www.mathjazz.com 

www.mathjazz.com   ­   Οριακή τιμή συνάρτησης  Σελίδα 1 

Τα όρια σε 7 Μαθήματα: Περιεχόμενα

1. Μάθημα 1ον

Ύπαρξη ορίου με εφαρμογή των ιδιοτήτων

Λυμένες

Άλυτες

2. Μάθημα 2ον

Αοριστίες 0/0 σε ρητές και άρρητες συναρτήσεις

Λυμένες

Άλυτες

3. Μάθημα 3ον

Πλευρικά όρια σε συναρτήσεις πολλαπλού τύπου

Λυμένες

Άλυτες

4. Μάθημα 4ον Αοριστίες 0/0 σε συναρτήσεις που ο τύπος τους περιέχει απόλυτες τιμές

Μέθοδος

Λυμένες

Άλυτες

5. Μάθημα 5ον

Κριτήριο παρεμβολής Λυμένες

Άλυτες

6. Μάθημα 6ον

Αοριστίες 0/0 σε συναρτήσεις που ο τύπος τους περιέχει τριγωνομετρικούς αριθμούς

Λυμένες

Άλυτες

7. Μάθημα 7ον

Μηδενική επί φραγμένη

Λυμένες

Άλυτες

8. Γενικές ασκήσεις στα όρια Α! Ομάδα με υποδείξεις

Β! Ομάδα

www.mathjazz.com 

www.mathjazz.com   ­   Οριακή τιμή συνάρτησης  Σελίδα 2 

Ύπαρξη ορίου με εφαρμογή των ιδιοτήτων

ΛΑ1 Nα βρεθεί το όριο, 2 9 3

x 0lim (x 1) |x 1|[ ]→

+ − .

ΛΥΣΗ

Έστω 1000ε 10−= και Δ ( ε, 0) (0, ε)= − ∪ .

Οι δυο επιμέρους συναρτήσεις για κάθε x Δ∈ έχουν όριο, γιατί 2 9 2 9

x 0lim(x 1) (0 1) 1→

+ = + = και 3 3

x 0lim x 1 0 1 1→

− = − = , οπότε εφαρμόζοντας τις

ιδιότητες των ορίων έχουμε: 2 9 3 2 9 3

x 0 x 0 x 0lim (x 1) |x 1| lim(x 1) lim|x 1|[ ]→ → →

+ − = + ⋅ − =

2 9 3

x 0 x 0lim(x 1) lim(x 1) 1 1 1[ ]→ →

+ ⋅ − = ⋅ = .

ΛΑ2 Αν οι συναρτήσεις f g+ και g έχουν όρια στο 0x και είναι πραγματικοί αριθμοί, να δειχθεί ότι το όριο της f υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός. ΛΥΣΗ

Έστω 1000ε 10−= και 0 0 0 0Δ (x ε, x ) (x , x ε)= − ∪ + . Θα μελετήσουμε τη συμπεριφορά των τιμών της συνάρτησης f για 0 0 0 0x (x ε, x ) (x , x ε)∈ − ∪ + . Για κάθε x Δ∈ , υπάρχουν τα

0x xlim(f g)(x)→

+ και 0x x

lim g(x)→

, άρα θα υπάρχει

και το όριο της διαφοράς τους, δηλαδή το 0 0x x x x

lim(f g g)(x) lim f(x)→ →

+ − = ∈— .

ΛΑ3 Αν στο 0x η συνάρτηση f έχει όριο που είναι πραγματικός αριθμός, ενώ δεν υπάρχει το όριο της f g+ στο 0x , να δειχθεί ότι δεν υπάρχει το όριο της g στο 0x . ΛΥΣΗ

Έστω 1000ε 10−= και 0 0 0 0Δ (x ε, x ) (x , x ε)= − ∪ + . Θα μελετήσουμε τη συμπεριφορά των τιμών της συνάρτησης g για 0 0 0 0x (x ε, x ) (x , x ε)∈ − ∪ + .

Έστω ότι η συνάρτηση g έχει όριο στο 0x , οπότε αφού οι συναρτήσεις f και g έχουν όριο στο 0x θα υπάρχει και το όριο του αθροίσματός τους f g+ , άτοπο. Άρα αποδείξαμε ότι δεν υπάρχει το όριο της g στο 0x .

ΛΑ4 Αν ισχύει 2

x 1lim f(x) x 3x 3 5→

⎡ ⎤− + + =⎣ ⎦ , να βρεθεί το x 1lim f(x)→

.

ΛΥΣΗ

Έστω 1000ε 10−= και 0 0 0 0Δ (x ε, x ) (x , x ε)= − ∪ + . Θα μελετήσουμε τη συμπεριφορά των τιμών της συνάρτησης f για 0 0 0 0x (x ε, x ) (x , x ε)∈ − ∪ + .

Μάθημα 1ον

Μελετάμε τη συμπεριφορά των τιμών της συνάρτησης για x που ανήκουν σε ένα σύνολο της μορφής − ∪0 0 0 0(x ε, x ) (x , x +ε) ,

όπου ε τυχαίος πολύ μικρός θετικός αριθμός.

Οι ιδιότητες των ορίων εφαρμόζονται όταν

γνωρίζουμε ότι υπάρχουν τα επιμέρους όρια των

περιεχομένων συναρτήσεων.

Όταν η συνάρτηση μας κρύβεται, εφαρμόζω την τεχνική του «Θέτω»

www.mathjazz.com 

www.mathjazz.com   ­   Οριακή τιμή συνάρτησης  Σελίδα 3 

Επειδή δεν γνωρίζουμε την ύπαρξη του x 1lim f(x)→

, δεν μπορούμε να

εφαρμόσουμε τον κανόνα του αθροίσματος. Για τον λόγο αυτό θέτουμε 2h(x) f(x) x 3x 3= − + + και λύνουμε ως προς f x( ) , οπότε έχουμε

2f x h x x 3x 3= + − −( ) ( ) ( ) . Από υπόθεση είναι

x 1lim h(x) 5→

= και επίσης 2 2

x 1lim x 3x 3 1 3 3 5→

⎡ ⎤− − = − − = −⎣ ⎦ , οπότε: 2 2

x 1 x 1 x 1lim h(x) (x 3x 3) lim h(x) lim x 3x 3 5 ( 5) 0→ → →

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − − = + − − = + − =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ . Άρα

τελικά έχουμε x 1lim f(x) 0→

= .

1. Nα βρείτε τα όρια: α. 7 3

x 0lim(x 5x 12x 5)→

− − + β. 12 5

x 1lim(2x 2x 3x 2)→

− + − .

γ. 18 7 20

x 1lim(x 3x 1)→−

+ + δ. 3 2

x 2lim (x 5) |x 3x 2|[ ]→

− − + .

ε. 14 4

x 1

x 2x 5limx 2→

+ −+

στ. 4

2x 0

|x 5x| |x 3|limx x 3→

− + ++ +

.

ζ. 24x 1lim (x 8)→

+ η. 3x4x

22xxlim 2

2

1x ++−++

→.

2. Αν οι συναρτήσεις f g+ και f g− έχουν όρια στο 0x που είναι πραγματικοί αριθμοί, να δειχθεί ότι και οι συναρτήσεις f και g έχουν όριο στο 0x που είναι επίσης πραγματικοί αριθμοί.

3. Αν ( )0x x

lim 3f(x) g(x) 3→

− = και ( )0x x

lim 2f(x) 5g(x) 19→

+ = , να βρεθούν:

α. Τα 0x x

lim f(x)→

και 0x x

lim g(x)→

, β. Το ( )0

2 2

x xlim f (x) g (x) f(x) g(x)→

+ − ⋅ .

4. Να βρείτε το x 1lim f(x)→

, αν:

α. x 1lim(4f(x) 2 4x) 10→

+ − = − β. x 1

f(x)lim 1x 1→

=−

.

5. Αν ( )0x x

lim 2f(x) g(x) 3→

− = και ( )0x x

lim f(x) 3g(x) 19→

+ = , να βρεθούν:

α. Τα 0x x

lim f(x)→

και 0x x

lim g(x)→

, β.Το ( )0

2 2

x xlim f (x) g (x) f(x) g(x)→

+ − ⋅ .

γ. Τα 0x x

f(x)limg(x)→

και 0

2

2x x

f (x) g(x)limf (x) g(x)→

+−

.

6. Αν ισχύει 3

x 1lim f(x) x 2x 5 7→

⎡ ⎤− + − =⎣ ⎦ , να βρεθεί το x 1lim f(x)→

.

7. Αν ισχύει 2

x 2lim 3x 2x 1 f(x) 2→

⎡ ⎤− + − =⎣ ⎦ και x 2

g(x)lim 3x 4→

⎡ ⎤ =⎢ ⎥−⎣ ⎦, να βρεθούν τα

x 2lim f(x) g(x)→

⋅ και x 2

f(x)limg(x)→

.

Οι ιδιότητες των ορίων εφαρμόζονται όταν

γνωρίζουμε ότι υπάρχουν τα επιμέρους όρια των

περιεχομένων συναρτήσεων. Για τον λόγο αυτό θέτουμε

= − + +2h(x) f(x) x 3x 3 , λύνουμε ως προς f(x) και με τις ιδιότητες

των ορίων υπολογίζουμε το

→x 1lim f(x) .

Ασκήσεις

Λύνουμε όλα τα θέματα

www.mathjazz.com 

www.mathjazz.com   ­   Οριακή τιμή συνάρτησης  Σελίδα 4 

Αοριστίες 00

σε ρητές και άρρητες συναρτήσεις

ΛΑ5 Nα βρεθεί το όριο, 3 2

2x 2

x 5x 6xlimx 4→

− +−

.

ΛΥΣΗ

Έστω 1000ε 10−= και Δ (2 ε, 2) (2, 2 ε)= − ∪ + . Θα μελετήσουμε τη συμπεριφορά των τιμών της συνάρτησης f για x (2 ε, 2) (2, 2 ε)∈ − ∪ + . Για κάθε x Δ∈ είναι 2

x 2lim(x 4) 0→

− = , οπότε δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε

τον κανόνα του πηλίκου. Παρατηρούμε όμως ότι για x 2= μηδενίζονται

και οι δύο όροι του κλάσματος, δηλαδή έχουμε αοριστία 00

, την οποία

θα άρουμε παραγοντοποιώντας αριθμητή και παρονομαστή.

Η συνάρτηση λοιπόν 3 2

2x 5x 6xf(x)

x 4− +

=−

, για x 2≠ , γράφεται: 2x(x 5x 6) x(x 2)(x 3)f(x)

(x 2)(x 2) (x 2)(x 2)− + − −

= = =− + − +

2x(x 3) x 3xf(x)x 2 x 2− −

⇔ =+ +

.

Επομένως, 2

x 2 x 2

x 3x 4 3 2 1lim f(x) limx 2 2 2 2→ →

− − ⋅= = = −

+ +.

ΛΑ6 Nα βρεθεί το όριο, 2

x 1

x 3 2xlimx 1→

+ −−

.

ΛΥΣΗ Έστω 1000ε 10−= και Δ (1 ε, 1) (1, 1 ε)= − ∪ + . Θα μελετήσουμε τη συμπεριφορά των τιμών της συνάρτησης f για x (1 ε, 1) (1, 1 ε)∈ − ∪ + . Για x 1= μηδενίζονται οι όροι του κλάσματος. Πολλαπλασιάζουμε και τους δύο όρους του κλάσματος με τη συζυγή παράσταση του όρου που έχει το ριζικό, στη περίπτωσή μας, του αριθμητή που είναι η 2x 3 2x+ + και έτσι έχουμε:

( )( )( )

( )( )

22 2 2 2

2

2 2

x 3 2x x 3 2x x 3 (2x)x 3 2xf(x)x 1 (x 1) x 3 2x (x 1) x 3 2x

+ − + + + −+ −= = = =

− − + + − + +

( ) ( )2

22 2

3x 3 3(x 1)(x 1) 3(x 1)x 3 2x(x 1) x 3 2x (x 1) x 3 2x

− + − − + − += = =

+ +− + + − + +.

Επομένως, ( )

x 12x 1 x 1 2

x 1

lim( 3(x 1))3(x 1) 6 3lim f(x) lim24 2x 3 2x lim x 3 2x

→

→ →

→

− +− + −= = = = −

++ + + +.

ΛΑ7 Nα βρεθεί το όριο, 3

x 1

x 7 2limx 3 2→

+ −+ −

.

Μάθημα 2ον

Παραγοντοποιούμε τους όρους του κλάσματος,

δίνοντας στη συνάρτηση με

τύπο =g(x)

f(x)h(x)

τη μορφή

′−=

′−0

0

(x x )g (x)f(x)

(x x )h (x).

Πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε τους όρους του κλάσματος, με τη συζυγή παράσταση του όρου που περιέχει το ριζικό 2ης τάξης.

Σημείωση 1

Η συζυγής παράσταση της −x y είναι η +x y .

Θυμήσου ότι −

− =+

2 2α βα β

α β

www.mathjazz.com 

www.mathjazz.com   ­   Οριακή τιμή συνάρτησης  Σελίδα 5 

ΛΥΣΗ Έστω 1000ε 10−= και Δ (1 ε, 1) (1, 1 ε)= − ∪ + . Θα μελετήσουμε τη συμπεριφορά των τιμών της συνάρτησης f για x (1 ε, 1) (1, 1 ε)∈ − ∪ + .

Για x 1= έχουμε αοριστία 00

, μιας και μηδενίζονται οι όροι του κλάσματος.

Πολλαπλασιάζουμε και τους δύο όρους με τις συζυγείς παραστάσεις τους, που είναι: του αριθμητή η 2 233 (x 7) x 7 1 1+ + + ⋅ + και του παρονομαστή η

x 3 2+ + . Έτσι έχουμε:

( ) ( )

( ) ( )( )

2 23 33

2 233 3

x 7 2 (x 7) x 7 2 2

(x 7) x 7 2 2x 7 2f(x)x 3 2 x 3 2 x 3 2

x 3 2

+ − ⋅ + + + ⋅ +

+ + + ⋅ ++ −= = =

+ − + − ⋅ + +

+ +

( )

( )( ) ( ) ( )

3 33

2 2 23 3 33 3 3

2 2

x 7 2 x 7 8 x 1(x 7) 2 x 7 4 (x 7) 2 x 7 4 (x 7) 2 x 7 4

x 3 4 x 1x 3 2x 3 2 x 3 2

x 3 2

+ − + − −

+ + + + + + + + + + + += = = ⇔+ − −+ −

+ + + ++ +

( ) ( )2 2 33 x 13 3

x 3 2 1 3 2 2 1f(x) lim f(x)12 6(x 7) 2 x 7 4 (1 7) 2 1 7 4→

+ + + += ⇔ = = =

+ + + + + + + +.

8. Έστω μια συνάρτηση f με x 2lim f(x) 4→

= . Να βρείτε το x 2limg(x)→

αν:

α. 2g(x) 3(f(x)) 5= − , β. 2|2f(x) 11|g(x)

(f(x)) 1−

=+

,

γ. g(x) (f(x) 2)(f(x) 3)= + − . 9. Να βρείτε τα όρια

α. 4

3x 2

x 16limx 8→

−−

β. 2

2x 1

2x 3x 1limx 1→

− +−

.

γ. x 1

2

11xlim 11x

→

−

− δ.

3

x 0

(x 3) 27limx→

+ − .

10. Να βρείτε τα όρια

α. x 9

3 xlim9 x→

−−

β. 2

2x 0

1 1 xlimx→

− − .

Πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε τους όρους του κλάσματος, με τη συζυγή παράσταση του όρου που περιέχει το ριζικό 2ης τάξης.

Πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε τους όρους του κλάσματος, με τη συζυγή παράσταση του όρου που περιέχει το ριζικό 3ης τάξης.

Σημείωση 1

Η συζυγής παράσταση της −x y είναι η +x y

Θυμήσου ότι −

− =+

2 2α βα β

α β

Σημείωση 2

Η συζυγής παράσταση της −3 3x y είναι η

+ ⋅ +2 23 3 33x x y y

Θυμήσου ότι −

− =+ +

3 3

2 2α βα β

α αβ β

Ασκήσεις

Λύνουμε όλα τα θέματα

www.mathjazz.com 

www.mathjazz.com   ­   Οριακή τιμή συνάρτησης  Σελίδα 6 

γ. →

+ −

+ −2x 2

x 2 2limx 5 3

δ. 2x 4

x 2limx 5x 4→

−− +

.

11. Να βρείτε τα όρια:

α. 3 2

3x 2

x x x 2limx 8→

− − −−

, β. ν 1

x 1

x (ν 1)x νlimx 1

+

→

− + +−

.

12. Να βρείτε όσα από τα παρακάτω όρια υπάρχουν:

α. x 1

x 1limx x x 2→

−+ −

, β. 2

x 5

x 10x 25limx 5→−

+ ++

γ. 2

x 1

x xlimx 1→

−−

.

13. Να βρείτε τα όριο

α. x 2

3x 2 x 1 3limx 2→

− + − −−

, β. →

− + − −−x 1

3x 2 10x 1 4limx 1

Πλευρικά όρια σε συναρτήσεις πολλαπλού τύπου

ΛΑ8 Nα βρεθεί, αν υπάρχει, το όριο στο 0x 1= της συνάρτησης 23x 4 , x 1

f(x) 1 , x 1x

⎧ − <⎪= ⎨

− ≥⎪⎩

.

ΛΥΣΗ Έστω 1000ε 10−= και Δ (1 ε, 1) (1, 1 ε)= − ∪ + . Θα μελετήσουμε τη συμπεριφορά των τιμών της συνάρτησης f για x (1 ε, 1) (1, 1 ε)∈ − ∪ + .

Αν x (1 ε, 1)∈ − είναι x 1< , οπότε ο τύπος της συνάρτησης είναι 2f(x) 3x 4= − , άρα 2 2

x 1x 1lim f(x) lim(3x 4) 3 1 4 1

− →→= − = ⋅ − = − .

Αν x (1, 1 ε)∈ + είναι x 1≥ , οπότε ο τύπος της συνάρτησης είναι 1f(x)x

= − ,

άρα x 1x 1

1lim f(x) lim 1x+ →→

⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

. Επομένως x 1lim f(x) 1→

= − .

14. Να βρείτε (αν υπάρχει), το όριο της f στο 0x αν:

α. 2x , x 1

f(x)5x, x 1⎧ ≤

= ⎨>⎩

και 0x 1=

β. 2

2x, x 1f(x)

x 1, x 1− < −⎧

= ⎨ + ≥ −⎩ και 0x 1= − .

Για την άσκηση 13 προσθαφαίρεσε το όριο

κάθε ριζικού και μετέτρεψε τη παράσταση ώστε να έχεις άθροισμα δυο αοριστιών.

− − + − −=

−3x 2 1 x 1 2

x 2

− − − −+

− −3x 2 1 x 1 2

x 2 x 2

Μάθημα 3ον Βρίσκουμε τα πλευρικά

όρια στη θέση 0x αλλαγής του τύπο.

Αναζητούμε την οριακή τιμή της f όταν το →x 1 .

Επειδή για <x 1 η συνάρτηση έχει διαφορετικό τύπο από αυτόν που έχει

για ≥x 1 , θα υπολογίσουμε τα πλευρικά της όρια.

Ασκήσεις

Λύνουμε όλα τα θέματα

www.mathjazz.com 

www.mathjazz.com   ­   Οριακή τιμή συνάρτησης  Σελίδα 7 

15. Δίνεται η συνάρτηση 2αx β, x 3

f(x)αx 3β, x 3

+ ≤⎧= ⎨ + >⎩

. Να βρείτε τις τιμές

των α,β∈— , για τις οποίες ισχύει x 3lim f(x) 10→

= .

Αοριστίες 00

σε συναρτήσεις που ο τύπος τους περιέχει

απόλυτες τιμές

Όταν αναζητώντας το όριο καταλήξουμε σε αοριστία 00

, εργαζόμαστε ως εξής:

Βρίσκουμε τα όρια όλων των παραστάσεων που περιέχονται στο σύμβολο των απολύτων τιμών. Επειδή η έννοια του ορίου είναι τοπική, το πρόσημο των παραστάσεων είναι ίδιο με το πρόσημο των ορίων τους. Ορίζουμε κατάλληλο >ε 0 τέτοιο ώστε για κάθε ( ) ( )∈ − ∪ +0 0 0 0x x ε , x x , x ε οι παραστάσεις που βρίσκονται μέσα στο απόλυτο να έχουν το πρόσημο των ορίων, εξάγουμε τα απόλυτα και υπολογίζουμε το όριο. Αν τουλάχιστον ένα όριο μιας παράστασης που βρίσκεται σε απόλυτο είναι μηδέν, τότε παίρνουμε τα πλευρικά όρια. Ορίζουμε κατάλληλο >ε 0 και για κάθε ( )0 0x x ε , x∈ − υπολογίζουμε το πρόσημο των παραστάσεων που βρίσκονται μέσα στο απόλυτο, εξάγουμε τα απόλυτα και υπολογίζουμε αριστερό πλευρικό όριο. Για το ίδιο >ε 0 και για κάθε ( )0 0x x , x ε∈ + υπολογίζουμε το πρόσημο των παραστάσεων που βρίσκονται μέσα στο απόλυτο, εξάγουμε τα απόλυτα και υπολογίζουμε δεξιό πλευρικό όριο.

ΛΑ9 Nα βρεθεί το όριο, x 1

x 3 2limx 2 3→

− −+ −

.

ΛΥΣΗ

Έχουμε αοριστία 00

. Είναι →

− = −x 1lim(x 3) 2 ,

→+ =

x 1lim(x 2) 3 ,

x 1lim(x 2) 3→

+ = .

Έστω 1000ε 10−= και Δ (1 ε, 1) (1, 1 ε)= − ∪ + . Θα μελετήσουμε τη συμπεριφορά των τιμών της συνάρτησης f για x (1 ε, 1) (1, 1 ε)∈ − ∪ + . Για κάθε x Δ∈ είναι: x 3 0 x 3 (x 3)− < ⇒ − = − − , x 2 0 x 2 x 2+ > ⇒ + = + , οπότε έχουμε για

x Δ∈ ότι ( )( )

x 3 2 x 3 2 (x 1)f(x) 1x 2 3 x 2 3 x 1

− − − − + − − −= = = = −

+ − + − −, άρα

x 1lim f(x) 1→

= − .

ΛΑ10 Nα βρεθεί το όριο, →

− − +

−

2

x 2

x 4 2x 4lim

x 2.

ΛΥΣΗ

Μάθημα 4ον

Πρέπει να ξέρεις, πως συνδέεται,

το πρόσημο του ορίου με τις τιμές της συνάρτησης

Αν ε>0 και για κάθε ( ) ( )0 0 0 0x x ε, x x , x ε∈ − ∪ +

είναι f(x) 0> ή f(x) 0≥ , τότε είναι

0x xlim f(x) 0→

≥ .

Αντίστροφα, αν

0x xlim f(x) 0→

> , τότε υπάρχει ε

πολύ μικρός θετικό αριθμός τέτοιος ώστε να ισχύει

f(x) 0> για κάθε

( ) ( )0 0 0 0x x ε, x x , x ε∈ − ∪ +

Αν ε>0 και για κάθε ( ) ( )0 0 0 0x x ε, x x , x ε∈ − ∪ +

είναι f(x) g(x)> ή f(x) g(x)≥ , τότε είναι

0 0x x x xlim f(x) lim g(x)→ →

≥ .

Αντίστροφα, αν

0 0x x x xlim f(x) lim g(x)→ →

> , τότε

υπάρχει ε πολύ μικρός θετικό αριθμός τέτοιος ώστε να ισχύει f(x) g(x)> για

κάθε ( ) ( )0 0 0 0x x ε, x x , x ε∈ − ∪ +

www.mathjazz.com 

www.mathjazz.com   ­   Οριακή τιμή συνάρτησης  Σελίδα 8 

Έχουμε αοριστία 00

. Είναι →

− =2

x 2lim(x 4) 0 ,

→− =

x 2lim(x 2) 0 , οπότε θα πάρουμε

πλευρικά όρια.

Έστω 1000ε 10−= και = −1Δ (2 ε, 2) . Θα βρούμε το πρόσημο των παραστάσεων, −2x 4 και −x 2 για ∈ 1x Δ . To πρόσημο της παράστασης −2x 4 δίνεται από τον ακόλουθο πίνακα:

−2x 4 + − + (1) Οπότε για <x 2 είναι :

− < ⇒ − = − −⎧⎪⎨

− < ⇒ − = − −⎪⎩2 2 2

x 2 0 x 2 (x 2)

x 4 0 x 4 (x 4). Άρα για ∈ 1x Δ έχουμε ότι:

( )( )

2x 4 2x 4 (x 2)(x 2) 2(x 2) (x 2)(x 4)f(x) (x 4)x 2 (x 2) (x 2)

− − − + − − + − − − − += = = = − + ⇔

− − − − − −

− −→ →= − + = −

x 2 x 2lim f(x) lim (x 4) 6 .

Έστω 1000ε 10−= και = +2Δ (2, 2 ε) . Θα βρούμε το πρόσημο των παραστάσεων, −2x 4 και −x 2 για ∈ 1x Δ . Για >x 2 είναι :

− > ⇒ − = −⎧⎪⎨

− > ⇒ − = −⎪⎩2 2 2

x 2 0 x 2 (x 2)

x 4 0 x 4 (x 4). Άρα για ∈ 2x Δ έχουμε ότι:

( )( )

2x 4 2x 4 (x 2)(x 2) 2(x 2) x(x 2)f(x) xx 2 (x 2) (x 2)

− − + − + − − −= = = = ⇔

− − − x 2lim f(x) 2

+→= .

Τελικά δεν υπάρχει το ζητούμενο όριο. 16. Nα βρείτε τα όρια:

α. x 1

2 x 3 3 4 xlimx 2 2x 5→

− − −− − −

, β. 6

2x 0

|x 5| |x 3|limx x 3→

+ + ++ +

.

γ. →

− + − −−

2

x 5

|x 5| x 4x 5limx 5

, δ. →

− − + + −− − + +

5 5 2

3 3x 2

|x 2| x x x 4limx 7 x x 5

.

17. Nα βρείτε τα όρια:

α. →

− + − ++ − − − −

5 5 3

3 2 3 2x 2

|x 33| x 5x 7limx 2x 2 x x 2

β. →

−

− − −

2

4 3x 1

x 1limx x 4 2

γ. →

−

− − −

3

5 4x 1

1 xlimx x 9 3

δ. →

− + − − +

−

4 3 3 2

2x 2

|x x 25| x x 29lim

x 4.

−∞ −2 2 +∞

Ασκήσεις

Λύνουμε όλα τα θέματα

www.mathjazz.com 

www.mathjazz.com   ­   Οριακή τιμή συνάρτησης  Σελίδα 9 

Κριτήριο παρεμβολής

Θεώρημα Αν για κάθε 0 0 0 0x (x ε, x ) (x , x +ε)∈ − ∪ είναι g(x) f(x) h(x)≤ ≤ και

0 0x x x xL img(x) Lim h(x) M→ →

= = , τότε 0x x

L im f(x) M→

= .

ΛΑ11 Έστω η συνάρτηση f για την οποία για κάθε x∈— ισχύει ότι

3 3 22x 8x (x 2)f(x) 3x 6x 4x 8− ≤ − ≤ − + − (1). Να υπολογισθεί το ότι x 2lim f(x)→

.

ΛΥΣΗ Έστω x (2 ε, 2) (2, 2+ε)∈ − ∪ με 1000ε 10−= . Επειδή θα διαιρέσουμε με το x 2− θα διακρίνουμε δυο περιπτώσεις.

Αν x (2 ε, 2)∈ − είναι x 2 x 2 0< ⇔ − < , οπότε διαιρώντας τα μέλη της

(1) έχουμε: 3 3 22x 8x 3x 6x 4x 8f(x)

x 2 x 2− − + −

≥ ≥− −

.

Έχουμε 3 2

x 2 x 2 x 2 x 2

2x 8x 2x(x 4) 2x(x 2)(x 2)Lim Lim Lim Lim 2x(x 2) 16x 2 x 2 x 2− − − −→ → → →

− − − += = = + =

− − −

3 2 2 2

x 2 x 2 x 2

3x 6x 4x 8 3x (x 2) 4(x 2) (x 2)(3x 4)Lim Lim Limx 2 x 2 x 2− − −→ → →

− + − − + − − += = =

− − −

2

x 2Lim(3x 4) 16

−→+ = . Σύμφωνα με το Κριτήριο παρεμβολής είναι

x 2L im f(x) 16

−→= .

Αν x (2, 2+ε)∈ είναι x 2 x 2 0> ⇔ − > , οπότε διαιρώντας τα μέλη της

(1) έχουμε: 3 3 22x 8x 3x 6x 4x 8f(x)

x 2 x 2− − + −

≤ ≤− −

.

Έχουμε 3 2

x 2 x 2 x 2 x 2

2x 8x 2x(x 4) 2x(x 2)(x 2)Lim Lim Lim Lim 2x(x 2) 16x 2 x 2 x 2+ + + +→ → → →

− − − += = = + =

− − −

3 2 2 2

x 2 x 2 x 2

3x 6x 4x 8 3x (x 2) 4(x 2) (x 2)(3x 4)Lim Lim Limx 2 x 2 x 2+ + +→ → →

− + − − + − − += = =

− − −

2

x 2Lim(3x 4) 16

+→+ = . Σύμφωνα με το Κριτήριο παρεμβολής είναι

x 2L im f(x) 16

+→= .

Επειδή 2

x 2x 2 x 2Lim(3x 4) Lim f(x) 16 Lim f(x) 16

− + →→ →+ = = ⇔ = .

ΛΑ12 Έστω η συνάρτηση f για την οποία για κάθε x∈— ισχύει ότι

2 2f(x) 82x 7x 2 3x 5x 3f(x) 2

−+ + ≤ ≤ + +

+. Να υπολογισθεί το ότι

x 1lim f(x)→

.

ΛΥΣΗ Έστω x (1 ε, 1) (1, 1+ε)∈ − ∪ με 1000ε 10−= . Έχουμε ( )2

x 1Lim 2x 7x 2 11

→+ + = και

( )2

x 1Lim 3x 5x 3 11

→+ + = , οπότε σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής θα είναι και

x 1

f(x) 8Lim 11f(x) 2→

−=

+.

Μάθημα 5ον

Η διπλή ανισότητα στην υπόθεση μιας άσκησης είναι μια σημαντική

ένδειξη για την εφαρμογή του θεωρήματος της παρεμβολής.

Μετασχηματίζουμε τη σχέση ώστε μεταξύ των δυο ανισοτικών συμβόλων να υπάρχει μόνο η f(x), δηλαδή φέρνουμε τη σχέση στη μορφή ... f(x) ...≤ ≤

Πρόσεξε όταν διαιρέσεις με το x 2− να διακρίνεις δυο περιπτώσεις, x 2 0− > και

x 2 0− < .

Βρίσκουμε πρώτα με το κριτήριο παρεμβολής το

x 1

f(x) 8Limf(x) 2→

−+

και στη

συνέχεια θέτουμε f(x) 8h(x)f(x) 2

−=

+ και

ξέροντας ότι x 1

Lim h(x) 11→

= , βρίσκουμε το

x 1Lim f(x)→

.

www.mathjazz.com 

www.mathjazz.com   ­   Οριακή τιμή συνάρτησης  Σελίδα 10 

Θέτουμε ( ) ( )f(x) 8 h(x) f(x) 2 h(x) f(x) 8 1 h(x) f(x) 2h(x) 8f(x) 2

−= ⇔ + ⋅ = − ⇔ − = +

+.

Αν h(x) 1 0 h(x) 1− = ⇔ = , οπότε η σχέση μας δίνει 0 2 8= + , άτοπο, οπότε

h(x) 1 0− ≠ και έχουμε 2h(x) 8f(x)1 h(x)

+=

−, οπότε

x 1 x 1

2h(x) 8 2 11 8 30Lim f(x) Lim 31 h(x) 1 11 10→ →

+ ⋅ += = = = −

− − −.

ΛΑ13 Έστω η συνάρτηση f για την οποία για κάθε x∈— ισχύει ότι

2 2f (x) 6f(x) x 9− ≤ − . Να υπολογισθεί το x 0lim f(x)→

.

ΛΥΣΗ Έστω x ( ε, 0) (0, ε)∈ − ∪ με 1000ε 10−= . Έχουμε 2 2f (x) 6f(x) x 9− ≤ − ⇔

( )22 2 2f (x) 6f(x) 9 x f(x) 3 x f(x) 3 x x f(x) 3 x− + ≤ ⇔ − ≤ ⇔ − ≤ ⇔ − ≤ − ≤ (2). Είναι ( )

x 0 x 0Lim x Lim x 0→ →

− = = , οπότε σύμφωνα με το θεώρημα της

παρεμβολής θα είναι και x 0lim f(x) 0→

= .

18. Έστω η συνάρτηση f για την οποία για κάθε x∈— ισχύει ότι

2 2x 7x 11 (x 2)f(x) x 5x 7− + − ≤ − ≤ − + . Να υπολογισθεί το x 3lim f(x)→

.

19. Έστω η συνάρτηση f για την οποία για κάθε x∈— ισχύει ότι 2f(x) 3 x 3x 2− ≤ − + . Να υπολογισθεί το

x 2lim f(x)→

.

20. Έστω η συνάρτηση f για την οποία για κάθε x∈— ισχύει ότι 2 2x 9x 17 ( x 1)f(x) x 7x 15− + − ≤ − ≤ − + . Να υπολογισθεί το

x 4lim f(x)→

.

21. Έστω η συνάρτηση f για την οποία για κάθε x∈— ισχύει ότι 6 x 6 f(x) x 3− ≤ ≤ + . Να υπολογισθούν: i. Tο

x 9lim f(x)→

.

ii. Tο x 9

f(x) 12limx 9→

−−

.

iii. Tο x 9

f(x) 2 3lim

x 3→

−−

.

22. Έστω η συνάρτηση f για την οποία για κάθε x∈— ισχύει ότι 2 22x x 2 f(x) 3x 5x 6− + ≤ ≤ − + . Να υπολογισθούν:

i. Tο x 2lim f(x)→

.

ii. Tο x 2

f(x) 8limx 2→

−−

.

iii. Tο x 2

f(x) 2 2lim

2 f(x) 4→

−−

.

Η ανισότητα στην υπόθεση μιας άσκησης, με απόλυτες τιμές της μορφής f(x) g(x)≤ μας

οδηγεί στην εφαρμογή του θεωρήματος της παρεμβολής, εφόσον

0x xLim g(x) 0→

= .

Ασκήσεις

Λύνουμε όλα τα θέματα

www.mathjazz.com 

www.mathjazz.com   ­   Οριακή τιμή συνάρτησης  Σελίδα 11 

Αοριστίες 00

σε συναρτήσεις που ο τύπος τους περιέχει

τριγωνομετρικούς αριθμούς

ΛΑ14 Να υπολογισθεί το x 0

2xημxLim1 συν2x→ −

.

ΛΥΣΗ Έστω x ( ε, 0) (0, ε)∈ − ∪ με 1000ε 10−= .

2x 0 x 0 x 0 x 0

2xημx 2xημx x 1 1Lim Lim Lim Lim 1ημx1 συν2x 2ημ x ημx 1x

→ → → →= = = = =

−.

ΛΑ15 Να υπολογισθεί το 3x 0

ημx ημ5x ημ9xLimx→

⋅ ⋅ .

ΛΥΣΗ Έστω x ( ε, 0) (0, ε)∈ − ∪ με 1000ε 10−= .

3x 0 x 0

ημx ημ5x ημ9x ημx ημ5x ημ9xLim Lim 1 5 9 45x x x x→ →

⋅ ⋅= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = .

ΛΑ16 Να υπολογισθεί το x 0

ημ(ημx)Limx→

.

ΛΥΣΗ Έστω x ( ε, 0) (0, ε)∈ − ∪ με 1000ε 10−= .

x 0

x 0 x 0

x 0

ημ(ημx) ημ(ημx)Limημ(ημx) ημx ημx 1Lim Lim 1x xx 1Lim

ημx ημx

→

→ →

→

= = = = .

ΛΑ17 Να υπολογισθεί το x 0

5xσυν ημ3xLimx ημx→

−+

.

ΛΥΣΗ Έστω x ( ε, 0) (0, ε)∈ − ∪ με 1000ε 10−= .

x 0 x 0 x 0

5xσυνx ημ3x 5xσυνx ημ3x5xσυν ημ3x x x xLim Lim Limx ημx x ημxx ημx

x x x→ → →

−−−

= = =++ +

x 0

ημ3x5συνx 5 3 2xLim 1ημx 1 1 21x

→

− −= = = =

++.

ΛΑ18 Να υπολογισθεί το 2

2x 0

x 4x εφ5xLimx 2x→

+ ++

.

ΛΥΣΗ Έστω x ( ε, 0) (0, ε)∈ − ∪ με 1000ε 10−= .

Μάθημα 6ον

Αν το τόξο x εκφράζεται σε rad, τότε ισχύουν τα

εξής:

Βασικά τριγωνομετρικά όρια

x 0

ημxLim 1x→

=

x 0

ημ(νx)Lim ν

x→=

x 0

εφxLim 1

x→=

x 0

εφ(νx)Lim νx→

=

Πρέπει να ξέρουμε ότι:

2 2ημ x συν x 1+ = ,

ημ2x 2ημxσυνx= ,

2 2συν2x συν x ημ x= − ή

2συν2x 2συν x 1= − ή

2συν2x 1 2ημ x= − ,

1 συν2x 2συνx+ =

21 συν2x 2ημ x− =

www.mathjazz.com 

www.mathjazz.com   ­   Οριακή τιμή συνάρτησης  Σελίδα 12 

2

2x 0 x 0 x 0

x(x 4) εφ5xx 4x εφ5x x(x 4) εφ5x xLim Lim Lim x(x 2)x 2x x(x 2)

x→ → →

+ ++ + + +

= = =++ +

x 0 x 0

x(x 4) εφ5x εφ5xx 4 0 4 5 9x x xLim Limx 2 x 2 0 2 2→ →

++ + + + +

= = = =+ + +

23. Να υπολογισθούν τα όρια:

i. x 0

ημ6xLimημ3x→

, ii. x 0

ημ6xLimημ3x→

.

24. Να υπολογισθούν τα όρια:

i. 2

x 0

ημxLimxημx→

, ii. 2 2

3x 0

ημ xLimx ημx→

.

25. Να υπολογισθούν τα όρια:

i. 2

x 0

ημxLimx→

, ii. x 0

1 ημx 1 ημxLim

x→

+ − −.

26. Να υπολογισθούν τα όρια:

i. 2

x 0

ημxLimx→

, ii. 3 3

x 0

1 ημx 1 ημxLim

x→

+ − −.

27. Να υπολογισθούν τα όρια:

i. x 0

εφ(ημx)Limx→

, ii. x π

ημ(ημx)Limπ x→ −

.

28. Να υπολογισθούν τα όρια:

i. x 0

ημ(εφ5x)Limx→

, ii. πx2

2συνxLimπ 2x→ −

.

29. Να υπολογισθούν τα όρια:

i. x 0

ημx ημ2x ημ3x ... ημ(νx)Limx→

+ + + + ,

ii. 2 2 2 2

2x 0

ημ x ημ 2x ημ 3x ... ημ (νx)Limx→

+ + + + .

30. Να υπολογισθούν τα όρια:

i. x 2

ημ(x 2)Limx 7 3→

−+ −

, ii. 3x 1

ημ(x 1)Limx 1→

−−

.

31. Να υπολογισθούν τα όρια:

i. 2

2x 2

x ημxLim1 x 1 x→

+

+ − +, ii. 2x 1

1 συνx συν2xLimx→

− .

Ασκήσεις

Λύνουμε όλα τα θέματα

www.mathjazz.com 

www.mathjazz.com   ­   Οριακή τιμή συνάρτησης  Σελίδα 13 

Μηδενική επί φραγμένη Το γινόμενο μηδενικής συνάρτησης επί φραγμένη συνάρτηση, είναι μηδενική συνάρτηση, δηλαδή ισχύει το εξής: ΛΑ19 Αν η συνάρτηση g είναι φραγμένη στο σύνολο Α και η συνάρτηση f, για 0x x→ με 0x A∈ , έχει

0x xLim f(x) 0→

= , τότε

( )0x x

Lim f(x) g(x) 0→

⋅ = .

ΛΥΣΗ Αφού η g είναι φραγμένη στο Α, υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί φ, ξ για τους οποίους να ισχύει: φ g(x) ξ≤ ≤ , για κάθε x A∈ , οπότε αν θέσουμε σαν

{ }M max φ , ξ= , τότε ισχύει και Μ g(x) Μ− ≤ ≤ ⇔ g(x) Μ≤ , για κάθε x A∈ . Αφού

0x xLim f(x) 0→

= , υπάρχει ε 0> τέτοιο ώστε οι αριθμοί 0x ε− και 0 x ε+ να

ανήκουν στο Α. Για κάθε 0 0 0 0x (x ε, x ) (x , x ε)∈ − ∪ + ισχύει: f(x) g(x) f(x) g(x) f(x) M f(x) M g(x) f(x) M⋅ = ⋅ ≤ ⋅ ⇔ − ⋅ ≤ ≤ ⋅

Επειδή ( ) ( )0 0x x x x

Lim f(x) M Lim f(x) M 0→ →

− ⋅ = ⋅ = , οπότε από το κριτήριο

παρεμβολής έχουμε και ( )0x x

Lim f(x) g(x) 0→

⋅ = .

ΛΑ20 Να αποδείξετε ότι 0

4

x x

1Lim x συν 0x→

⎛ ⎞⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

.

ΛΥΣΗ

Είναι 0

4

x xLim x 0→

= , ενώ υπάρχει πρόβλημα στο 0x x

1Lim συνx→

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

, επομένως δεν

μπορούμε να εφαρμόσουμε την ιδιότητα του γινομένου.

Όμως για τη συνάρτηση 1g(x) συνx

= , x∈— , ισχύει ότι:

11 συν 1 1 g(x) 1 g(x) 1x

− ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤ ⇔ ≤ (1).

Για κάθε x ( ε, 0) (0, ε)∈ − ∪ με 1000ε 10−= ισχύει: 4 4 44 4 4 41 1 1x συν x συν x g(x) x 1 x x συν x

x x x⋅ = ⋅ ≤ ⋅ ≤ ⋅ ⇔ − ≤ ⋅ ≤ .

Είναι ( )4 4

x 0 x 0Lim x Lim x 0→ →

− = = , οπότε από το κριτήριο της παρεμβολής

έχουμε 0

4

x x

1Lim x συν 0x→

⎛ ⎞⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Μάθημα 7ον

Μηδενική καλείται μια συνάρτηση f της οποίας το όριο για 0x x→ ισούται με

μηδέν, δηλαδή όταν

0x xLim f(x) 0→

= .

Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α,

καλείται Φραγμένη στο Α, όταν υπάρχουν

πραγματικοί αριθμοί φ, ξ για τους οποίους να ισχύει:

φ f(x) ξ≤ ≤ , για κάθε x A∈ .

Σε μια φραγμένη

συνάρτηση για την οποία ισχύει φ f(x) ξ≤ ≤ , για κάθε

x A∈ , αν θέσουμε σαν

{ }M max φ , ξ= , τότε

ισχύει και Μ f(x) Μ− ≤ ≤ ⇔

f(x) Μ≤ , για κάθε x A∈ .

www.mathjazz.com 

www.mathjazz.com   ­   Οριακή τιμή συνάρτησης  Σελίδα 14 

ΛΑ21 Να αποδείξετε ότι 0

2

8x x

x 1Lim συν 0ημx x→

⎛ ⎞⋅ =⎜ ⎟

⎝ ⎠.

ΛΥΣΗ

Είναι 0 0 0

2

x x x x x x

x x 1 1Lim Lim x Lim x 0 0ημxημx ημx 1x

→ → →= ⋅ = ⋅ = ⋅ = , ενώ υπάρχει πρόβλημα

στο 0

8x x

1Lim συνx→

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

, επομένως δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε την ιδιότητα του

γινομένου.

Όμως για τη συνάρτηση 81g(x) συνx

= , x∈— , ισχύει ότι:

811 συν 1 1 g(x) 1 g(x) 1x

− ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤ ⇔ ≤ (1).

Για κάθε x ( ε, 0) (0, ε)∈ − ∪ με 1000ε 10−= ισχύει: 2 2 2 2 2 2 2

8 8 8x 1 x 1 x x x x 1 xσυν συν 1 συνημx x ημx x ημx ημx ημx ημx x ημx

⋅ = ⋅ ≤ ⋅ ≤ ⇔ − ≤ ⋅ ≤ .

Είναι 2 2

x 0 x 0

x xLim Lim 0ημx ημx→ →

⎛ ⎞− = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

, οπότε από το κριτήριο της παρεμβολής

έχουμε 0

2

8x x

x 1Lim συν 0ημx x→

⎛ ⎞⋅ =⎜ ⎟

⎝ ⎠.

32. Να αποδείξετε ότι 0

28x x

2Lim x συν 0x→

⎛ ⎞⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

.

33. Να αποδείξετε ότι 0

28x x

2x 3Lim ημx ημ 0x→

+⎛ ⎞⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

.

34. Έστω η συνάρτηση f για την οποία για κάθε *x∈— ισχύει ότι

2 2 41 1f(x) x συν x ημx x

− ⋅ ≤ ⋅ . Να αποδειχθεί ότι x 0lim f(x) 0→

= .

35. Έστω η συνάρτηση f για την οποία

x 0lim f(x) m→

= ∈— και για κάθε *x∈—

ισχύει ότι 3 1f(x) ημ2x x ημx

⋅ ≤ ⋅ . Να βρείτε το m και το 3

2x 0

xf (x) ημ2xlimημx x→

++

.

36. Έστω η συνάρτηση g με 22

1g(x) x ημx

= ⋅ . Αν για τη συνάρτηση f ισχύει

για κάθε *x∈— ότι 12 f(x) 3− ≤ ≤ , να βρείτε ( )x 0lim f(x) g(x)→

⋅ .

37. Να αποδείξετε ότι ( )3

0

2 x

x x

2 3Lim συν ημ x συνx e ημx 0x x→

⎛ ⎞+ + =⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Ασκήσεις

Λύνουμε όλα τα θέματα

www.mathjazz.com 

www.mathjazz.com   ­   Οριακή τιμή συνάρτησης  Σελίδα 15 

Γενικές ασκήσεις στα όρια Α! Ομάδα Άσκηση 38 Να βρεθούν τα όρια:

i. →

+ + + + + − −=

−

2 2

2x 1

x 3x 5 x x 2 3x 2Α Limx 1

.

ii. →

+ + + + + − + −=

− +

3 2 2 2

2x 2

x x 2 x 3x 6 x x 4B Limx 3x 2

.

Άσκηση 39 Δίνεται η συνάρτηση f η οποία έχει πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών το —. Αν ισχύει ότι

→=

x 1Lim f(x) 5 και

→= −

x 3Lim f(x) 2 , να

αποδείξετε ότι υπάρχουν ∈α,β — ώστε να ισχύει ⋅ <f(α) f(β) 0

Άσκηση 40 Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί ∈α,β — αν ισχύει

ότι →

− + + +=

− +

2

2x 1

αx (β 3)x 2α βLim 2x 4x 3

.

Άσκηση 41 Δίνεται η συνάρτηση f η οποία έχει πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών το —. Αν ισχύει ότι

→=

x 3Lim f(x) 1 , αποδείξτε ότι έχει νόημα

η παράσταση →

− −−x 3

f(x) 2 f(x)Lim

f(x) 1 και στη συνέχεια υπολογίστε το όριο.

Άσκηση 42 Δίνεται η συνάρτηση f η οποία έχει πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών το —. Αν ισχύει ότι

→=

x 3Lim f(x) 1 , υπολογίστε το όριο

→

− −

−

2

x 3

f (x) 3f(x) 2Lim

f(x) 1.

Άσκηση 43 Δίνονται οι συναρτήσεις f , g οι οποίες έχουν πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών το —. Αν για κάθε ∈x — είναι ⋅ >f(x) g(x) 0

και ισχύει ότι →

=0x x

Limg(x) m και →

−=

+0x x

f(x) g(x)Lim 0f(x) g(x)

, τότε:

i. Υπολογίστε τα →

⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠0x x

2f(x)Limf(x) g(x)

και →

⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠0x x

2g(x)Limf(x) g(x)

.

ii. Υπολογίστε το → 0x x

f(x)Limg(x)

.

iii. Αποδείξτε ότι ≠m 0 και →

=0x x

Lim f(x) m .

Άσκηση 44 Αν το →

+ − − + + +∈

−

2 2

x 2

x (α 1)x 5α x 3x 6Limx 2

— , να βρεθεί ο

∈α — και να υπολογισθεί το όριο.

Υποδείξεις

38. Εκφράστε τον τύπο κάθε συνάρτησης σαν άθροισμα

κλασμάτων, ώστε σε κάθε κλάσμα να περιέχεται ένα μόνο ριζικό από το οποίο να αφαιρείται η τιμή του ορίου του για → 0x x .

17 41Απ : Α και Β24 24

⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

.

39. Πρόσημο ορίου και τιμών συνάρτησης για κατάλληλα x.

40. Δείξτε με κατάλληλη αντικατάσταση ότι

( )→

− + + + =2

x 1Lim αx (β 3)x 2α β 0 .

Κάντε άρση της αοριστίας. (Απ: α=1 και β=3

41. Βρείτε κατάλληλα x για τα οποία − ≥2 f(x) 0 . Στη

συνέχεια κάνετε άρση της αοριστίας με τη γνωστή

μέθοδο. (Απ: 3 )

42. Βρείτε τον τύπο της − −

=−

2f (x) 3f(x) 2g(x)

f(x) 1 χωρίς

απόλυτα, αφού διαλέξετε κατάλληλα x για τα οποία είναι − <2f (x) 3f(x) 0 και

>f(x) 0 . (Απ: 1)

43. Υπολογίστε τα όρια

→

⎛ ⎞−+⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠0x x

f(x) g(x)Lim 1

f(x) g(x) και

→

⎛ ⎞−−⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠0x x

f(x) g(x)Lim 1

f(x) g(x). Στη

συνέχεια διαιρέστε κατά μέλη.

44. Όπως η άσκηση 40.

→

⎛ ⎞=⎜ ⎟⎝ ⎠x 2

47Απ : α=2 και Lim f(x)8

www.mathjazz.com 

www.mathjazz.com   ­   Οριακή τιμή συνάρτησης  Σελίδα 16 

Άσκηση 45 Δίνεται η συνάρτηση f η οποία έχει πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών το —. Αν ότι ( )

→+ − + =2

x 2Lim f(x) x x 2 3 , τότε:

i. Υπολογίστε το →=x 2

A Lim f(x) .

ii. Υπολογίστε το →

− −=

−

2

2x 2

f (x) 2f(x) 3B Limf (x) 1

.

Άσκηση 46 Δίνονται οι συναρτήσεις f , g για τις οποίες ισχύουν ότι

→=

−x 2

f(x)Lim 1x 2

και ( )→

⋅ + − =2

x 2Lim g(x) (2x 3x 14) 11 . Να βρεθεί το

( )→

= ⋅x 2

A Lim f(x) g(x) .

Άσκηση 47 Δίνεται η συνάρτηση f η οποία έχει πεδίο ορισμού και

σύνολο τιμών το —. Αν ότι x 1

f(x) xLim 2x 1→

+=

−, τότε:

i. Υπολογίστε το x 1

A Lim f(x)→= .

ii. Υπολογίστε το 2

2x 1

f (x) f(x) 2B Limf (x) 3 2x→

− −=

+ −.

Άσκηση 48 Να βρεθούν τα όρια:

i. x 0

ημ5x ημ3xΑ Limx 1 1→

−=

+ −.

ii. x 0

εφ2x εφxΑ Limx→

−= .

Άσκηση 49 Αν

x 0Lim f(x) 9→

= , να βρεθούν το όριο

4 2

2 2x 0

x f(x) ημ xΑ Lim

x ημ x→

−=

+.

Άσκηση 50 Δίνεται η συνάρτηση f η οποία έχει πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών το — και η οποία για κάθε x∈— , έχει την ιδιότητα:

2 22xημx f (x) 2xf(x) ημ x+ ≤ + . Να βρεθεί το x 0

A Lim f(x)→= .

Άσκηση 51 Δίνεται η συνάρτηση f η οποία έχει πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών το — και η οποία για κάθε x∈— , έχει την ιδιότητα:

2 2 2ημ x 2xf(x) f (x) ημ x x(x 2f(x))+ ≤ ≤ + + . Να βρεθεί το x 0

A Lim f(x)→= .

45. Θέστε = + − +2g(x) f(x) x x 2 και λύστε ως προς f(x). Κάντε

άρση της αοριστίας. ( )= − =Απ : Α 1 και Β 2 .

46. Θέστε f(x)h(x)x 2

=−

, 2W(x) g(x) (2x 3x 14)= ⋅ + − και

λύστε ως προς f(x) και g(x) . Σχηματίστε το f(x) g(x)⋅ και

υπολογίστε το όριο. ( )Απ : Α 1= .

47. Θέστε f(x) xg(x)x 1

+=

−, και

λύστε ως προς f(x). Για το Β θέστε όπου f(x) αυτό που υπολογίσατε από το Α

και βρείτε το όριο.

6Απ : Α 1 και Β5

⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠

48. Για το Α: Πολλαπλασιάστε τους όρους με το x 1 1+ + και υπολογίστε το όριο ξέροντας

ότι x 0

ημ(mx)Lim mx→

= .

Για το Β: Θέστε x 0

εφ(νx)Lim ν

x→= .

( )Απ : Α 4 και Β 1= =

49. Βγάλτε από αριθμητή και παρονομαστή κοινό παράγοντα

το 2x και σχηματίστε τα

κλάσματα 2ημx

x⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

.

( )Απ : Α 1= 50. Προσθέστε και στα δυο μέλη κατάλληλη παράσταση, ώστε να σχηματισθούν δυο τετράγωνα. Στη συνέχεια χρησιμοποιήστε το

κριτήριο της παρεμβολής. ( )Απ : Α 0=

51. Μετασχηματίστε την παράσταση στη μορφή

2 2

2

2 2

ημ x x(f(x) x)ημ x 2x

+ ≤

≤ − ≤

≤ +

. Στη συνέχεια

κριτήριο της παρεμβολής.

( )Απ : Α 0=

www.mathjazz.com 

www.mathjazz.com   ­   Οριακή τιμή συνάρτησης  Σελίδα 17 

Άσκηση 52 Να βρεθούν το όριο 3 6

6x 0

x x xΑ Limx x x→

− +=

+ +.

Άσκηση 53 Δίνεται η συνάρτηση f η οποία έχει πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών το — και η οποία για κάθε x,y∈— , έχει την ιδιότητα: f(x y) f(x) f(y) 2xy+ = + + . i. Να αποδειχθεί ότι για κάθε x∈— ισχύει ότι 2f(x) f( x) 2x+ − = . ii. Αν επί πλέον είναι 2

x αLim f(x) α→

= , να βρεθεί το x αLim f(x)→−

.

Άσκηση 54 Δίνονται οι συναρτήσεις f , g με πεδίο ορισμού το —, για τις οποίες ισχύουν ότι ( )

0

2 2

x xLim f (x) g (x) 0→

+ = . Να αποδειχθεί ότι

0 0x x x xLim f(x) Limg(x) 0→ →

= = .

Άσκηση 55 Δίνονται οι συναρτήσεις f , g με πεδίο ορισμού το —, για τις οποίες ισχύουν ότι ( ) ( )

0 0x x x xLim f(x) g(x) Lim f(x) g(x) 0→ →

+ = ⋅ = .

i. Να αποδειχθεί ότι ( )0

2 2

x xLim f (x) g (x) 0→

+ = .

ii. Να αποδειχθεί ότι 0 0x x x x

Lim f(x) Lim f(x) 0→ →

= = .

Άσκηση 56 Δίνονται οι συναρτήσεις f , g με πεδίο ορισμού το —, για τις οποίες για κάθε 0x x≠ ισχύει ότι

0 0x x x xLim f(x) Limg(x) 0→ →

= = και

f(x) g(x) 0⋅ > .

i. Να αποδειχθεί ότι 4 6

2 22 4

f (x) g (x) f (x) g (x)f (x) g (x)

+≤ +

+ για κάθε 0x x≠ .

ii. Να αποδειχθεί ότι 0

4 6

2 4x x

f (x) g (x)Lim 0f (x) g (x)→

+=

+ .

Άσκηση 57 Δίνεται η συνάρτηση f η οποία έχει πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών το — και η οποία για κάθε x∈— , έχει την ιδιότητα:

3 2 2 2f (x) xf (x) x f( x) x ημx− − − = . Αν το x 0

f(x) f(0)A Limx→

−= υπάρχει και είναι

πραγματικός αριθμός, τότε: i. Να βρείτε το f(0) . ii. Να υπολογισθεί το Α.

Άσκηση 58 Δίνεται η συνάρτηση f η οποία έχει πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών το — και η οποία για κάθε x,y∈— , έχει την ιδιότητα:

f(x y) f(x)συν2y f(y)συν2x+ = + . Αν το x 0

f(x)Lim 1x→

= , να υπολογίσετε το

όριο 0

0x x

0

f(x) f(x )Limx x→

−−

.

52. Θέστε 6 x w= και μετατρέψτε τον τύπο.

(Απ: 1)

53. Βρείτε το f(0) και θέτοντας για y το –x, αποδείξτε το i. Θέστε όπου f(x) το 22x f( x)− − και κάνοντας αλλαγή στη

μεταβλητή, βρείτε το όριο.

(Απ: 2

x αLim f(x) α→−

= )

54. Ισχύουν οι σχέσεις 2 2 20 f (x) f (x) g (x)≤ ≤ +

2 2 20 g (x) f (x) g (x)≤ ≤ + , οπότε κριτήριο παρεμβολής …

55. Για το i: Αφού ( )

0x xLim f(x) g(x) 0→

+ = ⇒

( )0

2

x xLim f(x) g(x) 0→

+ = ⇒ … Για το ii: Διάβασε την

άσκηση 54

56. Για το i: Δείξτε ότι 4

22 4

f (x)f (x)

f (x) g (x)≤

+ και

62

2 4g (x)

g (x)f (x) g (x)

≤+

.

Για το ii: Διάβασε την άσκηση 54

57. Για το i: Βρείτε το f(0) θέτοντας όπυ x το μηδέν.

Για το ii: Διαιρέστε με x και περάστε στα όρια

(Απ: Α= 1)

58. Θέστε 0x x h− = ⇔

0x x h= + και αφού 0x x→ τότε h 0→ . Αντικαταστήστε και

υπολογίστε το ζητούμενο όριο.

(Απ: 0συν2x )

www.mathjazz.com 

www.mathjazz.com   ­   Οριακή τιμή συνάρτησης  Σελίδα 18 

Β! Ομάδα

Άσκηση 59 Να αποδειχθεί ότι:

i. 2

x 0

πLim x συν 0x→

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

, ii. 8 3

x 0

eLim x ημ 0x→

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

iii. 2

x 0

1 1Lim x xημ συν 0x x→

⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠

, iv. ( )2

x 1

1Lim x 3x 2 ημ 0ln x→

− + =

Άσκηση 60 Αν η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο — και ισχύει ( )3 2

x 1Lim f (x) 2f (x) f(x) 2 0

→− + − = , να αποδείξετε ότι

x 1Lim f(x) 2

→= .

Άσκηση 61 Αν η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο διάστημα Δ (1,3)= και είναι

x 2Lim f(x) 3→

= , να υπολογισθούν τα όρια:

i. 2

x 2

f (x) f(x) 3 3Α Lim

f(x) 1 2→

− + −=

+ −

ii. 2

x 2

f (x) f(x) 5 7B Lim

f(x) 4 1→

+ − −=

− −

Άσκηση 62 Αν η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο — και ισχύει για

κάθε x∈— ότι 2 23x x f(x) 3x x− ≤ ≤ + , να αποδείξετε ότι 2x 0

f(x) f(0)Lim 3x x→

−=

+,

να αποδείξετε ότι x 1

Lim f(x) 2→

= .

Άσκηση 63 Δίνονται οι συναρτήσεις f , g με πεδίο ορισμού το —, για τις οποίες για κάθε 0x x≠ ισχύει ότι

0 0x x x xLim f(x) Limg(x) 0→ →

= = και

f(x) g(x) 0⋅ > . Να αποδείξετε ότι 0

4 4

2 2x x

5f (x) 7g (x)Lim 0f (x) g (x)→

−=

+ .

Άσκηση 64 Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί ∈α,β — αν ισχύει

ότι 2 2

2x 2

α 1 x β 9 x 3x 7 7Limx 4 4→

− + − − −= −

−.

Άσκηση 65 Έστω η συνάρτηση f για την οποία για κάθε x∈— ισχύει ότι 2 2 2 22f(x)ημx x 2ημ x f (x) x 2f(x)ημx+ − ≤ ≤ + . Δείξτε ότι

x 0Lim f(x) f(0)→

= .

Άσκηση 66 Έστω οι συναρτήσεις f, g για τις οποίες για κάθε x∈— ισχύει ότι 2 2f (x) g (x) 2f(x)ημx+ ≤ . Δείξτε ότι

x 0 x 0Lim f(x) Limg(x) 0→ →

= = .

Άσκηση 67 Έστω οι συναρτήσεις f, g για τις οποίες για κάθε x∈— ισχύει ότι 2f(x) g(x) (x 2) g)x)− ≤ − και

x 2Limg(x) 1→

= . Να βρεθούν τα όρια:

i. x 2

Lim f(x)→

www.mathjazz.com 

www.mathjazz.com   ­   Οριακή τιμή συνάρτησης  Σελίδα 19 

ii. x 2

f(x) g(x)Limx 2→

−−

.

Άσκηση 68 Δίνεται η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το +— , η οποία παίρνει τιμές στο — , είναι 1-1 και για την οποία ισχύει για κάθε 0 x 2≤ ≤ ότι

2(f f f)(2 x) (f f)(x 4x 5)− = − + . i. Αποδείξτε ότι ισχύει: 2f(2 x) x 4x 5− = − + , για κάθε x [0,2]∈ . ii. Βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f. iii. Βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες. iv. Αν υπάρχει συνάρτηση g τέτοια ώστε, για κάθε x +∈— να ισχύει η σχέση: f(x) 2 (x 1)g(x) 2(f(x) x 1)− ≤ − ≤ − − , τότε: α. Να βρεθούν τα

x 1lim g(x)

+→,

x 1lim g(x)

−→,

x 1limg(x)→

.

β. Αν επί πλέον ισχύει x 1

g(x) 2 3limx 1 4→

−=

−, να υπολογισθεί το

x 1

g(x) 2xlimg(x) x 3→

−− +

.

Άσκηση 69 Δίνεται η συνάρτηση

2

2

x 1 1 , x 0xf(x)

ημ x , x 0x

⎧ + −<⎪⎪= ⎨

⎪ >⎪⎩

.

i. Να υπολογίσετε, αν υπάρχει, το x 0lim f(x)→

.

ii. Να υπολογίσετε, αν υπάρχει, το x 0

f(x)limx→

.

Άσκηση 70 Δίνεται η συνάρτηση

2

2x 4 , x 2

x 5x 6f(x) α , x 2

g(x) , x 2

⎧ −<⎪ − +⎪

= =⎨⎪ >⎪⎩

, όπου

α∈— και g μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού όλο το — . Αν ισχύει

x 2lim f(x) f(2)→

= , τότε:

i. Υπολογίστε το α∈— . ii. Υπολογίστε το

x 2lim g(x)

+→.

iii. Εξετάστε αν υπάρχει το x 2limg(x)→

.

Άσκηση 70 Να υπολογισθούν τα εξής όρια:

i. x 3

x 6 x 2 4limx 3→

+ + − −−

,

ii. 2

x 0

ημ 2xlimx→

,

iii. 2x 2

3x 5 3x 7lim4 x→

− − −−

.