Programación Lineal

Método SimplexSolución con Solver

Forma Estándar

Es una forma particular de un problema de programaciónlineal en la cual la función objetivo debe ser Maximizada,

solamente existen restricciones de igualdad y todos loslados derechos de las restricciones y las variables son no

negativas.

Variables de igualación

Variable Floja o de holgura: variable no negativa que se agregaal lado izquierdo de una restricción “menor o igual” para convertirla en igualdad.

Variable superávit o de excedente: variable no negativa quese resta del lado izquierdo de una restricción “mayor o igual”para convertirla en igualdad.

Normalmente se representan por la letra S

Enunciado:

Cualquier restricción puede ser convertida en igualdad sumando una variable de holgura no negativa del lado izquierdo.

Cualquier restricción se puede convertir en igualdad restando una variable de excedente no negativa del lado izquierdo

Forma EstándarEjemplo:Colocar en forma estándar el siguiente sistema lineal:

0x,x6 x x -6 x 60- x 10 - 6x-

567x 8x

2X

1X Max

21

21

1

21

21

..RB

0x,x6 x x-6 x

60- x10 - 6x-567x 8x

..

2X

1XMax

21

21

1

21

21

RBMax x1 + x2

8x1 + 7x2 + S1 = 566x1 + 10x2 + S2 = 60 x1 + S3 = 6 -x1 + x2 - S4 = 6

Forma Estándar

4 restricciones con 2 variables

4 restricciones con 6 variables

Ejemplo:Una fábrica de TV’`s produce 2 tipos de televisiones, el Astroy el Cosmo. Hay dos líneas de producción, una para cada tipo

de televisor y dos departamentos; ambos intervienen en laproducción de cada aparato. La capacidad de la línea deproducción Astro es de 70 TV/día y la de Cosmo es de 50.En el departamento A se fabrican los cinescopios, en ese

departamento los TV Astro requieren 1 hr./hombre de trabajo y los Cosmo 2 hrs./hombre, y pueden asignarse un máximo de 120

hrs./día. En el departamento B se construye el chasis, este es igual para ambos y consume 1 hrs./hombre c/u y se pueden

asignar 90 hrs./día. La utilidad por aparato es de $20.00 para Astro y $10.00 para Cosmo.

Ejemplo:

Hrs./ aparato

AstroA

CosmoC

Disponibilidad

Departamento A 1 2 120

Departamento B 1 1 90

Capacidad 70 50

Utilidad 20 10

Ejemplo:

0 C A,B Cap. 50 C A Cap. 70 A

B Depto. 90 C AA Depto. 120 2C A

BR10C 20A Max

Planteamiento: Forma estándar:

Max 20A + 10C

A + 2C + S1 = 120A + C + S2 = 90A + S3 = 70 C + S4 = 50

90

80

70

60

50

40

30

20

10

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

C

A

Representación gráfica

90

80

70

60

50

40

30

20

10

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

C

AI

II III

IV

V

VI

Punto óptimoA=70, C=20

A = 0

S4 = 0

S1 = 0

S2 = 0

S3 = 0

C = 0

Definición

Variables Básicas: son aquellas variables que en un vérticeson diferentes de 0.

Variables no básicas: son aquellas que en un vértice tienenvalor igual a 0.

Para cualquier problema de PL escrito en forma estándar con restricciones de igualdad, el número de variables positivas en cualquier vértice es igual o menor que el número de restricciones.

Representación gráfica

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

X2

X1

0x,x(4) 6 x x -(3) 6 x (2) 60- x 10 - 6x-(1) 567x 8x

2X

1X Max

21

21

1

21

21

..RB4

2

1

3

Región factibleX2

X1I

II

III

IV

V

P1

S1 , S2 , S3 , S4 0

Conteo de positivas en vértices

Vertice Variables Nulas Variables positivas No. De positivasI X1 , X2 S1, S2, S3, S4 4II X1 , S2 , S4 X2, S1, S3 3III S1, S2 X1, X2, S3, S4 4IV S1, S3 X1, X2, S2, S4 4V X2, S3 X1, S1, S2, S4 4

Vértice degenerado

Definición:

El algoritmo Simplex es un método algebraico sistemático queexamina los vértices de un conjunto factible de programación

lineal en busca de una solución optima.

En particular el método comienza con la determinación de un vértice inicial y luego recorre la región factible hasta encontrar

la solución optima basado en los costos de oportunidad.

Definición:

Cada vértice se representa algebraicamente como una clasede solución particular de un conjunto de ecuaciones linealesCada movimiento en la secuencia se llama ITERACIÓN oPIVOTEO. El modelo utiliza la forma estándar.

Método Simplex

I

II III

IV

V

VI

Punto óptimoA=70, C=20

A = 0

S4 = 0

S1 = 0

S2 = 0

S3 = 0

C = 0

Herramienta Solver

Es una de las herramientas que proporciona Excel. Consisteen identificar en una hoja de cálculo normal, las celdas que

representaran las variables de decisión e introducir la funciónobjetivo y las restricciones en función de estas celdas. Una

vez identificados se ejecuta la herramienta Solver, indicando si el sistema se desea maximizar o minimizar y se obtienen las

respuestas al sistema.

Herramienta Solver

Herramienta Solver

Herramienta Solver

Herramienta Solver

Herramienta Solver

Herramienta Solver Se coloca la celdaen donde esta el objetivoSe escoge el objetivo del problema

Se colocan las variables de decisión

Se colocan las restricciones

Herramienta Solver

Ejemplo:

A= 70C= 20

Max 1600

Depto A 110 120Depto B 90 90

Cap.linea Astro 70 70Cap. Linea Cosmo 20 50

Respuesta de una aplicación solver

Ejemplo:La confederación agrícola sur esta formada por tres pequeñas comunidades, la planeación global del grupo se hace en una oficina de coordinación técnica. En la actualidad planean la producción agrícola para el próximo año.La producción esta limitada tanto por la extensión de terreno disponible para irrigación como por la cantidad de agua que la Comisión de Aguas asigne.

ComunidadTerreno

disponible (acres)

Asignación de agua (pies-

acre)

1 400 600

2 600 800

3 300 375

Ejemplo:Los tipos de cultivo adecuados para la región incluyen remolacha, algodón y sorgo, que son precisamente los que están es estudio para la estación venidera. Los cultivos difieren primordialmente en su rendimiento neto esperado por acre y en su consumo de agua. Además el Ministerio de Agricultura ha establecido una cantidad máxima de acres que la Confederación puede dedicas a estos cultivos

Cultivo Cantidad máxima en

acres

Consumo de agua (acre-

pie/acre)

Rendimiento neto ($/acre)

Remolacha 600 3 1000

Algodón 500 2 750

Sorgo 325 1 250

Ejemplo:Debido a la disponibilidad limitada de agua para irrigación, la confederación no podrá utilizar todo el terreno irrigable para los cultivos de la próxima temporada, para asegurarse la equidad entre las tres comunidades han acordado que cada uno sembrará la misma proporción de sus tierras irrigables disponibles. Por ejemplo la comunidad 1 siembra 200 de sus 400 acres disponibles, entonces la comunidad 2 deberá sembrar 300 de sus 600 acres, mientras que la comunidad 3 sembrará 150 de sus 300 acres.Cualquier combinación de estos cultivos se pude sembrar en cualquiera de las granjas. El trabajo al que se enfrenta la oficina es asignar cuantos acres deberán sembrarse en cada comunidad cumpliendo con las restricciones.

Solución

TAREA

MÁQUINA DEMANDA MÁXIMAPRODUCT

O 1 2 3 4

A 5 10 6 3 400B 3 6 4 8 100C 4 5 3 3 150D 4 2 1 2 500

PROBLEMA 1Un problema de producción. Una planta tiene suficiente capacidad para manufacturar cualquier combinación de cuatro productos diferentes (A, B, C, D). Para cada producto siempre se requiere invertir tiempo en cuatro máquinas distintas, el cual está expresado en minutos / kilogramo de producto, como se puede apreciar en la siguiente tabla. Cada máquina tiene una disponibilidad de 60 hrs. /semana. Los productos A, B, C y D pueden venderse a $9, $7, $6 y $5 por kilo respectivamente. Los costos variables de mano de obra son de $2 por hora para las máquinas 1 y 2 y de $3 por hora para las máquinas 3 y 4. Los costos de material para cada kilo del producto A son de $4. Los costos de material para cada kilo de los productos B, C y D son de $1. Formule el modelo de PL que maximice las ganancias, dada la demanda máxima del producto que se muestra a continuación y resuélvalo.

TAREAPROBLEMA 2Un problema de producción. Un fabricante tendrá que atender cuatro pedidos de producción A, B, C, y D, en este mes. Cada trabajo puede ser llevado a cabo en cualquiera de los tres talleres. El tiempo utilizado para completar cada trabajo en uno de estos talleres, el costo por hora y la cantidad de horas disponibles que tendrá cada taller durante este mes aparecen en la siguiente tabla. También existe la posibilidad de dividir cada uno de los trabajos entre los distintos talleres, en cualquier proporción que se desee. Por ejemplo, una cuarta parte del trabajo de A puede hacerse en 8 horas en el taller 1 y una tercera parte del trabajo de C puede hacerse en 19 horas en el taller 3. El fabricante desea determinar la cantidad de horas de cada trabajo que deberán realizarse en cada taller, para minimizar el costo total de terminación de los cuatro trabajos. Identifique las variables de decisión, formule el PL para este problema y resuélvalo.

  TIEMPO REQUERIDO (hrs.)COSTO POR HORA DEL TALLER ($)

TIEMPO DE TALLER

DISPONIBLE (hrs.)

TALLER A B C D

1 32 151 72 118 89 160

2 39 147 61 126 81 160

3 46 155 57 121 84 160

TAREAPROBLEMA 3Un problema de programación. Mientras permanece en las afueras de Estocolmo, el portaviones Mighty efectúa maniobras de lunes a viernes y fondea el fin de semana. La próxima semana, el capitán desea dejar en tierra, desde el lunes hasta el viernes a la mayoría de los 2,500 marineros de la tripulación. No obstante, debe efectuar las maniobras de la semana y cumplir con los reglamentos navales. Dichos reglamentos son:Los marineros deberán trabajar ya sea en el turno a.m. (de medianoche a mediodía) o en el p.m. (de mediodía a medianoche) cada uno de los días que estén en servicio y, durante toda la semana, tendrán que estar adscritos al mismo turno todos los días de servicio.Cada marinero que trabaje debe de estar en activo durante cuatro días, incluso cuando no haya suficiente “trabajo real” en alguno de esos días. La cantidad de marineros requeridos para cada uno de esos turnos, según los diferentes días, se muestra en la siguiente tabla. Formule y resuelva este ejercicio como un problema de PL, de manera que podamos saber cuántos marineros trabajarán cada día.

L M M J V

A.M. 900 1000 450 800 700

P.M. 800 500 1000 300 750

TAREAPROBLEMA 4:Un problema de integración. Alimentos Consolidados produce dos salsas para carne: Spicy Diablo y Red Baron (la mas suave). Estas salsas se hacen mezclando dos ingredientes A y B. Se permite cierto nivel de flexibilidad en las fórmulas de estos productos. Los porcentajes permisibles, así como la información de ingresos y costos, aparecen en la siguiente tabla. Es posible comprar hasta 40 litros de A y 30 de B. Alimentos Consolidados puede vender toda la salsa que elabore. Formule el modelo PL para maximizar las ganancias netas obtenidas por las ventas de estas salsas.

Salsa

Ingrediente Precio de venta por litro

($)A B

Spicy Diablo Cuando menos 25%

Cuando menos 50% $3.35

Red Baron Cuando mucho 75% No hay límite $2.85

Costo por litro $1.60 $2.59  

TAREAPROBLEMA 5Administración Agrícola. Una empresa opera 4 granjas de productividad comparable. Cada granja tiene una cierta cantidad de acres útiles y un número de horas disponibles para plantar y atender los cultivos. Los datos para la siguiente temporada se muestran en la siguiente tabla 1. La organización está pensando en sembrar 3 cultivos, que difieren, según se muestra en la tabla 2.

GRANJA AREA UTILIZABLEHORAS DE TRABAJO DISPONIBLES x MES

1 500 1700

2 900 3000

3 300 900

4 700 2200

CULTIVO AREA MÁXIMAHORAS DE

LABOR AL MES x ACRE

UTILIDAD ESPERADA x ACRE

A 700 2 $500.00

B 800 4 $200.00

C 300 3 $300.00

Tabla 1

Tabla 2

TAREAPor otra parte, el área total que puede ser destinada a cualquier cultivo particular está limitada por los requerimientos de equipo de cultivo, con el objeto de mantener, a grandes rasgos, cargas de trabajo uniformes entre las granjas, la política de la administración es que el porcentaje del área aprovechada debe ser el mismo en cada granja. Sin embargo, se puede cultivar cualquier combinación de las plantaciones en tanto se satisfagan todas las restricciones (incluyendo el requerimiento de carga de trabajo uniforme). La administración desea saber cuántos acres de cada cultivo deben sembrarse en las respectivas granjas con el objeto de maximizar las utilidades. Formule esto como un modelo de programación lineal.

TAREAPROBLEMA 6:Jorge Hernandez administra una granja de su familia. Para complementar varios alimento que se cultivan en la granja, Jorge también cría cerdos para la venta y desea determinar las cantidades de los distintos tipos de alimento disponibles (maíz, soja y alfalfa) que debe dar a cada cerdo. Como éstos se comerán cualquier mezcla de estos alimentos, el objetivo es determinar cuál de ellas cumple ciertos requisitos nutritivos a un costo mínimo. En la siguiente tabla se presentan las unidades de cada tipo de ingrediente nutritivo básico que contiene 1 kilogramo de cada tipo de alimento, junto con los requisitos de nutrición diarios y los costos de los alimentos.

Ingrediente nutritivo

1 Kg. de maíz

1 Kg. de soja

1 Kg. de alfalfa

Requerimiento mínimo

Carbohidratos 90 20 40 200

Proteína 30 80 60 180

Vitaminas 10 20 60 150

Costo (€) 84 72 60

PROBLEMA 6: