解は
すなわち、
が▼の一般解である。 の一般解と形はよく似ていることを注意しておこう。 例題 238 次の連立線形微分方程式を解け。
[解]
とおくと、方程式は と表される。簡単な計算により、
で、固有空間の基底は
そこで、 とおくと、 をうる。
Y(x)= exp(−A ⋅s)b(s)ds
0
x
∫
y(x)= exp(Ax)y0 + exp(Ax) exp(−A ⋅s)b(s)ds
0
x
∫
y(x)= exp(Ax) y0 + exp(−As)b(s)ds
0
x
∫⎧⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
⎫⎬⎪⎪
⎭⎪⎪
′y = ay+b(x)
′y1 =−83y1 + 64y2−44y3 + cos x′y2 =−110y1 + 85y2−58y3 + sin x′y3 =−y1 + y2
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎪
A=−83 64 −44−110 85 −58−1 1 0
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟, y(x)=
y1(x)y2 (x)y3(x)
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
,b(x)=cos xsin x0
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
′y (x)= Ay(x)+b(x)
fA(λ)= (λ−1)(λ+1)(λ−2)
{{121
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟,−6−71
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟,461
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟}}
P=121
−6−71
461
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
P−1AP=1 0 00 −1 00 0 2
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
exp(Ax)=1 −6 42 −7 61 1 1
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
ex 0 00 e−x 00 0 e2x
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
13 −10 8−4 3 −2−9 7 −5
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
504
ここからは Maple で計算しよう。 with(linalg); A := matrix(3, 3, [-83, 64, -44, -110, 85, -58, -1, 1, 0])
l := eigenvects(A)
P := augment(l[2][3][1],l[1][3][1],l[3][3][1])
L :=multiply(inverse(P),A,P)
M := multiply(P, exponential(L*x), inverse(P))
C:=matrix(3,1,[seq(c[i], i = 1 .. 3)])
=
13ex +24e−x−36e2x −10ex−18e−x +28e2x 8ex +12e−x−20e2x
26ex +28e−x−54e2x −20ex−21e−x + 42e2x 16ex +14e−x−30e2x
13ex−4e−x−9e2x −10ex + 3e−x + 7e2x 8ex−2e−x−5e2x
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
exp(−Ax)=1 −6 42 −7 61 1 1
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
e−x 0 00 ex 00 0 e−2x
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
13 −10 8−4 3 −2−9 7 −5
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
=13e−x +24ex−36e−2x −10e−x−18ex +28e−2x 8e−x +12ex−20e−2x
26e−x +28ex−54e−2x −20e−x−21ex + 42e−2x 16e−x +14ex−30e−2x
13e−x−4ex−9e−2x −10e−x + 3ex + 7e−2x 8e−x−2ex−5e−2x
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
505
yy :=multiply(M,C)
K := multiply(P, exponential(-L*x), inverse(P))
bb := matrix(3, 1, [cos(x), sin(x), 0])
KK := map(int, multiply(K, bb), x)
special_solution:= map(simplify,multiply(M,KK))
Y := evalm(yy)+evalm(special_solution)
506
y[1] = evalm(Y)[1,1]
y[2] = evalm(Y)[2,1]
y[3] = evalm(Y)[3,1]
が求める一般解である。
注: を次のように直接計算することもできる。 exponential(A*x)
y1, y2, y3exp(Ax)