5. KARAKTERIZACIJA SISTEMA U STACIONARNOM STANJU

Prelazni režim

Stacionarno stanje

( ) lim ( )t

x x t

Druga granična teorema Laplace-ove transformacije:

0( )) (lim

ssx s X

Re( )s

Im( )s

Prelazni režim Stacionarno stanje

5.1. GREŠKA RADA SISTEMA BEZ POVRATNE SPREGE U STACIONARNOM STANJU

Greška rada sistema iznosi:

( ) ( ) ( )

( ( )

( ) ( ) )

1 )

(E s R s Y s R s

R

G s R

s

s

G s

Greška zavisi od:

1. funkcije prenosa ( )G s (tj. strukture i parametara sistema)

2. ulaznog signala

( ) 0 ( ) 0E s e t je nemoguće postići t

Cilj: greška u stacionarnom stanju (statička greška) je nula

( ) 0e

G(s) R(s) Y(s)=R(s)?

Tipovi statičkih grešaka Se u odnosu na vrstu pobude

Poziciona statička greška: pobuda h(t)

lim ( ) ( )SPt

e h t y t

Brzinska statička greška: pobuda r(t) = t h(t)

lim ( ) ( )SVt

e th t y t

Statička greška ubrzanja: pobuda t2 h(t)/2

21lim ( ) ( )

2SA

te t h t y t

G(s) Y(s)

G(s) Y(s)

G(s) Y(s)

Uslov:

( )G s ima polove striktno u levoj poluravni (važi II gr. teorema Laplasa).

Određivanje pozicione statičke greške:

0

0

0

lim ( ) lim ( )

1 1lim ( )

1 lim ( )

1 (0)

1

SP P Pt s

s

s

P

e e t sE s

s G ss s

G s

G

K

0, 1

, 1

P

SP

P

Ke

K

(0) 1 0SPG e

(0)PK G - poziciono pojačanje sistema

(0) 1G može se postići

određenom kalibracijom sistema.

(0) 1G je veoma teško održati u

slučaju kada:

- na sistem deliju različiti poremećaji ili u

- menjaju se parametri i/ili struktura sistema

5.2. KARAKTERIZACIJA SISTEMA U ZATVORENOJ POVRATNOJ SPREZI U STACIONARNOM STANJU

0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )RE s R s Y s R s G s Z s G s E s

0 0( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )RE s G s G s R s G s Z s

01

1 ( )

( )

1 ( )( ) ( ) ( )E s R s

G sZ s

G s

G s

0( ) ( ) ( )RG s G s G s (funkcija povratnog prenosa)

RG (s) 0G (s)

R(s) Y(s)

Z(s)

E(s)

Faktor pojačanja i red astatizma objekta, regulatora i funkcije povratnog prenosa

0

00

0

( )( )

( )O r

P sG s K

s Q s , 0 0(0) (0) 1P Q ,

0K - faktor pojačanja objekta Go

0r - redi astatizma objekta 0G

( )( )

( )R

RR R

R

r

P sG s K

s Q s , (0) (0) 1R RP Q ,

RK - faktor pojačanja regulatora GR

Rr - red astatizma regulatora RG

0' 0

0

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )R

o RR R r r r

R

P s P s P sG s G s G s K K K

s Q ss Q s Q s

, (0) (0) 1P Q

0 RK K K - faktor pojačanja funkcije povratnog prenosa G

0 Rr r r - red astatizma funkcije povratnog prenosa G

Primer:

22 1 23 3

2 4 2 2 4 2314 4

21 23 3

2 4 2314 4

2

3 12 3( )

3 4 4 1

13

4 1

3 ( )

4 ( )

s ss sG s

s s s s s s

s s

s s s

P s

s Q s

21 2( ) 1

3 3P s s s , (0) 1P ,

4 21 3( ) 1

4 4Q s s s , (0) 1Q ,

3 / 4K ,

2r

5.2.1. GREŠKA U STACIONOM STANJU

Ukoliko su ispunjeni uslovi važenja II granične teoreme Laplasa važi:

0

0

0

0

lim ( )1 ( )

lim ( )1

( ) lim ( ) lim ( )t

s s

s

R Z

S S

sR

e e t sE s

e e

sGs

sG

sGZ

Greška u stacionom stanju zavisi od:

1. funkcija prenosa OG i G

2. ulaznog signala i poremećaja

Ulaz: 1

( ) ( ) ( )r t h t R ss

Poremećaj: 1

( ) ( ) ( )z t h t Z ss

00

0

0

0

0

0

0

1

lim ( )( )1 1 1( ) lim lim

1 ( ) 1 1 lim

1

1

( ) 1 lim ( )

ZPSP

R

SP

P

Ps s

s s

P

sG ssG ss

eG s s G s G s

Kee

K K

G s

gde su : 0

lim ( )Ps

K G s

, 0 00

lim ( )Ps

K G s

RG (s) 0G (s)

R(s)=1/s Y(s)

Z(s)=1/s

E(s)

Poziciona statička greška usled pobude

1/ (1 )R

SP Pe K

Poziciono pojačanje (konstanta položaja) funkcije povratnog prenosa G:

0lim ( )Ps

K G s

0 0

0 0 00

, 0( ) 1 1lim ( ) lim lim

, 0,( )

R R

P r rs s sR

K K K r r rP sK G s K K

r r r KQ s s s

0

0

00

1 1, 01 1

1 111

1 lim 0, 0,

RRRSP

Pr Rs

r r rK K Ke

KK r r r K

s

Za 0 0Rr r r postoji greška R

SPe koja iznosi 01 (1 )RK K .

Za 0 0Rr r r greška R

SPe je jednaka nuli bez obzira na vrednost faktora

pojačanja K.

Poziciona statička greška usled poremećaja

0 / (1 )Z

SP P Pe K K

Poziciono pojačanje objekta G0:

0 00

lim ( )Ps

K G s

0 0 0

0 000 0 0 0 0

0 0 0 000

, 0( ) 1 1 1 1lim ( ) lim lim lim

, 0( ) 1P r r rs s s s

K rP sK G s K K K

rQ s s s s

Poziciono pojačanje funkcije povratnog prenosa G:

0 0

00

, 0lim ( )

, 0,

R R

Ps

R

K K K r r rK G s

r r r K

Poziciona ststička greška usled poremećaja

0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

( )

( ) ( ) ( ) ( )lim lim lim

( )1 ( ) ( ) ( ) ( )1( )

1lim lim lim

O

R R

OO r

r rZ O O O OSP rs s s

Or

r r r r r rO O

s s sO R R

P sK

G s s Q s K P s Q se s

P sG s Q s s Q s KP sKs Q s

K Ks s s

K K K K

0

1, 0

0, 0, ,

RZRSP

R

rKe

r K K

Slučaj 0Rr postoji greška Z

SPe koja iznosi 1/ RK .

Slučaj 0Rr : greška Z

SPe je jednaka nuli bez obzira na vrednost faktora

pojačanja K i K0.

Dejstvo više poremećaja, pobuda ukinuta

1 2 3

1 2 3

( ) ( ) ( )

( )( ) 1( ) ( ( )) ( ( )) ( ( ))

1 ( ) 1 ( ) 1 ( )

Z Z Z

Z O

E s E s E s

G sG sE s Z s Z s Z s

G s G s G s

RG (s) OG (s)

R =0

Y(s)

Z2(s)

E(s)

Z1(s) Z3(s)

31 2

0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

( ) lim ( )

lim ( ) lim ( ) lim ( )

( )( ) 1 1 1 1lim lim lim

1 ( ) 1 ( ) 1 ( )

( )( ) 1lim lim lim

1 ( ) 1 ( ) 1 ( )

Z Z

SP Ps

ZZ Z

P P Ps s s

O

s s s

O

s s s

e sE s

sE s sE s sE s

G sG ss s s

G s s G s s G s s

G sG s

G s G s G s

31 2

0 0

0 0 0

lim ( ) lim ( ) 1( ) ( ) ( ) ( )

1 lim ( ) 1 lim ( ) 1 lim ( )

( ) ( ) ( )

OZ s sSP

s s s

ZZ Z

SP SP SP

G s G se

G s G s G s

e e e

Greška poremećaja koji deluje ispred regulatora:

1

0 0 0

( ) 1 1

( ) ( )( ) lim lim lim

( ) 1 11 0

1 ( )1 1

( )

r rZ

SP rs s s

r r

P sK K

G s KQ s s seP sG s s K

K KQ s s s

Greške poremećaja koji deluju iza regulatora:

2

0 0

( ) 1( ) lim lim 0,

1 ( )0RZ rO

SPs

Rs

R

G se s

G Kr

s

3

00

0

1 1( ) lim 0, 0

11 ( )1 lim

Z

SP Rs

rs

e r r rG s

Ks

Ukupna greška svih poremećaja:

( ) 1 0 0 1 0Z

SPe

Zaključak. Da bi ( ) 0Z

SPe treba regulator sa 0Rr postaviti ispred

mesta dejstva poremećaja.

5.2.2. BRZINSKA KONSTANTA

Ulaz: 2

1( ) ( ) ( )r t th t R s

s Poremećaj:

1( ) ( ) ( )z t h t Z s

s

Brzinska statička greška:

0

0 0

0 0

2

lim ( )( )1 1( ) lim lim

1 ( ) 1 lim ( ) 1 lim

1

1

1

1

OO s

vs s

s s

R Z

VOP

PV

S SP

G sG se s s

G s G sGs

K

s

K

s G

eK

e

RG (s) OG (s)

2R(s) 1/ s Y(s)

Z(s) 1/ s

E(s)

Brzinska konstanta sistema ili brzinsko pojačanje funkcije povratnog prenosa.

0lim ( )Vs

K sG s

0

0

0 010 0

0, 0(0) 1

lim ( ) l

, 1

im , 1

,(0)

R

V R Rrs s

R

r r rKP

K sG s K K K r r rQ s

r r r K

Brzinska statička greška:

0

0

0

0

0, 1,

, 0

1 1 1, 1

R

R

SP R

V R

R

r r r

e r r rK

r r K

K K

r

K

5.2.3. KONSTANTA UBRZANJA

Ulaz: 2

3

1 1( ) ( ) ( )

2r t t h t R s

s Poremećaj:

1( ) ( ) ( )z t h t Z s

s

Statička greška ubrzanja:

0

3 20 0

0 0

lim ( )( )1 1 1 1( ) lim lim

1 ( ) 1 ( ) lim

1

( ) 1 lim ( )

1

OP

OO s

As s

s s

R Z

SA SP

A P

G sG se s s

G s s G s s s G s G s

e eK

K K

RG (s) OG (s)

3R(s) 1/ s Y(s)

Z(s) 1/ s

E(s)

Konstanta ubrzanja sistema ili pojačanje ubrzanja funkcije povratnog prenosa

2

0lim ( )As

K s G s

0

2

0 020 0

0

0, 0,1(0) 1

lim ( ) lim ,

, 2

2(0)

R

A R Rr

R

s s

r r rKP

K s G s K K K r r r

rQ s

r r

Statička greška ubrzanja:

0

0

0

0

, 0,1

1 1 1, 2

0, 2

R

R

SP R

A R

R

r r r

e r r

r

K K K K

r

r

r

GREŠKA U STACIONARNOM STANJU SISTEMA SA POVRATNOM SPREGOM U FUNKCIJI POBUDE I REDA ASTATIZMA

referenca

h t th t 21( )

2t h t

asta

tiza

m

red

a r

0 0Rr r r 1

1

R

SP

P

eK

R

SVe R

SAe

...

R

Se 0 1Rr r r

0R

SPe

1R

SV

V

eK

0 2Rr r r

0R

SVe

1R

SA

A

eK

0R

SAe

Primer 5.1. Objekat: 00

0

( )1

KG s

T s

, Poziciona greška ?R

SPe

Za sistem bez povratne sprege je

0 01 (0) 1 1R

SP Pe G K K

0R

SPe ako je 0 1K (kalibracija)

Za sistem sa povratnom spregom, sa ( ) 1RG s

0 0

1 1

1 (0) 1 1

R

SPeG K

,

0R

SPe kada 0K

Usvojimo 0 100K 1

0.0099 0 % 1%1 100

R R

SP SPe e

0G (s) R(s) Y(s)

1 0G (s)

R(s)=1/s Y(s) E(s)

Za sistem sa povratnom spregom i ( ) 1/RG s s važi

0

0 00

lim ( ) lim1

Ps s

KK G s

s T s

1

0R

SP

P

eK

0K

1/ s 0G (s)

R(s)=1/s Y(s) E(s)

Neka se 0K smanji za 10%

Sistem bez povratne sprege: 0 1K 0ˆ 0.9K

1 0.9 0.1 % 10%R R

SP SPe e

drastična promena u R

SPe sa 0% na 10%

Sistem sa povratom spregom i ( ) 1RG s , 0 100K 0ˆ 90K

0

1 1 1% 1.1%

ˆ 1 90 911

R R

SP SPe eK

neznatna promena u R

SPe sa 1% na 1.1%

Za sistem sa povratnom spregom i ( ) 1/RG s s

00 0

0

1lim ( ) lim 0

1

ROP SP

s sP

KK G s e K

s T S K

,

greška je jednaka 0

5.3. OČITAVANJE KONSTANTI GREŠKE SA BODEOVIH DIJAGRAMA

0lim ( )Ps

K G s

0lim ( )Vs

K sG s

2

0lim ( )As

K s G s

Za s j

0 0

( )lim ( ) lim

( )P

KP jK G j K

Q j

ako je red astatizma r = 0

0 0

( )lim( ) ( ) lim( )

( )V

KP jK j G j j K

j Q j

ako je red astatizma r = 1

2 2

20 0

( )lim( ) ( ) lim( )

( ) ( )A

KP jK j G j j K

j Q j

ako je red astatizma r = 2

5.3.1. KONSTANTA POLOŽAJA KP

0

0 0

( )lim ( ) lim

( )P

KP jK G j K

Q j

ako je red astatizma r = 0

Početni segment amplitudne karakteristike sistema bez astatizma ( 0r )

je20log K , i to je upravo vrednost Kp izražena u decibelima

(log) 20logKP

L( )

KP>1

5.3.2. BRZINSKA KONSTANTA KV

0

0 0

( )lim( ) ( ) lim( )

( )V

KP jK j G j j K

j Q j

ako je red astatizma r = 1

Početni segment amplitudne karakteristike sistema sa astatizmom

prvog reda ( 1r ) je 20log 20logK .

20 20 0          VlogK log K K .

-20dB/dec

VK 1

20logKV

L( )

(log)

-20dB/dec

VK

1

20logKV

L( )

(log)

KV<1 KV>1

5.3.3. KONSTANTA UBRZANJA KA

0

2 2

20 0

( )lim( ) ( ) lim( )

( ) ( )A

KP jK j G j j K

j Q j

ako je red astatizma r = 2

Početni segment amplitudne karakteristike sistema sa astatizmom drugog

reda ( 2r ) je 20 40logK log .

220 40 0         AlogK log K K .

-40dB/dec

AK

1

20logKA

L( )

(log)

-40dB/dec

AK

1

20logKA

L( )

(log)