Techniques des micro-ondesChapitre 5 (Diapositive n° 1)

5. Abaque de Smith

Techniques des micro-ondesChapitre 5 (Diapositive n° 2)

Impédance réduite

• L’impédance d’un point M d’abscisse s est égale à Z(s).

• L’impédance réduite est cZsZsz )()( =

)(1)(1)(

sssz

ρρ

−+=

1)(1)()(

+−=

szszsρ

)(1)()(

sthzsthzsz

T

TΓ+Γ+=

)tan(1)tan()(

sjzsjzsz

T

Tββ

++=Sans perte ⇒

Szz M ==max

En un ventre de potentiel

Szz m /1min ==En un nœud de potentiel

Techniques des micro-ondesChapitre 5 (Diapositive n° 3)

Impédance réduite

=+=+=

+=λ

ηα

πη/

avec )2()(sn

nnsuu

juthZsZ T

T

c

=+=+=

+=λ

ηα

πη/

avec )2()(sn

nnsuu

juthsz T

T

Techniques des micro-ondesChapitre 5 (Diapositive n° 4)

Représentation de ρ − Ligne sans perte

−=−=

==

λπ

ψ

ψβψψ

ρρρρ

sTT

Tj

se

42T

M(s)

C

ΨΤ

−2βsTρ

Ts ρρ =)(

∀s et le régime de fonctionnement 0 < |ρ| < 1Chaque point représentatif de la ligne se situe à l’intérieur ou sur le cercle de rayon unité.

Point dela charge

La périodicité de ρ est de 2π. πβψψ ksT 22 ±−=2λ=sou

Posons λ/sn = Une variation de n = 0,5 correspond à une variation de 2πde la phase ψ, ou un déplacement s = λ/2 sur la ligne.

Techniques des micro-ondesChapitre 5 (Diapositive n° 5)

Représentation de z − Ligne sans perte

−=−++−=−−

⇒

+−

=+=

+=

bxabrabxra

zz

jba

jxrz

)1()1()1(

11

ρ

C

b

a

ψ|ρ|

a

b

Techniques des micro-ondesChapitre 5 (Diapositive n° 6)

22

2

)1(1

1 +=+

+−

rb

rra

Représentation de z − Courbe à r = constante

On élimine x entre les 2 équations. On obtient l’équation d’une famille de cercles :

11

+−=+=

+=

zzjba

jxrz

ρ 1

b

a20,50

r=

0

r=

0,5

r=

2

1

b

a20,50

r=

0

r

= 1

r=

2 r = ∞

r

C

Techniques des micro-ondesChapitre 5 (Diapositive n° 7)

Représentation de z − Courbe à x = constante

On élimine r entre les 2 équations. On obtient l’équation d’une famille de cercles :

( ) 2

22 111

xxba =

−+−

b

a

x = 0

x < 0

x > 0

x = ∞

b

a

x = 0

x < 0

x > 0

11

+−=+=

+=

zzjba

jxrz

ρ

C

Techniques des micro-ondesChapitre 5 (Diapositive n° 8)

Abaque de Smith

• Présentation de l’abaque de Smith• Courbes r = Cte et x = Cte.• On peut situer z = r + jx• Une graduation de 0 à 0,5 dans le sens horaire

(charge vers générateur) correspond à n = s / λ sur une longueur de ligne égale à λ/2.

• Les courbes ρ = Cte (lignes sans perte) sont des cercles concentriques.

• Ainsi le point M positionné à partir de r et x permet de déterminer |ρ| et n et inversement.

Techniques des micro-ondesChapitre 5 (Diapositive n° 9)

Techniques des micro-ondesChapitre 5 (Diapositive n° 10)

Admittance réduite

'cotg)25,0(2'2/'Soit

)()(1)(

)()()()(1)(

)coth()()2coth()(

)2()(

θθηπθ

πθθθθθθ

θπη

πη

−=+=

+=+

+=

++=

+=+=

+=

tg

jtguthtgujthsy

jthuthjthuthsy

jusyjusy

juthsz

( )( ))25,0(2)(

2)(++=

+=ηπ

πηjuthsyjuthsz

jbgzy +== −1

Mx r

Mx r

M’b

g

M’ symétrique de M / à C

C

Techniques des micro-ondesChapitre 5 (Diapositive n° 11)

Admittance réduite

Comme α = 0 on peut plus simplement écrire que :

)2(

)2(

2

2

1

111)( sj

T

sjT

sT

sT

T

T

e

eeesz βψ

βψ

ρ

ρ

ρρ

−

−

Γ−

Γ−

−

+=

−+=

)2(

)2(

)2(

)2(

1

1

1

1)( πβψ

πβψ

βψ

βψ

ρ

ρ

ρ

ρ+−

+−

−

−

−

+=

+

−= sj

T

sjT

sjT

sjT

T

T

T

T

e

e

e

esy

L’admittance est le symétrique de l’impédance par rapport au centre.

Techniques des micro-ondesChapitre 5 (Diapositive n° 12)

Exemple d’emploi de l’abaque de SmithM

ZT

s =D – x Dx

Zc GénéTTT jXRZ +=

Soit :

Calculer l’impédance en M

• Calculer l’impédance réduite zT.• Mettre en place le point T. La droite CT coupe le pourtour de

l’abaque en A et on lit ηT.

• Tourner dans le sens horaire à partir de A de n = s / λ (vers le générateur). On obtient le point B.

• Le coefficient de réflexion ρ est constant (ligne sans perte). Le point M représente le point recherché.

T

MMM jXRZ +=

Techniques des micro-ondesChapitre 5 (Diapositive n° 13)

Techniques des micro-ondesChapitre 5 (Diapositive n° 14)

Techniques des micro-ondesChapitre 5 (Diapositive n° 15)

Détermination du point P représentatif de l’impédance de charge d’une ligne

Tracer le cercle à ROS=Cste

Repérer le point M

Mesurer xm distance entre le minimum et la charge

Tourner de xm / λ vers la charge

Obtenir le point P

Le ROS est noté ρ au lieu de S

Techniques des micro-ondesChapitre 5 (Diapositive n° 16)

Exercice n°5.1

• Une ligne sans perte de Zc = 50Ω est chargée par ZT. On mesure un ROS = 5 et λ = 50 cm.

3. Si l’on court-circuite la ligne le minimum de tension se déplace de 5,25 cm vers la charge. Déterminer ZT.

5. De combien et dans quel sens se serait déplacé ce minimum si ZT avait été remplacée par un circuit ouvert.