Linearna algebra

DeterminantePredavanje 8

25. novembar, 2008

Determinante 2

DETERMINANTE

0.1 Vi�elinearne forme1. Linearna forma. Shvatajuci polje K kao vektorski prostor nad njim samim, linearna preslikavanjaF : V ! K vektorskog prostora V u njegovo polje skalara K takodje zovemo i linearnim formama natom prostoru V .

Za odgovarajuci vektorski prostor $(V;K) svih takvih preslikavanja ka�emo i da je dualan samomvektorskom prostoru V . Takodje ga zovemo i dualom od V i ozna�cavamo sa

V � = $(V;K):

Posebno ako je uo�ceni prostor V kona�cne dimenzije, prema teoremi 2 iz 3.2 mora biti dimV � = dimV ,pa je tada i V � �= V:

S druge strane, prema teoremi 1 iz 3.1, svaka linearna forma F na prostoru V je potpuno odredjenaako je zadata na nekoj njegovoj bazi e = [e1; :::; en] : Preciznije, ako je F (es) = �s; to jest F (e) =[�1; :::; �n] ; za svaki vektor u iz V va�i

(1) F (u) = �1�1 + ::: + �n�n (u =P�ses)

Linearna algebra

Determinante 3

Posebno, ako je tu [�1; :::; �n] r-ta vrsta jedini�cne matrice, to jest �r = 1 i �s = 0 za svako s 6= r;

odgovarajuca linearna forma F = e�r vektoru u pridru�uje upravo njegovu r-tu koordinatu �r = e�r(u):Drugim re�cima, to je linearna forma e�r : V ! K koja je na bazi [e

1; :::; en] odredjena sa

(2) e�r(s) =

�1; za r = s;0; za r 6= s:

�Zovemo je i r-tom koordinatnom formom prostora V u odnosu na uo�cenu bazu e. Sada se, zbog�r = F (es) i �r = e�r(u); same relacije (1) svode na

(3) F =

nXr=1

F (er)e�r i u =

nXr=1

e�r(u)er:

Prva od tih relacija zna�ci da je sistem e� = [e�1; :::; e�n] jedna generatrisa sa n = dimV � vektora, a timei jedna baza vektorskog prostora V �. Za nju ka�emo i da je dualna uo�cenoj bazi e samog vektorskogprostora V .

2. Vi�elinearna formaNeka je V vektorski prostor nad poljem K i m prirodan broj. Ako je r �ksiran broj iz [1; :::;m] ; zapreslikavanje F : V m ! K ka�emo da je linearno po r-toj komponenti za svako u; v 2 V i svako� 2 K va�i:Linearna algebra

Determinante 4

1: F (S; u + v; T ) = F (S; u; T ) + F (S; v; T ),2. F (S; �u; T ) = �F (S; u; T )gde (S; u; T ) ozna�cava proizvoljnu m-torku iz V m sa po�cetnim delom S du�ine r � 1, zavr�nim delomT du�ine m� r i r-tom komponentom u.

Posebno, ako to va�i i za svako r, to jest ako je linearno po svakoj komponenti, za samo to preslika-vanje F : V m ! K ka�emo i da je jedna vi�elinearna ili m-linearna forma na uo�cenom vektorskomprostoru V .

Skup $m(V;K) svih takvih formi je i jedan potprostor vektorskog prostora svih preslikavanja skupa V m

u polje K. Pri tom je $1(V;K) upravo dual V � prostora V . Takodje:

Lema 1. Ako su Fr : V ! K bilo koje linearne forme vektorskog prostora V nad poljem K, tada je sa

(1) F (u1; :::; um) = F (u1):::F (um)

de�nisana i jedna m-linearna forma F : V m ! K; kojom se proizvoljnoj m-torki (u1; :::; um) vektora izV pridru�uje proizvod m skalara Fr(ur).

Dokaz: Pre svega, za �ksirano T = (u2; :::; um) i � = F2(u2):::Fm(um) va�i F (u1; T ) = F1(u1)�: Pri tom je

F1(u + v)� = [F1(u) + F1(v)] � = F1(u)� + F1(v)�;

Linearna algebra

Determinante 5

a time i F (u+v; T ) = F (u; T )+F (v; T ). Takodje je F (�u; T ) = �F (u; T ); pa je preslikavanje F linearnopo prvoj komponenti. Samim tim je F i m-linearno, jer desna strana u (1) ne zavisi od redosladaur-ova. �

Neka je, sada, e = [e1; :::; en] bilo koja baza vektorskog prostora V i e�r : V ! K linearna forma na V ,kojom se vektoru u =

P�iei iz V pridru�uje njegova r-ta koordinata �r = e�r(u) u odnosu na tu bazu. Iz

leme 1 sledi da je teda, za svaku m-torku � = (�1; :::; �m) elemenata �r = �(r) skupa N = f1; :::; ng ;sa

(2) F�(u1; :::; um) = e��1(u1):::e

��m(um)

dobro de�nisana i jedna m-linearna forma F� : V m ! K. Uz to, ako je tu

(3) us = �1se1 + ::: + �nsen;

bice e�r(us) = �rs, pa se tako i (2) svodi na

(4) F�(u1; u2; :::; um) = ��1;1 ��2;2:::��m;m:

Samo po sebi se razume da sada prostor $m(V;K) sadr�i i svaku od linearnih kombinacija F =P��F� tako odredjenih nm formi F�: �tavi�e:

Linearna algebra

Determinante 6

Teorema 1: Svaka m-linearna forma F : V m ! K vektorskog prostora V je potpuno odredjena ako jedata sa svimm-torkama (e�1; :::; e�m) neke njegove baze [e1; :::; en] i za proizvoljne vektore us =

P�rser

va�i

(5) F (u1; :::; um) =X�2Nm

��1;1:::��m;mF (e�1; :::; e�m)

Tu se sumiranje vr�i po svim m-torkama � = (�1; �2; :::; �m) elemenata skupa N = f1; :::; ng ; i familijaod nm vi�elinearnih formi F� : V m ! K odredjenih sa (3-4) je jedna baza prostora $m(V;K).

Dokaz: Pre svega, prvi deo tvrdjenja je direktna posledica drugog, jer se tada, za �� = F (e�1; :::; e�m),relacija (5) svodi upravo na F =

P��F�: Neka je, sada, F bilo koja od vi�elinearnih formi iz $m(V;K).

Samim tim, ako je u1 =P�i1ei; zbog njene linearnosti po prvoj komponenti, odmah sledi da mora biti

i

F (u1; u2; :::; um) = F (P�i1ei; u2; :::; um) =

Pi

�i1F (ei; u2; :::; um):

Koristeci, zatim, linearnost od F i po drugoj komponenti u2 =P�j2ej; i tako dalje, na taj na�cin dobi-

jamo da jeLinearna algebra

Determinante 7

F (u1; u2; :::; um) =Xi;j;:::;k

�i1�j2 � � � �kmF (ei; ej; :::; ek);

pri �cemu svaki od indeksa i; :::; k opisuje skup N = f1; :::; ng :Otuda i sama relacija (5), jer je jasno datada i m-torka � = (i; j; :::; k); sa �1 = i; �2 = j; :::; �m = k; opisuje upravo skup Nm. I obratno, ako je

F =X�2Nm

��F�;

tada mora biti �� = F (e�1; :::; e�m): Naime, ako je � = (�1; �2; :::; �m) �ksirana m-torka iz Nm, prema(2), vrednost svake od formi F� u ta�cki (e�1; :::; e�m) je 0 ili 1, u zavisnosti od toga da li je � 6= � ili � = �;pa je u tom slu�caju i F (e�1; :::; e�m) = ��:

3. Alternirajuca vi�elinearna forma

Za m-linearnu formu F : V m ! K vektorskog prostora V nad poljem K ka�emo da je alternirajuca,ako je F (u1; u2; :::; um) = 0 kad god medju ur-ovima ima i jednakih. Pri tom:

Tvrdjenje 1. Ako je m-linearna forma F : V m ! K vektorskog prostora V alternirajuca, za svakum-torku X = (u1; :::; um) iz V m i njenu sliku !X = !(X) pri bilo kojoj elementarnoj operaciji ! va�i:1. ! =: Kr + �Ks ) F (!X) = F (X);

2. ! =: �Kr ) F (!X) = �F (X);

Linearna algebra

Determinante 8

3. ! =: Kr $ Ks ) F (!X) = �F (X):

Dokaz: Pre svega, kao i obi�cno, tu ! =: Kr + �Ks ozna�cava elementarnu operaciju kojom se r-tojkomponenti svake od m-torki X iz V m dodaje njena s-ta komponenta pomno�ena skalarom �: I sli�cnoza elementarnu operaciju �Kr; odnosno Kr $ Ks.

Sama implikacija 2 va�i i za svaku vi�elinearnu formu F , dok 3 sledi direktno iz prve dve, jer je operacijaKr $ Ks kompozicija izvesnih operacija tipa 1 i 2. Neka je zato ! =: Kr + �Ks: Tada je

!X = (u1; :::; ur + �us; :::; us; :::; um);

pa na osnovu linearnosti preslikavanja F po r-toj komponentik mora biti i

F (!X) = F (X) + �F (u1; :::; us; :::; us; :::; um):

Uz to, kako je forma F i alternirajuca, drugi sabirak na desnoj strani te relacije je 0, a time i F (!X) =F (X). Otuda i tvrdjenje u celini, jer to upravo zna�ci da va�i i sama implikacija 1. �

�tavi�e, ako karakteristika poljaK nije 2, svaka vi�elinearna forma F : V m ! K za koju va�i implikacija3 je i alternirajuca. Naime, ako medju komponentamam-torkeX ima jednakih, na primer ur = us, tadaza ! =: Kr $ Ks va�i !X = X; pa na osnovu 3 sledi da u tom slu�caju mora biti i F (X) = 0. Posebno:Linearna algebra

Determinante 9

Tvrdjenje 2: Ako je n du�ina baze e vektorskog prostora V i m > n, skup Am(V;K) svih alternirajucihm-linearnih formi na V je trivijalan:

(1) m > dimV ) Am(V;K) = f0g :

Dokaz: Ako je simbolika iz teoreme 1 i m > n, medju komponentama svake od m-torki (e�1; :::; e�m)mora biti i jednakih, pa kako je forma F i alternirajuca, desna strana u (1.5) se svodi na 0. �

S druge strane, ako je F : V n ! K bilo koja alternirajuca n-linearna forma vektorskog prostora V , naosnovu 3 takodje sledi da za svaku od permutacija � = (�1; :::; �n) skupa f1; :::; ng va�i

(2) F (e�1; :::; e�n) = sgn� � F (e1; :::; en);

gde je sgn� = 1 ili sgn� = �1; vec prema tome da li je permutacija � parna ili neparna. Zaista, svakaod tih permutacija je kompozicija nekih transpozicija. Neka je, na primer,

(3) � = �m � ::: � �2 � �1

a samim tim i sgn� = (�1)m: Dalje, ako je X0 = (e1; e2; :::; en) bilo koja n-torka vektora iz V i !� =:Kr $ Ks elementarne operacije koje odgovaraju uo�cenim transpozicijama � � = [r�; s�] ; na osnovu (3)Linearna algebra

Determinante 10

sledi da je poslednji �clan u nizu

!1X0 = X1; !2X1 = X2; :::; !mXm�1 = Xm;

upravo Xm = (e�1; :::; e�n). Pri tom je i F (Xk) = �F (Xk�1) za svako k. Time je i F (Xm) = (�1)mF (X0),�to ta�cno zna�ci da va�i (2). Takodje:

Lema 2: Ako je F : V n ! K bilo koja alternirajuca n-linearna forma i e = [e1; :::; en] �ksiran sistem odn vektora iz vektorskog prostora V , za svaku matricu A = [�rs] izMn(K) i odgovarajuci sistem vektoraeA va�i

(4) F (eA) = F (e)4 A

pri �cemu je

(5) 4 (A) =X�2Sn

sgn� � (��1;1��2;2 � � � ��n;n)

i Sn skup svih permutacija � = (�1; :::; �n) skupa N = f1; :::; ng : Uz to je 4(A) = 0 kad god medjukolonama same matrice A ima i jednakih.

Dokaz: Neka je prvo � = (�1; :::; �n) bilo koja n-torka elemenata skupa N i �e = [e�1; :::; e�n] : Kako jeLinearna algebra

Determinante 11

forma F i alternirajuca, ako medju tim �r�ovima ima jednakih, mora biti F (�e) = 0. U suprotnom je �i jedna permutacija skupa N , pa iz (2) sledi da je tada

F (�e) = sgn� � F (e):

Sada relacija (4) sledi direktno iz teoreme 1 (za m = n), jer je jasno da odgovarajuca formula (1.5)va�i i za bilo koji sistem vektora [e1; :::; en] :

Doka�imo jo� da je tu i4(A) = 0 kad god medju kolonama matrice A ima jednakih. Neka je, na primer,A#i = A#j; a samim tim i �ri = �rj za svako r. Kako je transpozicija � = [i; j] neparna, kada � opi�eskup An svih parnih permutacija iz Sn, tada �� opi�e upravo skup Sn=An, pa se A� = ��1;1 � � � ��1;1;sama relacija (5) svodi na

(6) 4 (A) =X�2An

(A� � A�� ):

Uz to, kako je �k = k za svako k 6= i; j; permutacije � i �� se razlikuju jedino na dvo�clanom skupufi; jg. Samim tim je i razlika A� � A�� oblika �(��i;i��j;j � ���i;i���j;j): Zbog �i = j i �j = i, to takodjezna�ci da je tada A� �A�� = �(��i;i��j;j � ��j;i��i;j); to jest A� �A�� = (�pi�q;j � �qi�pj); gde je p = �ii q = �j: Pri tom je �ri = �rj za svako r, pa se to dalje svodi na A� � A�� = 0: Najzad, kako to va�i zasvako �; iz (6) sledi da tada mora biti i 4(A) = 0:�Linearna algebra

Determinante 12

Takodje, ako je tu sistem e = [e1; :::; en] i baza prostora V , za svaku n-torku X = [u1; :::; un] vektora izV postoji ta�cno jedna matrica A izMn(K) za koju je X = eA, pa tako va�i i:

Teorema 2: Ako je e = [e1; :::; en] bilo koja baza vektorskog prostora V nad poljem K i dimenzije n, zasvaki od skalara � 2 K postoji ta�cno jedna alternirajuca n-linearna forma F : V n ! K; takva da jeF (e) = �:

Dokaz: Pre svega, ako za vi�elinearnu i alternirajucu formu F : V n ! K va�i F (e) = �; prema lemi 2,tada mora biti i

(7) F (eA) = �4 (A); A 2Mn(K);

pri �cemu je A = [�rs] ; bilo koja matrica iz Mn(K) i 4(A) skalar odredjen sa (5). I obratno, za svako� 2 K; sa (7) je de�nisana jedna n-linearna forma F : V n ! K za koju je F (e) = �: Naime, samavi�elinearnost od F sledi direktno iz teoreme 1, za m = n.

S druge strane, ako je X = [u1; :::; un] bilo koja n-torka vektora iz V medju kojima ima jednakih i Amatrica za koju je je X = eA, tada i medju kolonama te matrice ima jednakih, pa prema lemi 2 morabiti4(A) = 0; a time i F (X) = F (eA) = 0. Otuda i samo tvrdjenje, jer to upravo zna�ci da je ta forma Fi alternirajuca.

Ako je simbolika iz teoreme 2, odmah sledi da je sa F 7! F (e) de�nisan i jedan izomor�zam vektorskogprostora An(V;K) na K-vektorski prostor K, pa je tada i sam prostor An(V;K) dimenzije 1. To takodjeLinearna algebra

Determinante 13

zna�ci da za proizvoljne alternirajuce n-linearne forme F;H : V n ! K i svako � 2 K va�i: F = �H ,F (e) = �H(e):

4. Vi�elinearne forme modulaSve �to je u prethodnim ta�ckama 2 i 3 re�ceno o vi�elinearnim formama vektorskih prostora nad bilokojim poljem K, uklju�cujuci tu i dokaze odgovarajucih tvrdjenja, mo�e se od re�ci do re�ci ponoviti i zamodule nad bilo kojim komutativnim prstenom K .

To se posebno odnosi na teoremu 2, uz napomenu da je tada n broj elemenata uo�cene baze e odgo-varajuceg modula V . �tavi�e, na osnovu toga sledi da i u slu�caju modula va�i:

Teorema 3. Ako modul V nad komutativnim prstenom K ima i bar jednu kona�cnu bazu e = [e1; :::; en] ;tada svaka od njegovih baza f ima ta�cno n = jej komponenata.

Dokaz: Pre svega, tada i baza f mora biti kona�cna. Naime, kako je svaki od elemenata er baze elinearna kombinacija kona�cno mnogo elemenata iz f , postoji i neki kona�can deo h baze f za koji jee � (h), a time i V = (h). Otuda su i svi elementi te baze f linearne kombinacije njenog dela h, patu mora biti f = h.

Neka je, na primer, f = [f1; :::; fm] : Prema teoremi 2, tada postoji i alternirajuca m-linearna forma Fmodula V za koju je F (f ) = 1. Zbog F 6= 0; iz tvrdjenja 2 sledi da tu nije m > n. Zamenjujuci ulogebaze e i f , na isti na�cin sledi da nije ni n > m, pa mora biti m = n. �Linearna algebra

Determinante 14

Uz simboliku iz teoreme 3, sam ceo broj n zovemo i dimenzijom ili rangom uo�cenihK-modula V . Tako,na primer, za svaki komutativan prsten K, kanonska baza e modula Kn ima upravo n elemenata, paje i dimKn = m. Na osnovu toga, sada odmah sledi da i za svaki prirodan broj m va�i: Kn �= Km ,m = n:

Linearna algebra

Determinante 15

0.2 Determinanta nad poljem

1. Determinanta kvadratne matrice.

Neka jeM skup svih kvadratnih matrica nad datim poljem K. Prethodna teorema 2 ukazuje na pose-ban zna�caj preslikavanja

det :M ! K

kojim se proizvoljnoj kvadratnoj matrici A = [�rs] reda n nad tim poljem K, gde je n bilo koji prirodanbroj, pridru�uje skalar

(1) detA =X�2Sn

sgn� � (��1;1��2;2 � � � ��n;n):

Kao i obi�cno, tu Sn ozna�cava skup svih permutacija � = (�1; �2; :::; �n) skupa f1; 2; :::; ng ; dok jesgn� = 1 ili sgn� = �1 znak permutacije �:

Tako odredjeno preslikavanje A 7! detA zovemo i determinantom nad poljem K, njegovu restrikcijuna skupu Mn(K) determinantom reda n, a odgovarajuci skalar detA, determinantom date matriceA = [�rs] : Uz to je uobi�cajeno da se taj skalar ozna�cava i saLinearna algebra

Determinante 16

det

24 �11 ::: �1n... ...�n1 ::: �nn

35 =�������11 ::: �1n... ...�n1 ::: �nn

������ :Sam naziv za to preslikavanje dolazi otuda �to je pomocu njega moguce odrediti, tj. determinisatimnoge va�new pojmove vezane za matrice nad poljem, a time i za vektorske prostore uop�te. Posebnoje det [�] = �, kao i

���� �11 �12�21 �22

���� = �11�22 � �21�12:U op�tem slu�caju, sumars na desnoj strani u relaciji (1) ima n! sabiraka sgn� � A�, pri �cemu je A�proizvod onih n komponenata ��1;1; :::; ��n;n matrica A za koje je � = (�1; :::; �n):

To je i razlog �to se u praksi, pri odredjivanju determinante zadate matrice A = [�rs] izMn(K), formula(1) koristi samo za matrice reda n � 3 i , eventualno, izvesne speci��cne matrice reda veceg od tri.Tako je, na primer, determinanta gornje-trougaone matrice jednaka proizvodu komponenata njenedijagonale, to jest va�iLinearna algebra

Determinante 17

����������11 �12 ::: �1n0 �22 ::: �2n... . . . ...0 0 ::: �nn

��������� = �11�22 � � � �nn:

Naime, u tom slu�caju je �rs = 0 za svako r > s, pa se tada desna strana u (1) svodi na sumiranje samopo onim permutacijama � 2 Sn za koje je �1 � 1; :::; �n � n: Otuda i samo tvrdjenje, jer je jasno dato svojstvo ima jedino identi�cna permutacija � = " iz Sn. I sli�cno, ako je tu matrica A donje-trougaona.Uostalom:

Teorema 1: Determinanta bilo koje kvadratne matrice A reda n nad poljem K jednaka je determinantinjenog transponata AT , to jest va�i

(2) detA = detAT :

Dokaz: Neka je A = [�rs] ; a time i AT = [�rs], sa �rs = �sr: Prema (1), u tom slu�caju je detA upravosuma svih skalara sgn�A(�); � 2 Sn; pri �cemu je A(�) proizvod onih (r; k)-komponenata �r;k matriceA za koje je r = �k, to jest k = ��1r: Zbog �r;k = �k;r = ���1r;r to dalje zna�ci da za svaku permutaciju �i njen inverz ��1 = _

� va�iLinearna algebra

Determinante 18

A(�) = �_�1;1 � � � �_�n;n = AT (_�);

kao i sgn� = sgn_�: Uz to je sa � 7! _

� de�nisana jedna bijekcija skupa Sn na njega sama, pa je iodgovarajuca suma

Psgn�A(�) jednaka sumi

Psgn�A(�) =

Psgn

_�AT (

_�): Otuda i samo tvrdjenje,

jer je prva od tih suma upravo detA, a poslednja detAT . �

Teorema 1 takodje zna�ci da svakom svojstvu determinanta vezanom za kolone matrica odgovaraanalogno svojstvo vezano za njihove vrste, kao i obratno. Pri tom se govori i o komponentama,kolonama i vrstama determinanata datih matrica, misleci pri tom na odgovarajuce pojmove samihtih matrica.

Primer: na tabli

2. Osnovna svojstva determinante

Shvatajuci kolone matrica iz Mn(K) kao vektore iz vektorskog prostora V = Kn, jasno je da za svakood preslikavanja � :Mn(K)! K postoji i ta�cno jedno preslikavanje F : V n ! K, takvo da je

(1) �(A) = F (A#1; :::; A#n)

za svaku matricu A = [A#1; :::; A#n] iz Mn(K). Posebno, ako je tu F i jedna alternirajuca n-linearnaLinearna algebra

Determinante 19

forma prostora V = Kn, tada i za samo to preslikavanje � : Mn(K) ! K ka�emo da je n-linearno ialternirajuce u odnosu na kolone. I analogno za vrste, shvatajuci matrice kao sisteme njihovih vrsta.Pri tom:

Teorema 2: Ako je A 7! detA determinanta i E jedini�cna matrica reda n nad poljem K, preslikavanje� :Mn(K)! K je alternirajuce i vi�elinearno u odnosu na kolone ili vrste i �(E) = 1:

Dokaz: Neka je e = [e1; :::; en] kanonska baza prostora V = Kn, a time i sistem kolona jedini�cnematrice E. Tada je i eA sistem kolona matrice A, pa ako je F : V n ! K preslikavanje odredjeno sa(1), bice �(A) = F (eA); kao i �(E) = F (e):

Otuda i samo tvrdjenje, jer je, prema Teoremi 2 iz 4.1, to preslikavanje F alternirajuce i vi�elinearno,ako i samo ako je F (eA) = F (e)det(A) za svaku od matrica A 2Mn(K):�

Jasno je da za n � 2 ne mora biti i det(A + B) = detA + detB, pa tada determinanta A 7! detA nije ilinearna forma samog vektorskog prostora Mn(K). Medjutim, iz prethodne teoreme, kao i tvrdjenja 1iz 4.1, odmah sledi da za svaku matricu A izMn(K) va�i:

41:Ako medju kolonama matrice A ima jednakih tada je detA = 0. Isto va�i i ako je neka od tih kolonajednaka nuli. I sli�cno za njene vrste.42: Zamenom mesta jednom paru kolona, odnosno vrsta matrice A, njena determinanta menja znak.43: Mno�enjem jedne od kolona, odnosno vrsta matrice A skalarom � determinanta tako dobijenematrice B je detB = � detA: Posebno je det(�A) = �n detA:Linearna algebra

Determinante 20

44: Determinanta matrice A se ne menja, ako se jednoj njenoj koloni doda bilo koja od njenih pre-ostalih kolona pomno�ena proizvoljnim skalarom �. I sli�cno za vrste.

Prethodnim svojstvima je data i zavisnost determinanata proizvoljnih matrica iz Mn(K) od elemen-tarnih operacija na njihovom kolonama ili vrstama. Na njima se zasniva i jedan postupak, kojim seodredjivanje determinante date matrice A reda n svodi na odredjivanje determinante neke matrice Breda manjeg od n. U vezi sa tim, doka�imo prvo da va�i:

Lema 1: Determinanta bilo koje kvazi-trougaone matrice iz Mn(K) je upravo proizvod determinanatanjenih dijagonalnih blokova. Posebno je

(3) det

�P S

0 Q

�= detP � detQ:

Dokaz: Dovoljno je dokazati da va�i (3). Pre svega, ako je blok P reda p, blok Q je reda q = n � p.Dalje, neka su Ep i Eq odgovarajuce jedini�cne matrice, kao i � : Mp(K) ! K; : Mq(K) ! K

preslikavanja odredjena sa

(4) �(X) = det

�X S

0 Q

�; (Y ) = det

�Ep S

0 Y

�:

Kako je sama determinanta alternirajuca i vi�elinerana u odnosi i na kolone i na vrste, jasno je da jeLinearna algebra

Determinante 21

prvo od tih preslikavanja alternirajuce i vi�elinearno u odnosu na kolone, a drugo, u odnosu na vrste.Prema teoremi 2, tada mora biti i

(5) �(X) = �(Ep) detX; (Y ) = (Eq) detY:

S druge strane, prema (4) je (Eq) = 1; kao i �(Ep)(Q): Sada iz (5) sledi da je (Q) = detQ; pa jetako i �(P ) = detQ detP: Otuda i samo tvrdjenje, jer je leva strana u (3) upravo �(P ):�

Naravno, sada indukcijom neposredno sledi i da je determinanta bilo koje kvazi-trougaone matricejednaka proizvodu determinanata njenih dijagonalnih blokova. Takodje:

Teorema 3: Determinanta proizvoda dve kvadtratne matrice istog reda nad poljem K je jednakaproizvodu determinanata samih tih matrica:

(6) detAB = detA � detB:

Posebno, sli�cne matrice, na primerA iB, imaju jednake deteminante, i sve matrice linearnog operatoraL : V ! V imaju istu determinantu �L:

Dokaz: Neka je matrica A reda n i V = Kn. Prema lemi 2 iz 4.1, za svaku alternirajucu n-linearnuformu F : V n ! K; svaki sistem e = [e1; :::; en] od n vektora iz V i svaku matricu B reda n va�i F (eB) =F (e) � detB: Zamenjujuci tu prvo B sa Ab, a zatim i sistem e sistemom eA, bi�e F (eAB) = F (e)detAB,Linearna algebra

Determinante 22

kao i F (eAB) = F (eA)detB. Sada (6) sledi iz

F (e)detAB = F (e)detAdetB;

jer tu e mo�e biti i bilo koja baza prostora V , pa prema teoremi 2 iz 4.1 postoji i n-linearna alternirajucaforma F : V n ! K za koju je F (e) = 1.

Dalje, ako matrica P ima inverz u prstenu Mn(K), bice PP�1 = E, pa na osnovu (2) sledi da tada injena determinanta detP ima inverz u polju K, kao i da je tada

detP�1 =1

detP= (detP )�1:

Sada je jasno da za B = P�1AP mora biti i detB = detA. Samim tim, kako su sve matrice linearnogoperatora L uzajamno sli�cne, one imaju istu determinantu. �

Prema tome, ako je A = [L]e bilo koja matrica linearnog operatora L : V ! V , njena determinanta� ne zavisi i od uo�cene baze e. Zovemo je i determinantom samog tog operatora L i ozna�cavam sadetL = detA.

Primer. Vandermondova determinanta.Neka je a = (�1; �2; :::; �n) bilo koja n-torka elemenata datog polja K i 4a = 4(�1; �2; :::; �n) determi-nanta matriceLinearna algebra

Determinante 23

Wa =

266641 �1 �12 ::: �

n�11

1 �2 �22 ::: �n�12... ... ... ...

1 �n �n2 ::: �n�1n

37775:

Jasno je da n�1 elementarnih operacija na kolonamaKs��Ks�1, i to prvo za s = n, zatim za s = n�1,itd., samu tu matricuWa transformi�u u matricu

A =

26666641 0 0 ::: 0

1 �2 � �1 (�2 � �1)�2 ::: (�2 � �1)�n�22

1 �3 � �1 (�3 � �1)�3 ::: (�3 � �1)�n�23... ... ... ...1 �n � �1 (�n � �1)�n ::: (�n � �1)�n�2n

3777775:

Uz to, prema 44 i lemi 1 va�i detWa = detA = detQ, gde je Q nazna�cena podmatrica te matrice A.Dalje, kako se ta podmatrica mo�e dobiti i iz matrice W (�2; :::; �n), mno�eci njene vrste redom sa�2 � �1; :::; �n � �1; na osnovu prethodne relacije i 43 sledi da je tada i

Linearna algebra

Determinante 24

4(�1; �2; :::; �n) = (�2 � �1) � � � (�n � �1)4 (�2; :::; �n):

Naravno, sada se isti postupak mo�e primeniti i na matricu We, odnosno njenu determinantu 4c =

4(�2; :::; �n), sa c = (�2; :::; �n); i tako dalje. Pri tom je

4(�2; :::; �n) =Y

1�s<r�n(�r � �s):

Samu tu determinantu matriceWa zovemo i Vandermondovom determinantom koja odgovara uo�cenomsisitemu a = (�2; :::; �n) od n elemenata polja K.

3. Razvoji determinante

Neka je A = [�ij] bilo koja od matrica reda n nad poljem K i s �ksiran element skupa f1; :::; ng ;sa n > 1. Ako je S, odnosno T , sistem prvih s � 1, odnosno poslednjih n � s kolona te matrice, iE = [e1; :::; en] sisitem kolona jedini�cne matrice, bice

24 �1s...�ns

35 = �1s24 1...0

35 + ::: + �ns24 0...1

35 ;Linearna algebra

Determinante 25

to jest A#s =P�rser: Kako je odgovarajuca determinata vi�elinearna u odnosu na kolone, odmah

sledi da je tada i

(1) detA = det [S;A#s; T ] =

nXr=1

�rs det [S; er; T ]

Dalje, neka je^

Ars = det [S; er; T ] : Naravno, tu je [S; er; T ] matrica koja nastaje iz matrice A tako �to sejena s-ta kolona zameni r-tom kolonom er jedini�cne matrice E, pa je tako i

(2)^

Ars = det

2666664�11 ::: 0 ::: �1n... ... ...�r1 ::: 1 ::: �rn... ... ...�n1 ::: 0 ::: �nn

3777775 :

Uz to, ako prvo njenu r-tu vrstu prebacimo na prvu poziciju, na primer elementarnim operacijamaVr $ Vr�1; :::; V2 $ V1; tada i elementarne operacije Ks $ Ks�1; :::; K2 $ K1 tako dobijenu matricutransformi�u u jednu kvazi-trougaonu matricu oblikaLinearna algebra

Determinante 26

B =

�1 F

0 Ars

�:

Kako svaka od tih r + s � 2 operacija na nekoj matrici menja znak njene determinante, bice^

Ars =

(�1)r+s�2 detB, a time i

(3)^

Ars = (�1)r + s detArs:

Pri tom je jasno da je tu Ars matrica koja nastaje iz matrice [S; er; T ] ; a time i same matrice A =

[S;A#s; T ] ; uklanjanjem njene r-te vrste i s-te kolone. Sada se i (1) svodi na

(4) detA = �1s^

A1s + �2s^

A2s + ::: + �ns^

Ans:

Tako, na primer, za svaku matricu A reda 3 i njenu prvu kolonu A#1 va�iLinearna algebra

Determinante 27

������a x u

b y v

c z w

������ = a���� y v

z !

����� b ���� x u

z !

���� + c ���� x u

y v

���� :Takodje, kako je detAT = detA, zamenjujuce matricu A, kao i njenu s-tu kolonu, tim redom, matricomAT i njenom r-tom kolonom, iz prethodne relacije (4) sledi da je i

(5) detA = �r1^

Ar1 + �r2^

Ar2 + ::: + �rn^

Arn:

Samu formulu (4), odnosno (5), zovemo i razvojem determinante matrice A = [�rs] po njenoj s-tojkoloni, odnosno r-toj vrsti.

Naravno, za �ksirano r i s, tu je^

Arsskalar odredjen sa (3). Zovemo ga (r,s)-tim kofaktorom samematrice A, kao i kofaktorom njene (r; s)-te komponente �rs: Pri tom je jasno da on ne zavisi od kom-ponenata r-te vrste i s-te kolone te matrice A, pa na osnovu (5) odmah sledi da va�i i

(6) �i1^

Ar1 + ::: + �in^

Arn =

�0; za i 6= r;

detA; za i = r.

�Naime, prema (5), leva strana u (6) je determinanta matrice B koja nastaje iz matrice A zamenom r-teLinearna algebra

Determinante 28

vrste njenom i-tom vstrom. Posebno, ako je i 6= r, ta matrica ima dve jednake vrste (Br! = Ai! =

Bi!), pa je tada njena determinanta 0.

I sli�cno za �1i^

A1s + ::: + �ni^

Ans = 0 (i 6= s): Sada iz (6) takodje sledi da svakoj matici A reda n nadpoljem K odgovara i jedna matrica

(7) adjA =

2664^

A11 :::^

An1... . . . ...^

A1n :::^

Ann

3775izMn(K), takva da je proizvod tih matrica upravo dijagonalna matrica

(8) A � adjA = �E; � = detA;

sa jedinom dijagonalnom komponentom detA. Zovemo je i adjunktom uo�cene matrice A. Komponentenjene r-te kolone su upravo kofaktori odgovarajucih komponenata r-te vrste (a ne kolone) same tematrice A.

Posebno, ako determinanta � = detA matrice A ima inverz u polju K, mno�enjem relacije (8) sa ��1,odmah sledi da je tada i sama matrica A inverzibilna u prstenuMn(K), kao i da u tom slu�caju va�iLinearna algebra

Determinante 29

(�) A�1 =1

detA� adjA:

I obratno, ako matrica A ima inverz u prstenuMn(K), prema dokazu teoreme 3, i njena determinantadetA ima inverz u polju K. Otuda i:

Teorema 4: Za svaku kvadratnu matricu A = [�rs] reda n nad poljemK i njene kofaktore^

Arsva�i (4-8).Takodje, matrica A ima inverz u prstenu Mn(K), ako i samo ako i njena determinanta ima inverz upolju K i tada va�i (�).

Drugi deo prethodne teoreme posebno zna�ci da su kolone kvadratne matrice A nad bilo kojim poljemK linearno nezavisne, ako i samo ako je detA 6= 0: I sli�cno za njene vrste.

Primedba:1 - Determinanta nad komutativnim prstenom. Ako se izuzme poslednji komentar, sve �to je u prethod-nim ta�ckama re�ceno o determintama matrica nad poljem, uklju�cujuci tu, kako same de�nicije odgo-varajucih pojmova, tako i dokaze nazna�cenih tvrdjenja, mo�e se od re�ci do re�ci, ponoviti i za determi-nante kvadratnih matrica nad bilo kojim komutativnim orstenom K.

Posebno, prema teoremi 4, matrica A ima inverz u odgovarajucem prstenu Mn(K), ako i samo akonjena determinanta detA ima inverz u samom tom prstenu K.

2 - Diferenciranje determinante. Ako je A = [Prs(X)] kvadratna matrica reda n nad prstenom polinomaLinearna algebra

Determinante 30

A = K [X ] sa neodredjenom X i koe�cijentima iz komutativnog prstena K, njena determinanta jepolinom P (X) detA(X) odredjen sa

P =X�2Sn

sgn� � (P�1;1 � � � P�r;r � � � P�n;n):

Jasno je da je tada i P (�) = detA(�) za svako � izK. S druge strane, diferenciranjem same prethodnerelacije, i koristeci uobi�cajena svojstva operatora diferenciranja u tom prstenu K [X ] ; odmah sledi daje tada i

P 0 =X�2Sn

sgn� � (P�1;1 � � � P 0�r;r � � � P�n;n)

(posebno razmotriti slu�caj kada je tu, na primer, n = 2). Za �ksirano r, druga od tih suma je upravodeterminanta matrice Ar, koja nastaje iz date matrice A diferenciranjem svih komponentama njener-te kolone, pa se i sama prethodna relacija svodi na

(detA)0 = detA1 + ::: + An:

Tako je, na primer, za n = 2 va�iLinearna algebra

Determinante 31

���� u p

v q

����0 = ���� u0 pv0 q

���� + ���� u p0

v q0

���� :Naravno, tu se kolone mogu zameniti i vrstama, jer nazna�cene matrice i njihovi transponati imaju istedeterminante. To takodje va�i i ako je tu A prsten svih realnih funkcija koje su de�nisane i diferencija-bilne na datom intervalu (�; �) � R:

3 - Uop�teni razvoji determinate. Neka je A matrica reda n nad poljem K i � skup svih podsistema Qsisitema N = [1; 2; :::; n] �ksirane du�ine k < n. Ako P c = N=P i APQ podmatrica od A domena P �Qtada za svako P iz � va�i

detA =XQ2�

(�1)�PQ � detApQ detAP cQc

gde �PQozna�cava sumu svih komponenata sistema P i Q. Naravno, za k = 1 i P = [r], to je upravo

razvoj determinnate uo�cene matrice A po njenoj r-toj vrsti.

I uop�te, za dati podsistem P � N; desnu stranu prethodne relacije zovemo razvojem determinantedetA po njenim P -vrstama, to jest po onim r-vrstama matrice A za koje je r 2 P:

Za sam dokaz te relacije, u slu�caju kada je, na primer, P = [1; 2] ; poci od razvoja determinante detA poLinearna algebra

Determinante 32

njenoj prvoj vrsti, a zatim i svaku od detrminanata detA1s razviti po njihovim prvim vrstama. Posebnorazmotriti slu�caj kada je tu i n = 4.

Primer: Ako su �; � i �1; :::; �n �ksirani elementi nekog polja ili komutativnog prstena K, odredimodeterminantu

4 =

����������1 � ::: �

� �2 ::: �... ... . . . ...� � ::: �n

��������� :Prvo, ako je K [X; Y ] prsten polinoma sa dve neodredjene nad K, zamenjujuci tu � sa X i dodajucisvim njenim komponentama Y , tako dobijena determinanta

4(X; Y ) =

����������1 + Y � + Y ::: � + Y

X + Y �2 + Y � + Y... ... ...

X + Y X + Y ::: �n + Y

���������je jedan polinom po X i Y za koji je 4(�; 0) = 4: Takodje, kako su determinnate 4(X;�X) = P i4(X;��) trougaone, biceLinearna algebra

Determinante 33

(1) P = (�1 �X)(�2 �X) � � � (�n �X);

kao i 4(X;��) = P (�): S druge strane, ako u determinanti 4(X; Y ) prvu kolonu oduzmemo od pre-ostalih, dobijamo determinantu u kojoj jedino prva kolona zavisi od Y (ispitati je!). Njenim razvijanjempo toj koloni sledi da je i

(2) 4 (X; Y ) = u + vY

gde su u i v izvesni polinomi samo po X. Posebno je 4(X;�X) = u � vX; to jest P (X) = u � Xv,P (�) = u� v�, a time i

(3) (X � �)u = P (�)X � �P (X):

Pri tom je 4(X; 0) = u = u(X); pa je tako i polinom

(4) 4 (X; 0) = P (�)X � �P (X)X � � ;

koli�cnik polinoma P (�)X � �P (X) i X � � u pstenu K [X ] : Time je odredjeni i sama determinnateLinearna algebra

Determinante 34

4 = 4(�; 0): Narvano, ako je tu � = �; tada treba prvo odrediti polinom 4(X; 0); kao nazna�cenikoli�cnik. Uostalom, diferenciranjem relacije (3) po X, odmah sledi da je

u = P (�)� �P 0(X)� (X � �)u0;

pa se tada i 4(�; 0) = u(�) svodi na 4 = P (�) � �P 0(�): Pri tom je P polinom odredjen sa (1).Razmotriti i neki slu�caj kada prsten K ima i pravih delitelja nule, na primer: K = Z6, � = 2; � = 5 i�r = 4 za svako r.

Linearna algebra

Determinante 35

0.3 Primene determinante

1. Determinantni rangTeorema 4 iz 4.2 ukazuje i na mogucnost da se linearna zavisnost, odnosno nezavisnost kolona ilivrsta date matrice izMmn(K) okarakteri�e i pojma determinnate nad samim poljem ili prstenom K.

U vezi sa tim, za datu matricu m � n matricu A, va�nu ulogu imaju njeni minori, to jest determinnatenjenih kvadratnih podmatrica M . Uz to, red jedne od tih podmatrica zovemo i redom samog minoradetM . Takodje, pod njenim minorom reda nula podrazumevamo samu jedinicu 1 polja K.

Dalje, prema istoj teoremi, svaki (p+ 1)-minor uo�cene matrice A je linearna kombinacija i nekih njenihp-minora. Posebno, ako su svi njeni reda p jednaki nuli, onda su to i svi njeni minori reda veceg od p.

U slu�caju kada je tu prsten K i polje, najveci ceo broj p � 0 za koji matrica A nad tim poljem ima barjedan ne-nula minor reda p zovemo njenim determinantnim rangom i ozna�cavamo sa �4(A): Pri tomva�i:

Teorema 1. Rang bilo koje matrice A nad poljem K jednak je njenom determinantnom rangu: �(A) =�4(A):

Takodje, ako jeM podmatrica od A reda p za koju je detM 6= 0; sistem kolona [a1; :::; ap] od A u kojimase nalazi ta podmatrica je i jedna baza linearnog omota�ca svih kolona matrice A, ako i samo ako jep = �(A): I sli�cno za vrste.Linearna algebra

Determinante 36

Dokaz: Prvo, iz detM 6= 0 sledi da su kolone podmatrice M linearno nezavisne, pa su to i uo�cenekolone a1; :::; ap matrice A. Samim tim je i p � �(A): To posebno va�i i za p = �4(A).

S druge strane, matrica A ima i bar jednu podmatricu B sa k = �(A) linearno nezavisnih kolona. TimeB ima i k linearno nezavisnih vrsta. Naravno, one formiraju jednu podmatricu N od B, a time i od A,za koju je detN 6= 0: Otuda je k � p; pa je tako i �(A) = �4(A):�

Kvadratne podmatrice M o kojima je re�c u prethodnoj teoremi 1 zovemo i baznim podmatricamauo�cene matrice A, a samu tu teoremu, teoremom o baznom minoru.

2. Kramerovo pravilo

Iskoristimo, sada, prethodne rezultate za odredjivanje re�enja nekih od matri�cnih jedna�cina AX = B

nad poljem K, sa kvadratnom matricom A, to jest nekih kvadratnih sistema linearnih jedna�cina

� =:

8>>><>>>:�11x1 + �12x2 + ::: + �1nxn = �1�21x1 + �22x2 + ::: + �2nxn = �2...�n1x1 + �n2x2 + ::: + �nnxn = �n

9>>>=>>>;sa kolonom nepoznatih X = (x1; :::; xn) i datom matricom koe�cijenata A = [�rs] i kolonom slobodnih�clanova B = (�1; :::; �n). Pre svega, va�i:Linearna algebra

Determinante 37

Teorema 2: Ako je A matrica reda n nad poljem K, homogeni sisitem jedna�cina AX = 0 ima i nekonetrivijalno re�enje X 6= 0; ako i samo ako je detA = 0.

Dokaz: Prema teoremi 2 iz 3.3, sistem AX = 0 ima netrivijalno re�enje, ako i samo ako je �(A) < n:Pri tom je �(A) = �4(A); pa je ovo poslednje moguce jedino ako je i detA = 0.

I uop�te, prema teoremi 4 iz 4.2, za 4 = detA va�i (adjA)A = 4E; pa mno�eci jedna�cinu AX = B

sleva adjunktom od A sledi da je tada i

(1) 4X = (adjA)B:

Naravno, komponente s-te vrste matrice adjA su upravo kofaktori^

Arsodgovarajucih komponenata s-te

kolone same matrice A. Samim tim je i s-ta komponenta 4s = �1^

A1s + ::: + �n^

Anskolone (adjA)Bupravo determinanta matrice

(2) A(s; B) = [A1; :::; As�1; B;As+1; :::; An] ;

koja nastaje iz te matrice A tako �to se njena s-ta kolona As zameni kolonom slobodnih �clanova B. Uztu simboliku se i relacija (1) svodi naLinearna algebra

Determinante 38

�4 =: 4x1 = 41;4x2 = 42; :::;4xn = 4n:

Na taj na�cin i svako re�enje polaznog sistema � mora biti re�enje i tako odredjenog sistema �4:

Posebno, ako je tu 4 = 0 i 4s 6= 0 za bar jedno s, sistem �4 nema re�enja, pa ih nema ni sam sistem�: Takodje, ako je tu 4 6= 0; tada je sa

(3) x1 =41

4 ; x2 =42

4 ; :::; xn =4n

4odredjeno jedino re�enje i sistema �: Naime, zbog detA 6= 0 postoji i matrica A�1, pa re�enje X =

A�1B jedna�cine AX = B, to jest sistema � mora biti i jedino re�enje sistema �4:

Najzad, ako je tu i 4 = 0 i 4s = 0 za svako s, re�enja sistema �4 su sve n-torke iz Kn, ali to ne morada va�i i za sistem �: Preciznije, tada sam sistem �, ili nema re�enja, ili ih ima vi�e od jednog, �totreba posebno ispitati.

Uz prethodnu simboliku, za detA 6= 0, sistem �4 takodje zovemo i determinantnom formom, a sameformule (2), Kramerovim pravilom za odredjivanje jedinog re�enja (x1; x2; :::; xn) uo�cenog sistema lin-earnih jedna�cina �:

Primedba.Linearna algebra

Determinante 39

1 - U prethodnom se polje K mo�e zameniti i bilo kojim komutativnim prstenom K koji nema pravihdelitelja nule, samo �to je tada za egzistenciju bar jednog re�enja sistema �4 potrebno da, u tomprstenu, 4 deli svaki od 4s-ova.

2 - Neka je AX = B matri�cni zapis sistema � odm linearnih jedna�cina sa n nepoznatih nad poljemK.Naravno, on ima bar jedno re�enje, ako i samo ako je rang k matrice A jednak rangu matrice [A;B] :

Prema teoremi 1, ovo poslednje zna�ci da svaka bazna podmatrica M matrice A mora biti baznapodmatrica i matrice [A;B] : Kako su tada sve vrste matrice [A;B] linearne kombinacije njenih k vrsta ukojima se nalazi ta podmatrica, jasno je da to onda va�i i za same jedna�cine sistema � koje odgovarajutim vrstama.

Na taj na�cin, ako se uo�cena bazna matricaM nalazi, na primer, u prvih k vrsta i prvih k kolona matriceA, bice i sam sistem jedna�cina � ekvivalentan kvadratnom sistema jedna�cina

�M =:

8<:�11x1 + ::: + �1kxk = b1

...�k1x1 + ::: + �kkxk = bk

9=;sa slobodnim �clanovima br = �r � (�r;k+1xk+1 + ::: + �rnxn) i matricom koe�cijenata M . Sada senepoznate xr koje odgovaraju podmatrici M mogu odrediti i primenom Kramerovog pravila na sistem�M ; dok one preostale mogu biti proizvoljni elementi polja K.Linearna algebra

Determinante 40

Primer.Neka je � �ksiran element polja K �cija karakteristika nije 3 i � sistem linearnih jedna�cina

8<:�x + y + z = 1

x + �y + z = 2

x + y + �z = �3

9=;sa tri nepoznate nad tim poljem.

Prema prethodnom, njegove determinante su

4 =

������� 1 1

1 � 1

1 1 �

������ ; 41 =

������1 1 1

2 � 1

�3 1 �

������ ; 42 =

������� 1 1

1 2 1

1 �3 �

������ ; 43 =

������� 1 1

1 � 2

1 1 �3

������to jest

4 = (�� 1)2(� + 2); 41 = (�� 1)(� + 2)

i 42 = 241; 43 = �341 : Na taj na�cin, ako tu 4 nije nula, to jest ako � nije 1 ili �2, uo�ceni sistemjedna�cina � ima ta�cno jedno re�enje i ono je odredjeno saLinearna algebra

Determinante 41

x =1

�� 1; y =2

�� 1; z =�3�� 1:

S druge strane, kako za � = 1; tako i za � = �2, svaka od tih determinanata 4 i 4s je nula. Zamenju-juci to u sam sistem �; odmah sledi da on za � = 1 nema re�enja, dok su, za � = �2; njegova re�enjasve trojke (�; �� 1

3; � +43).

3. Karakteristi �cni polinom

Neka je K [�] prsten polinoma po neodredjenoj � nad bilo kojim poljem ili komutativnim prstenom K.Prema ta�cki 5 iz 2.1, tada svaki polinom

P = A0 + A1� + ::: + Am�m

iz M [�], �ciji su koe�cijenti Ar matrice iz prstena M = Mn(K), mo�emo shvatiti i kao jednu �-matricuP = [ars(�)] nad prstenom K, to jest kao matricu �cije su komponente neki polinomi iz K [�] : U tomsmislu je, na primer, i polinom �E upravo �-matrica �cije su sve komponente 0 osim �to su one nadijagonali �: Pri tom:

Lema 1: Kvadratna matrica A reda n nad komutativnim prstenom K poni�tava polinom p =P�r�r iz

K [�] ; ako i samo ako postoji bar jedna � - matrica Q nad K za koju jeLinearna algebra

Determinante 42

(1) pE = (A� �E)Q:

Dokaz: Neka jeM = Mn(K). Kako matrice A i �E komutiraju, razlika njihovih r-tih stepena u prstenuM [�] je oblika Ar � (�E)r = (A � �E)Pr za neku �-matricu Pr. Uz to je i �rE = (�E)r, pa je tako isama razlika p(A)� pE =

P�r(Ar � �rE) oblika

(2) p(A)� pE = (A� �E)P

za neku �-matricu P . Posebno, ako je p(A) = 0, ta relacija se svodi na (1), sa Q = �P . I obratno, akoza neku �-matricu Q va�i (1), iz (2) sledi da tada u prstenuM [�] va�i

p(A) = (A� �E)(P +Q);

�to je moguce jedino ako je i p(A) = 0. Ovo poslednje zato �to bi, ta P + Q 6= 0; stepen polinom anadesnoj strani te relacije bio bar 1, dok njena leva strana i ne zavisi od �:�

Prema tome, matrica A = [�rs] reda n nad komutativnim prstenom K poni�tava neki polinom p nad K,jedino ako je �.matrica A� �E levi delitelj matrice pE. Samu tu matricuLinearna algebra

Determinante 43

(3) A� �E =

26664�11 � � �12 ::: �1n�21 �22 � � ::: �2n... ... ...�n1 �n2 ::: �nn � �

37775zovemo karakteristi�cnom matricom, a njenu determinantu

(4) 'A = det(A� �E);

kao jedan polinom iz K [�] ; karakteristi�cnim polinomom uo�cene matrice A iz Mn(K). Pri tom je jasnoda je proizvod (�11� �) � � � (�nn� �) i jedini medju proizvodima od po n komponenata matrice A� �E�ciji stepen nije manji od n, pa je tako polinom

'A = "0 + "1� + ::: + "n�n

stepena n i sa vodecim koe�cijentom "n = (�1)n: Njegov slobodni �clan je upravo "0 = 'A(0) = detA:Takodje va�i i sledeca Kejli-Hamiltonova:

Teorema: Svaka kvadratna matrica A nad komutativnim prstenom K poni�tava svoj karakteristi�cnipolinom ' = det(A� �E): Uz to va�i iLinearna algebra

Determinante 44

(5) d�� � n; � j '; ' j �n;

gde je � = �A minimalni polinom i n red te matrice A. Posebno, ako je tu prsten K i polje, polinomi � i' imaju iste atome.

Dokaz: Pre svega, ako je B adjunkta matrice A � �E, prema teoremi 4 iz 4.2 va�i 'E = (A � �E)B:Uporedjeno sa lemom 1, to zna�ci da je '(A) = 0: Samim tim i polinom � deli ': Dalje, zajedno sa (1)va�i i

pn = det(A� �E)detQ;

pa ' deli n-ti stepen pn svakog polinoma p = p(�) za koji je p(A) = 0. To posebno va�i za p = �. Otudai tvrdjenje u celini, jer ako je K polje, iz � j ' i ' j �n odmah sledi da polinomi � i ' imaju iste atome. �

S druge strane, sli�cne matrice imaju jednake determinante, pa ako je B = P�1AP , bice B � �E =

P�1(A� �E)P; a time i

det(A� �E) = det(B � �E);

to jest 'A = 'B: Otuda i sve matrice jednog linearnog operatora imaju isti karakteristi�cni polinom '.Linearna algebra

Determinante 45

Zovemo ga i karakteristim polinomom samog tog operatora L. Uz to, operator L i njegove matriceponi�tavaju iste polinome, pa je tako i '(L) = 0:Takodje:

Teorema 4. Sopstvene vrednosti kvadratne matrice A nad poljem K su upravo sve nule � njenogkarakteristi�cnog polinoma ' u tom polju.

Dokaz: Pre svega, sopstvena vrednost matrice A je svaki element � polja K za koji homogeni sisitemjedna�cina (A��E)X = 0 ima i bar jedno netrivijalno re�enjeX 6= 0: Prema teoremi 2, to je ekvivalentnoupravo sa det(A� �E) = 0, �to je samo drugi zapis '(�) = 0:� :

Iz teoreme 3 takodje sledi da, za datu matricu A nad poljem K, polinomi � i ' imaju i iste nule u tompolju. Uporedjeno sa teoremom 3 iz 3.2, to dalje zna�ci da va�i i:

Teorema 5: Kvadratna matrica A nad poljem K je sli�cna i bar jednoj trougaonoj matrici, ako i samoako njen karakteristi�cni polinom ' ima sve nule u tom polju.Posebno, svaka kvadratna matrica A nad poljem C je sli�cna i nekoj trougaonoj matrici nad tim poljem.

Primer. Prateca matrica polinoma.Ako su �0; �1; :::; �n�1 bilo koji elementi polja K, odredimo minimalni polinom �, kao i karakteristi�cnipolinom ' matriceLinearna algebra

Determinante 46

(1) A =

2666664��n�1 1 0 ::: 0��n�2 0 1 ::: 0... ... ... ...

��1 0 0 ::: 1

��0 0 0 ::: 0

3777775 :Pre svega, tu je A matrica linearnog linearnog operatora L : V ! V; koji je na �ksiranoj bazi e =[e1; e2; :::; en] nekog vektorskog prostora V nad poljem K odredjen sa

(2) L(e1) = �nPr=1�n�rer; L(er) = er�1 (r � 2);

Takodje, ako je en = a, bice en�1 = L(a), zatim en�2 = L(en�1) = L2(a), kao i er = Ln�r(a). Time se i

prva od tih relavija svodi na

Ln(a) + �n�1Ln�1(a) + ::: + �0I(a) = 0:

Drugim re�cima, ako je

Linearna algebra

Determinante 47

(3) � = �n + �n�1�n�1 + ::: + �1� + �0

i F = �(L), prethodna relacija zna�ci da je F (a) = 0. Dalje, kako operatori F i Lr komutiraju, odatlesledi da je

F (en�r) = FLr(a) = LrF (a) = Lr(0) = 0

i za svako r. Otuda se linearni operator F na celoj bazi e podudara sa nulom, pa je tako i F = 0, tojest �(L) = 0:

�tavi�e, tu je � i minimalni polinom operatora L. Naime, ako bi i za neki moni�can polinom � =P�r�

r

stepena m < n bilo �(L) = 0; izP�rL

r(a) = 0 bi sledilo da je iP�ren�r = 0, sa �m = 1, �to je

suprotno pretpostavci da su vektori er i linearno nezavisni.

Time je � minimalni polinom i uo�cene matrice A, kao jedne od matrica operatora L. Pri tom d�� = n =d�'; pa iz � j ' sledi da je tu i ' = (�1)n�; to jest ' = � ili ' = ��: Naravno, taj polinom ' mo�emoodrediti i direktno, kao determinantu matrice A � �E: Naime, mno�eci prvo sve njene kolone ili vrstesa �1, bice ' = (�1)n4, gde jeLinearna algebra

Determinante 48

4 = det

2666664�n�1 + � �1 0 ::: 0

�n�2 � �1 ::: 0... ... ... ...�1 0 0 ::: �1�0 0 0 ::: �

3777775 :Uklanjanjem prve kolone i r-te vrsate te determinante, dobijena determinanat je trougaona, na �cijoj sedijagonali �1, odnosno �, pojavljuje r� 1, odnosno n� r puta. Samim tim je i r-ti kofaktor prve kolonedeterminante 4 upravo

4r = (�1)r+1 � (�1)r�1�n�r = �n�r;

pa njenim razvojem po toj koloni odmah sledi da je tu 4 = �n +P�n�r�

n�r; to jest 4 = �, a time i' = (�1)n�:

Uz prethodnu simboliku, matricu A takodje zovemo i pratecom matricom moni�cnog polinoma � =�n +

P�n�r�

n�r stepena n. Njen minimalni polinom je upravo taj polinom �; a time i ' = � ili ' = ��.Posebno razmotriti slu�caj kada je tu � = �n:

Linearna algebra