Método simplex. Teoria

MÉTODO SIMPLEX

• Procedimiento general para resolver problemas de programación

lineal.

• Desarrollado por George Dantzig en 1947.

• Es un procedimiento algebraico aunque sus conceptos

fundamentales son geométricos.

• Está basado en un algoritmo o series de pasos donde se evalúan

los criterios de Optimalidad y Factibilidad

• Se pueden usar con 2 o más variables de decisión.

Función Objetivo:

Max Z = 5X1 + 4X2

Restricciones:

MÉTODO SIMPLEX

Restricciones:

1. 6X1 + 4X2 <= 24

2. X1 + 2X2 <= 6

3. -X1 + X2 <= 1

4. X2 <= 2

5. X1 ,X2 >= 0

Pasos:

1. Transformar la función Z y las restricciones a igualdades e

introducir las variables de holgura o de exceso de acuerdo al

caso de la restricción, estas variables también denominadas no

básicas se determinan en función del número de restricciones

MÉTODO SIMPLEX

básicas se determinan en función del número de restricciones

presentes en el modelo:

• En el caso de las restricciones si son <= se convierten en =

pero se introducen variables de holgura o variables básicas

con signo positivo

• En el caso de las restricciones si son >= se convierten en =

Pasos:

• pero se introducen variables de exceso o variables básicas

con signo negativo

En nuestro ejemplo base este paso queda de la siguiente forma

Z - 5X - 4X + 0X + 0X + 0X + 0X = 0

MÉTODO SIMPLEX

Z - 5X1 - 4X2+ 0X3+ 0X4+ 0X5+ 0X6= 0

6X1 + 4X2+X3+ 0X4+ 0X5 + 0X6 = 24

X1 + 2X2+0X3+ X4+ 0X5 + 0X6 = 6

-X1 + X2+0X3+ 0X4+ X5 + 0X6 = 1

0X1+X2+0X3+ 0X4+ 0X5 + X6 = 2

X1,X2,X3,X4,X5,X6 >= 0

Pasos:

2. Construir la tabla original de partida del Método Simplex

MÉTODO SIMPLEX

Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 Solución Renglón

Z 1 -5 -4 0 0 0 0 0 Z

X3 0 6 4 1 0 0 0 24 X3

Variables no básicas (ceros) (X1 y X2)

Variables básicas (X3,X4 ,X5, X6)

X4 0 1 2 0 1 0 0 6 X4

X5 0 -1 1 0 0 1 0 1 X5

X6 0 0 1 0 0 0 0 2 X6

Pasos:

3. Identificar que Variable sale y cual entra utilizando los

criterios de optimalidad y de factibilidad respectivamente

• Criterio de Optimalidad: Si el problema es de

Maximización la variable no básica que entra es la que

MÉTODO SIMPLEX

Maximización la variable no básica que entra es la que

tiene el coeficiente más negativo en el renglón Z, si el

problema es Minimización la variable no básica que

entra es la que tiene el coeficiente más positivo en el

renglón Z. En el caso de que hubiese empates se rompen

en forma arbitraria. Se llega al óptimo en la iteración en

Pasos:

• la que todos los coeficientes de las variables no básicas

son positivas (si el problema es Maximización) o son

positivas (si el problema es Minimización).

Criterio de Factibilidad: Independientemente si el

MÉTODO SIMPLEX

• Criterio de Factibilidad: Independientemente si el

problema es de maximización y minimización, la variable

de salida es la variable básica asociada con la mínima

razón no negativa (con denominador estrictamente

positivo). Los empates se rompen en forma arbitraria.

Pasos:

En nuestro ejemplo base este paso queda de la siguiente forma

MÉTODO SIMPLEX


Z 1 -5 -4 0 0 0 0 0 Z Z 1 -5 -4 0 0 0 0 0 Z

X3 0 6 4 1 0 0 0 24 X3

X4 0 1 2 0 1 0 0 6 X4

X5 0 -1 1 0 0 1 0 1 X5

X6 0 0 1 0 0 0 0 2 X6

Pasos:

Por tanto se divide la Solución entre cada coeficiente de la Columna

X1 por ser la variable que entra en este momento por tanto

MÉTODO SIMPLEX

Básicas Solución X1 Nueva Solución

X3 24 6 4

6

24 = 6

X4 6 1 6

1

6 =

X5 1 -1 1

1

1 −=−

X6 2 0 ∞=0

2

Pasos:

En función de este cálculo se desecha los valores negativos y los

indeterminados por no cumplir el criterio de factibilidad, por tanto

queda X3 con 3 y X4 con 6 para aplicar dicho criterio, por tanto se

toma X3 con 3 por ser el valor más pequeño.

MÉTODO SIMPLEX

Columna Pivote (X1) Variable que entra (X1) Fila Pivote (X3) Variable que sale (X3) Elemento

Pivote: 6


Z 1 -5 -4 0 0 0 0 0 Z

X3 0 6 4 1 0 0 0 24 X3

X4 0 1 2 0 1 0 0 6 X4

X5 0 -1 1 0 0 1 0 1 X5

X6 0 0 1 0 0 0 0 2 X6

Pasos:

Iteración # 1:

Aplicando el Método de Gauss – Jordan para obtener la nueva

solución básica

MÉTODO SIMPLEX


Z 1 0 -2/3 5/6 0 0 0 20 Z

X1 0 1 2/3 1/6 0 0 0 4 X1

X4 0 0 4/3 -1/6 1 0 0 2 X4

X5 0 0 5/3 1/6 0 1 0 5 X5

X6 0 0 1 0 0 0 0 2 X6

Pasos:

Iteración # 1:

Nueva Fila Pivote (NFP) X1 = Fila Pivote X3 / Elemento Pivote

MÉTODO SIMPLEX

Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 Solución

X1 0/6 6/6 4/6 1/6 0/6 0/6 0/6 24/6


X1 0 1 2/3 1/6 0 0 0 4

Pasos:

Nueva Z = Z Anterior + (NFP X1* (-)Coeficiente de la Columna Pivote

X1)

MÉTODO SIMPLEX


Z

anterior

1 -5 -4 0 0 0 0 0

anterior

NFP X1 0*5 1*5 (2/3) *5 (1/6)*5 0*5 0*5 0*5 4*5


Z

anterior

1 -5 -4 0 0 0 0 0

+

NFP X1 0 5 10/3 5/6 0 0 0 20

Nueva Z 1 0 -2/3 5/6 0 0 0 20

Pasos:

Nueva X4 = X4 Anterior + (NFP X1* (-)Coeficiente de la Columna

Pivote X1 )

MÉTODO SIMPLEX


X4

anterior

0 1 2 0 1 0 0 6

NFP X1 0*-1 1*-1 (2/3) *-1 (1/6)*-1 0*-1 0*-1 0*-1 4*-1


X4

anterior

0 1 2 0 1 0 0 6

+

NFP X1 0 -1 -2/3 -1/6 0 0 0 -4

Nueva

X4

0 0 4/3 -1/6 1 0 0 2

Pasos:


Pivote X1)

MÉTODO SIMPLEX


X5

anterior

0 -1 1 0 0 1 0 1

NFP X1 0*1 1*1 (2/3) *1 (1/6)*1 0*1 0*1 0*1 4*1


X5

anterior

0 -1 1 0 0 1 0 1

+

NFP X1 0 1 2/3 1/6 0 0 0 4

Nueva

X5

0 0 5/3 1/6 0 1 0 5

Pasos:


Pivote X1 )

MÉTODO SIMPLEX


X6

anterior

0 0 1 0 0 0 0 2

NFP X1 0*0 1*0 (2/3) *0 (1/6)*0 0*0 0*0 0*0 4*0


X6

anterior

0 0 1 0 0 0 0 2

+

NFP X1 0 0 0 0 0 0 0 0

Nueva

X6

0 0 1 0 0 0 0 2

Pasos:

Iteración # 2: Aplicando los criterios de optimalidad y factibilidad

MÉTODO SIMPLEX


Z 1 0 -2/3 5/6 0 0 0 20 Z

X 0 1 2/3 1/6 0 0 0 4 X X1 0 1 2/3 1/6 0 0 0 4 X1

X4 0 0 4/3 -1/6 1 0 0 2 X4

X5 0 0 5/3 1/6 0 1 0 5 X5

X6 0 0 1 0 0 0 0 2 X6

Pasos:

Por tanto se divide la Solución entre cada coeficiente de la Columna

X2 por ser la variable que entra en este momento por tanto

MÉTODO SIMPLEX

Básicas Solución X2 Nueva Solución

X1 4 2/3

62

12

3

21

4

==

3

X4 2 4/3

5,14

6

3

41

2

==

X5 5 5/3

35

15

3

51

5

==

X6 2 1 2

1

2 =

Pasos:

En función de este cálculo queda X4 con 1,5 por ser el valor más

pequeño.

MÉTODO SIMPLEX


Z 1 0 -2/3 5/6 0 0 0 20 Z

X1 0 1 2/3 1/6 0 0 0 4 X1

Columna Pivote (X2) Variable que entra (X2) Fila Pivote (X4) Variable

que sale (X4) Elemento Pivote: 4/3

X1 0 1 2/3 1/6 0 0 0 4 X1

X4 0 0 4/3 -1/6 1 0 0 2 X4

X5 0 0 5/3 1/6 0 1 0 5 X5

X6 0 0 1 0 0 0 0 2 X6

Pasos:MÉTODO SIMPLEX


Z 1 0 0 3/4 1/2 0 0 21 Z

X1 0 1 0 1/4 -1/2 0 0 3 X1

X2 0 0 1 -1/8 3/4 0 0 3/2 X2 X2 0 0 1 -1/8 3/4 0 0 3/2 X2

X5 0 0 0 3/8 -5/4 1 0 5/2 X5

X6 0 0 0 1/8 -3/4 0 0 1/2 X6

Pasos:

Nueva Fila Pivote (NFP) X2 = Fila Pivote X4 / Elemento Pivote

MÉTODO SIMPLEX


X2

1

0

1

0

3

4

6

1−

1

1

1

0

1

0

1

2

3

41

3

41

3

43

3

46

3

41

3

41

3

41

3

41


X2 0 0 1 -1/8 3/4 0 0 3/2

Pasos:

Nueva Z = Z Anterior + (NFP X2* (-)Coeficiente de la Columna Pivote

X2)

MÉTODO SIMPLEX


Z

anterior

1 0 -2/3 5/6 0 0 0 20

NFP X2 0* 2/3 0* 2/3 1* 2/3 -1/8* 2/3 3/4* 2/3 0* 2/3 0* 2/3 3/2* 2/3


Z

anterior

1 0 -2/3 5/6 0 0 0 20

+

NFP X2 0 0 2/3 -1/12 1/2 0 0 1

Nueva Z 1 0 0 3/4 1/2 0 0 21

Pasos:

Nueva X1 = X1 Anterior + ((NFP X2* (-)Coeficiente de la Columna

Pivote X2)

MÉTODO SIMPLEX


X1

anterior

0 1 2/3 1/6 0 0 0 4

NFP X2 0* -2/3 0* -2/3 1* -2/3 -1/8* -2/3 3/4* -2/3 0* -2/3 0* -2/3 3/2* -2/3


X1

anterior

0 1 2/3 1/6 0 0 0 4

+

NFP X2 0 0 -2/3 1/12 -1/2 0 0 -1

Nueva

X1

0 1 0 1/4 -1/2 0 0 3

Pasos:


Pivote X2)

MÉTODO SIMPLEX


X5

anterior

0 0 5/3 1/6 0 1 0 1

NFP X 0* -5/3 0* -5/3 1* -5/3 -1/8* -5/3 3/4* -5/3 0* -5/3 0* -5/3 3/2* -5/3NFP X2 0* -5/3 0* -5/3 1* -5/3 -1/8* -5/3 3/4* -5/3 0* -5/3 0* -5/3 3/2* -5/3


X5

anterior

0 0 5/3 1/6 0 1 0 5

+

NFP X2 0 0 -5/3 5/24 -5/4 0 0 -5/2

Nueva

X5

0 0 0 3/8 -5/4 1 0 5/2

Pasos:


Pivote X2 )

MÉTODO SIMPLEX


X6

anterior

0 0 1 0 0 0 0 2

NFP X2 0* -1 0* -1 1* -1 -1/8* -1 3/4* -1 0* -1 0* -1 3/2* -1


X6

anterior

0 0 1 0 0 0 0 2

+

NFP X2 0 0 -1 1/8 -3/4 0 0 -3/2

Nueva

X6

0 0 0 1/8 -3/4 0 0 1/2

Pasos:

Como no hay más valores negativos o en otras palabras hay

solamente valores positivos en la fila de Z se detiene el algoritmo

simplex quedando Z con 21, X1 con 3 y X2 con 1,5.

MÉTODO SIMPLEX


Z 1 0 0 3/4 1/2 0 0 21 Z

X1 0 1 0 1/4 -1/2 0 0 3 X1

X2 0 0 1 -1/8 3/4 0 0 3/2 X2

X5 0 0 0 3/8 -5/4 1 0 5/2 X5

X6 0 0 0 1/8 -3/4 0 0 1/2 X6

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