4_Čvrstoća_tla

100 Riješenih ispitnih zadataka iz mehanike tla

Zadatak 34 : Šta predstavljaju navedene formule, i prikazati njihovu grafičku interpretaciju

2cos22

sincos 31312

3

2

1

2sin2

cossin)( 31

31

Rješenje : Navedene jednačine predstavljaju naponsko stanje u zamišljenoj tački, a kada se iz njih

eliminiše ugao , rezultuju jednačinom kružnice koja se prema njenom autoru naziva Mohr-ov krug.

Tako, za poznate veličine glavnih napona (σ1, σ3), navedenim jednačinama se definišu naponi (jedna

tačka na Mohr-ovom krugu – slika : tačka A) koji djeluju na ravan čija normala zaklapa ugao sa

pravcem maksimalnog glavnog napona (σ1), što je detaljnije prikazano grafičkom interpretacijom :

Slika 1.32 : Opis napona Mohr-ovim krugom

Napomena : Korištenjem navedenih izraza može se riješti i obrnut zadatak, tj. za poznate veličine

normalnog i smičudeg naprezanja za bilo koje dvije ravni, mogu se izračunati glavni naponi. Ipak,

veoma često je poželjno na jednom dijagramu opisati više naponskih stanja u različitim tačkama

mase tla ili uzastopnu promjenu naponskog stanja u nekom posmatranom elementu tla. Tada je

prikaz Mohr-ovim krugom nepregledan. Umjesto toga, pogodnije je koristiti opis naponskom tačkom

koju je definisao Lambe (1964), na takav način da je :

2

31 s ;

2

31 t

Zadatak 35 : Tanki sloj praha uočen je istražnim radovima na dubini od 18,0 metara ispod površine

terena. Tlo iznad ovog sloja ima prosječnu suhu zapreminsku težinu od 15,3 kN/m3 i prosječnu

vlažnost od 36,0 %. Nivo podzemne vode je na samoj površini terena. Provedena laboratorijska

ispitivanja na neporemedenim uzorcima su dala sljedede parametre čvrstode na smicanje :

cu = 45,0 kPa; φu = 18°; c' = 35 kPa; φ' = 27°

Odrediti smičudi otpor tankog sloja praha na horizontalnoj ravni, u slučaju da (a) smičudi napon raste

veoma brzo i (b) smičudi napon raste veoma sporo.

Pravac σ1

Pra

vac

σ3

σ1

σ3

2σ1

σ3

A( , )

(σ1+ σ3)/2

(σ1-

σ3)/

2


Slika 1.33 : Profil tla

Zapreminska težina u zasidenom stanju : γsat = γd∙(1+w) = 15,3∙(1+0,36) = 20,81 kN/m3

Zapreminska težina u potopljenom stanju : γ' = γsat – γw = 20,81 – 9,81 = 11,0 kN/m3

Totalni vertiklani napon na dubini od 18,0 metara : σ = 20,81∙18,0 = 374,58 kPa

Efektivni vertiklani napon na dubini od 18,0 metara : σ' = 11,0∙18,0 = 198,0 kPa

(a) Za slučaj naglog prirasta opteredenja na smicanje, mjerodavni su parametri za nedrenirano

stanje i totalni naponi, te je smičudi otpor jednak :

τf = cu+σtgφu = 45,0+374,58∙tg18° = 166,74 kPa

(b) Za slučaj sporog prirasta opteredenja na smicanje, mjerodavni su parametri za drenirano

stanje i efektivni naponi, te je smičudi otpor jednak :

τf = c'+σ'tgφ' = 36,0+198,0∙tg27° = 136,89 kPa

Zadatak 36 : Uzorak normalno konsolidirane gline (φ = 28°), je konsolidiran pod delijskim pritiskom

od 280 kPa. Za slučaj standardnog dreniranog testa, koliko treba smanjiti aksijalni napon da bi došlo

do sloma uzorka usljed aksijalnog zatezanja.

Prva faza triaksijalnog testa (nakon kontrole zasidenosti uzorka) jeste faza nanošenja delijskog

pritiska. U toj fazi nema smicanja, Mohr-ov krug se može predstaviti tačkom na '- dijagramu.

Na slici je preko Mohr-ovih krugova prikazano smanjenje naprezanja usljed rasteredenja aksijalnog

naprezanja uz zadržavanje bočnog pritiska konstantnim (standardni triaksijalni test)

Slika 1.34 : „Razvoj“ naposnkog stanja u trećoj fazi triaksijalnog testa (rasterećenje)

γd = 15,3 kN/m3

w = 36,0 %

18,0 m

3

=?

1

Kritična kombinacija

normalnog i smičudeg

napona

'


Anvelopna sloma uzorka normalno konsolidirane gline (φ = 28°; c = 0 kPa), predstavljena je Mohr-

Coulomb-ovim pravcem :

tgf '

Usljed aksijalnog rasteredenja, dolazi do smanjenja vertikalng naprezanja, pri čemu delijski pritisak

ostaje konstantan, jer se radi o standardnom triaksijalnom testu

469,0

2

2sin13

13

13

13

Iz čega slijedi :

2,101361,0sin1

sin1331

kPa

Pa je konačno traženo smanjenje vertikalnog naprezanja koje uzrokuje slom na zatezanje jednako :

= 3 - 1 = 280,0 – 101,2 = 178,8 kpa

Zadatak 37 : Rezultati konsolidiranog nedreniranog (CU) stadnardnog triaksijalnog testa na uzorku

normalno konsolidirane gline, kod kojeg je delijski pritisak iznosio 392,0 kPa su prikazani tabelom.

Odrediti efektivne parametre čvrstode na smicanje. Pod pretpostavkom ravnog stanja napona,

nacrtati Kf liniju na s' – t' dijagramu. Na istom dijagramu nacrtati i trag napona.

Aksijalna deformacija [%]

Δσ [kPa]

u [kPa]

0 0,0 0,0

0,5 156,0 99,0

0,75 196,0 120,0

1,0 226,0 132,0

1,3 235,0 147,0

2,0 250,0 161,0

3,0 245,0 170,0

4,0 240,0 173,0

4,5 235,0 175,0

Tabela 1.5 : Rezultati CU triaksijalnog testa

Napomena : Dvodimenzionalno naponsko stanje je ono koje je potpuno definisano sa dva glavna

napona, tj. sa σ1 i σ3. Nesumnjivo je da i srednji glavni napon (σ2), utječe na čvrstodu i naponsko-

deformaciono ponašanje tla. Ipak, pokazalo se da njegov utjecaj, najčešde, nije od takvog značaja da

bi onemogudio primjenu ovakvog redukovanog pristupa.

Rezultati dati tabelom, mogu se predstaviti grafički kao na slici ispod :


Slika 1.35 : Veza devijator ( = 1-3) – aksjalna deformacija

Ćelijski pritisak se održava konstantnim za svaki inkrement aksijalnog naprezanja, jer se radi o

standardnom triaksijalnom testu. Za svaki inkrement vertikalnog naprezanja, javlja se i porni pritisak

jer se aksijalno opteredenje nanosi u nedreniranim uslovima. Iako se radi o uzorku normalno

konsolidirane gline, uočen ja blagi pad mjere smičudeg naprezanja () nakon dostizanja vršne

vrijednosti pri deformaciji od oko 2%. Ovaj napon („vršna“ vrijednost) se uzima kao mjerodavna za

proračun ugla unutrašnjeg trenja kao jedine nepoznate veličine.

Ako sa : 2

31 s i

2

31 t označimo napone vezane za promjenu zapremine i promjenu

oblika, respektivno, tada se razvoj naprezanja, za ovaj jedan uzorak, može predstaviti tragom

naprezanja u s'-t' (s-t) koordinatnom sistemu (ravno stanje napona). Uz napomenu da su efektivni

naponi jedanki totalnim umanjenim za vrijednost izmjerenog pornog pritiska prema principu

efektivnih napona.

Slika 1.36 : Trag napona i Kf linija

Nagib nacrtane Kf linije u s'-t' koordinatnom sistemu (tg) predstavlja sinus ugla unutrašnjeg trenja

za drenirane uslove.

0

50

100

150

200

250

300

0 1 2 3 4 5

[%]

0

20

40

60

80

100

120

140

0 100 200 300 400 500 600

trag II faza - s'-t'

trag II faza - s-t

Trag I faza : s=s'; t=t'

Kf linija u s'-t'

s, s'

t, t'


'sin tg

354,05,344

0,122'sin

074,20'

Kohezija je jednaka nuli, jer se radi o normalno konsolidiranoj glini.

Napomena : Nedrenirani parametri smičude čvrstode (u i cu) određeni CU triaksijalnim testom

obično nemaju praktičan značaj, jer različitoj početnoj upakovanosti odgovara različita čvrstoda, pa

nagib anvelope sloma u pogledu totalnih napona (za nedrenirane uslove) zavisi od stanja u kojem se

nalazi uzorak. Za opit bi se moralo primjenjivati uzorke sa prirodnom vlažnošdu, a ne saturirane

uzorke. Na drugoj strani, odnos cu/' može biti koristan jer je pokazatelj prirasta nedrenirane

čvrstode sa napretkom konsolidacije tj. sa povedanjem efektivnog naprezanja. Za nedrenirane

parametere se najčešde primjenjuje brzi test monoaksijalne čvrstode, gdje je nedrenirana kohezija

jednaka polovini aksijalnog naprezanja pri slomu uzorka, dok je ugao unutrašenjg trenja jednak nuli

(φu = 0,0°). U zadataku je uvedeno i pojednostavljenje da se problem posmatra kao problem ravnog

stanja napona, iako je problem triaksijalnog testa osnosimetrični problem kod kojeg se naponsko

stanje obično predstavlja srednjim efektivnim naprezanjem : p = (σa+2σr )/3 i devijatorom napona :

q = σa - σr.

Zadatak 38 : Na uzorku prekonsolidirane kohezivne gline tla izvršen je konsolidirani drenirani (CD)

test. Ćelijski pritisak je 20,0 kPa.Uočeno je da je došlo do sloma uzorka kada je aksijalna sila u klipu

proizvela dodatni vertikalni napon od 76,0 kPa.

Odrediti parametre smičude čvrstode tla!

Rješenje : Nije mogude odrediti parametre smičude čvrstode za drenirane uslove materijala koji ima

koheziju. Za definisanje anvelope sloma kohezivnog materijala ( c ≠ 0) neophodna su najmanje dva

uzorka.

Zadatak 39 : U drugoj fazi CD standardnog triaksijalng testa uzorak je optereden izotropnim delijskim

pritiskom intenziteta 100 kPa. Nacrtati Mohr-ov krug u '- koordinatnom sistemu.

Rješenje : U slučaju djelovanja izotropnog delijskog pritiska nema smicanja, a time ni promjene oblika

uzorka, tj. dešava se samo promjena zapremine (konsolidirani test). Mohr-ov krug za ovakvo

naponsko stanje predstavjen je tačkom koja leži na ' osi. Znači, kroz bilo koju presječnu ravan

naponi su jednaki apliciranom delijskom pritisku, a mjera simčudeg naprezanja je jedanaka nuli.

Slika 1.37 : Naponsko stanje za svaku presječnu ravan („Mohr-ov krug“)

'

3'=100,0

kPa


Zadatak 40 : Iz kante pune suhog pijeska prosut je pijesak na horizontalnu površinu koji je ranije

ispitan u svrhu određivanja ugla unutrašnjeg trenja i dobivena je vrijednost od 33. Pod kojim uglom

(približno) de biti stranice formiranog kupastog oblika u odnosu na horizontalnu površinu nakon

istresanja iz kante.

Rješenje : 33

Napomena : Za suhi pijesak vrijedi da ugao

unutrašnjeg trenja odgovara tzv. kritičnom

uglu mirovanja (eng. angle of repose) – koji

predstavlja upravo nagib slobodno formirane

površine suhog pijeska na horizontalnoj

površini

Slika 1.38 : Definicija ugla mirovanja (eng. “angle of repose”)

Zadatak 41 : Test direktnog smicanja izveden je na seriji uzoraka glinovitog materijala u dreniranim

uslovima. Tabelarno su prikazani rezultati 4 izvedena testa :

Broj testa

Efektivni normalni

napon

Efektivni smičući napon pri slomu

1 100 98

2 200 139

3 300 180

4 400 222 Tabela 1.6 : Rezultati testa direktnog smicanja

Odrediti efektivne parametre smičude čvrstode.

Za test direktnog smicanja je karakteristično da je kritična kombinacija normalnog i smičudeg

naprezanja u trenutku sloma poznata, pa nema potrebe za crtanjem Mohr-ovih krugova . Dakle, iz

tabelarno prikazanih rezultata može se definisati anvelopa čvrstode čiji de odsječak na osi smičudeg

naprezanja predstavljati koheziju, a nagib u ’- dijagramu ugao unutrašnjeg trenja.

Slika 1.39 : Rezultati testa direktnog smicanja

Sa dijagrama se može očitati rješenje : c' = 55 kPa; ' = 23

100 200 300 400 '

98 139

180

222


Zadatak 42 : Na slici je prikazan karakteristični dijagrami smičude naprezanje vs. horizontalna

deformacija dobiveni ispitivanjem na dva uzorka prekonsolidovane gline u uređaju za direktno

smicanje. Odrediti vršni (’p)i kritični (’cv) ugao unutrašnjeg trenja.

Slika 1.40 : Rezultati testa direktnog smicanja

Vršni (eng. peak) ugao unutrašnjeg trenja demo odrediti iz odnosa vršnog smičudeg naprezanja i

normalnog naprezanja :

573,075

43

75150

57100

ptg

8,29p

Kritični (eng. constant volume) ugao unutrašnjeg trenja demo odrediti iz odnosa smičudeg naprezanja

u kritičnom stanju i normalnog naprezanja :

333,075

25

75150

4065

cvtg

4,18cv

Čime su definisane anvelope sloma različitog nagiba, ali jednog te istog materijala.

Napomena : U konkretnim praktičnim problemima, redovno se susrede problem izbora jednog od ova

dva ugla unutrašnjeg trenja. Stvar se dodatno komplikuje, jer i mobilizacija kohezije zavisi od stepena

naprezanja i smatra se da je kohezija u kritičnom stanju jednaka nuli, a ima maksimalnu vrijednost na

početku naprezanja. U pravilu, primjena ugla unutrašnjeg trenja za kritično stanje, kao onoga na

strani sigurnosti se preporučuje za vedinu praktičnih problema, posebno ako se primjenjuju modeli

tla koji ne mogu opisati tzv. softening, tj. smanjenje čvrstode nakon dostizanja vršne vrijednosti,

kakav je klasični Mohr-Coulomb-ov model.

Zadatak 43 : Kako se na osnovu dva testa triaksijalnog smicanja mogu odrediti parametri čvrstode na

smicanje (φ i c).

57

' = 75 kPa

' = 150 kPa

100

65

40


Rješenje : Navedeni paramteri se najjednostavnije dobiju rješavanjem dvije jednačine sa dvije

nepoznate koje se dobiju izražavanjem sinusa ugla unutrašnjeg trenja preko glavnih napona.

Pozivajudi se na oznake sa slike ispod, u nastavku su izvedene te dvije jednačine

Slika 1.41 : Mohr-ovi krugovi I anvelopa sloma za slučaj triaksijalnog ispitivanja 2 koherentna uzorka

Za oba kruga se može napisati izraz za sinus ugla unutrašenjg trenja :

31

31

31

31

2

2

2sin

ctgc

ctgc

, obzirom da se radi o istom tlu pa mu odgovaraju

isti parametri čvrsode.

Dalje se sređivanjem gore navedenog izraza dobije poznata veza :

sin1

cos2

sin1

sin131

c

Obziron da vrijedi :

)2

45(sin1

sin1 2

tg

)2

45(sin1

cos

tg

Konačno se može napisti veza :

)2

45(2)2

45(2

31

tgctg

Pa se za dva uzorka mogu definisati dvije jednačine sa nepoznatim vrijednostima ugla unutrašnjeg

trenja (φ) i kohezije (c). Rješavanjem tih jednačina po φ i c određuju se parametri smičude čvrstode.

Zadatak 44 : Dva uzorka tla su testirana standarndnim dreniranim (CD) triaksijalnim testom i

dobiveni su rezultati :

Test σ3 σ1

a 100 240

b 300 630 Tabela 1.7 : Rezultati testa na 2 uzorka

Kritična kombinacija

normalnog i smičudeg

napona

3,a 3,b 1,a c∙ctgφ

' 1,b

zatezanje

φ

c


Ukoliko bi se testirao još jedan uzorak (uzorak c) pri delijskom pritisku od 200 kPa, koliki bi bio

očekavani maksimalni glavni napon (σ1,c) pri slomu uzorka.

Rješenje : Za rješenje zadatka demo koristiti gotovi izraz izveden u sklopu prethodnog zadatka :

)2

45(2)2

45(2

31

tgctg

U zadatku se traži veličina maksimalnog glavng napona σ1, ali za veličinu delijskog pritiska od 200 kPa.

Podatke iz dva testa demo iskoristiti za određivanje parametara čvrstode :

)2

45(2)2

45(2

,3,1

tgctgaa

)2

45(2)2

45(2

,3,1

tgctgbb

)2

45()( 2

,3,3,1,1

tgbaba

)2

45()0,1000,300(0,2400,630 2 tg

)2

45(0,2000,390 2 tg

)2

45(95,1 2 tg => 4,1)

245(

tg

5,54)2

45(

=> 0,19

Uvrštavanjem nazad, u jednu od početnih jednačina (npr. prvu), dobije se i vrijednost kohezije :

)2

1945(2)

2

1945(1000,240 2 tgctg

)2

1945(25,43 tgc => c = 15,5 kPa

Veličina glavnog napona za uzorak koji je podvrgnut delijskom pritisku od 200 kPa (σ3,c) iznosi :

)2

45(2)2

45(2

,3,1

tgctgcc

)2

0,1945(5,152)

2

0,1945(0,200 2

,1 tgtgc

kPac 56,43546,431,392,1

Zadatak 45 : U aparatu za triaksijalno smicanje, testiran je uzorak normalno konsolidirane gline, pri

konstantnom delijskom pritisku od 49,40 kPa. Prečnik uzorka je 38 mm. Maksimalna normalna sila u

klipu za nanošenje opteredenja tokom testa je 82,50 N.

Na slici je šematski prikazan uređaj za trikasijalno ispitivanje

-


Slika 1.42 : Šema uređaja za triaksijalni test

Koliki je ugao unutrašnjeg trenja gline?

3 = 49,40 kPa

d=38 mm

Fmax=82,50 N

Manji glavni napon je jednak delijskom pritisku. Vedi glavni napon je čelijski pritisak plus napon od vertikalnog opteredenja. Pošto je kohezija nula (normalno konsolidirana glina), dovoljan je jedan test za određivanje jedinog nepoznatog Mohr-Coulomb-ovog parametra čvrstode (φ).

4

)1038(

1050,8240,49

4

23

3

2

max

3

max

31

NkPa

d

F

A

F

σ1=122,14 kPa

kPakPa

kPakPa

40,4914,122

40,4914,122

2

12

1

sin31

31

31

31

Pa je rješenje : φ=25,1°

c = 0,0 kPa

Zadatak 46 : CD triaksijalnim testom je ispitan granularni materijal i izmjeren je odnos napona pri

slomu : '1/'3 = 4,0. Izračunati ugao unutrašnjeg trenja '.

Rješenje : Ranije je izvden izraz za sinus ugla nagiba anvelope sloma kod granularnih materijala (c=0):

31

31

''

''sin


Iz čega se može napisati (dijeljenjem sa 3 brojnika i nazivnika, desne strane jednačine) :

6,05

3

14

14

1'

'

1'

'

sin

3

1

3

1

' = 37,0

Zadatak 47 : U CD triaksijalnom testu na uzorku rastresitog pijeska (c' = 0), pri delijskom pritisku od

σ'3 = 138,0 kN/m2, maksimalni glavni napon pri slomu iznosio je σ'1 = 423,0 kN/m2. Nacrtati trag

napona u Lambe-ovom koordinatnom sistemu.

Rješenje : Ose Lambe-ovog koordinatnog sistma su definisane sa :

2

''' 31 s ;

2

''' 31 t

Za fazu nanošenja delijskog izotropnog pritiska, σ'1 = σ'3 trag napona se krede duž s' ose. Pri

nanošenju aksijalnog opteredenja (devijator napona, koji se vezuje uz pojavu smičudih deformacija),

sa porastom veličine s', raste i veličina t', pa se konačno može formirati traženi dijagram :

s' 0 138 280,5

t' 0 0 142,5

Tabela 1.8 : Izračuante vrijednosti s' i t'

Slika 1.43 : Trag napona u Lambe-ovom koordinatnom sistemu

Vrijedi napomenuti da ovaj pristup ne posmatra triaksijalni test kao osnosimetrični problem nego ga

tretira kao problem ravnog stanja napona, što je spemenuto i u zadacima ranije.

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0 50 100 150 200 250 300

s' [kPa]

t' [kPa]

Documents

4_Čvrstoća_tla