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5.3 超松弛迭代法. 5.3.1 超迭代法的构造. 5.3.2 超迭代法的收敛性. 在很多情况小， J 法和 GS 法收敛较慢，所以考虑 GS 法的改进。设计算第. 个近似解 时，分量 已经算好。按 GS 法给出辅助量. 再用参数 将 与 做加权平均，即. 经整理得. （ 5. 3. 1). - PowerPoint PPT Presentation
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第五章线性方程组迭代解法
5.3 超松弛迭代法
5.3.2 超迭代法的收敛性
5.3.1 超迭代法的构造
第五章线性方程组迭代解法5.3.1 超松弛迭代法的构
造
经整理得
n
jii
kjij
i
j
kjiji
ki
ki axaxabxx
1
)(1
1
)1()()1( )(
,,,2,1 ni （ 5. 3. 1) 称此式为逐次超松弛迭代法，简记为 SOR(Successive Over – Relaxation) 法，其
中 称为超松弛因子。当 时，（ 5. 3.1) 就是 GS 法。 1
在很多情况小， J 法和 GS 法收敛较慢，所以考虑 GS 法的改进。设计算第
1k
个近似解 时，分量 已经算好。按 GS 法给出辅助量)1(1
)2(2
)1(1 ,,,
k
ikk xxx 1kx
ii
n
ij
kjij
i
j
kjiji
ki axaxabx
1
1
1
11
再用参数 将 与 做加权平均，即 )(kix
)1( kix
( 1) ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( )(1 ) (k k k k k ki i i i i ix x x x x x
第五章线性方程组迭代解法 记 A=D － L － U ， (5. 3. 1) 可写成矩阵形式
)()1(11 1 kkkk UxLxbDxx
再整理得 bLDxLx kk 1)(1 )( (5.3.2)
其中，迭代矩阵为 UDLDL 1)( 1
(5.3.3)
例 5.4 方程组
24
30
24
410
143
034
3
2
1
x
x
x
第五章线性方程组迭代解法
得准确解为 ，如果用 SOR 跌代法（即 GS 法），计算公式是T)5,4,3( 1
625.0
5.725.075.0
675.0
)1(2
)1(
)(3
)1()1(2
)(2
)1(1
kk
kkk
kk
xx
xxx
xx
如果用 的 SOR 迭代法，计算公式是25.1
5.725.03125.0
375.93125.025.09375.0
5.79375.025.0
)(3
)1(2
)1(3
)(3
)(2
)1(1
)1(2
)(2
)(1
)1(1
kkk
kkkk
kkk
xxx
xxxx
xxx
第五章线性方程组迭代解法
设 的特征值为 ，则L n ,,, 21 证])1det[()det()det( 1 UDLDL
nDD )1(])1det[(det 1
取 ，迭代 7 次，则 时得Tx )1,1,1()0( 1Tx )0027940.5,9888241.3,0134110.3()7(
25.1 时得
若继续算下去，要达到 7 位数字的精度， 时，要迭代 34 次，而 时，只需要迭代 14 次，显然选 收敛要快些。
25.1125.1
1)( L 按一般的迭代法收敛的理论， SOR 迭代法收敛的充分必要条件是 而 与松弛因子 有关。下面讨论松弛因子 在什么范围内取值， SOR 迭代法可能收敛。
)( L
定理 5.7 如果解方程组 的 SOR 法收敛，则有 。bAx 20
(7) (3.0000498,4.0002586, 5.0003486)Tx
5.3.2 超松弛迭代法的收敛性
第五章线性方程组迭代解法由于 SOR 法收敛，所以有
1)()det(11
21
1
LL nn
n 定理得证。 该定理说明，只有当松弛因子 在区间 内取值时， SOR 法才可能收敛。下面给出 SOR 法收敛的充分条件。
)2,0(
定理 5. 8 如果 A 为对称正定矩阵，且 ，则解 的 SOR 法收敛。
20 bAx 证 设 是 的一个特征值，对应特征向量 。由（ 5. 3. 3 ）可得L x
xLDxUD )()1( 这里， 是实对称矩阵，所以有 。上式两边与 作内积得ULDA ULT x
)],(),[(),(),)(1( xLxxDxxUxxDx （ 5. 3. 4 ）因为 A 正定， D 亦正定，记 ，有 。又记 ，
则有),( xDxp 0p ixLx ),(
( , ) ( , ) ( , )Ux x x Lx Lx x i
第五章线性方程组迭代解法由（ 5. 3. 4 ）有
ip
ip
)1(
222
2222
)(
)]([
p
pp
因 A 正定， ， ，所以
即 ，从而 ， SOR方法收敛。定理得证。
02),( pxAx 20 2)]([ pp0)2)(2()( 2 ppp 1
2 1)( L
当 时， SOR 法就是 GS 法，所以上面的定理说明，当系数矩阵是对称正定矩阵时， GS 法收敛。
1
对于例 5. 4 所给出的方程组，其系数矩阵是对称正定的，因此对 和
的 SOR 迭代法都收敛。
125.1
第五章线性方程组迭代解法 例 5. 5 设矩阵 A 非奇异，求证用 GS 法求解方程组 时是收敛的。
bAxAT
对 ，由 A 非奇异知 ，从而0x 0Ax0)()(),( AxAxAxAxAxAx TTT
即 是对称正定的，因此，用 GS 法求解方程组 是收敛。AAT bAxAT
证
引入超松弛迭代法的想法是希望能找到最优的松弛因子 ，使对应 的 SOR 方法受凉最快。对于一类有特殊性质的矩阵（即所谓 2 – 循环的和相容次序的矩阵，它们常在偏微分方程的数值解法中出现），有关 的理论在 50年代已得到。因为证明较复杂，这里只叙述其结果，即
opt opt
opt
211
2
uopt
其中 是 J 法迭代矩阵 的谱半径。)( JB JB
可以证明，对称正定的三对角矩阵满足最优松弛因子 的条件。在实际应用中，一般地说计算 较困难。对某些微分方程数值解问题，可以考虑用求特征值的近似值的方法，也可以由计算实践摸索出近似最佳松弛因子。
opt)( JB
