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resp inversa
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Control Feedback de Sistemas con
Tiempos Muertos o Repuesta Inversa
Martín F. Picó
CONTROL NUMÉRICO
En este clase…
Abordaremos el análisis y diseño de sistemas de
control Feedback de lazo cerrado de procesos más
“complejos”.
Dejar de manifiesto las dificultades en el control de
procesos con tiempos muertos (delay time) y
respuestas inversas.
Introduciremos métodos de control compensatorios
para tales sistemas.
Introducción
En Sistema de Control hemos visto sistemas “simples”
con cierto grado de idealidad.
En muchos sistemas reales no es posible lograr esta
“idealidad”.
Dispositivos de medición pueden requerir largos períodos para
completar el muestreo y/o análisis de la variable de salida.
Elementos finales de control pueden requerir algún tiempo para
implementar la señal actuadora.
Uso de control manual (operario) puede emplear una cantidad de
tiempo no despreciable en decidir e implementar la acción de
control .
Introducción
El tiempo muerto entre las variables de entrada y salida de un proceso industrial constituyen un serio problema:
Complica el análisis y diseño de los controladores feedback y sus parámetros.
Hace más dificil alcanzar una performance satisfactoria en las variables de control.
¿Cómo afecta esto al sistema de lazo cerrado?
Perturbaciones podrían no ser detectadas hasta un período de tiempo significativo.
La acción de control tomada de acuerdo a la última medición pudiese resultar inadecuada y no acorde con el estado actual de sistema.
La acción de control en sí puede tomar algún tiempo en causar efecto en el sistema.
Es posible concluir que los tiempos muertos o retrasos son una fuente importante de inestabilidad para respuestas de lazo cerrado.
Sistemas de tiempo muerto
(time-delay systems)
Se reconocen cuando en la función de transferencia
del proceso aparece un término exponencial
La respuesta dinámica exhibe un tiempo inicial de
repuesta nula igual a td
stde
Compensación de tiempo muerto.
Modificación del sistema clásico de control Feedback,
introduciendo un pequeño lazo de control local, conocido
como compensador de tiempo muerto o predictor de
Smith.
Consideremos el siguiente lazo de control feedback con
cambios en el set-point.
)(srsp
)(sGc )(sG stde
)(sy
_
+
Compensación de tiempo muerto
La respuesta del lazo abierto a cambios en el
set-point es
Nos gustaría tener una señal de lazo abierto
feedback que acarreara información actual del
sistema, sin retrasos
( ) ( ) ( )dt s
cy s G G s e r s
)()()(* srsGGsy c
Compensación de tiempo muerto
Esto es posible si para las respuesta del lazo abierto
agregamos la cantidad
De tal forma que se cumple
Induciendo la señal , el sistema Feedback
corresponde a
)(' sy
)()()()1()(' srsGsGesy c
std
)(*)()(' sysysy
)(' sy
Compensación de tiempo muerto
)(sGc )(sGstde
)(sy
_
+ )(sr
+
+ )()1( sGe
std
La señal se considera como un simple lazo local alrededor del controlador, el
cual se conoce como compensador de tiempo muerto o Smith predictor.
N.A.: seguir del apunte
)(' sy
)(' sy
)(* sy
Consideraciones
El efecto real del compensador puede graficarse como:
El compensador predice el efecto de retraso que la variable manipulada
tendrá sobre la salida del proceso. Esta predicción sólo es posible si se
tiene un modelo perfectamente conocido del proceso (función de
transferencia, tiempo muerto)
)(sr
)(sGc )(sG stde
)(sy
_
+
)(* sy
Conclusiones.
El bloque predice el efecto de la variable manipulada u y
modifica la señal de realimentación correspondiente.
El diagrama anterior es SOLO una representación
esquemática de la interpretación del resultado obtenido
cuando el Predictor de Smith es incluido en un lazo de control
por realimentación.
La compensación de tiempo muerto es efectiva si la planta es
igual al modelo. Errores en el modelo a van en detrimento del
efecto de la compensación y en consecuencia de la
performance del lazo de control
Cuando la planta es igual al modelo, el efecto del PS permite
diseñar un controlador feedback como si el sistema en lazo
cerrado no tuviese retardo. -> mayor estabilidad en el lazo de
control.
)(* sy
Sistemas con respuesta inversa
(inverse-response systems)
Ciertos procesos exhiben respuesta dinámicas a lazo abierto cuyo
comportamiento inicial está en oposición al cambio de entrada.
Ejemplos: Concentración de algunos reactores químicos
Por lo general la respuesta inversa de un proceso es producto de dos
fenómenos físicos en oposición.
La resultante de dos efectos opuestos puede producir una respuesta
inicial en la dirección opuesta a la dirección del estado estacionario.
Estos sistemas se caracterizan por tener un cero positivo (RHP zero)
Existen dos maneras de controlar sistemas con respuesta inversa: el
uso de controlador PID con sintonización Ziegler-Nichols, o bien usar
un compensador de respuesta inversa
1.- Uso de controlador PID
De todos los tipos de controladores, sólo el de PID
puede ser usado efectivamente, por la siguiente
razón:
“El modo de control derivativo por naturaleza
anticipará la dirección “errónea” de la respuesta del
sistema y proveerá la correcta acción rectificadora
para limitar el grado de inversión”
Veamos con un ejemplo como se diseñan estos
sistemas
Ejemplo: diseño de un controlador PID
Diseñe un controlador PID para el proceso cuya
función de transferencia viene dada por
Utilice para ello la técnica de Ziegler-Nichols
)15)(12(
31)(
ss
ssGP
Ejemplo: diseño de un controlador PID
A partir del diagrama de Bode, wco = 0.55 rad/s y Ku = 2, Pu = 2*π/wco = 11.43
Luego, los parámetros recomendados por Ziegler-
Nichols para el controlador PID serán
Kc = 0.6*Ku = 1.2
τI = Pu/2 = 5.7
τD = Pu/8 = 1.4
2.- Compensador de respuesta inversa
Utiliza el mismo principio que el compensador
de tiempo muerto
Consideremos el siguiente sistema feedback
)(sr)(sGc
_
+ 11
1
s
K
12
2
s
K
+
_
)(sy)(su
Compensador de respuesta inversa
La función de transferencia de salida resulta:
La respuesta inversa se presenta si se cumplen las dos
condiciones:
lo que implica que el Proceso 2 responde
más rápido que el Proceso 1, y en consecuencia el estado
estacionario inicial es dominado por el Proceso 2.
esta condición indica que le Proceso 1 fuerza al
Proceso 2 en la dirección opuesta al sistema a un estado
estacionario en la dirección opuesta al estado transitorio
inicial.
)()1()1(
)()(2
2
1
1 sus
K
s
KsGsy c
1122 // KK
11 KK
2.- Compensador de respuesta inversa
Resumiendo ambas en una sola inecuación, el proceso
exhibe respuesta inversa cuando
Reordenando, la respuesta del lazo abierto del sistema es
Si se cumple la condición anterior la misma exhibe un cero en
el semiplano complejo derecho.
12
1
2
1 K
K
)()1)(1(
)()()()(
21
211221 srss
KKsKKsGsy c
2.- Compensador de respuesta inversa Para eliminar la respuesta inversa es suficiente eliminar el
cero positivo. Esto es posible si en la señal añadimos la cantidad
Y se cumple que
La función asociada posee un cero en función de k, y para el caso que
Se tiene que el cero de la función es negativo, anulando así el efecto de respuesta inversa
)(
)1)(1(
)()()()()(')()(*
21
21211221 srss
KKskKKsGsysysy c
21
2112
KKk
)(1
1
1
1)()('
12
srss
ksGsy c
)(sy
2.- Compensador de respuesta inversa
)(sysp
)(sGc_
+ 11
1
s
K
12
2
s
K
+
_
)(sy
1
1
1
1
12 ssk
+
+
Conclusiones
El compensador de respuesta inversa predice la
inversa del comportamiento del proceso y porvee un
señal correctiva que la elimina.
Dado que la predicción está basada en un modelo
del proceso, la incertidumbre en los parámetros del
proceso puede conducor a deteriorar la performance
de la respuesta de lazo cerrado.
Un controlador PI suele ser el más comunmente
elegido para controlar este tipo de procesos.
Diseño alternativo de compensador de
respuesta inversa
Dado el siguiente diagrama de control
Introducimos un lazo menor al sistema, de modo
que
)(syd
)(sgc )1)(()( ssgsg )(sy
_
+ u
0
Diseño alternativo de compensador de
respuesta inversa
c)(syd
)(sgc )1)(()( ssgsg )(sy
_
+ u
+
_
ssgsg )()('
• Definamos la variable y’(s) tal que
)()(')(' susgsy
Diseño alternativo de compensador de
respuesta inversa
Por álgebra de bloques
Pero
Reemplazando
)(')()(' sysyysy dc
)()(')('
)()()(
susgsy
susgsy
)()(')( susgsgydc
Diseño alternativo de compensador de
respuesta inversa
Sean g*(s) = g(s) + g’(s) e y*(s) = g*(s)u(s), luego
Ahora
Si λ es tal que λ ≥ η entonces la función de transferencia asociada a y* no contiene un cero positivo
De esta forma el lazo menor provee de una señal modificadora que efectivamente elimina la respuesta inversa del lazo feedback
*yydc
ssgsg
ssgssgsg
)(1)()(*
)()1)(()(*
Consideraciones
Al igual que el compensador de tiempo muerto, sufre
de sensibilidades ante errores del modelo
Hay que ser cuidadoso en la elección de λ
Se ha demostrado que una elección de λ óptimo es
aquel que cumple
2
Ejemplo
Investigue la estabilidad del lazo cerrado de un
sistema bajo control proporcional (P controller),
primero sin compensación, y luego con el diseño de
compensador estudiado previamente. La función de
transferencia del proceso viene dada por
)15)(12(
)31()(
ss
ssg
Solución
Haciendo una inspección de la ecuación
característica del lazo cerrado, se deduce que la
condición de estabilidad ocurre para valores de Kc <
7/3 = 2.33
Si incluimos el compensador de respuesta inversa con λ = 6 entonces se tiene el sistema
Transfer Fcn
-3s+1
10s +7s+12
Step ScopeGain
-K-
Compensador
6s
10s +7s+12
Sistemas con inestabilidad en el lazo abierto
Se caracterizan por poseer al menos un polo
positivo en la función de lazo abierto
Este tipo de sistemas crea los mayores problemas
en el diseño de control
Pueden ser controlados por control feedback
convencional sólo si los parámetros de control
son escogidos cuidadosamente
Ejemplo 1
Obtenga el rango de valores de Kc requeridos para
asegurar que el sistema de lazo cerrado que
envuelve el sistema de primer orden
y un controlador proporcional sea estable 1
)(
s
Ksg
Solución
La ecuación característica del lazo cerrado es
La cual tiene una raíz dada por la expresión
Esta raíz será negativa (y el sistema cerrado
estable) a medida que se cumpla que
01
1
s
KKc
cKK
s
1
KKc
1
Ejemplo 2
Diseñe un controlador PI para el sistema del ejemplo
anterior que estabilizará el sistema de lazo cerrado
con polos localizados en s = -2 y
s = -4
Solución
En este caso Gc(s)= Kc(1+1/τI*s) y la ecuación
característica del lazo cerrado queda
Las raíces de esta ecuación cuadrática vienen
dadas por
0)1(2 cIcI KKsKKs
I
c
c
KKrr
KKrr
21
)1()21(
Solución
Introduciendo parámetros al sistema, digamos
K = 2, τ = 5, r1 = -2, r2 = -4
Se resuelve el sistema anterior y se obtiene que
Kc = 15.5
τI = 0.775
