5 Clase Transformada Discreta de Fourier - Aula …carina.fcaglp.unlp.edu.ar/senales/teorias/Clase05.pdf · Transformada Discreta de Fourier 4 Relación de Ortogonalidad de la Transformada

Análisis de Señales en Geofísica

5° Clase

Transformada Discreta de Fourier

Facultad de Ciencias Astronómicas y Geofísicas,

Universidad Nacional de La Plata, Argentina

Transformada Discreta

de Fourier

2

Discretización de la Respuesta en

Frecuencia Hemos visto que la respuesta en frecuencia ( ), de un sistema SLI con respuesta

impulsiva , es una función continua y periódica de la frecuencia digital :

n

H

h

1

0

21

2

0

( )

Tomemos muestras de ( ) a intervalos regulares de la frecuencia entre 0 y 2 :

( ) ( ) 0, 1

C

Ni n

n

n

N i k nM

k k nM

n

H h e

M H

H H k H h e k M

21

0

omo ( ) es una función periódica de período 2 , va a resultar una función

discreta, periódica, de período .

Esta ecuación:

k

N i k nM

k n

n

H H

M

H h e

0, 1

representa una transformación de números en números .n k

k M

N h M H


de Fourier

3

Discretización de H(ω)

Con la idea de obtener una transformación inversa simple, vamos a limitar

la cantidad de puntos en frecuencia a la misma cantidad de puntos en tiempo:

21

0

0, 1

Aunque esta restricción no es estrictamente necesaria, al hacerlo nos quedan

ecuaciones con incógnitas.

Multipliquemos ambos miembros por

N i k nN

k n

n

i

H h e k N

N N

e

2

2 2 2 21 1 1 1 1

0 0 0 0 0

, sumemos sobre , e intercambiemos

el orden de las sumatorias:

Introduzcamos la relación de or

k mN

N N N N Ni k m i k n i k m i k m nN N N N

k n n

k k n n k

k

H e h e e h e

togonalidad de la Transformada Discreta de Fourier.


de Fourier

4

Relación de Ortogonalidad de la


21

,

0

,

Esta relación está dada por la siguiente expresión:

Donde es el delta de Kronecker:

N i k m nN

n m

k

n m

e N

,

1 si

0 si

La relación de ortogonalidad es simple de verificar si pensamos a la sumatoria

como una suma vectorial en el plano complejo de vectores de módulo unitario

regular

n m

n m

n m

N

mente orientados en todas las direcciones. Para los casos en que ,

los vectores concatenados formarán un polígono cerrado, por lo tanto la resultante

será cero. Si , formarán una línea recta sob

n m

n m

re el eje real de longitud .N


de Fourier

5


2 21

0

Haciendo uso de la relación de ortogonalidad, obtenemos una expresión simple que nos

permite calcular los coeficiente a partir de los valores :

n k

N i k m i k mN N

k n

k

h H

H e h e

1 1 1

,

0 0 0

21

0

2

El siguiente par de ecuaciones es conocido como la Transformada Discreta de Fourier:

1

N N Nn

n n m m

n k n

N i k nN

k n

n

i

n k

h N Nh

H h e

h H eN

1

0

0, 1

0, 1

Indicaremos del siguiente modo que es la Transformada Discreta de Fourier de :

N k nN

k

k n

k N

n N

H h

n k

k n

h H

H TDF h


de Fourier

6


Si bien presentamos a como la respuesta impulsiva de un SLI y a como una versión

discretizada de su respuesta en frecuencia, la Transformada Discreta de Fourier (TDF)

puede aplicarse a cualquier

n kh H

secuencia. Puede pensarse como una forma general de mapear

números complejos en otros números complejos, donde tiempo y frecuencia juegan

roles idénticos e intercambibles.

No existe una definición

N N

21

0

2

estándar de la TDF sino que podrán encontrar otras versiones con

distintos signos y con diferentes factores, como por ejemplo:

1

1

N i k nN

k n

n

i k nN

n k

k

H h eN

h H eN

1

0

La cantidad de operaciones necesarias para calcular la TDF es proporcional a , sin

embargo existen algoritmos mucho más rápidos conocidos como FFT o transformada rápida

de Fourier, capa

N

N N

2ces de realizar el cálculo en log operaciones, la condición es que la

longitud de la secuencia sea una potencia de dos, es decir que existe entero, tal que 2 .

N N

N


de Fourier

7

TDF en Notación Matricial

2 1

0

01 111 12

1

2 121 222

1 1 1 21

Sea . Podemos escribir la TDF como

En notación matricial tendremos:

1 1 1 1

1

1

1

Nik nN

k n

n

N

N

N NN

W e H W h

H

W W WH

H W W W

H W W

0

1

2

1 11

01 111 12

1

2 121 222

1 1 1 21

La TDF inversa nos quedará:

1 1 1 1

11

1

1

N NN

N

N

N N NN

h

h

h

hW

h

W W Wh

h W W WN

h W W W

0

1

2

1 11

NN

H

H

H

H


de Fourier

8

TDF en Notación Matricial

Es decir que podemos escribir la transformada discreta de Fourier utilizando

notación matricial, del siguiente modo:

H=Wh

Premultiplicando por la matr

H H

iz transpuesta conjugada de W, también llamada

Hermitiana o Hermítica, y teniendo en cuenta que W es una matriz ortogonal,

obtenemos:

W H W Wh Ih

N

H1 h W H

N


de Fourier

9

Propiedades de la TDF

La transformada discreta de Fourier no es más que la transformada Z

evaluada en puntos regularmente dispuestos sobre el círculo unidad.

En consecuencia la mayoría de las propiedades de la TDF nos resultarán

familiares debido a nuestro conocimiento previo de la transformada Z.

Analizaremos en detalle las siguientes propiedades de la TDF:

Periodicidad en tiempo.

Simetrías

Teorema del Corrimiento Li

neal de la Fase

Teorema de Convolución


de Fourier

10

Periodicidad en Tiempo

Una de las consecuencias más importantes de haber discretizado la respuesta en

frecuencia ( ) para obtener la transformada discreta de Fourier , es la de

haber generado periodicidad en el dominio del

kH H

2 2 2 21 1 1

0 0 0

tiempo:

1 1 1

Ambas secuencias, tanto como , son periódica

N N Ni k n N i k n i k N i k nN N N N

n N k k k n

k k k

n N n

n k

h H e H e e H e hN N N

h h

h H

s de período . No nos estamos

refiriendo a la secuencia original, la cual sólo está definida para valores de entre

0 y 1, sino a la secuencia que nos devuelve la transformada discreta de Fourier

inv

N

n

N

ersa cuando la evaluamos en otros valores de .n


de Fourier

11

Forma Centrada de la TDF

Como consecuencia de la peridodicidad de la transformada discreta de Fourier podemos

comenzar la sumatoria en cualquier punto del ciclo, siempre que la extendamos por un ciclo.

Es común escribir la TDF

1 22

2

1 22

2

del siguiente modo:

, 12 2

1

, 12 2

Llamaremos a estas últimas ecuaciones form

N

i k nN

k nN

n

N

i k nN

n kN

k

N Nk

H h e

h H e N NnN

a centrada de la TDF y a las anteriores forma

estándar de la TDF. La forma centrada es más apropiada para discutir las propiedades de

simetría de la TDF, mientras que la forma estándar es más apropiada para implementarla

computacionalemente ya que sólo utiliza subíndices positivos.


de Fourier

12

TDF de una Secuencia Conjugada

1 22

2

Dada la TDF de una secuencia :

, 12 2

Tomemos el complejo conjugado:

n

N

i k nN

k nN

n

h

N NH h e k

1 22* *

2

1 22 ´* * *

´ ´

2

Hagamos el cambio de variables :́

N

i k nN

k nN

n

N

i k nN

k n n kN

n

H h e

k k

H h e TDF h

* * n kh H


de Fourier

13

TDF de una Secuencia Real

*

*

Si es una secuencia real, entonces , en consecuencia su transformada de

Fourier deberá cumplir:

Cuando una función cumple con esta

n n n

k k

h h h

H H

igualdad, se dice que es una función Hermitiana.

Cuando una función es Hermitiana su parte real es par y su parte imaginaria es

impar: Re Re

k kH H

Im Im

O dicho de otra manera, su módulo es par y su argumento es impar:

k k

k k

H H

H H

arg arg

La transformada de Fourier de una función real es una función Hermitiana, es decir,

su espectro de amplitud es par y su espectro de fase es impar.

k kH H


de Fourier

14

Descomposición Par e Impar

Toda secuencia se puede descomponer como la suma de dos secuencias, una par y

otra impar:

Donde:

2

n

par impar

n n n

par pan nn n

h

h h h

h hh h

y

2

Tomando Transformada de Fourier a estas ecuaciones, es fácil de ver las siguientes

propiedades:

r impar imparn nn n

n k

pa

n

h hh h

h H

h

Re

Im

La transformada de Fourier de una función par es real y la de una función impar es

imaginaria pura.

r

k

impar

n k

H

h H


de Fourier

15

Teorema de Parseval

2

Se define la energía de una secuencia como la suma de los cuadrados de

sus amplitudes, es decir:

El teorema de Parseval dice que la energía de

n n

n

Energía de h h

2 2

0

una secuencia de longitud

en el dominio de la transformada discreta de Fourier es veces la energía

de la secuencia en el dominio del tiempo:

n k

k

N

N

N h H

1 1

0

N N

n


de Fourier

16

Teorema del Corrimiento

Lineal de la Fase

0 0

0

2

Veamos como se relaciona la TDF de una secuencia retardada en muestras, con

la TDF de la secuencia original:

Haciendo el cambio de v

i k nN

n n n nk

n

n

TDF h h e

0 0 0

0

0 00

0

0

2 2 2 2

2 2

ariables , obtenemos:

Observe que con los deb

k kk

i k m n i k n i k m i k nN N N N

n n m m n kkm m

i k n i k n i niN Nn n k k k

k

m n n

TDF h h e e h e e TDF h

TDF h e H e H e H e

0

2

idos recaudos para que siga siendo Hermitiana,

esta expresión es válida aún cuando queremos retardar una señal real en una fracción

del intervalo de muestro.

i k nN

kH e


de Fourier

17


2

2

Consideremos dos secuencias y , con transformadas de Fourier:

G

Multipliquemo

n n

i k nN

k n

n

i k nN

k n

n

f g

F f e

g e

2 2 2

2 2 2

s las transformadas:

G

Tomando las transformada inversa al producto de las transformadas, obtenemos:

1 1

i k n i k m i k n mN N N

k k n m n m

n m n m

i k l i k l iN N N

k k n m

F f e g e f g e

F G e e f g eN N

2

1k n m i k n m lN

n m

k k n m n m k

f g eN


de Fourier

18


2 2

Utilizando la relación de ortogonalidad de la transformada discreta de Fourier,

obtenemos:

1 1 1

i k l i k n m lN N

k k n m

k n m k

F G e f g eN N N

n mf g N ,

21

*

Es decir: *

Expresado en forma polar:

m l n n l n

n m n

i k lN

k k n n

k

n n k k

f g

F G e f gN

f g F G

Es decir que convolucionar en el dominio del tiempo es equivalente a multiplicar en

el dominio de las frecuencias. Multiplicar en frecuencias es equivale

F Gk kGFiii

k k k k k kF G F e G e F G e

nte a multiplicar

espectros de amplitud y sumar espectros de fase.


de Fourier

19


De manera análoga se puede demostrar que multiplicar en tiempo es equivalente

a convolucionar en el dominio de las frecuencias:

1

n n j k jkj

TDF f g F GN

*

Observe que existe un factor 1 cuando convolucionamos en el dominio de las

frecuencias, que no aparece cuando convolucionamos en el dominio del tiempo.

T

n n k kf g F G

N

iempos y frecuencias tienen roles indistinguibles e intercambiables en la transformada

de Fourier, si determinada acción en un dominio tiene cierta consecuencia en el otro

dominio, esa misma acción en el segundo dominio tendrá igual consecuencia en el

primer dominio.


de Fourier

20

Convolución Circular

Las TDF y no son en rigor las transformadas de las secuencias y de longitud

, sino que son las las transformadas de Fourier de dos secuencias infinitas, extendidas

a periódicas, de períod

k k n nF G f g

N

o , que en el primer ciclo coinciden con las secuencias originales.

Por lo tanto el producto de las transformadas en el dominio de las frecuencias

corresponde a la convolución de dos secuencias

k k

N

F G

periódicas e infinitas en el dominio del

tiempo. Es por ello que a esta convolución se la llama convolución circular a diferencia

de la convolución que hemos considerado hasta ahora que se denomina convolución lineal.

Veamos un ejemplo, dada dos secuencias y de longitud 4 :

(1,3,0,2)

(1

n n

n

n

a b

a

b

,0, 2,2)

El resultado de la convolución circular será la siguiente secuencia de período 4:

* (7,7,6,10)

Mientras que el resultado de la convolución linea

n na b

l será la siguiente secuencia de longitud 7:

* (1,3,2,10,6,4,4)n na b


de Fourier

21

Diagrama de Convolución Circular

0 1 2 3 0 1 2 3

0 0 0 0 1 0 2 0 3

1 1 3 1 0 1 1

( 4

1 2

2 2 2 2 3 2 0 2 1

3 3 1 3 2 3 3 0

0 1 1 2 2 3 3

0 0 0 1 3 2

) ( 3) ( 2) ( 1)

( 1)

( 2) ( 1)

( 3) ( 2) 3( 1)

( 1) ( 22 1) 33 (

n k n k n n n n

k

b b b b b b b b

a a b a b a b a b

a a b a b a b a b

a a b a b a b a b

a a b a b a b a b

c a b a b a b a b a b

c a b a b a b a b

)

( 1) ( 2)

( 1

1 0 1 1 0 2 3 3 2

2 0 2 1 1 2 0 3 3

3 0 3 1 2 2

)

1 3 0

c a b a b a b a b

c a b a b a b a b

c a b a b a b a b


de Fourier

22

Correlación Cruzada

Definimos la correlación cruzada ( ) entre dos secuencias y , como la

convolución entre ambas secuencias cuando la primera es revertida, adelantada

en su longitud y conjugada:

ab n na b

* * *

* * * * * * *

1 2 3 2 1 0

( ) *

Donde: ( , , , , , , )

ab n n n n k k

n

n N N N

a b a b A B

a a a a a a a

La correlación cruzada no es conmutativa. Conmutar las secuencias de entrada

es equivalente a revertir y conjugar el resultado:

(ab

*) ( )

Claro que si las secuencias son reales, la consecuencia de conmutar las entradas

sera únicamente la de revertir la secuencia resultante.

ba


de Fourier

23


*

* *

( )

Demostración:

Sea , entonces la convolución de con es:

( ) *

Haciendo el siguiente cambio de variables , nos queda:

n n n n

ab n n m m m m m m

m m m

c a c b

c b c b a b a b

n m

* ( )ab n n

n

a b


de Fourier

24


*

*2 2 2

*

Veamos a qué es igual la tranformada de Fourier de :

Si hacemos el cambio de variables , obtenemos:

n n

i k n i k n i k nN N N

k n n n

n n n

c a

C c e a e a e

m n

*2

*

Es decir que correlacionar en el dominio del tiempo, es equivalente a multiplicar

los espectros de amplitud y restar los espectros de fase:

Aki k m iN

k m k k

m

C a e A A e

* * ( )B Ak k

i

ab n n k k k k

n

a b A B A B e


de Fourier

25

Diagrama de Correlación

0 1 2 3 4

* * * * * *

2 2 0 2 1 2 2 2 3 2 4

* * * * * *

1 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4

* * * * * *

0 0 0 0 1 0 2 0 3 0 4

*

*

2 0

* *

2 1 1 0

* * *

2 2 1 1 0 0

*

2

( )

( 2)

( 1)

( 0)

( 1)

ab n n

n

ab

ab

ab

ab

b b b b b

a a b a b a b a b a b



a b

a b

a b a b

a b a b a b

a b

* *

3 1 2 0 1

* * *

2 4 1 3 0 2

* *

1 4 0 3

*

0 4

( 2)

( 3)

( 4)

ab

ab

ab

a b a b

a b a b a b

a b a b

a b


de Fourier

26

Autocorrelación

2* *

La autocorrelación es la correlación cruzada de una secuencia consigo misma:

( )

La transformada de Fourier de la autocorrelación es el espectro

A Ak ki

aa n n k k k k k

n

a a A A A A e A

de potencia.

El espectro de potencia es real, por lo tanto la secuencia autocorrelación en tiempo

es una función par o simétrica.

Al efectuar la operación autocorrelación podemos ver que se pierde la información

de fase. Es decir que todas las secuencias que tengan el mismo espectro de amplitud,

sin importar que espectro de fase posean, tendrán la misma autocorrelación y el mismo

espectro de potencia.


de Fourier

27

La Correlación en el Dominio

de la Transformada Z

* *

*

La correlación cruzada es simple de escribir en el dominio de la transformada Z:

( ) * (1 ) ( )

En (1 ) estamos conjugando los coeficientes del polino

ab n na b A z B z

A z

mio pero no estamos

conjugando la variable compleja , en vez de ello estamos reemplazando por

1 , lo cual sobre el círculo unidad es equivalente a conjugarla.

La autocorrelación en el dominio de la t

z z

z

*

ransformada Z es igual al espectro de

potencia en el mismo dominio, y está dado por:

( ) (1 ) ( )aa A z A z


de Fourier

28

Bibliografía:

Karl, John H. (1989), An introduction to Digital Signal

Processing, Academic Press, Chapter Five.

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