Primera y segunda Prctica

CUARTA PRCTICA

Problema A.- Desarrollar y explicar 4 modelos de aplicacin de la Dinmica de Sistemas que aparecen en nuestro libro de texto: Business Dynamics, System Thinking and Modeling for a Complex World de John Sterman el cual se puede ver en la siguiente direccin:

http://www.mhhe.com/business/opsci/sterman/models.mhtml

Vensim Models (.mdl files) 178KB VENSIMMO.zip

1. SISTEMAS DE PRIMER ORDEN (FIRST-ORDER SYSTEMS)

En el captulo 4 del libro se discuten los modos bsicos de comportamiento que generan los sistemas complejos y las estructuras de retroalimentacin responsables de los mismos. Los modos ms fundamentales son el crecimiento exponencial y la bsqueda de objetivos. La retroalimentacin positiva provoca un crecimiento exponencial, y la retroalimentacin negativa genera un comportamiento de bsqueda de metas (Figura 1).

Figura 1

El sistema ms simple que puede generar estos comportamientos es el de primer orden, sistema de retroalimentacin lineal. El orden de un sistema dinmico o bucle es el nmero de variables de estado, o poblaciones, que contiene. Un sistema de primer orden contiene una sola accin. Los sistemas lineales son sistemas en los que las ecuaciones de velocidad son combinaciones lineales de las variables de estado y las entradas externas.El trmino "lineal" tiene un significado preciso en la dinmica: en un sistema lineal, las ecuaciones de velocidad (las entradas netas a los stocks) son siempre una suma ponderada de las variables de estado (Si) y las variables exgenas (Uj).

Donde los coeficientes ai y bj son constantes. Cualquier otra forma de las entradas netas es no lineal.

DIAGRAMA FORRESTER

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2. RETROALIMENTACIN POSITIVA Y CRECIMIENTO EXPONENCIAL (POSITIVE FEEDBACK AND EXPONENTIAL GROWTH)

El sistema de retroalimentacin simple es un bucle de retroalimentacin positiva de primer orden. En un sistema de primer orden, slo hay una variable de estado (de stock), denotado aqu por S. El estado del sistema acumula su tasa de entrada neta, a su vez, la entrada neta depende del estado del sistema (por ahora, asumir que no hay entradas exgenas). En general, el flujo neto es una funcin no lineal, posiblemente, del estado del sistema

Si el sistema es lineal, la entrada neta debe ser directamente proporcional al estado del sistema

Donde la constante g tiene unidades de (1/time) y representa la tasa fraccional de crecimiento de stock.

La figura 2 muestra la estructura de este sistema como un diagrama causal y tambin como un conjunto de ecuaciones. Como ejemplo, considere la posibilidad de la acumulacin de los ingresos por intereses en una cuenta bancaria o el crecimiento de una poblacin. El tipo de inters nominal y la imperante de determinar el pago de intereses, la poblacin y la tasa neta de natalidad fraccional determinar la tasa neta de natalidad.

Figura 2

Cmo ser el comportamiento de ser del sistema? Utilizando clculo bsico para resolver la ecuacin diferencial, la solucin es la funcin exponencial

Donde S(0) es el valor de S en el instante inicial t = 0. El estado del sistema creceexponencialmente desde su valor inicial a una velocidad constante de fraccional g por unidad de tiempo.

Solucin analtica para el sistema lineal de primer ordenPara resolver la ecuacin diferencial para el sistema lineal de primer orden dS/dt=gS, primero debemos separar las variables para obtener

Ahora integrar ambos lados

Para obtener

Donde c es una constante. Tomando exponenciales en ambos lados da

Donde c es exp(c). El valor de S en el tiempo inicial, cuando exp(gt) = 1, es por definicin S(0), as que c debe ser igual a S(0). Sustitucin de la ecuacin de rendimientos.

Solucin grafica del sistema lineal de primer orden de retroalimentacin positivaNo es necesario el clculo para resolver la ecuacin para el sistema lineal de primer orden. Tambin puede deducir su comportamiento grficamente. La figura 3 muestra una tercera representacin de la estructura del sistema: una fase de trama-un grfico que muestra la tasa neta como una funcin del estado del sistema. El grfico muestra que la tasa de entrada neta es una lnea recta a partir de la procedencia g con pendiente positiva.

Figura 3

Tenga en cuenta que si el estado del sistema es igual a cero, la entrada neta tambin es cero. Cero es un equilibrio del sistema: sin ahorros, sin los ingresos por intereses, ni gente, ni nacimientos. Sin embargo, el equilibrio es inestable: al aadir cualquier cantidad a la poblacin entonces habr una pequea entrada neta positiva, aumentando el estado del sistema un poco. El ahora mayor estado del sistema conduce ahora a una entrada neta ligeramente mayor y una adicin todava ms grande para la accin.

La salida ligera del equilibrio conduce a ms alejamiento del equilibrio, al igual que una bola en equilibrio exactamente en la cima de una colina, si se le molesta aunque sea ligeramente, rodar cada vez ms rpido de distancia del punto de equilibrio. Cuanto mayor sea el estado del sistema, mayor ser la entrada neta: este es precisamente el significado del bucle de retroalimentacin positiva de acoplamiento del stock y su entrada neta. En el caso general donde el diagrama de fase de una variable de estado puede ser no lineal, el estado del sistema crecer siempre que la tasa neta es una funcin creciente de la poblacin. Un equilibrio es inestable cuando la pendiente de la tasa neta en el punto de equilibrio es positiva.

Debido a que la ecuacin de velocidad en el ejemplo es lineal, la tasa de aumento neto crece exactamente en proporcin al estado del sistema. Cada vez que el estado del sistema sea doble, tambin lo har su tasa absoluta de crecimiento. Por lo tanto, la trayectoria del sistema en el tiempo muestra una aceleracin cada vez mayor. La figura 4 muestra la trayectoria del sistema de retroalimentacin positiva lineal de primer orden en el diagrama de fase y, como una serie de tiempo. En la figura, la tasa de crecimiento g es 0,7%/periodo de tiempo y el estado inicial del sistema es de 1 unidad. Las flechas a lo largo del diagrama de fase muestran que el flujo del sistema est lejos del punto de equilibrio inestable. Desde cualquier punto de partida no negativo, el estado del sistema crece a un ritmo cada vez ms rpido a medida que avanza a lo largo de la lnea de Net Inflow = gS.

Figura 4

La aceleracin del crecimiento se ve fcilmente en el dominio del tiempo. La pendiente de la variable de estado en cada punto es exactamente proporcional a la cantidad en la accin, y el estado del sistema se duplica cada 100 periodos de tiempo.

Tenga en cuenta que el cambio de la tasa fraccional de crecimiento cambia la pendiente de la lnea de Net Inflow = gS y por lo tanto la tasa de crecimiento, pero no la forma exponencial de la curva.

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3. SISTEMAS NO LINEALES DE PRIMER ORDEN (NONLINEAR FIRST-ORDER SYSTEMS)

Ninguna cantidad real puede crecer para siempre. Cada sistema presenta inicialmente un crecimiento exponencial que con el tiempo se acerca a la capacidad de carga de su entorno, que es el suministro de alimentos para una poblacin en alza, el nmero de personas susceptibles a la infeccin por un virus, o el mercado potencial de un producto nuevo. A medida que el sistema se aproxima a sus lmites del crecimiento, pasa a travs de una transicin no lineal a partir de un rgimen en el que domina retroalimentacin positiva a un rgimen en el que domina la regeneracin negativa. El resultado suele ser una transicin suave de un crecimiento exponencial de equilibrio, es decir, el crecimiento en forma de S (vase el captulo 4).

En los sistemas reales, las tasas fraccionadas de nacimientos y de mortalidad no pueden ser constantes, sino que deben cambiar a medida que la poblacin se acerca a su capacidad de carga. Por lo tanto la ecuacin de la tasa neta de natalidad es:

Donde las tasas fraccionadas de natalidad y de mortalidad b y d son ahora funciones de la relacin de la poblacin P a la capacidad de carga C. Por ahora, supongamos que la capacidad de carga, no se haya unido se consume ni aumentada por la actividad de la poblacin. La figura 5 muestra el diagrama causal para el sistema.

Figura 5

Cuando la densidad de poblacin (la relacin P/C) es pequea, tanto la tasa de natalidad fraccionada y la esperanza de vida debe estar en su mxima biolgica. Como la poblacin crece, los recursos per cpita disminuyen. Entonces la tasa de natalidad fraccional y la esperanza de vida deben caer. Se niegan de inmediato? En algunos casos, incluso pequeas reducciones en los recursos per cpita podra causar una disminucin de la fecundidad y esperanza de vida. Para otros recursos, como los alimentos, las personas no pueden consumir ms de una cierta cantidad, de modo fraccionario la natalidad y mortalidad deben permanecer constantes, siempre y cuando los recursos per cpita superen el mximo que cada persona puede consumir. La reduccin de los alimentos disponibles a partir de 10 veces ms de lo necesario a 5 veces ms de lo necesario no tiene impacto ya que cada individuo todava tiene todo lo que pueden consumir. En este caso, la luz fraccionada, y las tasas de mortalidad se mantienen constantes - hasta cierto punto - como el aumento de P/C. Una vez que los recursos per cpita caen por debajo de cierto nivel, la tasa de natalidad fraccionada cae y la tasa de mortalidad fraccionada aumenta.

Por definicin, la capacidad de carga es la poblacin que slo puede ser apoyado por los recursos disponibles, por lo que la tasa de natalidad fraccionada debe ser igual a la tasa de mortalidad fraccionada cuando P/C = 1. Si la poblacin se elevara por encima de la capacidad de carga, la fraccin de natalidad siguen cayendo y la fraccin de la muerte seguir aumentando. Como P/C contina aumentando, la fraccin de luz debe caer a cero, y la fraccin de la muerte debe hacer frente a un valor muy grande. Por lo tanto, como se muestra en la Figura 6, la tasa neta de natalidad fraccionaria ser positivo para P < C, igual a cero cuando P = C, y caen por debajo de cero a un ritmo creciente, cuando la poblacin supera la capacidad de carga del medio ambiente. Mientras que los valores numricos de estas relaciones seran diferentes para diferentes poblaciones, su forma cualitativa no est en duda.

Figura 6

La siguiente construccin es el diagrama de fase para el sistema de uso de esta fertilidad no lineal y las relaciones de esperanza de vida. Las tasas de natalidad y mortalidad son ahora curvas dadas por el producto de la poblacin y fraccionadas tasas de natalidad y de mortalidad (Figura 7). En primer lugar, tenga en cuenta que el punto P = 0 es un equilibrio, como en el sistema lineal. Dado que la tasa de natalidad fraccional permanece casi constante cuando la poblacin es pequea en relacin con la capacidad de carga, la tasa de natalidad (en el perodo individual/time) es casi lineal de P