5044957-Matematica-Nocoes-Elementares-de-Logica

8/7/2019 5044957-Matematica-Nocoes-Elementares-de-Logica

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Matemtica

Noes elementares de lgica

Material suplementar ao livro Matemtica Construo e Significado.

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Objetivos

Noes elementares de lgicaDesde Aristteles e principalmente durante o sculo XX, a lgica experimentou um desenvolvimento monumental em direo a assuntos altamente especializados, que hoje considerada praticamente um ramo da matemtica. Foi principalmente por causa dos estudos em lgica que hoje podemos nos sentar diante de um computador pessoal e nos cone

ctar com o restante do planeta para trocar informaes, desenvolver pesquisas ou simplesmente nos divertir.

Caracterizar a noo de argumento vlido. Verificar se um argumento sentencial vlidimbolizar argumentos sentenciais. Manipular tabelas de verdade. Identificar conjuntos inconsistentes de sentenas. Verificar se uma sentena tautologia, contradio ocontingncia.

Teste seus conhecimentos prvios!a) D um exemplo de argumento extrado de um texto de matemtica. b) Em uma cidade havia um barbeiro que fazia a barba de todos e somente daqueles que no se barbeavama sim prprios. Pergunta: Quem fazia a barba do barbeiro?

1 Argumentos vlidos1.1 Definio de argumentoEm nossa vida freqentemente nos encontramos em situaes que envolvem o conceito de argumentao. Ao explicar o motivo de ter tirado determinada nota em uma prova Ao justificar porque tivemos que ficar at mais tarde no colgio Ao fazer um pedido para ir a uma festa no fim de semana.

Nosso primeiro problema ser investigar a seguinte questo: O que um argumento? Paraisso, faamos uma lista daquilo que intuitivamente poderia ser considerado como um argumento. Eis algumas possibilidades: a) Todo homem mortal. Scrates homem. Logo, Scrates mortal. Joo professor.

ReflitaSer que todos os argumentos ao lado so vlidos?

b) Se Joo professor, ento ele d aulas. Logo, ele d aulas.

c) Todos os corvos observados at o momento so negros. Logo, todos os corvos so negros

1.2 Caractersticas dos argumentos1. Argumento um tipo de discurso que envolve um conjunto de sentenas. 2. Argumentos no envolvem sentenas do tipo imperativo como Feche a porta ou interrogativo como Qual o seu nome?.

3. Em um argumento sempre h uma sentena declarativa (as que aparecem nos exemplosacima aps a palavra logo) que constitui a concluso do mesmo, e que apoiado pelas outras sentenas declarativas que so as premissas da argumentao. 4. Argumentos s possuemsentenas declarativas. 2


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Uma sentena declarativa uma sentena que apresenta um pensamento completo e que pode ser classificada como verdadeira ou falsa. Diante das consideraes acima podemosagora apresentar uma formulao precisa do que vem a ser um argumento. Um argumento um tipo de discurso que consiste de um conjunto de sentenas declarativas sendo que uma delas, denominada de concluso, afirmada como sendo conseqncia das outras sentenas declarativas que so ditas as premissas.

ObservaoAlguns autores preferem chamar as sentenas declarativas de proposies. Nesse texto,preferimos chamar sentena declarativa por somente sentena.

Exerccios resolvidosR1. Classifique os discursos abaixo em argumentativos ou no. a) Joo engenheiro oufilsofo Joo no engenheiro. Logo, Joo filsofo. b) Para fazer prova preciso siln, a partir de agora todos fiquem quietos! Soluo a) argumento. b) No argumento (a segunda sentena imperativa).

Exerccios propostos1. Identifique premissas e concluso dos seguintes argumentos e escreva a sua form

a lgica a) Todos os cientistas so boas pessoas, visto que todas as boas pessoas soeducadas e que todos os cientistas so educados. b) Sabendo-se que 2 + 2 = 4, segue-se que 2 + 2 = 1 + 3, pois 1 + 3 = 4. 2. Classifique os discursos em argumentativos ou no: a) Se x2 = 1, ento x = 1 ou x = -1. O nmero x negativo. Logo, x = -1 b) Se x + 3 = 5, ento x = 1. Logo, v estudar que voc est precisando.

1.3 ValidadeMuitas vezes precisamos avaliar um argumento de forma mais aprofundada, mas nosdeparamos com a seguinte pergunta: O que significa dizer que um argumento vlido?

Somos tentados, em primeiro momento, a dizer que um argumento vlido se a concluso conseqncia lgica das premissas. No entanto, essa definio inadequada, pois apenas sutitui o conceito de validade pelo de conseqncia lgica. Considere agora um argumento

parecido com o primeiro exemplo da lista da seo anterior. Todo homem mentiroso. Scrates homem. Logo, Scrates mentiroso. Nosso primeiro impulso considerar o argumento acima como invlido pois contm uma premissa que simplesmente falsa (no verdade que todo homem seja mentiroso). No entanto, o que aconteceria se admitssemos que aspremissas so ambas verdadeiras, isto , que todos os homens so mentirosos e que Scrates homem? Nesse caso, somos forados a admitir que Scrates mentiroso.

ReflitaTente elaborar uma definio de argumento vlido.

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precisamente esse raciocnio que nos leva noo de argumento vlido ou de conseqnciaRepare que ambos os argumentos sobre Scrates tem a mesma forma lgica expressa por: Todo h m. s h. Logo, s m.

Sendo que estamos substituindo cada sentena por uma letra, ou seja, fazemos as seguintes substituies: h: classe dos homens. m: classe dos mentirosos.

s: refere-se a um homem. ( um objeto de uma classe) Qualquer argumento que tenhaessa forma vlido, independentemente do que sejam as classes h e m e o objeto s. Pois se todos os objetos de classe h so objetos da classe m e se s um objeto de h,ento sabemos que s um objeto de m tambm. Esse esquema pode ser visualizado pela seguinte figura.

s

h

m

Somos, assim, levados seguinte definio de argumento vlido: Um argumento vlido se ta situao que torne as premissas verdadeiras torne tambm a concluso verdadeira. Ou, de outro modo, um argumento vlido se no existe situao que torne as premissas verdadeiras e a concluso falsa. Vejamos como aplicar essa definio em casos concretos.

ReflitaO que acontece se, em um argumento, considerarmos tambm sentenas que no so declarativas, como as imperativas ou interrogativas?

Exerccios resolvidosR1. Analise o argumento: Todo homem mortal Scrates mortal Logo, Scrates homem SoluO argumento tem a forma: Todo h m. s m. Logo, s h. Queremos concluir que o argumento invlido, ou seja, para alguma situao o argumento deve ter uma concluso falsa co

m as premissas verdadeiras. Para isso, basta imaginar que Scrates o nome de um cachorro, ento: h: Classe dos homens. m: Casse dos mortais. s: Refere-se a um cachorro. Nesse caso, as premissas so verdadeiras e a concluso falsa. Logo, pela definio,o argumento invlido. R2. Analise o argumento. Nenhum homem quadrpede Toda vaca quadrpede. Logo, nenhuma vaca homem. 4


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Soluo: O argumento vlido, pois a forma lgica : Nenhum h q Todo v q Logo, nenhumsua validade decorre da figura

h

v

q

Exerccios propostos1. Analise os argumentos. a) Nenhum homem mortal. Todo mortal fala. Logo, todo homem fala. b) Nenhum homem mortal. Scrates homem. Logo, Scrates mortal. 2. Verifique a validade dos seguintes argumentos: a) Todo p m. Algum s m. Algum s p. b) Todo m p Todo s m. Todo s p. c) Nenhum p m. Algum s no m. Algum s no p. d) Alg. Todo m s. Nenhum s p. e) Todo p m. Todo m s. Todo s p. f) Algum p no m. Todm. Todo s p.

1.4 Deduo e induoLiteratura. Em um famoso conto de Sir Arthur Conan Doyle, o brilhante detetive i

ngls Sherlock Holmes conclui, a partir da observao de que a mo direita de um cavalheiro era maior do que a esquerda, diante do estupefato olhar do Dr. Watson, que ohomem em algum momento j fora um trabalhador braal. claro que o argumento feito por Sherlock Holmes no um argumento vlido, no sentido de validade que vimos estudando. No entanto existe uma srie de argumentos que, embora no sendo vlidos, so muito teis nas atividades da vida diria e mesmo no contexto do conhecimento cientfico. So os argumentos indutivos. Um argumento dito indutivo quando a suposta verdade daspremissas produz um forte apoio para a verdade da concluso. Por outro lado, quando um argumento possui a inteno de que a suposta verdade das premissas implique necessariamente a verdade da concluso, dizemos que o argumento dedutivo. E somente nesse caso que aplicamos a noo de validade discutida anteriormente. Argumentos indutivos podem ser fortes ou fracos dependendo do grau de apoio que as premissas fornecem concluso.

ObservaoO conto em questo chamase A liga dos CabeaVemelha

Exemplos1. Joo possui dois filhos. 2. Todos os corvos observados at agora so negros. Logo,todos os corvos so negros. Logo, Joo casado.

Mais um exemploLeia o argumento: Todo homem mortal. Scrates homem, logo Scrates mortal. Neste caso, o contedo da concluso est implcito nas premissas

Uma caracterstica importante dos argumentos indutivos que o contedo expresso na concluso vai alm do contedo expresso nas premissas.

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Embora em matemtica argumentos indutivos no sejam utilizados, eles podem ajudar aaumentar o grau de confiana em certas proposies. Informtica. Computadores poderososesto trabalhando para testar a conjectura de Goldbach que diz: Todo nmero par maiordo que dois a soma de dois nmeros primos. Esses computadores j verificaram que ela verdadeira para pares at um trilho. Isso um forte apoio indutivo para que o enunciado seja de fato verdadeiro para todos os nmeros.

Exerccios propostosClassifique os argumentos em indutivos e dedutivos. 1. Alfredo mais alto que Pedro. Pedro mais alto que Joaquim. Logo, Alfredo mais alto que Joaquim 2. A maioria dos alunos dessa sala so altos. Joo um aluno desse sala. Logo, Joo alto. 3. 1 1 11 = + + + 1 3 3 3 = = + + 12 4 = 22 5 = 8 = 23 5 + 7 = 16 = 24

Logo, toda soma de nmeros mpares consecutivos sempre comeando por 1 d sempre um nmeroque uma potncia de 2.

2. Clculo Sentencial2.1. Linguagem SentencialFilosofia. Se Deus quisesse evitar o mal e fosse incapaz de consegui-lo, ento ser

ia impotente; se fosse capaz de evitar o mal e no quisesse faz-lo, ento seria malevolente. Se o mal existe, ento Deus no pode ou no quer impedi-lo. O mal existe. Se Deus existe, ento no impotente nem malevolente. Portanto, Deus no existe. A lgica nosfornece ferramentas que tornam possvel reescrever sentenas declarativas da lngua corrente, no caso o portugus, em suas formas lgicas, que ressaltam a estrutura relevante para estudarmos a sentena. Com essas ferramentas da lgica, poderemos de maneira quase que automtica verificar se argumentos como o de cima so vlidos ou no.

ObservaoO argumento ao lado invlido. Mais adiante o analisaremos novamente. Esse argumento pode ser encontrado em: Irving M. Copi. Introduo Lgica. Editora Mestre Jou. So Paulo. Segunda edio, 1978. pgina 279.

Essas ferramentas consistem em extrair a forma lgica do argumento, ou seja, trabalhamos apenas com palavras do tipo: se, ento, logo, portanto, etc. Para isso, utilizamos smbolos no lugar das sentenas.

ExemploVamos achar a forma lgica do argumento acima. Utilizaremos os seguintes smbolos para cada sentena: q: Deus quer evitar o mal; i: Deus impotente; e: O mal existe; d: Deus existe; c: Deus capaz de evitar o mal; m: Deus malevolente;

Com isso, a forma lgica do argumento fica: Se q e no c, ento i. Se c e no q, ento m.e.

ObservaoPara escrever a negao de alguma sentena p, dizemos no p.

Se e, ento no c ou no q. Se d, ento no i e no m. Portanto, no d.

Para analisar a validade de um argumento, precisamos entender como se estruturauma linguagem em que aparecem sentenas do tipo no p, p ou q, p e q, se p ento q, etc. Assim, definimos o conceito de linguagem sentencial. 6


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Uma linguagem sentencial possui os seguintes smbolos:

a) Letras sentenciais: utilizaremos letras minsculas (p, q, r,...) c) Parnteses ( e )

b) Conectivos Lgicos: So smbolos que constroem novas sentenas

+ detalhes

Os smbolos so conectivos binrios, pois formam uma nova sentena a partir de duas sentenas. O smbolo ~ um conectivo unrio, pois precisa apenas de uma sentena para formaruma nova.

Vamos ver o que cada conectivo lgico citado significa: ~ o smbolo de negao (l-se nsmbolo de conjuno (l-se e); o smbolo de disjuno (l-se ou);

& o smbolo de implicao (l-se se..., ento... ou implica);

o smbolo de equivalncia (l-se ...se e somente se... ou equivale);

Percebemos ento que na linguagem sentencial temos uma espcie de gramtica simples qu

e nos ensina a construir sentenas. Uma sentena da linguagem sentencial uma seqncia finita de smbolos listados acima que cumpre as seguintes regras, considerando queX e Y so sentenas: R1. Uma letra sentencial isolada uma sentena; R2. ~X no X utena; R3. (XY) - X ou Y - uma sentena; R4. (XY) - X e Y - uma sentena; R5. (X&Y)implica Y - uma sentena; R6. (XY) - X se e somente se Y uma sentena;

Exemplo p uma letra sentencial. Ento, pela primeira regra, uma sentena. Como p uma senento, pela segunda regra, ~p tambm uma sentena.

os Mais exemplosNo so sentenas:

Como ~p uma sentena ento, pela terceira regra, ~~p tambm uma sentena. Assim, ~~~~~~~p tambm so sentenas (usando a mesma regra).

~~~

(AB)) - parnteses emexcesso.

Com essa linguagem, tambm conseguimos escrever sentenas, de forma curta, que na linguagem natural (portugus) seriam um pouco mais complexas. Tais como: ((p&q)&r) ((~p~~q)(rs)) Percebemos tambm que o que cada sentena (letra) significa j no to r. (((ab)c)d)

Como P e ~P so sentenas, ento (p~p), (p~p), (p&~p) e (p~p) tambm so sentenas.

A(B) - parnteses emposio errada. lugar.

(AB) o est fora de A~ - os smbolos esto emordem trocada.

Exerccios propostos1. D 5 exemplos de seqncias que so sentenas e exemplos de seqncias que no so sentD um exemplo de sentena em que aparecem todos os conectivos lgicos. 3. Construa umargumento em linguagem natural usando os conectivos e depois o traduza para a li

nguagem simblica que aprendeu. 4. Passe para a linguagem simblica o argumento sobre a inexistncia de Deus presente no incio do captulo.


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2.2 Tabuadas de verdadeAtendimento. Um cliente de uma sorveteria pede ao atendente um sorvete com duasbolas, sabor de chocolate ou creme, e recebe um sorvete com uma bola com sabor chocolate e outra sabor creme. O atendente est correto?

Essa uma situao tpica em que uma anlise lgica do que foi dito se faz necessria. Coe comporta a verdade p ou q quando se sabe das verdades p e q separadamente? Neste

caso, p significa quero sabor chocolate e q, quero sabor creme 7


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Existe uma certa semelhana entre as notaes da lgica e expresses matemticas. O que actece com a expresso (x + y) quando x = 2 e y = 3? claro que nesse caso a expresso igual a 5, pois 5 = 2 + 3. A pergunta que temos aqui anloga: o que acontece com pou q quando, por exemplo, p verdadeira e q falsa? Existem dois valores de verdadeque so o verdadeiro e o falso e que os mesmos sero representados respectivamentepelas letras maisculas V e F. Do mesmo modo que na aritmtica era necessrio se familiarizar com tabuadas para lidar com as operaes, em lgica temos as tabuadas de valor

es de verdade para lidar com os conectivos.

Tabuada da negao ~ (no)Se uma sentena verdadeira (V), ento a sua negao falsa (F) e se for falsa, sua negardadeira. X V F ~X F V

ExemploSe a sentena Scrates homem verdadeira, ento a sentena Scrates no homem fverdade da negao envolve dois princpios importantes da lgica clssica. So eles: Prino do terceiro excludo: Para toda sentena X e sua negao ~X, uma delas tem que ser verdadeira. Princpio de no contradio: Para toda sentena X e sua negao ~X, uma delas tee ser falsa. Esses dois princpios implicam que s existem dois valores de verdade,

o verdadeiro e o falso. J havamos assumido a existncia desses valores.Tabuada da conjuno (e)Uma conjuno s verdadeira quando ambas as sentenas so verdadeiras X V V F F Y V F V(XY) V F F F

Quando dizemos que p e q verdadeira, estamos afirmando que tanto p como q so verdadeiras.

Tabuada da disjuno (ou)Uma disjuno s falsa quando ambas as sentenas so falsas. X V V F F 8 Y V F V F (XY)V F


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Quando dizemos p ou q, queremos dizer que pelo menos uma das sentenas verdadeira. Voltando ao exemplo do sorvete, se dizemos que queremos sabor chocolate ou creme, osorvete, com duas bolas, poderia vir de trs maneiras diferentes: duas bolas de chocolate, duas bolas de creme ou uma bola de chocolate e outra de creme. De outra forma: p ou q ou ambos.

Tabuada da implicao (ou condicional)

Em uma implicao (XY), chamamos X de antecedente e Y de conseqente. Uma implicao s quando o antecedente verdadeiro e o conseqente falso. X V V F F Y V F V F (XY) VF V V

Analisando melhor a idia de implicao, podemos perceber como a construo da tabuada.

ExemploSuponha que Joo fez a seguinte promessa a Antonio: Se fizer sol amanh, ento passareina sua casa. Existe 4 possibilidades: 1. Fez sol e passou na casa.

2. Fez sol e no passou na casa.

3. No fez sol e passou na casa.Em qual das possibilidades a situao foi descumprida?

4. No fez sol e no passou na casa.

razovel aceitar que a promessa foi cumprida nas possibilidades 1 e 4 e descumprida na possibilidade 2, mas a possibilidade 3 costuma gerar dvidas. Afinal, se no fez sol e mesmo assim Joo passou na casa de Antonio, a promessa foi cumprida ou descumprida? Na verdade, Joo s disse o que aconteceria se fizesse sol, mas no disse oque aconteceria se no fizesse sol. Portanto, podemos considerar que Joo cumpriu sua promessa. Joo teria descumprido a promessa se tivesse dito: S vou sua casa se fizer sol.

ObservaoA terceira linha da tabuada da implicao nos d a resposta sobre a possibilidade 3.

Tabuada de Equivalncia (ou bicondicional) Duas sentenas so equivalentes quando ambos os valores de verdade so iguais, ou seja, so ambos verdadeiros ou so ambos falsos. X V V F F Y V F V F (XY) V F F V

Afirmar que duas sentenas so equivalentes o mesmo que afirmar que a primeira sentena implica na segunda e que a segunda implica na primeira. Na linguagem simblica:(pq) o mesmo que ((p&q)(q&p))

2.3 Calculando com tabuadas comum, no estudo de expresses algbricas, calcularmos o valor de expresses do tipo (x + y) y z 9


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para determinados valores de x, y e z. Se x = 2, y = 3 e z = 5, temos: (2 + 3) 2 5 = 525= 10 5 = 2 Nesses clculos, existem certas regras para que haja uma ordem para se efetuar as operaes, por exemplo, calcula-se primeiro o que est entre os parnteses. Com as tabuadas de verdade, tambm teremos regras semelhantes.

Exerccios resolvidosR1. Considere a sentena (((~pq)r)q) e calcule o valor verdade para a seguinte substi

tuio: p - V, q - F e r - V. Soluo (((~pq)r)q) = (((~VF)V)F) = (((FF)V)F) = ((

Exerccios propostosCalcule o valor de verdade das sentenas abaixo com as seguintes substituies: p - V,q - v, r - F e s - F. 1. (~pq) 2. ((pq)s) 3. (~(ps)r) 4. (~~s~~~r) 5. ((s~p)(sr))r) 7. (r(pr)) 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. (p(p~q)) ((p~~p)(rq)) (p(q(rs))) ~~pq)) ((q~r)(p~s)) ((pr)(qs)) (~(p~p)(r~r))

ReflitaSe mudarmos a ordem dos parnteses, a sentena continua a mesma?

2.4 Construindo tabelas de verdade

A tabela de verdade consiste em registrar no apenas uma possvel substituio de valor,mas todas as possveis combinaes.

ExemploConstrua a tabela de verdade da seguinte sentena: ((~pq)p) Temos quatro possibilidades: 1. p - V e q - V. ((~pq)p) ((FV)V) ((~VV)V)

3. p - F e q - V.

((~pq)p) ((VV)F) (VF) = F

((~FV)F)

(VV) = V 2. p V e q F. ((~pq)p) ((~VF)V) ((FF)V) (FV) = V 10

4. p - F e q - F.

((~pq)p) ((~FF)F) ((VF)F) (VF) = F


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Colocando os resultados em uma tabela, temos: p V V F F q V F V F ((~pq)p) V V F F

Podemos ainda construir uma tabela mais completa, que registre os clculos intermedirios. q V V F F q V F V F ~p F F V V (~pq) V F V V ((~pq)p) V V F F

Exerccios resolvidosConstrua a tabela de verdade das sentenas abaixo: 1. ((~pp)p) Soluo P V F ~p F V (~p

V F ((~pp)p) V V

2. ((pq)(~pq)) Soluo p V V F F q V F V F (pq) V F F V ~p F F V V (~pq) V V V F ((pV V V V

Exerccios propostosConstrua a tabela de verdade das seguintes sentenas 1. (~~p~p) 2. ((p~p)~p) 3. ((pq)4. (p(qp)) 5. 6. 7. 8. (~p(qq)) (p(q(~p~q))) ((pq)~p) ((pq)(~q~p))

2.5 Tabelas de grandes sentenasAs tabelas que trabalhamos at agora possuam 2 ou 4 linhas, mas podemos utiliz-las para registrar valores de verdade de sentenas maiores. O nmero de linhas da tabela

est relacionado com o nmero de combinaes de valores de verdade e o nmero de letras sentenciais presentes em uma sentena 1. Uma letra sentencial Assume o valor Verdadeiro ou Falso (2 possibilidades)

2. Duas letras sentenciais (4 possibilidades)

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P V V F F

q V F V F

3. Trs letras sentenciais (8 possibilidades) P V q V F F V F r V F F V F V F V

Continuando o raciocnio, fcil ver que: n

de letras 1 2 3 ... n n

de linhas 2 = 21 4

= 22 8 = 23 ... 2n

ExemploVejamos uma tabela de uma sentena com trs letras: ((~pq)~r) p V V V V F F F F q V VF F V V F F r V F V F V F V F ~p F F F F V V V V ~pq V V V V V F V F ~r F V F V FV F V ((~pq)~r) F V F V F F F F

Exerccios propostosConstrua tabelas de verdade para as seguintes sentenas com trs letras sentenciais:6. (p(q~r)) 1. ((pq)~r) 7. ((~p(qr))~q) 2. ((~p~q)(pr)) 8. ((~~pr)~~s) 3. ((p5. ((p~p)(r~r)) 12


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3. Argumentos sentenciais e validade3.1 ValidadeVoltemos ao nosso problema de encontrar um mtodo que nos permita dizer se um argumento escrito em linguagem sentencial vlido. Vejamos novamente o exemplo: Se Joo professor, ento ele d aulas. Joo professor. Logo, ele d aulas. Se p ento a. p. Logo,. (pa) p a

O argumento pode ser formalizado da seguinte maneira:

E simbolizado como:

+ detalhesA simbolizao que utiliza a linguagem sentencial, separa as premissas da concluso por um trao horizontal.

O argumento que corresponde forma lgica acima conhecido como modus ponens.

Ao invs de fazer uma tabela de verdade para cada sentena do argumento (premissas econcluso), faremos apenas uma tabela para todas as sentenas envolvidas. p V V F F

a V F V F (pa) V F V V premissas Retomemos a seguinte definio: Um argumento vlido se no existe situao que torne as premissas verdadeiras e a concluso falsa. No argumento acima, as situaes que tratam essa definio so exatamente as linhas das tabelas de verdade. Como em nossa tabela no h nenhuma linha em que as premissas so verdadeirase a concluso falsa, ento o argumento vlido. p V V F F a V F V F

ExemploDecida se o seguinte argumento vlido: Se Joo professor, ento ele d aulas. Joo dLogo, Joo professor. (pa) a p

Podemos reescrever o argumento utilizando smbolos:

Assim, a tabela fica: p V V F F a V F V F (pa) V F V V premissas a V F V F p V V

F F

{

{concluso 13

{concluso


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Como na terceira linha da tabela temos as premissas verdadeiras e a concluso falsa, o argumento invlido. Com base no que foi visto, definimos: Um argumento em linguagem sentencial vlido se no existe linha na sua tabela de verdade em que as premissas sejam verdadeiras e a concluso seja falsa.

Exerccios propostosEstude a validade dos seguintes argumentos construindo uma tabela para cada um d

eles. 1. (pq) ~q ~p 2. (pq) ~p ~q 3. a (ab) 4. a b (ab) 5. ~~a a 6. a ~~a 7. (p(q~p)q ~p 8. pq ~~p q 9. p(q~p) ((pq)(p~p)) 10. pq qr pr 11. (p(qr)) (q(pr)) (pr)(~pq) 13. (pq) (qr) ~(pr) 14. (p~q) (qr) (qr)

3.2 ConsistnciaUm argumento que traz uma concluso que no se relaciona com as premissas faz com que imaginemos que ele invlido. No entanto, pela definio de validade de um argumento,podemos verificar que ele pode ser vlido, mesmo que parea um pouco esquisito.

ExemploVamos verificar a validade do seguinte argumento: Joo professor. Joo no professor.

Em smbolos, o argumento fica: ~p pLogo, a lua feita de queijo.

E sua tabela de verdade : p V V F F q V F V F p V V F F premissas ~p F F V V q VF V F

Q

{14

{

concluso

Pela nossa definio, o argumento acima vlido, pois no h na tabela de verdade nenhumainha em que as premissas so verdadeiras e a concluso falsa. Argumentos como este nos sugerem a importncia de entender quando um conjunto de sentenas consistente e quando no o .

ObservaoSituaes como essa costumam acontecer quando as premissas so uma a negao da outra.


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3.3 TautologiasConsidere o seguinte argumento: A lua feita de queijo. Logo, Joo professor ou Joono professor. Novamente, a tendncia considerar o argumento como invlido. Vamos analis-lo: A forma do argumento : q (p~p)

Construindo a tabela: q V V F F p V F V F ~p F V F V q V V F F premissa (p~p) V VV V concluso

No existe linha da tabela em que as premissas so verdadeiras e a concluso falsa. Alis, nessa tabela a concluso nunca falsa. Assim, esse argumento vlido mesmo que a premissa fosse qualquer outra sentena. Uma sentena em que a tabela de verdade d sempre verdadeira denominada de tautologia. Desse modo, Um argumento em que a concluso uma tautologia sempre vlido, independentemente do que sejam suas premissas. Podemos nomear as sentenas de uma linguagem sentencial de acordo com a seguinte classificao Tautologias: sentenas em que a tabela de verdade d sempre verdadeiro. Contries: sentenas em que a tabela de verdade d sempre falso.

Contingncias: sentenas em que a tabela de verdade possui linhas com verdadeiro e linhas com falso.

Exerccios propostos1. Classifique as sentenas como tautologias, contradio ou contingncia a) ~(a~a) b) (a) c) (~aa) d) (a(ba)) e) (a~~a) f) (a(b(ab))) g) (~a(ab)) h) ((a(bc))(b(ac))r uma tautologia s com os conectivos e ? 3. possvel escrever uma tautologia s comconectivo ? 4. D o exemplo mais simples de uma contingncia que encontrar. 16 5. Verifique que o argumento sobre a existncia de Deus dado no incio do captulo anterior invlido, fazendo a seguinte substituio: Argumento ((q~c)i) ((c~q)m) (e(~c~q)) e (d Substituio q-F c-F i-F m-F d-V e-V

{ {


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4. Variveis e quantificadores4.1 Modificando a linguagemConsidere o seguinte argumento: Todos os nmeros pares so divisveis por 2. Logo, todos os nmeros pares so inteiros.

Todos os nmeros divisveis por 2 so inteiros.

Se fssemos analis-lo do ponto de vista da linguagem sentencial, teramos uma surpresa desagradvel. Aparentemente no h conectivos lgicos envolvidos e, portanto a forma lgica seria simplesmente: p q r

mas isso resultaria em um argumento invlido. Ento, para solucionarmos problemas que aparecem com argumentos desse tipo, vamos enriquecer nossa linguagem simblica.Considere o primeiro enunciado do argumento: Todos os nmeros pares so divisveis por2 Reparemos que o que ele afirma que:

Para todo x, se x um nmero par, ento x divisvel por 2. Novidades da anlise.

Apareceu um para todo na sentena

Apareceu um x que no havia na sentena original

Apareceu o conectivo lgico de implicao: se..., ento... O enunciado poderia ser dividido em partes Para todo x, se x um nmero par, ento x divisvel por 2

Do que vimos antes, um enunciado do tipo x um nmero par no uma sentena simplesmenorque no verdadeira nem falsa. Enunciados que contm variveis so denominadas sentenaabertas. H duas maneiras de sentenas abertas sentenciais em sentenas genunas. Trocando a varivel por um nome de algum objeto Trocando x por 2 temos 2 um nmero par que ma sentena verdadeira.

Quantificando a sentenas abertas.

Para todo x, x um nmero par que uma sentena falsa

Exerccios propostos1. Classifique os enunciados em sentena ou sentenas abertas: a) primo b) x maior que 2 c) para todo y, y par ou y mpar d) a aranha tem x patas e) 3 = 4 f) Se x = 4, ento x = 2 + 2. 17


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3.2 QuantificadoresEm matemtica utilizam-se dois tipos de quantificadores para expressar todos os seus enunciados: Quantificador universal: para todo x,... Quantificador existencial: existe x,... Utilizam-se os seguintes smbolos para expressar os quantificadores: x - existe x,... x - para todo x,...

Quanto s funes sentenciais, elas podem ser simbolizadas trocando-se os predicados q

ue ocorrem nas mesmas por letras maisculas:

Exemplox um nmero par - Px x divisvel por 2 - Dx

Assim, a sentena Todos os nmeros pares so divisveis por 2 fica: x(Px Dx)

Exemplos1. Algum primo par Existe x, x primo e x par x(Mx Px) em que Mx x primo. 2.a frao irredutvel a raiz quadrada de 2.

No existe x, x frao irredutvel e x raiz quadrada de 2

~ x(Fx Qx)

Com quantificadores podemos escrever sentenas que envolvem mais de uma quantificaoao mesmo tempo.

Exemplo1. Sabemos que o conjunto dos nmeros naturais infinito, ou seja, para todo nmero natural sempre existe um nmero natural que maior que ele. Isso poderia ser simbolizado como: Para todo x, existe y, y > x. Em smbolos fica: Vamos retornar novamente conjectura de Goldbach, que afirma que todo nmero par maior do que dois a soma de dois nmeros primos. Utilizando os quantificadores, teremos: x y(y > x)

Para todo x, se x par e x maior do que 2, ento existe y, existe z, y primo e z primo e x + y = z. Em smbolos: x((Px x>2) y z((My Mz) y + z = x))

Exerccios propostos1. Simbolizar os seguintes enunciados utilizando quantificadores e variveis a) Todo tringulo polgono b) Nenhum nmero irracional fracionrio c) Quando somamos dois pes e resultado par

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Editora Moderna 2005

Autor: Edelcio Gonalves de Souza Doutor em Filosofia (USP), Professor Associado do Departamento de Filosofia da PUC-SP especialista em lgica matemtica e filosofiada , cincia. Edio de texto: Renato Douglas Gomes Ribeiro Licenciado em Matemtica (USP) Reviso: Diagramao: A&M design - (11) 8218.6061

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