5.1. Трапеція Середня лінія трапеціїito.vspu.net/Naukova_robota/data/Konkursu/2009_2010/boychyk_200… · У будь-якої трапеції сума

51 Трапеція Середня лінія трапеції 69

sect 5 ТРАПЕЦІЯ 51 ТРАПЕЦІЯ СЕРЕДНЯ ЛІНІЯ ТРАПЕЦІЇ

1 Означення трапеції та її властивості

На рис 63 зображено чотирикутники у яких дві сторони паралельні а дві mdash не паралельні Такі чотирикутники називають трапеціями

Рис 63

Паралельні сторони трапеції називають основами а непаралельні mdash

бічними сторонами 1 У будь-якої трапеції основи нерівні якби основи були рівні то чоти-

рикутник був би паралелограмом і бічні сторони були б паралельні що немо-жливо за означенням

2 У будь-якій трапеції при більшій основі один або обидва кути гострі Доведення цього твердження наведено у laquoПрикладах розвrsquoязання задачraquo

Трапецію у якої один з кутів при основі прямий називають прямокут-ною трапецією

3 У будь-якої трапеції сума кутів прилеглих до бічної сторони дорів-нює 180deg Сума кутів прилеглих до основи не дорівнює 180deg (якби ця сума дорівнювала 180deg то бічні сторони були б паралельними)

2 Середня лінія трапеції

На рис 64 ABCD mdash трапеція з основами AD і BC Точки М і N mdash сере-дини відповідно бічних сторін AВ і CD Відрізок MN називають середньою лінією трапеції

а б в г

Означення Трапецією називають чотирикутник у якого дві сторони паралельні а дві інші mdash непаралельні

70 sect5 Трапеція

Рис 64

На основі теореми Фалеса та теореми про середню лінію трикутника

доведемо властивість середньої лінії трапеції

Доведення Нехай ABCD mdash довільна трапеція з основами AD і BC

MN mdash її середня лінія (рис 65) Доведемо що а) MN||AD (MN||BC)

б) MN = (AD + BC)

Рис 65

1 Проведемо через вершину B і точку N пряму Оскільки BC||AD то пряма BN перетинає пряму AD Нехай T mdash точка перетину прямих BN і AD

2 Розглянемо трикутники NCB і NDT У них CN = ND за умовою angCNB = angDNT (як вертикальні) angNCB = angNDT (як внутрішні різносторонні при паралельних прямих BC і AD та січній CD) Отже ∆NCB = ∆NDT за сто-роною і двома прилеглими кутами

3 З рівності трикутників NCB і NDT випливає що BC = DT і BN = NT 4 У трикутнику ABT точка M mdash середина AB а точка N mdash середина ВТ

тому MN mdash середня лінія трикутника ABT За теоремою про середню лінію трикутника

1) MN||AТ а отже MN||AD і MN||BC (бо AD||BC)

2) MN = AT = (AD + DT) Оскільки DT = BC то одержуємо MN =

= (AD + BC) Теорему доведено

Означення Середньою лінією трапеції називають відрізок який сполу-чає середини її бічних сторін

Теорема Середня лінія трапеції паралельна її основам і дорівнює їх півсумі


3 Висота трапеції

На рис 66 ST BK FL CM і OP mdash спільні перпендикуляри до паралель-них прямих a і b яким належать основи трапеції ABCD Кожний із перпенди-кулярів називають висотою трапеції

Рис 66

Проводять висоти трапеції переважно з вершин при меншій основі

1 Користуючись горизонтальними лініями зошита накреслити трапецію

висота якої дорівнює 4 см а основи mdash 5 см і 3 см Провести середню лінію трапеції й обчислити її довжину

2 Знайти середню лінію трапеції у якої основи дорівнюють а) 8 см і 22 см б) т см і п см

3 Середня лінія трапеції дорівнює 24 см а основа mdash 30 см Знайти а) суму основ б) іншу основу

4 Знайти кути при меншій основі трапеції якщо кути при більшій її осно-ві дорівнюють а) 35deg і 65deg б) 90deg і 40deg в) 35deg і 100deg

5 Яку додаткову побудову виконують при доведенні теореми про середню лінію трапеції Перелічити та сформулювати теореми які використову-ють при доведенні цієї теореми

6 Бічні сторони прямокутної трапеції дорівнюють 3 см і 5 см Чому дорів-нює висота цієї трапеції

Означення Висотою трапеції називають спільний перпендикуляр до паралельних прямих яким належать основи трапеції Висотою називають також і довжину цього перпендикуляра


Задача 1 Довести що в будь-якій трапеції хоча б один кут при більшій осно-ві гострий Доведення Нехай ABCD mdash довільна трапеція (рис 67) Відкладемо

на більшій основі AD відрізок АМ рівний меншій основі ВС

Рис 67

1 Утворимо чотирикутник АВСМ який є паралелограмом (ознака за парою протилежних сторін АМ = ВС mdash за побудовою АD||ВС mdash як основи трапеції) Отже АВ||СМ

2 angCMD = angА mdash як відповідні кути при АВ||СМ і січній AD 3 Оскільки в будь-якому трикутнику принаймні два кути гострі то се-

ред кутів трикутника CMD хоча б один з кутів М чи D гострий 4 Оскільки angCMD = angА то і серед кутів А і D хоча б один кут гост-

рий

Доведення 1 Нехай ABCD mdash довільна трапеція з основами AD = а і

ВС = b (рис 68) Проведемо її середню лінію РK

Рис 68

Задача- теорема

Довести що відрізок який сполучає середини діагоналей тра-пеції паралельний основам і дорівнює їх піврізниці


Оскільки РK паралельна основам трапеції AD і ВС то вона перетне діа-гональ АС в точці М mdash середині АС (за теоремою Фалеса для кута ВАС) а діагональ BD в точці N mdash середині BD (за теоремою Фалеса для кута АBD) Таким чином відрізок MN який сполучає середини діагоналей належить середній лінії трапеції а отже паралельний її основам

2 Оскільки PK = PM + MN + NK то MN = PK ndash (PM + NK)

3 Відрізок РМ є середньою лінією трикутника АВС тому РМ = ВС =

= b Відрізок NK є середньою лінією трикутника BCD тому NK = ВС =

= b PK = (AD + BC) = (а + b) mdash як середня лінія трапеції ABCD Має-

мо MN = (а ndash b)

Задача 3 Побудувати трапецію за основами і бічними сторонами (рис 69)

Розвrsquoязання

Дано a b mdash основи трапеції ABCD c і d mdash її бічні сторони Побудувати трапеції АВСD

Аналіз

Нехай задача розвrsquoязана і АВСD mdash шукана трапеція в якій AD||BC AD = a АВ = с BC = b CD = d (рис 70) Відкладемо на більшій основі АD відрізок АМ що дорівнює меншій основі ВС Сполучимо точки М і С відріз-ком який поділяє трапецію ABCD на трикутник MCD зі сторонами а ndash b c і d та паралелограм АВСМ зі сторонами b і с Очевидно що побудову трапеції доцільно почати з побудови трикутника MCD

Рис 69 Рис 70


Побудова

Рис 71

1 Будуємо трикутник MCD зі сторонами с d і а ndash b На прямій МD від-кладаємо відрізок МА = b (рис 71 а)

2 Через точку С проводимо пряму паралельну прямій AD і відкладає-мо на ній відрізок СВ = b Сполучаємо відрізком точки А і В (рис 71 б)

Утворений чотирикутник ABCD mdash шукана трапеція За побудовою CD = d ВС = b і AD = а Оскільки чотирикутник АВСМ є паралелограмом (ознака за парою протилежних сторін) то АВ = СМ = с

191 Кути при більшій основі трапеції дорівнюють 35deg і 60deg Знайти кути при

меншій її основі 192 Гострий кут прямокутної трапеції дорівнює 25deg Знайти тупий кут тра-

пеції 193 Середня лінія трапеції дорівнює 8 см а основа mdash 12 см Знайти іншу

основу трапеції 194 Обчислити периметр трапеції з бічними сторонами 5 см і 7 см та серед-

ньою лінією 8 см 195 Знайти меншу основу трапеції якщо різниця основ дорівнює 10 см а

середня лінія mdash 24 см 196 Знайти основи трапеції якщо одна з них у 4 рази більша від іншої а

середня лінія дорівнює 8 см 197 Знайти основи трапеції якщо вони відносяться як 3 4 а середня лінія

дорівнює 35 см 198 Одна з основ трапеції у 5 разів більша від іншої У скільки разів середня

лінія трапеції більша від меншої основи

а б


199 Основи трапеції дорівнюють 10 см і 22 см Знайти відрізки на які діаго-наль ділить середню лінію трапеції

200 Діагональ трапеції ділить її середню лінію на відрізки завдовжки 5 см і 8 см Знайти різницю основ трапеції

201 Побудувати трапецію ABCD з основами AD = 6 см ВС = 3 см бічною стороною AB = 4 см і angA = 40deg

202 Побудувати трапецію з більшою основою AD = 7 см бічними сторонами

AB = 5 cм і CD = 4 см та angA = 30deg 203 Довести що середня лінія трапеції поділяє кожну з її діагоналей навпіл 204 Довести що бісектриси кутів прилеглих до бічної сторони трапеції

перетинаються під прямим кутом 205 Діагональ трапеції є бісектрисою її кута при більшій основі Довести

що одна з бічних сторін дорівнює меншій основі трапеції 206 Одна з бічних сторін трапеції дорівнює більшій основі трапеції Довес-

ти що одна з діагоналей трапеції є бісектрисою кута при меншій основі 207 Середина відрізка який лежить з одного боку від даної прямої знахо-

диться на відстані 14 см від цієї прямої а один з кінців відрізка цієї пря-мої mdash на відстані 12 см На якій відстані від цієї прямої розміщений інший кінець відрізка

208 Середня лінія трапеції поділена її діагоналями на три відрізки два з яких дорівнюють 10 см і 7 см Знайти основи трапеції

209 Менша основа трапеції дорівнює 8 см а довжина більшого з відрізків на які поділяє діагональ середню лінію дорівнює 6 см Знайти довжину середньої лінії трапеції

210 Діагоналі трапеції ділять її середню лінію на три рівні частини Довести що одна її основа удвічі більша від іншої

211 Бічну сторону трапеції поділено на три рівні частини і через точку поді-лу проведено прямі паралельні основам Знайти основи трапеції якщо її бічні сторони відтинають від проведених паралельних прямих відріз-ки довжини яких дорівнюють 8 см і 13 см

212 Бічну сторону трапеції поділено на чотири рівні частини і через точки поділу проведено прямі паралельні основам Знайти основи трапеції якщо її бічні сторони відтинають від проведених паралельних прямих


відрізки найбільший і найменший з яких відповідно дорівнюють 20 см і 10 см

213 Побудувати трапецію ABCD з основами AD = 6 см BC = 4 см бічною стороною CD = 3 см і діагоналлю AC = 5 см

214 Побудувати трапецію ABCD з основою AD = 7 см бічними сторонами AB = 5 см і CD = 3 см і діагоналлю BD = 5 см

215 Побудувати трапецію за основами висотою і бічною стороною 216 Побудувати трапецію за більшою основою висотою і діагоналями

217 Через вершину В трапеції АСВD проведено пряму паралельну бічній

стороні CD що перетинає більшу основу AD в точці М Периметр три-кутника АВМ дорівнює 8 см Знайти периметр трапеції якщо відрізок MD дорівнює 5 см

218 Через вершину тупого кута трапеції проведено пряму паралельну біч-ній стороні Обчислити периметр утвореного трикутника якщо пери-метр трапеції дорівнює 50 см а її менша основа дорівнює 11 см

219 У прямокутній трапеції більша бічна сторона дорівнює 20 см а гострий кут дорівнює 60deg Висота проведена з вершини тупого кута ділить се-редню лінію на відрізки різниця довжин яких дорівнює 3 см Знайти основи трапеції Скільки розвrsquoязків має задача

220 Менша діагональ прямокутної трапеції дорівнює її бічній стороні Знай-ти середню лінію трапеції якщо її більша основа дорівнює 28 см

221 Довести що в будь-якій трапеції протилежні кути нерівні 222 Довести що діагональ трапеції не може бути бісектрисою двох її проти-

лежних кутів 223 Бічну сторону трапеції поділено на три рівні частини і через точки поді-

лу проведено до другої сторони відрізки паралельні основам Знайти а) довжини проведених відрізків якщо основи трапеції дорівнюють 3 см і 24 см б) довжини проведених відрізків якщо їх відношення дорівнює 2 3 а менша основа трапеції mdash 5 см

224 Знайти основи трапеції у якої середня лінія дорівнює 14 см а відстань між серединами діагоналей mdash 6 см

225 Знайти більшу основу трапеції якщо менша основа дорівнює 2 см а відстань між серединами діагоналей mdash 7 см

52 Рівнобічна трапеція 77

226 Знайти кути трапеції у якої діагональ перпендикулярна до основ дорів-нює меншій з них і удвічі менша за більшу бічну сторону

227 Побудувати трапецію за основами та бічними сторонами 228 Побудувати трапецію за основами та діагоналями 229 Довести що відрізок який зrsquoєдную середини основ трапеції а) ділиться середньою лінією навпіл б) ділить середню лінію навпіл

На рис 72 зображено трапецію ABCD у якої бічні сторони AB і CD рів-

ні Таку трапецію називають рівнобічною або рівнобедреною

Рис 72

Можна зробити припущення що кути при основі трапеції рівні Доведе-

мо цей факт

Доведення Нехай АВСD mdash довільна рівнобічна трапеція з більшою

основою AD (рис 73 а) Доведемо що а) angA = angD б) angB = angC

Рис 73

Означення Рівнобічною трапецією називають трапецію у якої бічні сторони рівні

Теорема У рівнобічній трапеції кути при основі рівні

а б в


1 Відкладемо на більшій основі AD відрізок AP який дорівнює меншій основі BC

2 Утворений чотирикутник ABCP є паралелограмом (ознака за парою протилежних сторін) (рис 73 б) Отже AB||CD і за властивістю сторін парале-лограма AB = CP

3 З рівностей AB = CP і AB = CD (за умовою) випливає що CP = CD Отже ∆PCD mdash рівнобедрений з основою РD (рис 73 в)

4 angCPD = angD як кути при основі рівнобедреного трикутника PCD angCPD = angA як відповідні кути при паралельних прямих AB і CР та січній AP З даних рівностей випливає що angA = angD тобто кути при більшій основі рівні

5 Оскільки angB = 180deg ndash angA і angC = 180deg ndash angD і angA = angD то angB = angC тобто кути трапеції при меншій основі теж рівні Теорему доведено

Доведення Нехай АВСD mdash рівнобічна трапеція з більшою основою AD Доведемо що діагоналі AC і BD рівні (рис 74)

Рис 74

1 Розглянемо трикутники ABD і DCA сторонами яких є діагоналі BD й AC ∆ABD = ∆DCA за двома сторонами і кутом між ними AD mdash спільна AB = CD (за означенням рівнобічної трапеції) angBAD = angCDA (доведена вла-стивість кутів)

2 З рівності трикутників ABD і DCA випливає що BD = AC (як відповід-ні сторони трикутників) Теорему доведено

Теорема Діагоналі рівнобічної трапеції рівні


1 Знайти периметр рівнобічної трапеції у якої а) сума основ дорівнює

20 см а бічна сторона mdash 6 см б) основи дорівнюють 5 см і 7 см а бічна сторона mdash 6 см в) середня лінія дорівнює 15 см а бічна сторона mdash 6 см

2 Накреслити рівнобічну трапецію Записати властивості її бічних сторін кутів і діагоналей

Задача 1 Знайти периметр рівнобічної трапеції у якої висота та середня лі-нія відповідно дорівнюють 12 см і 23 см а кут при основі mdash 30ordm


Нехай ABCD mdash рівнобічна трапеція в якої angА = 30ordm середня лінія MN = 23 см а висота ВK = 12 см (рис 75)

Рис 75

РABCD = AD + BC + 2AB За властивістю середньої лінії

MN = (AD + ВC) Отже AD + BC = 2MN = 2 23 = 46 (см) Із трикутника

АВK ВK = АВ (властивість катета що лежить проти кута 30ordm)

АВ = 2ВK = 2 12 = 24 (см) Маємо РABCD = 46 + 2 middot 24 = 94 (см)

Відповідь 94 см

Задача 2 Побудувати рівнобічну трапецію за меншою основою бічною сто-роною та діагоналлю (рис 76)



Дано b mdash менша основа трапеції АВСD с mdash її бічна сторона d mdash діагональ

Побудувати трапецію АВСD

Аналіз

Нехай задача розвrsquoязана ABCD mdash шукана рівнобічна трапеція (рис 77) Діагональ АС поділяє трапецію на два трикутники АВС зі сторонами c b і d та ACD у якого дві сторони d і c а третя проходить через точку А та парале-льна стороні b

Рис 78

Побудова

1 Будуємо трикутник АВC зі сторонами АВ = с ВС = b і АС = d (рис 78 а)

2 Через вершину А проводимо пряму а паралельну прямій ВС (рис 78 б)

3 Описуємо коло з центром С радіус якого дорівнює с Точку перетину кола з прямою а розміщеною від точки А на відстані більшій від b позначає-мо через D (рис 78 в) Утворений чотирикутник ABCD mdash шукана трапеція

Рис 76 Рис 77

а б в

Опорна задача

Довести що точка перетину діагоналей рівнобічної трапеції рівновіддалена від кінців більшої основи меншої основи


Доведення Нехай у рівнобічній трапеції ABCD (AB = CD) діагоналі АС і BD перетинаються у точці О Проведемо BKperpAD і CMperpAD (рис 79)

Рис 79

Оскільки ΔBKD = ΔCMA (за гіпотенузою АС = BD і катетом BK = CM) то angBDK = angCAM Отже трикутник AOD рівнобедрений тому AO = DO З рівності діагоналей АС = BD і їх частин AO = DO випливає що ВО = СО Тоді точка О є рівновіддаленою від кінців більшої основи і рівновіддалена від кін-ців меншої основи що й потрібно було довести

Доведення Нехай ABCD mdash рівнобічна трапеція (AD||BC) і АВ = СD

Проведемо BЕperpAD і CKperpAD MN mdash середня лінія трапеції (рис 80)

Рис 80

Оскільки прямокутні трикутники АВЕ і DCK рівні (за гіпотенузою

АВ = СD і гострим кутом angА = angD) то АЕ = DK = Чотирикутник

BCKE є прямокутником тому EK = BC Отже AE = DK = Тоді

ED = AD ndash AE = AD ndash = = = MN що й

потрібно було довести


Довести що в рівнобічній трапеції перпендикуляр опущений з вершини меншої основи на більшу ділить її на частини бі-льша з яких дорівнює середній лінії трапеції


Доведення Нехай у рівнобічній трапеції ABCD (AD||BC АВ = DC)

діагоналі АС і BD перетинаються в точці О під кутом 90deg KL mdash середня лінія (рис 81)

Рис 81

Утворені трикутники AOD й BOC прямокутні та рівнобедрені (див задачу 3) Оскільки у трикутнику АOD АО = OD то angOAD = 45deg Ана-логічно з трикутника BOC angОВМ = 45deg Проведемо через точку О висоту трапеції MN Утворилися прямокутні трикутники з гострим кутом 45deg тобто трикутники AON і BOM рівнобедрені AN = ON BM = OM Одержуємо

MN = MO + ON = BM + AN = = KL що й потрібно було довести

Термін трапеція mdash грецького походження У геометрії термін laquoтрапе-

ціяraquo спочатку застосовували в розумінні будь-якого чотирикутника який не є паралелограмом Сучасного змісту термін набув лише в XVIII столітті

Твердження про те що середня лінія трапеції дорівнює півсумі її основ було відомо ще стародавнім єгиптянам і вавилонцям Воно міститься у папі-русі Ахмес (близько 2000 років до н е) Доведення цього факту як теореми є у працях Герона Олександрійського (I ст до н е)

230 Обчислити периметр рівнобічної трапеції у якої основи дорівнюють

10 см і 4 см а бічна сторона mdash 5 см


Довести якщо діагоналі рівнобічної трапеції перпендикулярні то середня лінія трапеції дорівнює її висоті


231 Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 5 см і 7 см а її периметр mdash20 см Знайти довжину бічної сторони трапеції

232 Знайти периметр рівнобічної трапеції у якої бічна сторона дорівнює 6 см а середня лінія mdash 7 см

233 Периметр рівнобічної трапеції дорівнює 30 см а її середня лінія mdash 9 см Знайти бічну сторону трапеції

234 Знайти кути рівнобічної трапеції якщо сума двох її кутів дорівнює а) 70deg б) 250deg

235 Довести що в рівнобічній трапеції сума протилежних кутів дорівнює 180deg

236 Визначити кути рівнобічної трапеції якщо її протилежні кути відно-сяться як 1 4

237 Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 12 см і 8 см Знайти довжини відрізків на які поділяють більшу основу висоти проведені з меншої основи

238 Знайти середню лінію рівнобічної трапеції якщо висота проведена з вершини тупого кута поділяє основу на відрізки 5 см і 11 см

239 Висота проведена з кінця меншої основи рівнобічної трапеції поділяє більшу основу на відрізки 3 см і 9 см Знайти основи трапеції

240 Побудувати рівнобічну трапецію з більшою основою 4 см прилеглим до неї кутом 40deg і бічною стороною 3 см

241 Побудувати рівнобічну трапецію з більшою основою 6 см висотою 3 см і бічною стороною 4 см

242 Менша основа рівнобедреної трапеції дорівнює бічній стороні а діаго-

наль перпендикулярна до бічної сторони Знайти кути трапеції 243 Діагональ трапеції утворює з бічною стороною кут 63deg Знайти кути

трапеції якщо три сторони трапеції мають рівні довжини 244 Знайти середню лінію та периметр рівнобічної трапеції в якої менша

основа 8 см бічна сторона 6 см а один з кутів120deg 245 У рівнобічній трапеції гострий кут дорівнює 60deg основи дорівнюють

15 см і 39 см Знайти периметр трапеції 246 Довести що в рівнобічній трапеції діагоналі утворюють рівні кути а) з

більшою основою б) з меншою основою Довести якщо в трапеції кути при основі рівні то вона є рівнобічною


248 Довести що в рівнобічній трапеції відрізок який сполучає середини основ перпендикулярний до кожної з них

249 Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 18 см і 40 см а кут при більшій основі mdash 45deg Знайти висоту трапеції

250 Знайти середню лінію рівнобічної трапеції у якої менша основа та висо-та дорівнюють 12 см а один з кутів трапеції mdash 135deg

251 Побудувати рівнобічну трапецію за більшою основою бічною сторо-ною і діагоналлю

252 Побудувати рівнобічну трапецію за більшою основою висотою та діа-гоналлю

253 Довести якщо діагоналі трапеції рівні то вона є рівнобічною 254 Довести якщо діагоналі трапеції утворюють з основою рівні кути то

трапеція є рівнобічною 255 У рівнобічній трапеції діагональ є бісектрисою гострого кута одна з

основ на 18 см більша від іншої Знайти середню лінію трапеції якщо її периметр дорівнює 78 см

256 Діагоналі рівнобічної трапеції взаємно перпендикулярні Знайти її сере-дню лінію якщо бічна сторона дорівнює 12 см і утворює з меншою ос-новою кут 150deg

257 У трапеції відрізок який сполучає середини основ перпендикулярний до них Довести що трапеція рівнобічна

258 У рівнобічній трапеції діагональ поділяє навпіл кут при меншій основі Довести що периметр трапеції P = 3a + b де a mdash більша основа b mdash менша основа

259 Довести що середини сторін рівнобічної трапеції є вершинами ромба 260 Діагональ рівнобічної трапеції дорівнює 24 см середини сторін трапеції

послідовно зrsquoєднані Визначити вид одержаного чотирикутника і знайти його периметр

261 Побудувати рівнобічну трапецію за основами та діагоналлю


Середній рвень 1 Який чотирикутник називають трапецію 2 Що називають середньою лінією трапеції Яка її властивість 3 Яку фігуру називають рівнобічною трапецією Вказати властивість у

рівнобічній трапеції кутів при основі діагоналей

Достатній рівень 4 Сформулювати та довести теорему про середню лінію трапеції 5 Сформулювати та довести теорему про кути рівнобічної трапеції 6 Сформулювати та довести властивість діагоналей рівнобічної трапеції

Високий рівень 7 Сформулювати та довести властивість кутів при більшій основі трапеції

86 Завдання для самоконтролю

Початковий рівень

1 Відрізки довжини яких дорівнюють 4 см і 9 см пропорційні відрізкам а) 2 см і 3 см б) 8 см і 19 см в) 16 см і 32 см г) 12 см і 27 см

в) EF і MN mdash середні лінії трапеції г) EF = 2(BC + AD)

Середній рівень 4 У рівнобедреному трикутнику АВС сполучено середину основи mdash точ-

ку М mdash із серединою бічної сторони ВС mdash точкою K Знайти довжину відрізка MK якщо BK = 7 см

5 Периметр рівнобічної трапеції дорівнює 26 см а її основи mdash 4 см і 12 см Знайти бічну сторону трапеції

6 Знайти кути трапеції якщо два її кути дорівнюють 42deg і 155deg

Достатній рівень 7 Висота ВМ рівнобічної трапеції АВСD точкою М поділяє більшу її осно-

ву AD на відрізки АМ = 4 см і MD = 10 см та утворює з бічною стороною кут 30deg Знайти периметр трапеції

8 Точки K L M і N mdash середини сторін чотирикутника АВСD з діагоналя-ми АС = 15 см і BD = 23 см Знайти периметр чотирикутника KLMN

9 Менша бічна сторона й менша основа прямокутної трапеції відповідно дорівнюють 20 см і 15 см а один із її кутів mdash 45deg Знайти середню лінію трапеції

2 MN mdash середня лінія трикутника АВС MN = 4 см Довжина відрізка BС дорів-нює а) 2 см б) 8 см в) 16 см г) 6 см

3 На рисунку точки E M F і N mdash середини сторін трапеції ABCD (AD і BC mdash осно-ви) Яке з тверджень є правильним а) MN mdash середня лінія трапеції

Завдання для самоконтролю 87

Високий рівень 10 Діагоналі рівнобічної трапеції взаємно перпендикулярні її бічна сторо-

на дорівнює 13 см а висота mdash 12 см Знайти периметр трапеції 11 Середня лінія прямокутної трапеції дорівнює 255 см її діагональ є бісе-

ктрисою тупого кута й утворює з її меншою основою кут 60deg Знайти основи трапеції і більшу бічну сторону трапеції

12 У трикутнику АВС на медіані ВМ позначено її середину mdash точку Е Пряма АЕ перетинає сторону ВС у точці K Знайти KC якщо ВС = 18 см

88 sect6 Кути повrsquoязані з колом Вписані й описані чотирикутники

sect 6 КУТИ ПОВrsquoЯЗАНІ З КОЛОМ ВПИСАНІ Й ОПИСАНІ ЧОТИРИКУТНИКИ

61 ЦЕНТРАЛЬНІ КУТИ ВПИСАНІ КУТИ

1 Центральні кути Дуги та їх кутова міра

На рис 82 зображено кути вершинами яких є центр кола Відповідно й називають такі кути центральними

Рис 82

Центральний кут може бути меншим від розгорнутого (рис 82 а) розго-

рнутим (рис 82 б) і більшим від розгорнутого (рис 82 в) Сторони центрального кута перетинають коло у двох точках які поділя-

ють коло на частини mdash дуги Одна з дуг належить центральному куту а ін-ша mdash не належить Щоб відрізняти дві дуги з однаковими кінцями на одній з них чи на обох вказують деяку проміжну точку Позначають дуги за кінцями або за кінцями і проміжною точкою використовуючи знак laquocupraquo На рис 83 а центральному куту належить дуга АСВ (cupACB) і не належить дуга ADB (cupADB) Про дугу яка належить центральному куту кажуть що вона відпо-відає центральному куту чи навпаки центральний кут відповідає дузі

а б в

Означення Центральним кутом називають кут вершиною якого є центр даного кола

Означення Кожна дуга на колі має кутову (градусну) міру Кутовою мірою дуги є градусна міра відповідного центрального кута

61 Центральні кути Вписані кути 89

На рис 83 а angAOB = 90deg отже cupACB = 90deg На рис 83 б angMOK = 225deg отже cupMPK = 225deg

Рис 83

Кутова (градусна) міра кола дорівнює 360deg півкола mdash 180deg чверті ко-ла mdash 90deg Сума мір двох дуг які доповнюють одна одну до кола дорівнює 360deg На рис 83 а cupADB = 360 deg ndash 90deg = 270deg на рис 83 б cupMNK = 360deg ndash ndash 225deg = 135deg

2 Вписаний кут

На рис 84 а зображено кут BAC вершиною якого є точка кола а його сторони AB й AC перетинають це коло Кут BAC називають вписаним у коло

Рис 84

Центр кола може лежати всередині вписаного кута (рис 84 а) на його

стороні (рис 84 б) або поза кутом (рис 84 в)

а б

а б в

Означення Кут вершина якого лежить на колі а сторони перетина-ють це коло називають кутом вписаним у коло


Сторони та вершина вписаного кута поділяють коло на три дуги Одна з них належить куту а дві інші mdash не належать У випадку коли дуга належить вписаному куту кажуть що кут спирається на цю дугу На рис 84 а вписа-ний кут ВАС спирається на дугу ВmС якій відповідає центральний кут ВОС Кажуть що вписаному куту ВАС відповідає центральний кут ВОС

Доведення Нехай дано довільне коло з центром О angАВС mdash вписаний кут

тоді відповідний йому центральний кут angАОС

Доведемо що angАВС = angАОС = cupАmС

Розглядаємо три випадки розміщення центра кола відносно кута АВС

Рис 85

1 випадок Центр кола О належить одній зі сторін кута АВС наприклад стороні ВС (рис 85 а)

1 ∆АВО mdash рівнобедрений з основою АВ (ОА = ОВ як радіуси) 2 angАОС mdash зовнішній кут трикутника АВО angAОС = angВАО + angАВО =

= 2angАВС

Отже angАВС = angАОС = cupАmС

2 випадок Центр кола О лежить усередині кута АВС (рис 85 б) Проведемо промінь BО який перетинає дугу АС в точці D Промінь ВD

поділяє кут АВC на вписані кути АВD і СBD сторона BD яких проходить через

центр кола Тому згідно з результатами одержаними у випадку 1 одержуємо

Теорема Вписаний кут дорівнює половині дуги на яку він спира-ється тобто дорівнює половині центрального кута який йому відповідає

а б в


angАВС = angABD + angCBD = angAOD + angCOD = (angAOD + angCOD) =

= angAOC = cupAmC

3 випадок Центр кола О лежить поза кутом АВС (рис 85 в)

Через центр кола О проведемо промінь BD Отримуємо що промінь ВС

належить куту АВD й поділяє його на два кути Тому згідно з результатами

одержаними у випадку 1 одержуємо angABC = angABD ndash ang CBD = angAOD ndash

ndash angCOD = (angAOD ndash angCOD) = angAOC = cupAmC Теорему доведено

Рис 86

На рис 86 а кути АМВ ANB AKB вписані й спираються на дугу АВ От-

же angАМВ = angANB = angAKB = angАОВ

На рис 86 б АВ mdash діаметр кола Вписані кути АМВ ANB і AKB спира-

ються на діаметр АВ Отже angАKВ = angANB = angAМB = angАОВ =

= middot 180deg = 90deg

Наслідки

1 Вписані кути які спираються на одну й ту ж дугу рівні (рис 86 а)

2 Вписаний кут який спирається на півколо (діаметр) є прямим (рис 86 б)

а б


1 Накреслити коло з центром у точці О Позначити на колі точку М і по-

будувати вписаний кут з вершиною у цій точці та відповідний йому центральний кут Заштрихувати дугу на яку спираються ці кути

2 Вказати кутову міру а) кола б) півкола в) четверті кола 3 Кутова міра однієї з дуг на які поділяють коло дві точки дорівнює 50deg

Вказати кутову міру іншої дуги 4 Чому дорівнює вписаний кут якщо а) відповідний йому центральний

кут дорівнює 70deg б) дуга на яку він спирається дорівнює 250deg 5 Вписаний кут дорівнює 70deg Вказати градусну міру а) відповідного йо-

му центрального кута б) дуги на яку він спирається 6 Кути АВС й ADC спираються на одну і ту ж хорду АС angАВС = 70deg Яка

градусна міра кута АDС якщо точки B і D лежать а) з одного боку від хорди АС б) з різних боків від неї

7 Чому дорівнює сума градусних мір двох вписаних кутів які спираються на одну й ту ж хорду а вершини лежать з різних боків від неї

8 Яка градусна міра вписаного кута МPK якщо МK mdash діаметр кола

Доведення Нехай S mdash точка яка лежить поза даним кругом (рис 87)

Рис 87


Довести що кут вершина якого лежить зовні круга а сторони перетинають коло вимірюється піврізницею дуг які лежать між його сторонами


Проведемо з точки S два промені які перетинають коло в точках А і С та

B і D Доведемо що angASB = (cupAmB ndash cupCnD)

Проведемо хорду СВ (або AD) Маємо angАСВ = angASB + angCBS (як зовні-

шній кут трикутника CBS) Звідси angASB = angACB ndash angCBS Оскільки

angАСВ = cupАmВ angCBS = cupCnD (за властивістю вписаних кутів) то

angАСВ = cupАmВ ndash cupCnD = (cupАmВ ndash cupCnD) що й потрібно було довести

Доведення Нехай у колі з центром О проведено рівні хорди АВ і CD

(рис 88)

Рис 88

Зrsquoєднаємо кінці хорд з центром кола Трикутники АОВ й DOC рівні за трьома сторонами (АВ = CD OA = OB = OC = OD як радіуси кола) З рівності трикутників випливає рівність кутів АОВ і COD Ці кути є центральними Отже дуги AmB і CnD мають однакову градусну міру

Доведення Нехай дано коло з центром у точці О і точку М яка ле-

жить усередині відповідного круга (рис 89)

Рис 89


Довести що рівні хорди стягують рівні дуги


Довести що кут вершина якого лежить всередині круга вимі-рюється півсумою дуг одна з яких лежить між сторонами ку-та а інша mdash між їх продовженнями


Точка М є вершиною кута АМВ Накреслимо промені доповняльні до

сторін цього кута до їх перетину з колом Одержимо точки С і D Проведемо

хорду ВС Оскільки кут АМВ mdash зовнішній кут трикутника ВМС то

angАМВ = ang1 + ang2 За властивістю вписаного кута ang1 = cupAmB

ang2 = cupCnD Отже angAMB = cupAmB + cupCnD = (cupAmB + cupCnD)

Доведення Нехай до кола з центром у точці О проведено дотичну ВА

(А mdash точка дотику) і через точку А проведено хорду АС (рис 90 а) Доведе-

мо що кут ВАС = cupAmС

Рис 90

Проведемо через точку А діаметр AD який утворює з дотичною АВ пря-мий кут (властивість дотичної до кола) (рис 90 б) Зrsquoєднаємо точки D і С angАСD = 90deg оскільки він спирається на діаметр кола З трикутника ACD angDAC + angCDA = 90deg angBAD = angDAC + angCAB = 90deg Звідси angCDA = angCAB

Оскільки кут CDA вписаний у коло то angСDA = cupAmB Тоді angСАB = cupAmC що й потрібно було довести

262 Коло поділено точками на дві дуги Яка кутова міра кожної з дуг якщо а) одна з них на 50deg більшої від іншої б) вони відносяться як 2 3


Довести що кут між дотичною та хордою які мають спільну точку на колі дорівнює половині кутової міри дуги яка лежать усередині цього кута

а б


263 Визначити кутову міру дуги яка описує кінець годинникової стрілки за а) 4 год б) 2 год 30 хв

264 Більша з дуг на які поділяють коло дві точки дорівнює 220deg Знайти градусну міру вписаного кута який спирається на меншу з цих дуг

265 Хорда перетинає коло в точках що ділять коло на дві дуги градусні міри яких пропорційні до чисел 5 і 7 Під яким кутом видно цю хорду з центра кола

266 Хорда перетинає коло в точках які ділять його на дві дуги Під якими кутами видно цю хорду з точки кола якщо кутові міри дуг відносяться як 2 7

267 З точки кола проведено дві хорди ВА й ВС кут між якими дорівнює 100deg Знайти кут між радіусами цього кола проведеними в точки А й С

268 Вершинами трикутника коло ділиться на дуги градусні міри яких відно-сяться як 8 13 9 Знайти кути цього трикутника

269 Усі вершини трикутника лежать на колі Знайти кутові міри трьох дуг на які поділяють коло вершини трикутника якщо два кути трикутника дорівнюють 50deg і 110deg

270 Усі вершини рівнобедреного трикутника лежать на колі Кут між бічни-

ми сторонами трикутника дорівнює 28deg Знайти кутові міри дуг на які вершини трикутника поділяють коло

271 З точки кола проведено дві рівні хорди завдовжки 20 см які утворюють кут 120deg Знайти діаметр кола

272 Коло розділене точками на чотири дуги кутові міри яких відносяться як 3 7 5 3 Знайти кути чотирикутника утвореного послідовним сполу-ченням цих точок

273 Точки А В і С лежать на колі з центром О Кут між хордами АВ й ВС до-рівнює 40deg а градусні міри дуг АВ і ВС пропорційні до чисел 5 і 9 Знайти кут АОС та градусні міри дуг на які коло розбивається цими точками

274 Кут при основі рівнобедреного трикутника дорівнює 56deg Півколо побу-доване на бічній стороні трикутника як на діаметрі ділиться іншими його сторонами на три дуги Знайти градусні міри цих дуг


275 Точки М і K розбивають коло на дві дуги градусна міра меншої з яких дорівнює 120deg а більша точкою D ділиться у відношенні 3 5 рахуючи від точки М Знайти кути трикутника MDK

276 З точки А кола проведено три хорди АВ АС і AD (рис 91 а) так що angВАС = 18deg angАСВ = 51deg Знайти кут CAD

277 Знайти кут MNK (рис 91 б) якщо градусна міра дуги KP дорівнює 50deg

Рис 91

278 Довести що рівні дуги стягуються рівними хордами

Довести що дуги одного кола які розміщені між паралельними хорда-ми рівні і навпаки

Довести що кут між двома дотичними проведеними з однієї точки до-рівнює піврізниці дуг на які точки дотику поділяють коло

281 У кут АВС вписано коло Точки дотику ділять коло на дуги кутові міри яких відносяться як 2 7 Знайти величину кута АВС

Два кола зовнішньо дотикаються у точці А Точки В і С mdash точки дотику спільної зовнішньої дотичної (тієї яка не проходить через спільну для двох кіл точку) Довести що кут ВАС mdash прямий

283 Хорда стягує дугу у 80deg Знайти гострий кут утворений цією хордою та дотичною до кола проведеною у кінець хорди

284 Хорда АВ ділить дугу кола у відношенні 7 11 Через точку А проведено дотичну до кола Знайти кут який вона утворює з даною хордою

а б

62 Вписаний чотирикутник 97

1 Вписаний чотирикутник і його властивість

На рис 92 а дано коло з центром О всі вершини чотирикутника АВСD лежать на колі

Рис 92

Такий чотирикутник називають вписаним у коло або вписаним чотири-кутником

Якщо чотирикутник вписаний у коло то центр кола рівновіддалений від

вершин чотирикутника і є точкою перетину серединних перпендикулярів проведених до його сторін (рис 92 б)

Доведення Нехай дано коло з центром О і довільний чотирикутник ABCD

вписаний в це коло (рис 93) Доведемо що angA + angС = 180deg і angB + angD = 180deg

Рис 93

а б

Означення Чотирикутник усі вершини якого лежать на колі назива-ють вписаним чотирикутником

Теорема Якщо чотирикутник вписаний в коло то сума його про-тилежних кутів дорівнює 180deg


Протилежні кути будь-якого вписаного чотирикутника спираються на

дуги які доповнюють одна одну до кола Наприклад кут А спирається на

дугу BCD а кут С mdash на дугу BAD Сумою дуг BCD і BAD є коло За теоре-

мою про міру вписаного кута одержуємо angА + angС = cupBCD + cupBAD =

= (cupBCD + cupBAD) = middot 360deg = 180deg

Аналогічно angВ + angD = cupADC + cupABC = (cupADC + cupABC) =

= middot 360deg = 180deg Теорему доведено

З теореми випливає якщо сума протилежних кутів чотирикутника не дорівнює 180deg то навколо нього не можна описати кола Наприклад не мож-на описати кола навколо паралелограма з гострим кутом зокрема навколо ромба

2 Ознака вписаного чотирикутника

Має місце й теорема обернена до доведеної Вона встановлює за якої умови навколо чотирикутника можна описати коло

Доведення цієї теореми подано в рубриці laquoДля тих хто хоче знати біль-

шеraquo

Доведення Нехай АВСD mdash довільний чотирикутник у якого одна із сум про-

тилежних кутів дорівнює 180deg Наприклад angА + angС = 180deg Тоді за теоремою про суму кутів чотирикутника angВ + angD = 360deg ndash 180deg = 180deg Доведемо що навколо чоти-рикутника ABCD можна описати коло

Через будь-які три вершини чотирикутника які можуть бути вершинами трикут-ника завжди можна провести коло Нехай коло проведене наприклад через вершини А В і С Можливі три випадки розміщення четвертої вершини D відносно кола Точка D лежить всередині круга (рис 94 а) поза кругом (рис 94 б) на колі (рис 94 в)

Теорема Якщо в опуклому чотирикутнику сума двох протилежних кутів дорівнює 180deg то навколо чотирикутника можна описати коло


Рис 94

1 Припустимо що точка D лежить усередині круга Продовжимо відрізок AD по прямій до перетину з колом Е mdash точка перетину прямої AD і кола Сполучимо точки С й Е Утвориться вписаний чотирикутник АВСЕ Маємо angВ + angЕ = 180deg (за доведе-ною властивістю вписаного чотирикутника) angВ + angD = 180deg (за умовою) Звідси angЕ = angD що неможливо оскільки кут D mdash зовнішній кут трикутника DCE а отже angD gt angE Таким чином точка D не може лежати всередині круга

2 Припустимо що точка D лежить поза кругом Позначимо літерою Р точку перетину відрізка AD з колом і сполучимо її відрізком з точкою С Утворився вписа-ний чотирикутник ABCP Маємо angВ + angР = 180deg (за властивістю вписаного чотири-кутника) angВ + angD = 180deg (за умовою) Звідси angР = angD що неможливо оскільки кут Р mdash зовнішній кут трикутника РСD а значить angР gt angD Таким чином точка D не може лежати поза кругом

З 1 і 2 випливає що точка D лежить на колі Отже існує коло яке проходить через усі вершини чотирикутника ABCD

В обох випадках сума протилежних кутів розглядуваного чотирикутни-

ка дорівнює 180deg

1 Накреслити коло радіус якого дорівнює 5 см центр mdash точка О і вписа-

ти в нього довільний чотирикутник MNKL Записати властивість кутів чотирикутника

2 У коло вписано чотирикутник ABCD у якого angА = 70deg і angВ = 105deg Знайти кути C і D чотирикутника

а б в

Наслідки 1 Навколо будь-якого прямокутника можна описати коло 2 Навколо кожної рівнобічної трапеції можна описати коло


3 МОРK mdash чотирикутник вписаний у коло Знайти кути М і Р якщо вони рівні

4 На яких властивостях фігур базується доведення теореми про власти-вість вписаних чотирикутників

5 Пояснити чому не можна описати коло навколо паралелограма ромба які мають гострий кут

6 Чи можна описати коло навколо чотирикутника у якого два протилежні кути а) 30deg і 150deg б) 20deg і 170deg в) гострі г) тупі д) прямі

7 Навколо яких видів чотирикутників можна описати коло 8 Накреслити чотирикутник АBCD у якого angА = 50deg angВ = 40deg і angС = 130deg

Знайти центр кола описаного навколо чотирикутника провівши сере-динні перпендикуляри до двох сусідніх сторін і описати навколо чоти-рикутника коло

9 Накреслити рівнобічну трапецію з кутом 45deg при основі й описати на-вколо неї коло

Доведення Нехай ABCD mdash вписана трапеція (рис 95)

Рис 95

За властивістю вписаного чотирикутника angA + angC = 180ordm тобто angC = 180ordm ndash angA (1) За властивістю кутів прилеглих до бічної сторони трапе-ції angA + angВ = 180ordm тобто angВ = 180ordm ndash angА (2) З рівностей (1) і (2) випливає що angВ = angC а отже і angA = angD Оскільки кути при основі трапеції рівні то вона є рівнобічною (ознака рівнобічної трапеції за кутами при основі)


Довести що будь-яка трапеція вписана в коло є рівнобічною


285 Два кути вписаного чотирикутника дорівнюють 85deg і 55deg Знайти два

інші кути 286 Трапеція вписана в коло Знайти кути трапеції якщо різниця двох її ку-

тів дорівнює 30deg 287 Трапеція один з кутів якої дорівнює 74deg вписана в коло Знайти три

інші кути трапеції 288 У вписаному чотирикутнику два протилежних кути відносяться як 3 5

а два інші кути відносяться як 4 5 Знайти кути чотирикутника 289 Накреслити чотирикутник ABCD у якого angА = 100deg angВ = 70deg angС = 80deg

Пояснити чому навколо чотирикутника можна описати коло та побуду-вати це коло

290 Побудувати рівнобічну трапецію з більшою основою 8 см бічною сто-роною 3 см гострим кутом 30deg і описати навколо неї коло

291 Накреслити коло радіус якого дорівнює 5 см і вписати в нього трапе-цію з більшою основою 8 см і кутом 40deg

292 Довести що центром кола описаного навколо прямокутника є точка

перетину його діагоналей 293 Менша сторона прямокутника дорівнює 8 см а кут між його діагоналя-

ми mdash 120deg Знайти радіус описаного навколо нього кола 294 У вписаному чотирикутнику два сусідні гострі кути рівні а третій кут

на 30deg більший від їх суми Знайти кути чотирикутника 295 У вписаному чотирикутнику ABCD кут В на 20deg більший від кута А а

кут С на 50deg більший від кута В Знайти кути чотирикутника 296 Три послідовні кути вписаного чотирикутника відносяться як 5 6 7

Знайти усі кути чотирикутника 297 Побудувати рівнобічну трапецію за меншою основою бічною стороною

та висотою й описати навколо неї коло 298 Побудувати рівнобічну трапецію за більшою основою бічною сторо-

ною та діагоналлю й описати навколо неї коло


299 У вписаному чотирикутнику АВСD діагональ АС перпендикулярна до

діагоналі ВD і ділить її навпіл angBAD = 74deg Визначити кути цього чоти-рикутника

300 Діагональ АС чотирикутника АВСD утворює зі сторонами чотирикутни-ка кути angВАС = 31deg angВСА = 32deg angDAC = 54deg angDCA = 63deg Які кути утворює інша діагональ зі сторонами чотирикутника

301 У чотирикутнику АВCD angАВС = 110deg angADC = 70deg angBDC = 25deg Знайти кут АСВ

302 Рівнобічну трапецію вписано в коло так що центр кола лежить на одній з основ Кут між діагоналями трапеції дорівнює 50deg Знайти кути трапеції

303 Менша основа рівнобедреної трапеції завдовжки 7 см дорівнює бічній стороні а один з кутів трапеції дорівнює 60deg Знайти радіус кола описа-ного навколо цієї трапеції

304 Бічна сторона рівнобічної трапеції дорівнює її меншій основі За якої умови центр кола описаного навколо трапеції лежить а) усередині трапеції б) на основі трапеції в) поза трапецією

305 Побудувати рівнобічну трапецію за основою бічною стороною та радіу-сом описаного кола

306 Побудувати рівнобічну трапецію за основою висотою та радіусом опи-саного кола

1 Описаний чотирикутник і його властивість

Нехай коло з центром О дотикається до всіх сторін чотирикутника АВСD

Рис 96

а б

63 Описаний чотирикутник 103

Такий чотирикутник називають описаним навколо кола або описаним чотирикутником

Такий чотирикутник зображений на рис 96 а Якщо чотирикутник опи-

саний навколо кола то центр кола рівновіддалений від усіх сторін чотирику-тника і є точкою перетину бісектрис кутів чотирикутника (рис 96 б)

Доведення Нехай ABCD mdash описаний чотирикутник (рис 96 б) Дове-

демо що AВ + СD = AD + BC Позначимо точки дотику сторін чотирикутника до кола через M N Р і

K Відомо що відрізки дотичних проведені з однієї точки до кола рівні Ма-ємо АМ = АK МВ = BN DP = KD PC = NC

Додамо почастинно ці рівності АМ + МB + DР + РС = АK + BN + + KD + NС АВ + DC = AK + KD + BN + NС АB + DC = AD + BС Теорему доведено

2 Ознака описаного чотирикутника

Справедлива й обернена теорема яка виражає ознаку описаного чотири-кутника


шеraquo

Доведення Нехай АВСD mdash довільний чотирикутник у якого АB + CD =

= BС + AD Доведемо що в чотирикутник ABCD можна вписати коло Проведемо в чотирикутнику бісектриси двох сусідніх кутів наприклад А і В Тоді

точка O перетину бісектрис рівновіддалена від трьох сторін AD AB і BC чотирикутника і тому можна провести коло з центром О яке дотикається до цих трьох сторін Для чет-вертої сторони CD можливі три випадки розміщення відносно даного кола

Означення Описаним чотирикутником називають чотирикутник усі сторони якого дотикаються до кола

Теорема Якщо чотирикутник описаний то суми його протилежних сторін рівні

Теорема Якщо суми протилежних сторін опуклого чотирикутника рівні то в такий чотирикутника можна вписати коло


Сторона CD а) перетинає коло (рис 97 а) б) лежить поза кругом (рис 97б) в) є дотичною до кола (рис 97 в)

Рис 97

1 Припустимо що СD є січною до кола Проведемо пряму С1D1 яка паралельна СD і дотикається до кола Тоді маємо АВ + СD = ВС + АD (за умо-вою) АВ + С1D1 = ВС1 + АD1 (за властивістю описаного чотирикутника) Вико-навши почастинне віднімання рівностей отримуємо С1D1 ndash CD = ВС1 ndash BC + + АD1 ndash АD = BC + CС1 ndash BC + AD + DD1 ndash АD = CC1 + DD1 Отже С1D1 ndash CD = = CC1 + DD1 або С1D1 = CD + CC1 + DD1

Маємо в чотирикутнику CC1D1D що сторона C1D1 дорівнює сумі трьох інших його сторін що неможливо Отже СK не може бути січною для кола

2 Аналогічними міркуваннями встановлюється неможливість другого випадку сторона СD поза кругом Отже коло яке дотикається до трьох сторін чотирикутника дотикається і до четвертої його сторони Теорему доведено

Центром кола вписаного в ромб є точка перетину діагоналей а його

діаметр дорівнює висоті ромба

1 Накреслити коло радіус якого дорівнює 5 см центр mdash точка О Позна-

чити на ньому чотири точки A B C і D та провести через кожну з них дотичну до кола Чотирикутник що утвориться в результаті перетину дотичних позначити MNKL Записати його властивість як описаного чотирикутника

а б в

Наслідок Коло можна вписати в будь-який ромб


2 Яку властивість дотичних використовують при доведенні властивостей описаного чотирикутника

3 Три послідовні сторони описаного чотирикутника дорівнюють 5 см 7 см і 9 см Чому дорівнює сума другої та четвертої сторони Знайти четверту сторону чотирикутника

4 Сума двох протилежних сторін описаного чотирикутника дорівнює 15 см Чи можна визначити периметр чотирикутника Якщо можна ви-значити то чому він дорівнює

5 Пояснити чому не можна вписати коло в паралелограм прямокутник з нерівними сусідніми сторонами

6 У трапецію сума основ якої дорівнює 13 см вписано коло Чи можна знайти периметр трапеції Якщо можна то чому він дорівнює

7 Чи можна вписати коло в чотирикутник чотири послідовні сторони яко-го дорівнюють а) 5 см 7 см 8 см і 6 см б) 9 см 9 см 11 см і 12 см в) 10 см 13 см 16 см і 13 см

8 У які види чотирикутників можна вписати коло 9 Накреслити ромб зі стороною 5 см і висотою 3 см і вписати в нього коло

Задача 1 В описаному чотирикутнику ABCD AB BC CD = 3 5 7 Знайти

сторони чотирикутника якщо його периметр дорівнює 30 см

Розвrsquoязання Позначимо сторони АВ ВС і CD через 3k см 5k см і 7k см За властиві-

стю описаного чотирикутника AB + CD = BC + DA Отже 3k + 7k = 5k + DА Звідки DA = 3k + 7k ndash 5k = 5k Отримуємо рівняння 3k + 5k + 7k + 5k = 30 20k = 30 k = 30 20 = 15 Таким чином АВ = 3 middot 15 = 45 (см) ВС = 5 middot 15 = 75 (см) CD = 7 middot 15 = 105 (см) AD = 5 middot 15 = 75 (см)

Відповідь 45 см 75 см 105 см 75 см

Цікаву залежність між сторонами та діагоналями вписаного чотирикут-

ника встановлює теорема Птолемея (старогрецький учений II ст) Якщо в коло вписано чотирикутник то добуток його діагоналей дорівнює сумі добу-тків його протилежних сторін а1 middot а3 + а2 middot а4 = d1 middot d2 де a1 a2 a3 і a4 mdash послідовні сторони d1 і d2 mdash діагоналі чотирикутника


307 Дві протилежні сторони описаного чотирикутника дорівнюють 5 см і

7 см Знайти периметр чотирикутника

308 Три послідовні сторони описаного чотирикутника дорівнюють 3 см 7 см і 10 см Знайти четверту сторону чотирикутника

309 В описаному чотирикутнику сума двох протилежних сторін дорівнює 45 см Знайти довжину двох інших сторін якщо вони відносяться як 2 3

310 В описаному чотирикутнику дві протилежні сторони дорівнюють 4 см і 7 см Знайти дві інші сторони якщо їх різниця дорівнює 5 см

311 Знайти радіус кола вписаного в ромб зі стороною 12 см і кутом 30deg

312 Радіус кола вписаного в ромб дорівнює 6 см а один з його кутів дорів-нює 150deg Знайти периметр ромба

313 Бічні сторони описаної трапеції дорівнюють 5 см і 7 см Знайти середню лінію трапеції

314 Основи описаної трапеції дорівнюють 4 см і 12 см а одна з бічних сто-рін mdash 7 см Знайти іншу бічну сторону

315 Побудувати ромб зі стороною 5 см і гострим кутом 40deg та вписати в нього коло

316 Периметр описаної трапеції дорівнює 24 см Знайти основи трапеції якщо одна з них на 2 см більша від іншої

317 Периметр описаної трапеції дорівнює 36 см Знайти середню лінію тра-пеції

318 Периметр описаної рівнобічної трапеції дорівнює 44 см Знайти бічну сторону трапеції

319 Периметр описаної прямокутної трапеції дорівнює 72 см а більша бічна сторона mdash 19 см Знайти радіус кола вписаного в трапецію


320 Периметр ромба дорівнює 120 см а його кути відносяться як 1 5 Знай-ти радіус кола вписаного в ромб

321 Побудувати ромб за стороною і радіусом вписаного кола

322 Побудувати прямокутну трапецію за основами і радіусом вписаного кола

333 У чотирикутник периметр якого дорівнює 42 см вписано коло Знайти сторони чотирикутника якщо три сторони взяті в послідовному поряд-ку відносяться як 2 7 12

334 Рівнобічна трапеція бічна сторона якої дорівнює 20 см а кут при осно-ві mdash 60deg описана навколо кола Знайти основи трапеції

335 Трапеція з основами 5 см і 13 см і бічними сторонами 4 см і 8 см пря-мою перпендикулярною до основ поділена на дві трапеції в які можна вписати коло Знайти висоту даної трапеції

336 Паралелограм зі сторонами 2 см і 3 см прямою перпендикулярною до більшої сторони поділений на дві трапеції в які можна вписати коло Знайти гострий кут паралелограма

337 У рівнобічну трапецію з гострим кутом 30deg вписано коло Знайти пери-метр трапеції якщо довжина відрізка який зrsquoєднує точки дотику кола з бічними сторонами дорівнює 10 см


Середній рівень 1 Який кут називають а) центральним б) вписаним 2 Що є кутовою мірою дуги 3 Назвати властивість вписаного кута 4 Який чотирикутник називають а) вписаним в коло б) описаним навко-

ло кола 5 Назвати властивість чотирикутника а) вписаного в коло б) описаного

навколо кола 6 Назвати ознаку чотирикутника а) вписаного в коло б) описаного на-

вколо кола 7 Які види чотирикутників можна а) вписати в коло б) описати навколо

кола

Достатній рівень 8 Сформулювати та довести властивість вписаного кута 9 Сформулювати та довести властивість а) чотирикутника вписаного в

коло б) чотирикутника описаного навколо кола

Високий рівень 10 Сформулювати та довести ознаку а) чотирикутника вписаного в коло

б) чотирикутника описаного навколо кола



1 У якому з випадків градусна міра дуги AmB дорівнює 120deg

Середній рівень

4 Діагональ прямокутника ділить його кут у відношенні 1 2 а його менша сторона дорівнює 11 см Знайти радіус описаного навколо прямокутника кола

5 У рівнобічну трапецію з бічною стороною 22 см вписано коло Знайти середню лінію трапеції

а б в г

2 Коло вписано в чотирикутник ABCD АВ = 4 см ВС = 5 см CD = 8 см AD = а) 6 см б) 7 см в) 8 см г) 5 см

3 Коло описано навколо чотирикутника АВСD angВ = 115deg angD = а) 90deg б) 65deg в) 115deg г) 45deg

6 Дано коло з центром у точці О і точки А В С і D що належать колу angCAD = 20deg angCDA = 30deg Знайти величину кута DAB


Достатній рівень 7 Вершини чотирикутника АВСD знаходяться на колі і ділять його у від-

ношенні 2 3 4 6 Знайти внутрішні кути чотирикутника і кути які утворює діагональ проведена з вершини більшого кута цього чотирику-тника з його сторонами

8 Коло радіус якого дорівнює 8 см вписано в ромб Знайдіть кути ромба та його більшу діагональ якщо висота ромба удвічі менша від його бі-льшої діагоналі

9 Більша бічна сторона прямокутної трапеції дорівнює 20 см а висота опущена з вершини тупого кута ділить основу на відрізки завдовжки 16 см і 8 см рахуючи від вершини гострого кута Знайти радіус вписа-ного в трапецію кола

Високий рівень 10 У вписаному в кола чотирикутнику АВСD діагональ АС перпендикуляр-

на діагоналі BD і ділить її навпіл Визначити кути цього чотирикутника якщо angBAD = 50deg

12 Зrsquoясувати чи можна в рівнобедрену трапецію у якій діагоналі взаємно

перпендикулярні вписати коло Відповідь обґрунтувати

11 На продовженні діаметра АВ кола вибра-но точку М і через неї проведено дотичну МK до цього кола Знайти кут BAK якщо angАKM = 128deg

111


Рис 64

На основі теореми Фалеса та теореми про середню лінію трикутника

доведемо властивість середньої лінії трапеції

Доведення Нехай ABCD mdash довільна трапеція з основами AD і BC

MN mdash її середня лінія (рис 65) Доведемо що а) MN||AD (MN||BC)

б) MN = (AD + BC)

Рис 65

1 Проведемо через вершину B і точку N пряму Оскільки BC||AD то пряма BN перетинає пряму AD Нехай T mdash точка перетину прямих BN і AD

2 Розглянемо трикутники NCB і NDT У них CN = ND за умовою angCNB = angDNT (як вертикальні) angNCB = angNDT (як внутрішні різносторонні при паралельних прямих BC і AD та січній CD) Отже ∆NCB = ∆NDT за сто-роною і двома прилеглими кутами

3 З рівності трикутників NCB і NDT випливає що BC = DT і BN = NT 4 У трикутнику ABT точка M mdash середина AB а точка N mdash середина ВТ

тому MN mdash середня лінія трикутника ABT За теоремою про середню лінію трикутника

1) MN||AТ а отже MN||AD і MN||BC (бо AD||BC)

2) MN = AT = (AD + DT) Оскільки DT = BC то одержуємо MN =

= (AD + BC) Теорему доведено

Означення Середньою лінією трапеції називають відрізок який сполу-чає середини її бічних сторін

Теорема Середня лінія трапеції паралельна її основам і дорівнює їх півсумі




Рис 66













Рис 67




рий



Рис 68













Аналіз


Рис 69 Рис 70


Побудова

Рис 71













а б




































Рис 72





Рис 73



а б в








Рис 74











Рис 75











Аналіз


Рис 78

Побудова




Рис 76 Рис 77

а б в





Рис 79




Рис 80











Рис 81








































































Рис 82




а б в





Рис 83




Рис 84



а б

а б в








Рис 85



= 2angАВС






а б в



= angAOC = cupAmC






Рис 86






Наслідки



а б












Рис 87











(рис 88)

Рис 88




Рис 89














Рис 90






а б



















Рис 91








а б




Рис 92






Рис 93

а б















шеraquo






Рис 94









а б в











Рис 95

































Рис 96

а б












шеraquo









Рис 97








а б в














































кола











а б в г














111




Рис 66













Рис 67




рий



Рис 68













Аналіз


Рис 69 Рис 70


Побудова

Рис 71













а б




































Рис 72





Рис 73



а б в








Рис 74











Рис 75











Аналіз


Рис 78

Побудова




Рис 76 Рис 77

а б в





Рис 79




Рис 80











Рис 81








































































Рис 82




а б в





Рис 83




Рис 84



а б

а б в








Рис 85



= 2angАВС






а б в



= angAOC = cupAmC






Рис 86






Наслідки



а б












Рис 87











(рис 88)

Рис 88




Рис 89














Рис 90






а б



















Рис 91








а б




Рис 92






Рис 93

а б















шеraquo






Рис 94









а б в











Рис 95

































Рис 96

а б












шеraquo









Рис 97








а б в














































кола











а б в г














111




Рис 67




рий



Рис 68













Аналіз


Рис 69 Рис 70


Побудова

Рис 71













а б




































Рис 72





Рис 73



а б в








Рис 74











Рис 75











Аналіз


Рис 78

Побудова




Рис 76 Рис 77

а б в





Рис 79




Рис 80











Рис 81








































































Рис 82




а б в





Рис 83




Рис 84



а б

а б в








Рис 85



= 2angАВС






а б в



= angAOC = cupAmC






Рис 86






Наслідки



а б












Рис 87











(рис 88)

Рис 88




Рис 89














Рис 90






а б



















Рис 91








а б




Рис 92






Рис 93

а б















шеraquo






Рис 94









а б в











Рис 95

































Рис 96

а б












шеraquo









Рис 97








а б в














































кола











а б в г














111











Аналіз


Рис 69 Рис 70


Побудова

Рис 71













а б




































Рис 72





Рис 73



а б в








Рис 74











Рис 75











Аналіз


Рис 78

Побудова




Рис 76 Рис 77

а б в





Рис 79




Рис 80











Рис 81








































































Рис 82




а б в





Рис 83




Рис 84



а б

а б в








Рис 85



= 2angАВС






а б в



= angAOC = cupAmC






Рис 86






Наслідки



а б












Рис 87











(рис 88)

Рис 88




Рис 89














Рис 90






а б



















Рис 91








а б




Рис 92






Рис 93

а б















шеraquo






Рис 94









а б в











Рис 95

































Рис 96

а б












шеraquo









Рис 97








а б в














































кола











а б в г














111


Побудова

Рис 71













а б




































Рис 72





Рис 73



а б в








Рис 74











Рис 75











Аналіз


Рис 78

Побудова




Рис 76 Рис 77

а б в





Рис 79




Рис 80











Рис 81








































































Рис 82




а б в





Рис 83




Рис 84



а б

а б в








Рис 85



= 2angАВС






а б в



= angAOC = cupAmC






Рис 86






Наслідки



а б












Рис 87











(рис 88)

Рис 88




Рис 89














Рис 90






а б



















Рис 91








а б




Рис 92






Рис 93

а б















шеraquo






Рис 94









а б в











Рис 95

































Рис 96

а б












шеraquo









Рис 97








а б в














































кола











а б в г














111




































Рис 72





Рис 73



а б в








Рис 74











Рис 75











Аналіз


Рис 78

Побудова




Рис 76 Рис 77

а б в





Рис 79




Рис 80











Рис 81








































































Рис 82




а б в





Рис 83




Рис 84



а б

а б в








Рис 85



= 2angАВС






а б в



= angAOC = cupAmC






Рис 86






Наслідки



а б












Рис 87











(рис 88)

Рис 88




Рис 89














Рис 90






а б



















Рис 91








а б




Рис 92






Рис 93

а б















шеraquo






Рис 94









а б в











Рис 95

































Рис 96

а б












шеraquo









Рис 97








а б в














































кола











а б в г














111





















Рис 72





Рис 73



а б в








Рис 74











Рис 75











Аналіз


Рис 78

Побудова




Рис 76 Рис 77

а б в





Рис 79




Рис 80











Рис 81








































































Рис 82




а б в





Рис 83




Рис 84



а б

а б в








Рис 85



= 2angАВС






а б в



= angAOC = cupAmC






Рис 86






Наслідки



а б












Рис 87











(рис 88)

Рис 88




Рис 89














Рис 90






а б



















Рис 91








а б




Рис 92






Рис 93

а б















шеraquo






Рис 94









а б в











Рис 95

































Рис 96

а б












шеraquo









Рис 97








а б в














































кола











а б в г














111






Рис 72





Рис 73



а б в








Рис 74











Рис 75











Аналіз


Рис 78

Побудова




Рис 76 Рис 77

а б в





Рис 79




Рис 80











Рис 81








































































Рис 82




а б в





Рис 83




Рис 84



а б

а б в








Рис 85



= 2angАВС






а б в



= angAOC = cupAmC






Рис 86






Наслідки



а б












Рис 87











(рис 88)

Рис 88




Рис 89














Рис 90






а б



















Рис 91








а б




Рис 92






Рис 93

а б















шеraquo






Рис 94









а б в











Рис 95

































Рис 96

а б












шеraquo









Рис 97








а б в














































кола











а б в г














111








Рис 74











Рис 75











Аналіз


Рис 78

Побудова




Рис 76 Рис 77

а б в





Рис 79




Рис 80











Рис 81








































































Рис 82




а б в





Рис 83




Рис 84



а б

а б в








Рис 85



= 2angАВС






а б в



= angAOC = cupAmC






Рис 86






Наслідки



а б












Рис 87











(рис 88)

Рис 88




Рис 89














Рис 90






а б



















Рис 91








а б




Рис 92






Рис 93

а б















шеraquo






Рис 94









а б в











Рис 95

































Рис 96

а б












шеraquo









Рис 97








а б в














































кола











а б в г














111








Рис 75











Аналіз


Рис 78

Побудова




Рис 76 Рис 77

а б в





Рис 79




Рис 80











Рис 81








































































Рис 82




а б в





Рис 83




Рис 84



а б

а б в








Рис 85



= 2angАВС






а б в



= angAOC = cupAmC






Рис 86






Наслідки



а б












Рис 87











(рис 88)

Рис 88




Рис 89














Рис 90






а б



















Рис 91








а б




Рис 92






Рис 93

а б















шеraquo






Рис 94









а б в











Рис 95

































Рис 96

а б












шеraquo









Рис 97








а б в














































кола











а б в г














111





Аналіз


Рис 78

Побудова




Рис 76 Рис 77

а б в





Рис 79




Рис 80











Рис 81








































































Рис 82




а б в





Рис 83




Рис 84



а б

а б в








Рис 85



= 2angАВС






а б в



= angAOC = cupAmC






Рис 86






Наслідки



а б












Рис 87











(рис 88)

Рис 88




Рис 89














Рис 90






а б



















Рис 91








а б




Рис 92






Рис 93

а б















шеraquo






Рис 94









а б в











Рис 95

































Рис 96

а б












шеraquo









Рис 97








а б в














































кола











а б в г














111



Рис 79




Рис 80











Рис 81








































































Рис 82




а б в





Рис 83




Рис 84



а б

а б в








Рис 85



= 2angАВС






а б в



= angAOC = cupAmC






Рис 86






Наслідки



а б












Рис 87











(рис 88)

Рис 88




Рис 89














Рис 90






а б



















Рис 91








а б




Рис 92






Рис 93

а б















шеraquo






Рис 94









а б в











Рис 95

































Рис 96

а б












шеraquo









Рис 97








а б в














































кола











а б в г














111




Рис 81








































































Рис 82




а б в





Рис 83




Рис 84



а б

а б в








Рис 85



= 2angАВС






а б в



= angAOC = cupAmC






Рис 86






Наслідки



а б












Рис 87











(рис 88)

Рис 88




Рис 89














Рис 90






а б



















Рис 91








а б




Рис 92






Рис 93

а б















шеraquo






Рис 94









а б в











Рис 95

































Рис 96

а б












шеraquo









Рис 97








а б в














































кола











а б в г














111































































Рис 82




а б в





Рис 83




Рис 84



а б

а б в








Рис 85



= 2angАВС






а б в



= angAOC = cupAmC






Рис 86






Наслідки



а б












Рис 87











(рис 88)

Рис 88




Рис 89














Рис 90






а б



















Рис 91








а б




Рис 92






Рис 93

а б















шеraquo






Рис 94









а б в











Рис 95

































Рис 96

а б












шеraquo









Рис 97








а б в














































кола











а б в г














111













































Рис 82




а б в





Рис 83




Рис 84



а б

а б в








Рис 85



= 2angАВС






а б в



= angAOC = cupAmC






Рис 86






Наслідки



а б












Рис 87











(рис 88)

Рис 88




Рис 89














Рис 90






а б



















Рис 91








а б




Рис 92






Рис 93

а б















шеraquo






Рис 94









а б в











Рис 95

































Рис 96

а б












шеraquo









Рис 97








а б в














































кола











а б в г














111






























Рис 82




а б в





Рис 83




Рис 84



а б

а б в








Рис 85



= 2angАВС






а б в



= angAOC = cupAmC






Рис 86






Наслідки



а б












Рис 87











(рис 88)

Рис 88




Рис 89














Рис 90






а б



















Рис 91








а б




Рис 92






Рис 93

а б















шеraquo






Рис 94









а б в











Рис 95

































Рис 96

а б












шеraquo









Рис 97








а б в














































кола











а б в г














111

























Рис 82




а б в





Рис 83




Рис 84



а б

а б в








Рис 85



= 2angАВС






а б в



= angAOC = cupAmC






Рис 86






Наслідки



а б












Рис 87











(рис 88)

Рис 88




Рис 89














Рис 90






а б



















Рис 91








а б




Рис 92






Рис 93

а б















шеraquo






Рис 94









а б в











Рис 95

































Рис 96

а б












шеraquo









Рис 97








а б в














































кола











а б в г














111











Рис 82




а б в





Рис 83




Рис 84



а б

а б в








Рис 85



= 2angАВС






а б в



= angAOC = cupAmC






Рис 86






Наслідки



а б












Рис 87











(рис 88)

Рис 88




Рис 89














Рис 90






а б



















Рис 91








а б




Рис 92






Рис 93

а б















шеraquo






Рис 94









а б в











Рис 95

































Рис 96

а б












шеraquo









Рис 97








а б в














































кола











а б в г














111






Рис 82




а б в





Рис 83




Рис 84



а б

а б в








Рис 85



= 2angАВС






а б в



= angAOC = cupAmC






Рис 86






Наслідки



а б












Рис 87











(рис 88)

Рис 88




Рис 89














Рис 90






а б



















Рис 91








а б




Рис 92






Рис 93

а б















шеraquo






Рис 94









а б в











Рис 95

































Рис 96

а б












шеraquo









Рис 97








а б в














































кола











а б в г














111



Рис 83




Рис 84



а б

а б в








Рис 85



= 2angАВС






а б в



= angAOC = cupAmC






Рис 86






Наслідки



а б












Рис 87











(рис 88)

Рис 88




Рис 89














Рис 90






а б



















Рис 91








а б




Рис 92






Рис 93

а б















шеraquo






Рис 94









а б в











Рис 95

































Рис 96

а б












шеraquo









Рис 97








а б в














































кола











а б в г














111







Рис 85



= 2angАВС






а б в



= angAOC = cupAmC






Рис 86






Наслідки



а б












Рис 87











(рис 88)

Рис 88




Рис 89














Рис 90






а б



















Рис 91








а б




Рис 92






Рис 93

а б















шеraquo






Рис 94









а б в











Рис 95

































Рис 96

а б












шеraquo









Рис 97








а б в














































кола











а б в г














111



= angAOC = cupAmC






Рис 86






Наслідки



а б












Рис 87











(рис 88)

Рис 88




Рис 89














Рис 90






а б



















Рис 91








а б




Рис 92






Рис 93

а б















шеraquo






Рис 94









а б в











Рис 95

































Рис 96

а б












шеraquo









Рис 97








а б в














































кола











а б в г














111












Рис 87











(рис 88)

Рис 88




Рис 89














Рис 90






а б



















Рис 91








а б




Рис 92






Рис 93

а б















шеraquo






Рис 94









а б в











Рис 95

































Рис 96

а б












шеraquo









Рис 97








а б в














































кола











а б в г














111









(рис 88)

Рис 88




Рис 89














Рис 90






а б



















Рис 91








а б




Рис 92






Рис 93

а б















шеraquo






Рис 94









а б в











Рис 95

































Рис 96

а б












шеraquo









Рис 97








а б в














































кола











а б в г














111










Рис 90






а б



















Рис 91








а б




Рис 92






Рис 93

а б















шеraquo






Рис 94









а б в











Рис 95

































Рис 96

а б












шеraquo









Рис 97








а б в














































кола











а б в г














111



















Рис 91








а б




Рис 92






Рис 93

а б















шеraquo






Рис 94









а б в











Рис 95

































Рис 96

а б












шеraquo









Рис 97








а б в














































кола











а б в г














111





Рис 91








а б




Рис 92






Рис 93

а б















шеraquo






Рис 94









а б в











Рис 95

































Рис 96

а б












шеraquo









Рис 97








а б в














































кола











а б в г














111




Рис 92






Рис 93

а б















шеraquo






Рис 94









а б в











Рис 95

































Рис 96

а б












шеraquo









Рис 97








а б в














































кола











а б в г














111













шеraquo






Рис 94









а б в











Рис 95

































Рис 96

а б












шеraquo









Рис 97








а б в














































кола











а б в г














111


Рис 94









а б в











Рис 95

































Рис 96

а б












шеraquo









Рис 97








а б в














































кола











а б в г














111










Рис 95

































Рис 96

а б












шеraquo









Рис 97








а б в














































кола











а б в г














111






























Рис 96

а б












шеraquo









Рис 97








а б в














































кола











а б в г














111













Рис 96

а б












шеraquo









Рис 97








а б в














































кола











а б в г














111












шеraquo









Рис 97








а б в














































кола











а б в г














111



Рис 97








а б в














































кола











а б в г














111













































кола











а б в г














111






























кола











а б в г














111















кола











а б в г














111






кола











а б в г














111







а б в г














111











111

111

Documents

5.1. Трапеція Середня лінія трапеціїito.vspu.net/Naukova_robota/data/Konkursu/2009_2010/boychyk_200… · У будь-якої трапеції сума