Управління освіти і науки Білоцерківської міської радиСпеціалізована загальноосвітня школа І-Ш ступенів №12

з поглибленим вивченням інформаційних технологій

«Затверджено»Методичною радою СЗОШ № 12Голова методичної радиСЗОШ № 12___________Вітюк О. П.Протокол №____ від__________________ 200_ р

«Затверджено» Науково-методичною радою науково-методичного центру Управління освіти і науки Білоцерківської міської ради Голова науково-методичної ради НМЦ________________Паливода І.ППротокол №____ від_______________________ 200__ р.

Стохастика в початковій школі

Навчально-методичний посібник

Підготувала Саражинська

Наталія Анатоліївна,Вчитель початкових класів

2009

Саражинська Н.А. Стохастика в початковій школі: Навчально-

методичний посібник. – Біла Церква, 2009 рік. – 71 с.

Рецензент Вітюк О.П., директор спеціалізованої загальноосвітньої школи І-ІІІ ступенів № 12 з поглибленим вивченням інформаційних технологій, вчитель-методист, завідувач науковою лабораторією Київського обласного інституту післядипломної освіти педагогічних кадрів  

           

У посібнику розкрито особливості формування комбінаторного, ймовірнісно-статистичного мислення учнів початкової школи. Розроблена програма “Стохастика у початковій школі”.

Запропоновано прийоми розв’язування комбінаторних, статистичних задач та система підготовчих вправ і способи пояснення учням з використанням мультимедійного супроводу .

Подано комбінаторні задачі з розв’язками й підказками.Адресований вчителям початкових класів загальноосвітніх

навчальних закладів. 

© СЗОШ №12 м. Білої Церкви, 2008

2

Зміст

ПЕРЕДМОВА 4

РОЗДІЛ І. РОЛЬ І МІСЦЕ СТОХАСТИКИ

1.1. Де навчати стохастики молодших школярів 5

1.2. Актуальність вивчення стохастики в початкових класах 6

1.3. Навіщо потрібно вивчати стохастику в початкових класах

1.3.1. Значущість формування комбінаторного мислення в початкових класах 6

1.3.2. Значущість формування ймовірнісно-статистичного мислення в початкових класах 7

1.4 Дослідження особливостей вивчення стохастики в загальноосвітніх школах 10

РОЗДІЛ ІІ. ПРОГРАМА КУРСУ «СТОХАСТИКА В ПОЧАТКОВІЙ ШКОЛІ»

2.1. Пояснювальна записка 13

2.2. Структура і особливості курсу 14

РОЗДІЛ ІІІ. МЕТОДИКА ВИВЧЕННЯ СТОХАСТИКИ В ПОЧАТКОВІЙ ШКОЛІ

3.1. Пропедевтичний курс у початкових класах 17

3.2. Форми навчальної діяльності 17

3.3. Особливості методичного характеру по реалізації вивчення комбінаторики в початковій

школі 20

3.4. Особливості методичного характеру по реалізації вивчення теорії ймовірності в

початковій школі 34

3.5. Особливості методичного характеру по реалізації вивчення статистики в початковій

школі 40

РОЗДІЛ IV. ОСОБЛИВОСТІ ЗМІСТОВНОГО ХАРАКТЕРУ ПО РЕАЛІЗАЦІЇ

ВИВЧЕННЯ КОМБІНАТОРИКИ В ПОЧАТКОВИХ КЛАСАХ

4.1. Вступ. Множина. Комбінаторика 45

4. 2. Комбінаторика 48

4. 3. Схема. Дерево 54

4.5. Графи 65

Висновки 69

Література 70

3

ПЕРЕДМОВА

Які задачі включають до математичних конкурсів, олімпіад? Звісно, ті,

які мають високу діагностичну цінність. На сьогодні «наймоднішими» стали

комбінаторні задачі, напевне, що такі властивості повною мірою притаманні

їм. Але, користуючись такими задачами не перевіряють знання основних

розділів шкільної програми з математики для учнів 1-4 класів, (бо

підручники, в основному містять арифметичні задачі), а рівень логічного та

аналітичного мислення, математичну культуру учнів.

Якщо раніше комбінаторні задачі траплялися лише як поодинокі

випадки на олімпіадах чи завдання підвищеної складності в підручнику, то

сьогодні вони складають левову частку змісту конкурсів, як наприклад,

«Кенгуру». Все більше вчителів використовують їх на уроках, а також у

тематичних оцінюваннях. Декілька завдань в підручнику і додаткові заняття

на підготовку до олімпіади дозволяють розв’язувати їх здібним учням

інтуїтивно.

Зустрівшись з такою задачею вперше лише на конкурсі «Кенгуру»,

дитина назавжди може впевнитись у своїй «нездібності до математики», і

вважати, що лише винятковим та обдарованим під силу такі задачі. Не варто

сперечатися, зрозуміло, що існують таланти з яскраво вираженими нахилами

до певних видів розумової діяльності, але при вдало і грамотно

організованому навчанні легко зможуть впоратися з комбінаторними

задачами звичайні «середні» учні. Цілком очевидно, що до «зустрічі» з

такими задачами слід спеціально готуватися. Орієнтація на особистісне

навчання вимагає, щоб навчання математиці, вивчення основ комбінаторики,

на основі якого базується вміння розв’язувати такі задачі враховувала

потреби всіх школярів – не тільки «сильних», але і тих, хто не може (і не

повинен) здогадуватися про способи розв’язування комбінаторних задач.

4

РОЗДІЛ І. РОЛЬ І МІСЦЕ СТОХАСТИКИ

1.1 Де навчати стохастики молодших школярів

Систематичне і цілеспрямоване розвинення комбінаторного,

ймовірнісно-статистичного мислення можна реалізувати у межах варіативної

компоненти навчального плану, у межах окремого предмету з назвою

“Стохастика”, або у межах предмету типу “Логіка”, де поряд з іншими

видами логічного мислення, є природне місце для формування

комбінаторного, ймовірнісно-статистичного мислення.

Комбінаторні, статистичні задачі можна розв’язувати як на уроках

математики, природознавства, та на інших уроках.

Перші комбінаторні задачі можна розглядати у першому класі при

вивченні нумерації чисел першого десятка. Розглядаючи вправи на склад,

наприклад, числа 7, часто вчителі показують учням картку, на одній стороні

якої написано число 3, і запитують учнів про те, а яке число написано на

другій стороні картки, якщо в сумі вони дають 7. Так формується розуміння

того, що число 7 можна розкласти на шість і один, п’ять і два, чотири і три,

три і чотири, два і п’ять, один і шість. Коли учні засвоїли це, пропонують їм

виготовити всі картки, з обох боків яких написані числа, сума яких складає

число 7. Учні займаються перебором варіантів, тобто розв’язують

найпростіші комбінаторні задачі.

Пропедевтичний курс «Сходинки до інформатики» має один із трьох

напрямків – розвивальний. Програма курсу містить пояснення: «учні

розвивають логічне мислення» без конкретизації складових цього розвитку,

тому і на цих уроках доцільне введення стохастичної лінії. Важливо, що

використання комп’ютера на таких заняттях для демонстрації комбінування

об’єктів, розв’язування комбінаторних і статистичних завдань через ігрові

вправи; створення діаграм під час оволодіння елементами статистичних

вмінь відкриває нові, більш широкі можливості в опануванні учнями

елементами стохастики. Досвід показує, що розроблена методика з

використанням інформаційних технологій має позитивний вплив на

5

формування просторових уявлень учнів і є ефективною для розвитку

логічного мислення.

1.2. Актуальність вивчення стохастики в початкових класах

В Наказі МОН «Організаційно-педагогічні умови використання

інформаційних комп'ютерних технологій у діяльності учнів початкової

школи» № 799 від 11.09.2007 звертається увага на те, що «міжнародна

педагогічна громадськість одностайно вважає - навчальні заклади несуть

першочергову відповідальність за підготовку учнів до подальшої діяльності в

інформаційному просторі сучасного суспільства, в його „цифровому”

середовищі. У зв’язку з цим необхідним є організація, в першу чергу, для

учнів початкової школи систематизованої підготовки, яка дозволить їм у

подальшому:

- сформувати необхідний світогляд, певну інформаційну культуру,

якої потребує сучасне суспільство;

- використовувати отримані знання, вміння і навички безпосередньо

у повсякденному житті з перших років навчання у школі;

- накопичити власний практичний досвід, який стане підґрунтям для

подальшого вибору професійної діяльності і самореалізації молодого фахівця

в інформаційному просторі сучасного суспільства.

Це спричиняє необхідність відповідних змін у сфері освіти, вимагає

розробки заходів з реорганізації освітньої інфраструктури, впровадження

новітніх методик і методологій освіти, розробок навчально-методичного

забезпечення використання інформаційних технологій у діяльності учнів

початкової школи».

1.3.Навіщо потрібно вивчати стохастику в початкових класах

1.3.1. Значущість формування комбінаторного мислення в

початкових класах.

У багатьох розвинених країнах (Угорщина, Франція, Польща та ін.)

формування комбінаторного мислення починають у початковій школі.

6

Про загальнокультурну, загальноосвітню значущість комбінаторних

задач, комбінаторного мислення свідчить і той факт, що завдання

міжнародного математичного конкурсу “Кенгуру” для молодших школярів

ось уже упродовж 10 років постійно містять численні комбінаторні задачі.

Наприклад, у 2006 році для учнів 3 – 5 класів пропонувалось завдання: В

країні Кенгурундії між кожними двома містами є авіаційне сполучення.

Скільки в країні міст, якщо всіх авіаліній більше ніж 30, але менше ніж 40?

Отже, міжнародна спільнота навіть при прагматичному ставленні до

навчання математики високо оцінює роль таких задач для формування

логічного мислення дітей, для виховання інтересу до занять математикою.

Комбінаторика, за словами Г. Фройденталя [14, стор. 142], є скелетом

елементарної теорії ймовірностей. Грубі помилки у простих задачах

комбінаторики зустрічаються навіть у студентів. Чому це відбувається?

Адже, власне математика, яка потрібна для розв’язання таких комбінаторних

задач, є досить простою. Справа в тому, що своєчасно учні не набули

відповідних вмінь. У математиці є такі поняття, такі вміння, які формуються

упродовж тривалого терміну навчання (поняття множини, числа, вміння

розв’язувати рівняння, нерівності, текстові задачі тощо). До таких вмінь слід

відносити і вміння розв’язувати комбінаторні задачі. Ці вміння краще

формувати поступово, повільно нарощуючи складність задач,

використовуючи методи, які відповідають віку дитини. [14, стор. 157].

1.3.2. Значущість формування ймовірнісно-статистичного

мислення в початкових класах.

Дослідження вчених доводять, що [15] « людині, яка не сприйняла

ймовірнісних ідей у ранньому дитинстві, у більш зрілому віці вони даються

нелегко, бо багато що у теорії ймовірностей неначе суперечить життєвому

досвіду, а з віком досвід накопичується і набуває статусу безумовності”.

Як відомо, статистика розробляє методи, які дають змогу за

результатами досліджень робити певні висновки. У наше життя увійшли

вибори і референдуми, банки і страхові компанії, соціологічні опитування і

7

пункти обміну валюти, пошук найкращих варіантів купівлі товарів, вибір

навчального закладу тощо. Повноцінне життя громадянина у сучасному

суспільстві безпосередньо пов’язане з правом на отримання інформації, з її

доступністю і вірогідністю, з правом на усвідомлений вибір, який неможливо

здійснити без вміння аналізувати інформацію, яка часто-густо буває

неповною і навіть суперечливою. Необхідно вчити дітей, починаючи з

молодшого шкільного віку, добувати, аналізувати і обробляти інформацію,

приймати обґрунтовані рішення на її основі. Розв’язання цієї задачі потребує

ознайомлення учнів з описовою статистикою.

Отже, статистична грамотність є необхідною складовою

загальнокультурної, загальноосвітньої підготовки сучасної людини. Тому що

йдеться не про вивчення кількох понять і фактів, а про формування типу

мислення.

Не випадково, що у розвинених країнах з елементами статистики учні

знайомляться з перших років

перебування у школі і упродовж

всього навчання використовують

імовірнісно-статистичні методи під

час аналізу явищ, які часто

зустрічаються у повсякденному

житті. Як зазначено у статті [15], “у більшості країн світу тему “Аналіз

даних” починають вивчати вже у початковій школі і продовжують до кінця

навчання, завершуючи її вивченням елементів математичної статистики”.

Про важливість ознайомлення учнів з початкових класів з аналізом даних

свідчать також матеріали міжнародних досліджень рівня математичної

підготовки учнів [8], де для дітей 9 років із 62 завдань 8 належали розділу

“Аналіз даних”. Цей розділ був представлений завданнями на читання

діаграм і таблиць, одне завдання перевіряло інтуїтивне уявлення дітей про

ймовірність.

Ось приклади цих завдань.

8

Приклад 1. На малюнку

показано, скільки білетів продали

за робочий тиждень. У який день

продали 26 білетів?

А. У понеділок. Б. У

вівторок.

В. У середу. Г. У

четвер.

Приклади 2-3. На малюнку

зображена кількість дітей, які

народились за рік у відповідні

місяцям. У якому місяці

народилося найбільше дітей? У

якому місяці народились стільки ж дітей, скільки й у квітні?

Приклади 4-5. На малюнку зображена кількість учнів школи, які

займаються різними видами спорту. Якому виду спорту надають перевагу

учні цієї школи?

Яке з чисел може бути відповіддю на запитання: скільки учнів в школі

займається шахами?

А. 5. Б. 15. В. 27. Г. 32.

Концепція відкритого суспільства, процеси європейської і світової

інтеграції невід’ємно пов’язані із взаємним зближенням країн і народів, в

тому числі і в сфері освіти. Україна, маючи одну із найбільш успішних у світі

систем математичної освіти, досі не має повноцінної системи навчання

статистики, ймовірності, комбінаторики в школі, особливо у початковій.

Важливо, щоб “кожен учень оволодівав не тільки певною сумою

статистичних знань. Він має природно використовувати ці знання у тих

випадках, коли зустрічається з частотою явищ та робити індуктивні висновки

з отриманої інформації. Це потребує спеціального розвитку мислення -

9

цілеспрямованого і систематичного, а також безперервного навчання

статистики і теорії ймовірностей і теоретичного, і практичного” [9].

Вивченню ймовірнісних понять, як вважають фахівців, має передувати

процес накопичення необхідних інтуїтивних уявлень про конкретні

випадкові явища навколишнього світу. Причому, такий процес повинен бути

організованим і тривалим. Наприклад, відомий польський математик і

педагог А. Плоцькі стверджує, що вивченню стохастики в школі має

передувати “тривалий період формування інтуїтивних засад понять і

методів, а також деяких ідей і розвитку особливої інтуїції, як нового

важливого аспекту математичної культури” [10]. «Через свою специфіку

стохастика може бути математикою, і сприйматись кожним учнем як

математика, відкрита ним самим». Одна з найважливіших цілей навчання

школярів елементам стохастики полягає в цілеспрямованому розвитку ідеї

про те, що в природі є завжди статистичні закономірності. Важливо

допомогти учням правильно усвідомити реальну дійсність, відкрити для себе

ймовірнісну природу навколишнього світу, показати, що в світі

випадковостей можна не тільки добре орієнтуватися, але і активно діяти.

1.4. Дослідження особливостей вивчення стохастики в

загальноосвітніх школах

Про навчання основам стохастики у вчених немає єдиної думки.

Оскільки цим питанням займаються вже давно, то природно, що були

зроблені деякі спроби введення стохастики чи її елементів в шкільну освіту.

Деякі статті містять інформацію про різні досліди і експерименти з цього

питань.

Програма з математики [17] для 5-12 класів загальноосвітньої школи

(рівень стандарту). – Київ – Ірпень, Перун, 2005. для дванадцятирічної

школи, затверджена Міністерством освіти і науки України, передбачає

розгляд у 6-му класі таких питань, як “Випадкова подія. Імовірність

випадкової події”, розв’язання задач ймовірнісного характеру. Ці самі

питання зазначеною програмою мають розглядатися у 9-му класі.

10

Цією програмою передбачено, що учень 9-го класу наводить приклади

випадкових подій, описує поняття випадкової події, частоти, ймовірності

випадкової події, середнього значення статистичних вимірювань, розв’язує

задачі, що вимагають знаходження ймовірності випадкової події та розгляд

наприкінці 9-го класу таких питань, як “Статистичні дані. Способи подання

даних. Частота. Середнє значення”. Там заплановано, що учень “наводить

приклади подання статистичних даних у вигляді таблиць, діаграм, графіків,

описує поняття середнього значення статистичних вимірювань, розв’язує

задачі, що передбачають подання статистичних даних; знаходження

середнього значення.

У Росії розроблено комплексну програму впровадження нової змістової

стохастичної лінії в основну школу [15].

У статті Бунімовіча Е.А. [7] розповідається про експерименти проведені

автором на базі московської гімназії №710, ярославської гімназії №20 і

калузької гімназії №2. У них досліджувалися ймовірнісні уявлення школярів

старших профільних класів, які ще не вивчали ймовірнісний розділ.

Результати дослідження показали, що навіть міцні знання і розуміння інших

розділів математики самі по собі не забезпечують розвитку ймовірнісного

мислення. Також досвід показав, що основи статистики, таблиці і діаграми, а

також основи комбінаторики (систематичний перебір можливих варіантів на

невеликій множині предметів) можливо і навіть необхідно вводити в курс

початкової школи. А починати викладання основ теорії ймовірності в

старших класах - малоефективно. [13]

Ткачовою М.В., Васильковою Є.Н. і Чуваєвою Т.В. був проведений

експеримент щодо готовності учнів до вивчення стохастики, [13]. На основі

проведених експериментів були зроблені такі висновки: в 3-4 класах у дітей

достатньо високий рівень комбінаторного мислення, а потім, якщо в 5-7

класах його не розвивати, то навички розв’язування комбінаторних задач

істотно знижуються. Більшість учнів 3-4 класів, готові до сприйняття поняття

ймовірності в класичному і геометричному розумінні. Бажано навчати дітей

11

3-4 класів самостійному цілеспрямованому збору інформації про явища

оточуючого їх життя, аналізу даних в невеликих об’ємах.

Роботи авторів [1-2] присвячені формуванню комбінаторного,

ймовірнісно-статистичного мислення учнів початкової школи. Ідеї і роздуми,

висловлені у цих роботах стосовно формування комбінаторних, статистичних

уявлень, деталізовані, конкретизовані у [3-4]. Побоювання деяких вчених

щодо неможливості пропедевтичного формування ймовірнісних уявлень,

спростовані в роботі [5].

Головна мета даної роботи – показати, яким чином, використовуючи

інформаційно-комунікаційні технології можна навчати комбінаториці,

ймовірності, статистиці в початковій школі.

12

РОЗДІЛ ІІ ПРОГРАМА КУРСУ «СТОХАСТИКА У ПОЧАТКОВІЙ

ШКОЛІ»

2.1. Пояснювальна записка

Мета курсу

Сформувати в учнів молодшого шкільного віку первинні навички

комбінаторного, ймовірнісно-статистичного мислення, які дадуть можливість

накопичити певний запас уявлень про статистичний характер навколишніх

явищ і про їх властивості. Навчити учнів новим способам розв’язування

задач; сформувати вміння приймати рішення, оптимальні в даному випадку;

розвивати елементи творчої діяльності.

Актуальність

Наше життя складається з явищ стохастичного характеру. Тому

сучасній людині необхідно мати уявлення про основні методи аналізу даних і

ймовірнісні закономірності, що грають важливу роль в науці, техніці та

економіці.

Вивчення основ стохастики є одним з найважливіших аспектів

модернізації змісту початкової освіти, оскільки роль цих знань і необхідність

застосування їх на практиці продиктована особливостями розвитку сучасного

інформаційного суспільства.

Зміст навчального матеріалу розкриває роль сучасної математики в

пізнанні навколишнього світу, формує світогляд. Людині, що не зрозуміла

ймовірнісних ідей в ранньому дитинстві, пізніше вони даються нелегко,

оскільки багато що в теорії ймовірності здається таким, що суперечить

життєвому досвіду, а з віком досвід набирається і набуває статусу

безумовності. Тому дуже важливо формувати стохастичну культуру,

розвивати ймовірнісну інтуїцію і комбінаторні здібності дітей в ранньому

віці.

Обсяг курсу: 35 годин.

Зміст курсу

13

Методика вивчення основ стохастики розрахована на учнів віком 8-9

років.

Комбінаторика у початковій школі. Найпростіші комбінаторні моделі.

Приклади комбінаторних задач. Використання дидактичних ігор. Дерево

можливих варіантів. Схеми, графи. Комбінаторне правило множення,

додавання.

Елементи ймовірності у початковій школі. Пропедевтика формування

понять ймовірності, неможливої, випадкової подій. Якісне оцінювання

шансів настання випадкової події на класичній, статистичній, геометричній

основах. Експеримент – головний засіб ознайомлення дітей зі світом

імовірності.

Елементи статистики у початковій школі. Вміння читати таблиці.

Проведення опитувань, спостережень. Статистичний аналіз інформації, яка

міститься у щоденниках погоди. Читання і створення діаграм. Пропедевтичне

ознайомлення дітей із задачами оцінювання параметрів, перевірки

статистичних гіпотез.

2.2. Структура і особливості курсу

№

п/п ТемаВимоги до знань, умінь і навиків учнів

I семестр Розділ 1.

КомбінаторикаОсновні поняття

Основна мета: повторити необхідні поняття логіки, ознайомити з основними поняттями комбінаторики.

1

2Вступ. Множина.

Комбінаторика.

Знати поняття множина, підмножина, елемент множини,

об’єкт;Уміти: складати комбінаторні набори.Мати уявлення про: зміст курсу комбінаторики; поняття дерево, схема, граф, вершина, ребра, корінь

графа.

3 Дерево. Схема.

4

5Графи. Вершини і

ребра графа.

Розділ 2. Основні методи розв’язування комбінаторних задач

Основна мета: ознайомити з основними методами розв`язування комбінаторних задач, навчити виконувати прості завдання методом графів, табличним методом

14

6 Дерево. Графи.

Знати правило множення; правило додавання; дерево варіантів; графи: основні поняття; способи задання графів, операції над частинами

графів; табличний метод розв’язування задач.

Уміти:- складати, вибирати і впорядковувати комбінаторні

набори;- рахувати комбінаторні елементи методом

безпосереднього перебору;- використовувати дерево можливих варіантів як один

з методів розв’язування КЗ;- розв’язувати комбінаторні задачі за допомогою

послідовних міркувань;- застосувати правило множення, додавання.

7

8Таблиця. Табличний

метод розв’язання задач.

9

10

Розв`язування задач з графами. Направлені графи.

11

12

Будуємо графи відносин між об'єктами. Направляємо ребра графа.

13

14

Основні правила комбінаторики. Правило додавання можливостей.

15

16

Правило перемножування можливостей.

17

Узагальнення і систематизація вивченого матеріалу.

Комбінаторика навколо нас

Розділ 3. Закономірність. Аналогія. Теорія ймовірності.

Основна мета: Формування понять ймовірної; неможливої, випадкової, достовірної подій. Формувати вміння оцінювати шанси настання випадкової події на класичній, статистичній, геометричній основах.

18

19

Ознаки предметів. Ознаки і дії об'єктів і їх складових частин.

Мати уявлення про: - випадковий характер багатьох явищ повсякденного

життя; - неможливі, достовірні, випадкові події;Знати про:- шанси настання випадкової події;- види випадкових подій;Уміти: - розпізнавати вірогідні, неможливі, випадкові подій; - інтуїтивно оцінювання шанси настання випадкової

події;- проводити експерименти з випадковими

результатами;- оцінювати шанси настання випадкової події шляхом

перебору варіантів, на геометричній основі;- вимірювати шанси настання події за допомогою

числа.

20 Аналогія. Аналогічна закономірність.

21

22

Неможливі, достовірні і випадкові події.

23Види випадкових

подій. Дії над випадковими подіями (сума, добуток)

24 Експерименти і їх результати.

25

Розв`язування ймовірнісних задач за допомогою правил комбінаторики..

26Узагальнення і

систематизація вивченого матеріалу.

Розділ 4. Статистика

Основна мета: опанування статистичною грамотністю; розуміння графічної статистики; формування вміння шукати,

15

аналізувати і обробляти інформацію, робити обґрунтовані висновки на її основі.

27 Предмет статистики. Мати уявлення про: - предмет «статистика»; - важливість статистичних ідей, а саме: ідеї

оцінювання та ідеї перевірки статистичних гіпотез.

Знати про:- статистичні експерименти, реєстрацію та інтерпретацію

їхніх результатів;Вміння: - читання, інтерпретація таблиць;- читання, інтерпретація схем, діаграм;- проведення опитувань, реєстрація та інтерпретація

їхніх результатів;- проведення статистичних спостережень, реєстрація та

інтерпретація їхніх результатів;- оцінювання шансів настання тієї чи іншої події за

результатами конкретних статистичних опитувань, спостережень, експериментів;

28 Читання та інтерпретації таблиць

29Читання та

інтерпретації схем, діаграм.

30Статистичний аналіз

інформації, яка міститься у щоденниках погоди.

31

32Проведення

опитувань, спостережень.

Читання і створення діаграм.

33Задачі на

оцінювання параметрів статистичних гіпотез.

34 Закріплення знань, умінь і навиків.

35 Узагальнення і систематизація вивченого матеріалу.

16

РОЗДІЛ ІІІ Методика вивчення стохастики в початковій школі.

3.1. Пропедевтичний курс в початкових класах

На основі висновків, одержаних під час ознайомлення з дослідженнями

науковців та впровадження стохастики в загальноосвітні школи як

експерименту, пропонується методика по реалізації стохастичної лінії в

початковій школі.

У запропонованій методиці робота ведеться послідовно в 3 напрямах –

комбінаторика, теорія ймовірності, статистика. Для вивчення кожного

розділу ставляться свої цілі і завдання. Для їх реалізації підібрано набір

завдань, а також запропоновано особливості вивчення матеріалу на уроках з

використанням мультимедійного супроводу.

Вивчення основ комбінаторики, теорії ймовірностей, статистики в

початкових класах розпочинається з підготовчого етапу через інтуїтивні

накопичення.

Ймовірнісні уявлення є специфічними, незвичними, новими для дітей і

тому потребують специфічних методів для їх формування.

При навчанні ймовірності і статистики важливе місце займає

математична організація емпіричного матеріалу. А. Плоцькі [10] звертає

увагу на те, що при навчанні ймовірності “усі теоретичні конструкції і

логічні висновки мають бути для учнів звичними і зрозумілими, а це

потребує вмілого введення учня в процес вивчення теорії, розгорнутої

пропедевтики теоретичного матеріалу. Тому необхідно виділити спеціальний

пропедевтичний етап, метою якого є організація емпіричного матеріалу”.

Навчання в початковій школі якраз і може бути таким пропедевтичним

етапом.

3.2. Форми навчальної діяльності

Засобами збору емпіричного матеріалу можуть бути [13]:

- стохастичні ігри;

- статистичні експерименти (експерименти з випадковими

наслідками);

17

- статистичні спостереження;

- імітаційні експерименти.

Навчання організовується як гра, експеримент, дослідження, в якому

активну участь приймають учні.

Стохастична гра пов’язана з використанням таких іграшок, які

можуть бути приладами для генерування випадкових наслідків. У кожній грі

є принаймні два гравці, в ній фіксується результат застосування генератора

випадковості, приймається угода, за якою визначається переможець.

Випадковий експеримент є наступним етапом розвинення

стохастичних уявлень учнів. Тут визначається мета експерименту,

вибираються засоби генерування випадкових наслідків, способи реєстрації і

первинної обробки отриманих даних. Випадкові експерименти можуть бути

спрямовані на встановлення закономірностей у результатах випадкових ігор.

Вони є природним продовженням стохастичних ігор. Важливо правильно

вибрати момент переходу до цього етапу розвинення статистичного

мислення учнів, для того щоб учні самі змогли дійти висновку про існування

певних закономірностей, і не пропустити моменту, коли подібні ігри

починають набридати учням. Проведення випадкових експериментів

сприятиме вихованню відповідальності учнів за результати своєї діяльності:

від того, наскільки ретельно перемішані кулі, чи не підглядали “дослідники”

під час витягування кульок, чи правильно записані результати дослідів,

залежить правильність висновків, які можна зробити за результатами

експериментів. Іноді на поставлені запитання учні зможуть відповісти після

проведення великої кількості дослідів. Але учні не завжди мають терпіння,

щоб провести багато випробувань. Можна утворити групи з 2-х – 3-х учнів,

кожна така група проведе, наприклад, по 10 дослідів, всього матимемо

результати більш ніж 100 дослідів. Цього вже буде достатньо для відповіді на

поставлені запитання.

Для проведення експериментів [11] радять використання такі засоби:

кубики, конструктори, кнопки, монети, намистини, палички для лічби,

18

кульки, саморобні іграшки і т.п. [11] Перший крок на шляху ознайомлення

дітей із світом імовірності полягає у тривалому експериментуванні з ними. У

ході таких експериментів діти мають змогу

- навчитися збирати, реєструвати та інтерпретувати інформацію;

- досліджувати закономірності явищ;

- побачити, що багато явищ мають випадковий характер;

- вчитися передбачати їхні результати.

Статистичні спостереження вимагають визначення предмета

спостережень, їхньої мети, засобів реєстрації й інтерпретації їхніх

результатів. На відміну від випадкових експериментів учні не є учасниками

подій, за якими вони спостерігають. До статистичних спостережень доцільно

переходити тоді, коли учні побачили практичну користь від проведення

випадкових експериментів з використанням предметів, пов'язаних з

дитячими іграми. Як і в статистичних експериментах, так і в ході

спостережень за подіями, що відбуваються поза сферою діяльності учнів,

встановлюються певні статистичні закономірності, оцінюються невідомі

параметри розглянутих ситуацій, перевіряються гіпотези. Наприклад, у ході

статистичних спостережень може оцінюватися невідома кількість білих

кульок в торбинці, якщо відома загальна кількість кульок, перевірятися

гіпотеза про однакову кількість кульок двох кольорів в урні і т.д.

Прикладами статистичних спостережень є спостереження за розіграшами

лотерей, за народжуваністю у певному регіоні, за метеорологічними явищами

у певному регіоні. Багато цінного матеріалу для навчання статистики дає

щоденник спостережень за погодою, який ведуть учні в 2-4 класах. Цей етап

передбачає активне використання комп’ютерних технологій. Ефекти анімації

досить ефективно демонструють всі способи комбінування, дозволяють

зробити це набагато швидше, аніж під час експериментів та ігор.

Сутність імітаційних експериментів пов'язана з побудовою

імітаційної схеми явища, яке досліджується, відкриттям і обґрунтуванням

аналогій, аналізом різних моделей однієї і тієї самої ситуації. Цей вид

19

математичної діяльності є проміжним етапом від реальної дійсності до

ймовірнісних моделей. Під час проведенні імітаційних експериментів

використовуються різні генератори випадковості.

3.3. Особливості методичного характеру по реалізації вивчення

комбінаторики в початковій школі.

На початку курсу слід дати поняття про комбінаторику, і привести

приклади декількох комбінаторних задач для розвитку інтересу до даного

предмету.

В житті часто зустрічаються завдання, розв’язуючи які доводиться

складати різні комбінації з кінцевого числа елементів і підраховувати число

комбінацій. Такі завдання і називають комбінаторними, а предмет, який

вивчає способи розв’язування подібних завдань, називають комбінаторикою.

Слово «комбінаторика» походить від латинського слова combinare, яке

означає «сполучати, поєднувати». Елементи комбінаторики знаходять

широке застосування у математиці, фізиці, хімії, біології, економіці,

інформатиці, та в інших науках.

Перед проведенням найпростіших експериментів на комбінування слід

повторити поняття «множина», «елемент множини», «підмножина»,

вивчених на уроках логіки.

У статті Ткачової М.В. [12] містяться такі рекомендації щодо вивчення

комбінаторики.

На першому етапі вивчення комбінаторики слід виробити у учнів

уміння складати комбінаторні набори і почати з найпростішого - складання

комбінаторних наборів методом безпосереднього перебору. У віці 8-10 років

діти здатні розв’язувати прості комбінаторні задачі на цілеспрямований

перебір невеликого числа елементів певної множини і складати різні варіанти

комбінацій (з повтореннями і без повторень) з 2-3 елементів. Операція

перебору розкриває ідею комбінування, служить основою для формування

комбінаторних понять і є гарною підготовкою до виведення комбінаторних

формул і закономірностей.

20

Після того, як учні навчатися складати набори з елементів заданої

множини по заданій властивості, важливими стають завдання на лічбу

кількості можливих наборів. Такі комбінаторні завдання розв'язуються за

допомогою міркувань, розкриваючи принцип множення. Але акцент потрібно

зробити не на формальному його застосуванні, а на змістовних міркуваннях і

розумінні суті поставленого в завданні питання.

Часто лічбу варіантів спрощують графи. Одним з видів графів є дерево

можливих варіантів, воно є гарною наочною ілюстрацією правила множення.

Таким чином, побудова дерева можливих варіантів є одним із способів

розв’язування комбінаторних задач. Така наочність допомагає краще

зрозуміти принципи складання наборів (допомагає складати і

упорядковувати набори). Але таку наочність можливо використовувати в

завданнях з невеликою кількістю можливих варіантів, або в завданнях, для

яких дерево можливих варіантів є правильним.

Метод перебору, принцип множення, побудова графів, дерева

можливих варіантів - це все методи, які дозволяють розв’язувати

комбінаторні задачі без використання формул. [12]

Навчання повинно відбуватися в грі, чергуючи форми діяльності –

фронтальна робота, індивідуальна, в парах, в групах.

На початку можна запропонувати прості комбінаторні завдання,

розв’язуючи які повинна вестися або робота на перебір можливих варіантів,

або на впорядковування, або їх об'єднання - перебір і впорядкування разом. У

нашому житті часто виникають такі завдання, які мають декілька різних

рішень, і перед нами встає проблема розглянути всі можливі варіанти

рішення. Для цього нам потрібно знайти зручний спосіб перебору, при якому

будуть розглянуті різні варіанти, і вони не повторювалися б чи

повторювались.

На першому місці перед вчителем стоїть завдання по формуванню

навиків систематичного перебору. Починати потрібно з простих завдань, де

не так багато елементів, важлива сама суть перебору всіх варіантів,

21

використовуючи предметну діяльність з кубиками, прапорцями, монетами,

кулями, намистинами та іншими предметами. Можна утворювати різні слова

з букв алфавіту або зі складів, числа з цифр, звуки з нот. Кількість предметів

на першому етапі має бути невеликою, щоб і кількість варіантів була

невеликою. З часом, збільшуючи кількість предметів, можна дійти

необхідності використовувати інші методи перебору, інші методи

підрахування кількості всіх варіантів. Для виконання завдань, для складання

комбінаторних задач учнями необхідно мати достатню кількість предметів, з

яких утворюються різні комбінації, вибираються, розподіляються,

розміщуються предмети.

Доцільно на перших етапах навчання при формулюванні завдання

пропонувати учням утворити комбінації з якихось предметів, розподілити

предмети на групи, вибрати задану кількість предметів з наявних, розмістити

задані предмети у комірках тощо.

Я.С. Бродський наголошує, що не слід одразу ставити завдання ,

запитуючи “Скількома способами ...”. Кількість способів отримаємо легко

після перебору всіх можливих варіантів. Виконання завдання має

закінчуватися підрахунком кількості можливих різних варіантів. Лише після

того, як учні звикнуть з необхідністю цієї вимоги, потім можна ставити

завдання: “Скількома способами ...”.

Слід чітко фіксувати, які умови мають задовольняти вибрані предмети,

їх комбінації, розподіл, розміщення предметів тощо. Контроль за тим, що

діти це усвідомили, є однією з найважливіших ланок у формуванні

комбінаторних вмінь.

Слід поступово привчати дітей до систематичного перебору варіантів:

утворювати числа з цифр за зростанням або спаданням чисел, утворювати

слова з букв, використовуючи розміщення букв в алфавіті, встановлювати

певний порядок для інших предметів (наприклад, кольори прапорців, олівців,

аркушів паперу розміщувати за алфавітним порядком перших букв у їх

22

назвах). Це сприятиме знаходженню всіх варіантів, попередить пропуск

якихось з них.

Особливої уваги слід приділити обґрунтуванню того, що перебрані всі

необхідні варіанти. Безумовно, на перших етапах учні не зможуть це

обґрунтувати. Слід чисто емпіричним шляхом допомагати учням впевнитись

в цьому. Коли учні привчаться до певного впорядкованого перебору, їм

легше буде дійти висновку, що всі можливі варіанти знайдено. Важливим

фактором тут є впевненість вчителя, тому вчитель має вміти підраховувати

кількість всіх можливих варіантів без перебору.

Слід поступово переходити до моделювання ситуації за допомогою

символів. Але не слід поспішати з цим. Учні мають самі дійти такої

необхідності або за відсутністю потрібних предметів, або коли їм набридне

робота з самими предметами, і вони зрозуміють, що матимуть те саме

завдання, якщо замінять предмети на інші або на якісь позначення. Це

вищий, у порівнянні з попередніми прийомами розв’язання завдання, рівень

абстрагування, є важливою складовою знако-символьної діяльності.

Так підрахунок варіантів полегшують графи. Так називають

геометричні фігури, що складаються з точок (їх називають вершинами) і

відрізків, що сполучають їх (звуть їх ребрами графа). При цьому за

допомогою вершин зображають елементи деякої множини (предметів, людей,

числових і буквених та інших даних), а за допомогою ребер – певні зв'язки

між цими елементами.

Розглядаються два види графів:

1. Граф-дерево (називають за зовнішню схожість з деревом).

За допомогою дерева ілюструємо проведений перебір варіантів в

прикладах. Утворювати дерево варіантів корисно, коли потрібно записати всі

існуючі комбінації елементів.

2. Повний граф. Використовується для розв’язання задач, в яких всі

елементи множини взаємозв'язані.

23

Приклад. При зустрічі кожен з друзів

потиснув іншому руку (кожен потиснув

кожному). Скільки рукостискань було

зроблено, якщо друзів було четверо? Чотирьох

друзів помістимо у вершини графа і проведемо

всі можливі ребра. В даному випадку відрізки-

ребра позначають рукостискання кожної пари

друзів. З малюнка видно, що граф має 6 ребер, значить, і рукостискань було

зроблено 6.

Ще одним методом підрахунку числа комбінацій є таблиця варіантів. Її

можна використовувати, коли комбінації, що складаються, складаються з

двох елементів.

Приклад. Записати різні двозначні числа, використовуючи при цьому

цифри 0, 1, 2 і 3. Порахувати

їх кількість. Для підрахунку

утворених чисел складемо

таблицю: 3·4=12

Складання таблиць,

побудова графів є

ефективним прийомом. Графи, таблиці дозволяють в наочній формі показати

ідею комбінування і процес лічби комбінаторних наборів.

Для підведення учнів до цих комбінаторних методів доцільно

розглянути завдання, в якому кількість різних комбінацій з даних елементів

велика і процес їх підрахунку складний.

Приклад. Скільки різних трицифрових чисел можна записати за

допомогою цифр 1, 2, 3 за умови, що цифри в числі можуть повторюватися?

1-а

цифра

2-а цифра

0 1 2 3

1 10 11 12 13

2 20 21 22 23

3 30 31 32 33

24

1 2

4 3

Перебір варіантів можна організувати таким чином. Виписати всі числа,

що починаються з цифри 1 в порядку їх зростання; потім – що починаються з

цифри 2; після чого – що починаються з цифри 3. Таких комбінацій

отримаємо 27. При переборі легко було упустити будь-яку з них.

У комбінаторних задачах на першому етапі навчання слід чітко

формулювати умови, які мають задовольняти шукані послідовності.

Змінювання цих умов фактично приводить до нової задачі. Неоднозначне

тлумачення цих умов створює певні труднощі при розв’язуванні завдань.

Поступово учні усвідомлять цю обставину і тоді можна надати їм можливість

самим формулювати задачі.

Класифікація прийомів комбінаторної діяльності

за Я.С. Бродським

1) перестановка різних елементів;

Приклад. Утворіть різні послідовності з трьох літер к, і і т. В кожній

послідовності 3 букви.

2) перестановка елементів, (можуть бути однакові елементи);

Приклад. Утворіть всі чотирьохцифрові числа з цифр 1 і 5.

3) невпорядкований вибір з однієї множини з повторенням елементів;

Приклад. Є монети 50, 25, 10 і 5 коп., причому кожна монета є у великій

кількості. Виберіть різними способами дві монети.

25

Варіанти

2

2

1 3

321 321 1 2 3

2

1

1 3

321 321 1 2 3

2

3

1 3

321 321 1 2 3

4) невпорядкований вибір з однієї множини без повторенням

елементів;

Приклад. Чотири подруги обмінялись рукостисканнями. Скільки всього

рукостискань було зроблено?

5) впорядкований вибір з однієї множини з повторенням елементів;

Приклад. Є локомотив і вагони трьох кольорів: червоні, сині і зелені.

Необхідно скласти якомога більше різних потягів, кожен з яких має

локомотив і два вагони різних кольорів, за умови, що локомотив йде

попереду вагонів.

6) впорядкований вибір з однієї множини без повторенням елементів;

Приклад. Є локомотив і вагони двох кольорів: червоні і зелені. Необхідно

скласти якомога більше різних потягів, кожен з яких має локомотив і три

вагони, за умови, що локомотив йде попереду або позаду вагонів.

7) впорядкований вибір з двох або декількох скінченних множин, з

відомою кількістю елементів;

Приклад. Є чотири приголосні звуки б, в, д, м і два голосні – а і е. Утворіть

різні склади з двох звуків, у яких на першому місці стоїть приголосний звук.

8) розподіл однакових елементів на групи з несуттєвим порядком;

Приклад. Є три однакові олівці. Покладіть їх в два пенали різними

способами, якщо будь-який пенал може бути й порожнім.

9) розподіл однакових елементів на групи зі суттєвим порядком;

Приклад. Є три однакові олівці. Поділіть їх між Михайликом і Юрком

різними способами, якщо будь-хто з них може й не отримати жодного олівця.

10) розподіл різних елементів на групи з несуттєвим порядком;

Приклад. Є чотири олівці: простий, червоний, зелений і синій. Покладіть їх

в два пенали різними способами, якщо будь-який пенал може бути й

порожнім.

11) розподіл різних елементів на групи зі суттєвим порядком;

26

Приклад. Є три олівці: простий, червоний і синій. Поділіть їх між

Михайликом і Юрком різними способами, якщо будь-хто з них може й не

отримати жодного олівця.

12) доповнення деякої частини елементів до всієї сукупності;

Приклад. У мене 5 жовтих монет і дві білі. Я кладу їх у кишені.

а) У правій кишені у мене три жовті монети і одна біла. Що в мене у

лівій кишені?

б) В правій кишені в мене 1 жовта монета і 2 білі. Що в мене у лівій

кишені?

в) В правій кишені в мене 2 білі монети і 5 жовтих. Що в мене у лівій

кишені?

Приклад 1. Три друзі, Антон, Богдан і Віктор, придбали два квитки на

футбольний матч. Скільки існує різних варіантів походу на футбол? Тут

необхідно перебрати різні пари хлопчиків.

Після цього можна додати до умови, при якій, розв’язуючи задачу,

враховуємо ще і місце, на якому сидітиме той або інший хлопчик, тобто

враховується порядок елементів в наборі.

Три друзі, Антон, Богдан і Віктор, придбали два квитки на футбольний

матч на 1-і і 2-і місця першого ряду стадіону. Скільки існує способів зайняти

ці два місця на стадіоні? Записати всі ці варіанти.

Тут ми можемо використовувати результати попереднього завдання. У

ній ми не враховували порядок, а зараз необхідно враховувати порядок, на

якому місці сидітиме той або інший хлопчик. Розглянемо той варіант, коли

на матч пішли Антон і Богдан, в цьому випадку можливо два варіанти

зайняти місця на матчі: 1-е місце - Антон, 2-е місце - Богдан і навпаки 1-е

місце Богдан, а 2-е Антон. Тобто упорядкувати два елементи ми можемо

двома способами. Таким чином, відповідь попередньої задачі дало нам два

розв`язання для цього завдання. Аналогічно на кожен варіант попереднього

завдання ми одержуємо ще один варіант розв`язання, разом 6 варіантів.

27

Антону, Богдану і Віктору повезло, вони купили 3 квитки на футбол на

1-і, 2-і і 3-і місця першого ряду стадіону. Скількома способами можуть

зайняти хлопчики ці місця?

У даному завданні, як і в попередньому важливо на яких місцях сидять

хлопчики, тобто нам потрібно розглянути, скільки існує варіантів, щоб

розсадити трьох хлопчиків на три різні місця. Нехай на першому місці сидить

Антон, тоді на два місця двох хлопчиків, що залишилися. Їх ми можемо

усадити двома способами, аналогічно для випадків, коли на першому місці

сидить Богдан і Віктор. В результаті одержимо 6 варіантів, тобто

упорядкувати 3 елементи ми можемо шістьма способами.

У попередніх завданнях, не враховуючи порядку перебору не складно

перерахувати всі можливі варіанти, оскільки їх не так багато, але часто при

переборі можливих варіантів їх може бути стільки, що складно оцінити чи всі

можливі випадки ми врахували і чи не пропустили хоч б один з них. В цьому

випадку необхідно упорядкувати процедуру перебору, тобто перебирати

можливі варіанти в деякому порядку, визначеному наперед, який дозволяє не

допускати повторень варіантів і пропускати можливі варіанти.

Приклад 2. Скільки двозначних чисел можна скласти, використовуючи

цифри 1,2,3.

Випишемо можливі двозначні числа. Але ми не виписуватимемо ці

числа абияк, а домовимося виписувати їх у порядку зростання, що дозволить

нам не пропускати числа і не повторюватися. В процесі розв’язання цієї

задачі може виникнути таке питання, а чи може одна і та ж цифра

повторюватися в числі двічі? (якщо не виникне, то вчитель може сам

звернути на це увагу). Оскільки в даному завданні ця умова не обумовлена,

то розглянемо її для обох випадків, і побачимо, що в кожному з них число

варіантів різне. З чого робимо висновок, що дану умову при розв’язуванні

задачі необхідно враховувати.

28

Приклад 3. У алфавіті племені УАУА є тільки дві букви – «а» і «у».

Скільки різних слів по три літери в кожному можна скласти, використовуючи

алфавіт цього племені?

У цьому завданні одна і та ж буква може зустрічатися в слові як один,

так два або три рази. І потрібно розглянути всі варіанти.

Відмітимо, що дуже зручно процес перебору здійснювати шляхом

побудови спеціальної схеми, яка називається деревом можливих варіантів.

Розглянемо побудову дерева можливих варіантів для даного завдання:

спочатку потрібно вибрати першу букву - це можуть бути букви «а» або «у»,

тому в «дереві» з кореня проведемо дві гілочки з буквами «а» і «у» на

кінцях. Друга буква може бути знову як «а» так і «у», тому з кожної гілочки

виходить ще по дві гілочки і т.д.

Тепер, проходячи по гілочках дерева, по порядку виписуємо потрібні

нам поєднання букв – «слова»:

ааа; аау; ауа; ауу; уаа; уау; ууа; ууу.

Дерево допомагає побачити шлях міркування, врахувати всі варіанти і

уникнути повторень. Потрібно звернути увагу, що дерево можливих

варіантів дозволяє нам підраховувати впорядковані набори

Приклад 4. В 4-«А» класі в середу 4 уроки: математика, інформатика,

російська мова, англійська мова. Скільки можна скласти варіантів розкладу

на середу?

У даному завданні у нас є 4 предмети і необхідно виписати можливі

варіанти розкладу на один день, враховуючи ті умови, що кожен урок

повинен бути обов'язково присутнім в розкладі, і зустрічатися там лише один

раз (для спрощення запису пропонується кожен предмет позначить великою

літерою). Таким чином, нам необхідно підрахувати скількома способами ми

можемо упорядкувати 4 елементи. Нехай першим буде урок математики, тоді

3 предмети, що залишилися, ми можемо упорядкувати 6-ма способами (з

раніше розглянутих завдань). Аналогічно для трьох предметів, що

залишилися. Разом одержимо 24 способи упорядкування 4 предметів.

29

На наступному етапі продовжуємо розглядати комбінаторні завдання,

на перший план яких виступає підрахунок числа можливих варіантів.

Існує декілька підходів до викладання комбінаторики: теоретико-

множинний, лексико-графічний і теоретико-ймовірнісний. У школі перевага

віддається теоретико-множинному підходу, але буде корисним частково

звернутися і до лексико-графічного. При такому підході всі визначення

спираються на уявлення про алфавіт, слова, довжину слів і ін.

Розв’язуючи задачі, іноді дуже зручно використовувати кодування,

тобто користуючись лексико-графічним підходом.

Приклад 5. Декілька країн вирішили використовувати для свого

державного прапора символіку у вигляді трьох горизонтальних смуг

однакової ширини різних кольорів - білого, синього, жовтого. Скільки країн

можуть використовувати таку символіку за умови, що у кожної країни - свій

прапор, однакових прапорів не може бути.

Ми можемо записувати наше розв’язування таким чином :

1 варіант: перша смуга - жовта, друга - синя, третя - біла і т.д. Але це

дуже довго і не зручно, записуючи так, складно зорієнтуватися чи всі

варіанти ми записали, і чи не повторилися ми де-небудь. Тому дуже зручно

ввести кодування, тобто деяке умовне позначення в завданні об'єктів, які

потрібно перебирати. У нашому випадку ми замінимо першою буквою кожен

колір смуги. Білий відповідно – «Б», жовтий – « »Ж і синій – «С».

Ввівши кодування, запис розв’язування задачі дуже спрощується. Ми

маємо множину з трьох елементів { Б, Ж, С}. Потрібно скласти різні

комбінації з трьох елементів, при цьому порядок елементів враховується.

Наприклад, запис БЖС означатиме, що перша смуга прапора - біла, друга -

жовта, третя - синя.

Приклад 6. При зустрічі 8 приятелів обмінялися рукостисканнями.

Скільки всього було зроблено рукостискань?

Дану задачу можна розв’язувати методом безпосереднього перебору, і

вже на самому початку відмітимо, що досить складно перебирати всі

30

можливі варіанти і не заплутатися, не говорячи вже про запис розв’язування

цієї задачі. Але, ввівши певні позначення - кодування, розв’язування буде

дуже легко показати.

Кожному приятелю даємо номер від 1 до 8, а рукостискання закодуємо

таким чином: наприклад число 24 означає що 2-ий приятель потиснув руку 4-

му. При чому число 35 і 53 означають одне і теж рукостискання, і записувати

будемо менше з них. Коди рукостискань ми можемо оформити наступною

таблицею:

12, 13, 14, 15, 16, 17, 18

23, 24, 25, 26, 27, 28

34, 35, 36, 37, 38

45, 46, 47, 48

56, 57, 58

67, 68

78.

Таким чином, у нас вийшло 1+2+3+4+5+6+7=28 рукостискань.

Після того, як учні навчилися складати різноманітні набори,

найважливішим стає підрахункок числа можливих варіантів.

Приклад 7.

Група туристів планує здійснити похід по маршруту Антонівка -

Борисівка - Вишневе - Грушеве. З Антонівки в Борисівку можна сплавитися

по річці або дійти пішки. З Борисівки у Вишневе можна пройти пішки або

доїхати на велосипедах. З Вишневого в Грушеве можна допливти по річці,

доїхати на велосипедах або пройти пішки. Скільки всього варіантів походу

можуть вибрати туристи? Скільки варіантів походу можуть вибрати туристи

за умови, що хоча б на одній з ділянок маршруту вони повинні

використовувати велосипеди?

Побудуємо для цього завдання дерево можливих варіантів:

Хай у нас «П»- означає шлях пішки

«Р» - сплавитися по річці.

31

«В» - доїхати на велосипедах.

Відповідь на друге питання також добре є видимою по дереву

можливих варіантів.

Але це завдання можна розв’язати по-іншому, за допомогою

міркувань. З Антонівки в Борисівку у нас 2 варіанти. Далі, для продовження

подорожі, з Борисівки у Вишневе теж 2 варіанти, тобто на кожен варіант

першої ділянки шляху у нас є по 2 варіанти другої ділянки шляху, тобто на

даному етапі у нас буде 2·2=4 варіанти вибору способу пересування. На

кожний з цих 4 варіантів існує ще по 3 варіанти способів пересування по

третій ділянці шляху з Вишневого в Грушеве, тобто 4·3=12. Відповідь в

цьому завданні ми одержали множенням.

Такий спосіб підрахунку називається правилом множення, він

можливий, якщо дерево можливих варіантів є «правильним»: з кожної

вершини виходить одне і теж число гілок.

Приклад 8.

Від турбази до гірського озера ведуть 4 стежки. Скількома способами

туристи можуть відправитися в похід до озера, якщо вони не хочуть

спускатися по тій же стежці, по якій піднімалися?

Пронумеруємо стежки числами від 1 до 4 і побудуємо дерево

можливих варіантів:

Щоб піднятися є 4 стежки (4 варіанти) і на кожний з них є по 3 стежки,

що залишилися (3 варіанти), щоб спуститися, тобто 4·3=12 маршрутів

підходу до озера. А зараз уявимо, що до озера ведуть не 4, а 10 стежок.

Скільки в цьому випадку існує маршрутів, якщо як і раніше вирішено

спускатися не по тій стежці, по якій підіймалися. Зобразити дерево можливих

варіантів в такій ситуації дуже складно. Набагато легше вирішити це

завдання за допомогою міркувань. Піднятися до озера можна по будь-якій з

10 стежок, а спускатися по будь-якій з 9 стежок, що залишилися. Таким

чином, всього одержимо 10·9=90 різних маршрутів походу.

32

Обидва ці завдання ми розв’язали, використовуючи правило множення,

яке звучить таким чином: нехай необхідно виконати n незалежних дій, якщо

першу дію ми можемо виконати n способами, то другу дію можемо

виконати n способами і так далі до k-ої дії, яку можна виконати n

способами, тоді виконати всі дії у вказаному порядку можна n • n • n

способами. Застосовуючи правило множення, ми враховуємо порядок дій.

Тобто правило множення застосовується для підрахунку впорядкованих

наборів.

Приклад 9. Скількома способами з класі, в якому навчається 30 учнів,

можна вибрати капітана команди для математичних змагань і його

заступника?

На роль капітана може бути вибраний будь-хто з 30 учнів, а його

заступник - будь-хто з 29 учнів, які залишилися. Таким чином, одержуємо 30

•29 = 870 способів.

Приклад 10. Скількома способами в класі, в якому вчаться 30

школярів, можна вибрати двох для участі в математичній олімпіаді? Нам не

важливо, як в попередній задачі, хто капітан, а хто заступник, нам потрібні

всього лише два учасники, тому одержуємо, що у нас кожна пара учнів

повторюється двічі. Тому відповіддю для цього завдання розв’язування таке

(30•29):2.

Ще одним способом підрахунку комбінаторних наборів є використання

правила суми.

З класу потрібно вибрати одного чергового, хлопчика або дівчинку.

Скільки існує способів для вибору чергового, якщо в класі 22 дівчинки і 18

хлопчиків?

Вибрати одну дівчинку з 22 ми можемо 22-ма способами, а одного

хлопчика з 18 можна 18-ма способами. Тоді вибрати одного чергового

хлопчика або дівчинку можна (18+22) способами.

Для підрахунку варіантів ми використали правило суми, яке можна

сформулювати так: якщо дві дії взаємно виключають одна одну, причому

33

одне з них можна виконати n способами, а інше - m способами, то яку-небудь

одну з них можна виконати n+m способами. У цьому прикладі дії

виключають один одного, оскільки ми повинні вибрати або хлопчика з однієї

множини, або дівчинку з іншої.

3.4. Особливості методичного характеру по реалізації вивчення

теорії ймовірності в початковій школі

Одним з напрямів стохастичної лінії є теорія ймовірності, де одним з

важливих завдань на першому етапі є формування поняття - ймовірність

випадкової події.

Спочатку необхідно познайомити учнів з поняттям випадкова подія,

сформувати у них уявлення про те, яка подія називається достовірною, яка

неможлива і які події називаються рівноймовірними.

Часто в житті ми вживаємо такі слова, як «можливо», «це неймовірно», «це малоймовірно» і т.д. Подібні висловлювання ми використовуємо, коли

говоримо про подію, яка в одних умовах може відбутися, а може і не

відбутися. Такі події називають випадковими. Ці поняття вводяться,

опираючись на зрозумілі приклади, і заохочуються діти для самостійного

наведення таких приклади. Вчитель фіксує увагу учнів на випадкових

явищах в побуті, в природі і техніці. Часто відповідь є суб'єктивною.

Перед введенням самого поняття – «ймовірність випадкової події»

корисно провести експерименти з випадковими результатами. Після

проведення експериментів можна познайомити учнів з результатами

експериментів, які неодноразово проводилися впродовж декількох сторіч і

порівняти з результатами, що отримали учні. Експеримент є емпіричним

методом навчання, що використовується зокрема, в експериментальних

природних науках, а математика не є експериментальною. Тому цей метод в

математиці застосовується рідко, оскільки досвід не є достатньою підставою

істинності тієї або іншої пропозиції.

34

В ході експериментів вводиться поняття частоти (відношення кількості

сприятливих результатів випробувань до кількості всіх проведених

випробувань) і ймовірності даної події.

Частота появи деякої випадкової події, при проведенні експерименту,

дозволяє обчислити статистичну ймовірність цієї події, на практиці

статистичні випробування і спостереження є основним способом оцінки

ймовірності події.

Бунімовіч Є.А. дає методичні рекомендації під час вивчення теорії

ймовірності.

Події, які за даних умов обов'язково відбувається, називають

достовірним. Події, які за даних умов не можуть відбутися, називають

неможливими.

На першому етапі навчання можна відзначити, що події достовірні і

неможливі краще не відносити до випадкових подій. Досвід викладання

даного матеріалу показав, що школярам 8-10 років важко називати

випадковими ті події, які відбуваються завжди, або не відбуваються ніколи.

Поняття випадкової події відповідно уточнюється на пізніших ступенях

навчання. Щоб довести, що дана подія - випадкова, пропонується навести

приклад такого результату, коли подія відбувається, і приклад такого

результату, коли вона не відбувається.

Необхідно розвинути у учнів розуміння ступеню випадковості різних

явищ і подій. Якісна оцінка ймовірності події призводить до того, що при

обговоренні в класі на одне і те ж питання може бути дано декілька різних

відповідей, які можна вважати вірними, що незвично на уроці математики і

для учня і для вчителя. Наприклад, при обговоренні ймовірності настання

події «тобі подарують на день народження собаку» учні залежно від

особистих обставин можуть дати відповіді:

ця малоймовірна подія

ця подія можлива

це достовірна подія.

35

При розв’язуванні таких задач головне - аргументування, яке

приводиться до розуміння учнем змісту понять, які використовуються. Якщо

аргументування цілком логічне і розумне, відповідь слід вважати вірною. [2]

Для закріплення даних понять можна розглянути вправи, в яких

потрібно визначити є подія достовірною, неможливою або випадковою.

Приклад 1. У мішку лежить 10 кульок: 3 синіх, 3 білих і 4 червоних. Які

з наступних подій є випадковими, достовірними і неможливими і чому ви так

вважаєте:

А) з мішка вийняли 4 кулі і всі вони сині;

Б) з мішка вийняли 4 кулі і всі вони червоні;

В) з мішка вийняли 4 кулі, і всі вони опинилися різного кольору;

Г) з мішка вийняли 4 кулі, і серед них не опинилося кулі чорного

кольору;

Приклад 2. Учень задумав якесь число. Які з наступних подій будуть

достовірними, неможливими і випадковими і чому ви так вважаєте.

А) задумане парне число;

Б) задумане число, що не є ні парним, ні непарним;

В) задумане непарне число;

Г) задумане число, що є парним або не парним.

Події А і В є випадковими, оскільки може бути задумане як парне, так і

непарне число. Виникає питання, яка з подій ймовірніша: задумане парне

число або задумане непарне число. Оскільки чисел парних і непарних

однакова кількість, то обидві ці події мають рівні шанси. Такі події

називаються рівноймовірними.

Також про деякі випадкові події ми можемо сказати, що воно «малоймовірні» або «багатоймовірні».

Приклад 3. Вкажіть, які з наступних подій - неможливі, достовірні,

випадкові, а про яких ми можемо сказати, що воно «малоймовірні» або «багатоймовірні».:

1) футбольний матч « »Челсі - «Динамо» закінчиться внічию

36

2) ти виграєш, коли приймеш участь в безпрограшній лотереї

3) опівночі випаде сніг, а через 24 години світитиме сонце

4) завтра буде контрольна по математиці

5) Ви одержите «5» за контрольну роботу по математиці

6) 30 лютого буде дощ

7) тебе виберуть президентом США

8) тебе виберуть президентом України

9) відмінниця одержить двійку

10) на день народження тобі подарують живого крокодила.

Якщо в попередніх завданнях відповіді на питання однозначні, то тут

відповідь залежить від ситуації, від того, коли і кому поставлене питання.

Наприклад, про достовірність події 4 ми можемо говорити, залежно від

дня, коли поставлене питання, якщо наступного дня дійсно буде контрольна

по математиці, то ця подія достовірно.

При відповіді на 5 питання учень, який вчиться на відмінно і впевнений

в своїх силах і в цій контрольній, з упевненістю скаже, що ця подія для нього

є достовірною. Тоді як слабкий учень, якому дуже важко дається математика,

в свою чергу може дати відповідь, що для нього подія є неможливою.

Подія 9 є дуже малоймовірною, але, проте, можливою, оскільки навіть

відмінниці не застраховані від двійок. Тут важлива роль вчителя, який

повинен оцінювати правильність тих або інших відповідей, і звертати увагу,

що на одні і ті ж питання різні учні можуть дати різні відповіді, і кожен буде

правий.

Приклад 4.

Оволодівши поняттями «випадкова подія», і навчившись визначати

його достовірність (неможливе, достовірне, малоймовірне). Новим завданням

стає формування уміння оцінювати ймовірність двох і більше подій (більше

менше ймовірно).

Корисно розглядати завдання, в яких при відповіді на питання

необхідно опиратися на свою інтуїцію. Можна розглядати реальні життєві

37

ситуації, щоб учні бачили безпосередній зв'язок того, що вивчається з

дійсністю.

Батьки купили в магазині телевізор, на який фірма-виробник дає два

роки гарантії. Які з наступних подій неможливі, випадкові, достовірні:

А) телевізор не зламається упродовж року.

Б) телевізор не зламається упродовж двох років.

В) упродовж двох років вам не доведеться платити за ремонт

телевізора.

Г) телевізор зламається на третій рік.

Потрібно звернути увагу учнів, що перші дві події випадкові, оскільки,

по-перше, гарантія фірми виробника зовсім не означає, що упродовж двох

років телевізор працюватиме ідеально, а по-друге, можна розглянути і той

випадок, коли телевізор може зламатися з вини покупця. Подія Г також є

випадковою, оскільки не можна говорити, що телевізор обов'язково

зламається після того, як закінчиться термін гарантії.

Хоча обидві перші події є випадковими, ми можемо говорити про те,

що одне з них ймовірніше, а інше менш ймовірно. Учні повинні

усвідомлювати велику або меншу ймовірність тієї чи іншої події.

Приклад 5.

Порівняти на основі життєвого досвіду спілкування по телефону шанси

наступних випадкових подій і визначити, які з них найбільш ймовірні.

А) вам ніхто не зателефонує з 5 до 6 ранку.

Б) вам хтось зателефонує з 5 до 6 ранку.

В) вам хтось зателефонує з 6 до 9 вечора.

Г) вам ніхто не зателефонує з 6 до 9 вечора.

Тут потрібно врахувати індивідуальні особливості, в результаті яких

для різних людей можливі різні відповіді на поставлені питання.

Так, оскільки рано вранці дзвінки взагалі бувають дуже рідко, у події Б

шансів украй мало, воно малоймовірні, майже неможливі. Але у події А дуже

багато шансів, це практично достовірна подію.

38

Вечірній час, навпаки, час найактивнішого телефонного спілкування,

тому подія В для більшості людей ймовірніша, ніж подія Г. Хоча, якщо

людині взагалі телефонують рідко, подія Г може стати ймовірнішою за подію

В.

Приклад 6. Віні Пух, П'ятачок і гноми сідають за круглий стіл

святкувати день народження. При якій кількості гномів подія «Віні і

П'ятачок сидітимуть поруч» є достовірною, а при якій випадковою?

Приклад 7. У школі навчається N учнів. При яких значеннях N подія: «В школі є учні зі співпадаючими днями народження» є випадковою, а при

яких значеннях N - достовірною?

Тут учні самі повинні скласти умову, при яких значеннях N ці події є

випадковими, а при яких достовірними.

Наступний етап - проведення експериментів. Це можуть бути

експерименти з підкиданням кубика, монети або кнопки. Всі результати

експериментів необхідно оформляти у вигляді таблиць, які заповнюються в

ході експерименту.

Для проведення експериментів учнів краще розбити групи по 2-3

особи, один з яких фіксуватиме результати експерименту, а інші будуть

проводити його.

Можуть бути запропоновані наступні завдання-експерименти.

Завдання 1. Виберіть будь-який текст, що містить 150 слів. Полічіть

число слів, які складаються з 6 букв.

Завдання 2. Виберіть 7 рядків довільного тексту (можна декілька

різних текстів). Полічіть скільки разів зустрічаються в тексті букви о, е, а, ю.

Результат експерименту фіксується в таблиці.

Після проведення експерименту, вводимо поняття частота і ймовірність

випадкової події. Можна звернутися до результатів проведених раніше

експериментів. Французький природодослідник Ж.Л.Л. Б`юффон в 18

сторіччі 4040 разів підкидав монету - герб випав 2048 разів. Математик К.

Пірсон на початку 20 сторіччя підкидав її 24 000 разів - герб випав 12 012

39

разів. Американські експериментатори повторили досвід. При 10 000

підкидань герб випав 4979 разів. Таким чином, опираючись на власні

результати і одержані раніше можна відмітити, що при підкиданні монети

частота появи «орла» приблизно рівна половині. Отже, хоча кожен результат

підкидання монети - випадкова подія, при багатократному повторенні

експерименту видно виразна закономірність: при збільшенні кількості

експериментів значення частоти зосереджується біля деякого числа р. Це

число р і буде ймовірністю даної події.

Для нашого прикладу «половина» - це ймовірністю випадкової події «випадання «орла». Оскільки в цих експериментах «решка» з'являється

також приблизно в половині випадків, то і вірогідність випадання «решки»

рівна половині. Ці факти, що ймовірність появи «орла» рівна половині,

звичайно, не означає, що в будь-якій серії експериментів «орел» з'явиться

рівно в половині випадків. Але якщо число експериментів достатньо велике,

ми можемо дати прогноз, що «орел» випаде приблизно в половині випадків.

3.5. Особливості методичного характеру по реалізації вивчення

статистики в початковій школі

Важливим елементом стохастичної лінії є робота з даними: збір даних,

обробка, уявлення, аналіз, практичні висновки. Цим займається

статистика. На першому етапі навчання - це робота з таблицями і

діаграмами.

Щодня нам необхідна різноманітна інформація, яка може бути

представлена в різній формі, і одним з найпоширеніших способів

представлення інформації є таблиці. Робота з табличними даними

передбачається вже з 2 класу. Учні в своєму житті часто зустрічаються з

різними таблицями - це розклад уроків, сторінка класного журналу, програма

телепередач, турнірні таблиці і т.п., але жоден жодна з існуючих на сьогодні

програм інваріативної складової не передбачає вивчення правил роботи з

таблицею, вміння читати дані з таблиці і вносити в таблицю, орієнтуватися в

табличних даних і шукати інформацію в таблицях. Учні повинні уміти не

40

тільки навчитись орієнтуватися в різних таблицях, а й аналізувати дані,

використовуючи таблиці і діаграми.

Учням 4 класу дуже цікаво не тільки працювати з вже готовими даними,

але і самостійно збирати інформацію і представляти її в різних формах.

Можна показати практичну значущість таблиць, побудованих за наслідками

опитування громадської думки

Для представлення різних даних дуже зручно використовувати

діаграми. Діаграма є наочним способом представлення інформації та різних

даних і дозволяє легше аналізувати отримані результати.

Розглянемо розклад уроків. Учні вже напевно вміють ним

користуватися, шукати в нього необхідну інформацію. З розкладу можна

визначити кількість уроків в день, дізнатись про домашні завдання та оцінки

учня. Розглянемо таку ситуацію: Оля - вчиться в 4-а класі, а її подружка з

сусіднього будинку в 4-б класі Потрібно дізнатися, по яких днях вони

можуть разом повертатися додому. Маючи перед собою розклад, можна

швидко визначити такі дні.

Часто в таблиці для аналізу інформації необхідно додавати дані, що

містяться в ній. Тому часто в таблицю включений стовпчик або рядок «Всього» або «Разом», які містять одержані суми.

У таблиці 1 подано результати спостережень за погодою протягом

чотирьох місяців.

Таблиця 1.

Погода

Місяць

Ясно Похмуро Змінна

хмарність

Всього

Грудень 5 19 12

Січень 7 15 11

Лютий 9 10 7

Березень 10 10 6

Заповніть порожній стовпець.

41

Використовуючи таблицю, дайте відповідь на наступні питання:

1) В якому місяці було більше всього ясних днів?

2) У яких місяцях було однакова кількість похмурих днів?

3) Скільки всього похмурих днів було за чотири місяці?

4) Скільки ясних днів було за всю зиму?

5) Яка погода переважала в лютому?

Тут і робота з рядками і із стовпцями, і підрахунок суми декількох

клітинок.

Часто доводиться користуватися не тільки готовими таблицями, але і

складати їх самому.

Для представлення співвідношення між частинами деякого єдиного

цілого, зручно користуватися круговими діаграмами. Для нашого прикладу

вона виглядатиме таким чином:

У 5 класі учні повинні уміти читати діаграми. Для відробітку таких

умінь потрібно розглядати завдання наступного типа.

Використовуючи діаграму, відповідайте на питання:

1) у якому місяці в селі народилося більше всього дітей?

2) У якому місяці народилося стільки ж дітей, скільки в квітні?

3) У які місяці народилося по дві дитина?

4) Скільки дітей народилося в березні?

5) Скільки дітей народилося за першу половину року?

6) Скільки дітей народилося за весь рік?

Вводити перші статистичні характеристики можна, використовуючи

ряд чисел, складений з оцінок одержаних за семестр. Для школярів є

актуальним питання про те, яку оцінка він отримає за семестр. Кожному

учню наперед можна виписати його оцінки за чверть. Вчитель виписує на

дошці деякий ряд оцінок, і на його прикладі вводить поняття середнього

арифметичного і моди ряду чисел. Діти для закріплення цих понять,

знаходять ці статистичні характеристики кожен для свого ряду. Доцільно

42

показати можливості текстового процесора Excel для швидкого визначення

середнього арифметичного і моди чисел.

Також потрібно звернути увагу, що моду може мати не тільки числовий

ряд. Приведемо приклад: припустимо, у вашому класі провели опит -

кожному учню поставили питання: «Яка ваша улюблена програма?».

Одержані відповіді складатимуть ряд, модою якого буде відповідь, що

найбільш часто зустрічається, на дане питання. Мода - це показник, який

широко використовується в статистиці. Одним з найбільш частих

використань моди є вивчення попиту. Наприклад, при вирішенні питання, в

пачки якої ваги фасувати масло, які відкривати нові автобусні маршрути і т.п.

заздалегідь вивчається попит і виявляється мода - замовлення, що найбільш

часто зустрічається.

Проте знаходження середнього арифметичного або моди ряду далеко

не завжди дозволяє робити надійні висновки на основі статистичних даних.

Наприклад, на планеті Меркурій середня температура +15º. Виходячи з

цього статистичного показника, можна подумати, що на Меркурії помірний

клімат, зручний для життя людей. Проте насправді це не так. Температура на

Меркурії коливається від -150º до +350º.

Означає, якщо у нас є ряд даних, то для обгрунтованих висновків і

надійних прогнозів на їх основі крім середніх значень треба ще вказати,

наскільки використовувані дані розрізняються між собою.

У відділі чоловічого взуття універмагу протягом дня проводився облік

розмірів купленого взуття. Були отримані наступні результати: 44, 40, 43, 39,

42, 42, 45, 41, 43, 43, 41, 42, 46, 40, 41, 42, 39, 42, 45, 42, 43, 44, 44, 41, 42.

Подаємо ці результати у вигляді таблиці, після чого даємо відповідь на

запитання: Який розмір взуття найбільш поширений?

Виходячи з питання, робимо висновок, що в даному завданні нам

потрібно знайти моду ряду розмірів, тобто дізнатися, який розмір має

великий попит. Таблиця дозволяє швидко це зробити.

43

Бензоколонка працює цілодобово без вихідних. За січень виручка

склала в 71 796 000 грн. Яка була в січні середня виручка за добу?

У даному завданні необхідно розуміти, що потрібно знайти. Раз

потрібно знайти середню виручку, то робимо висновок, що необхідно знайти

середнє арифметичне. У даній ситуації ми маємо, що сума виручки за 31 день

склала 71 796 000 гривень. Тоді ми можемо порахувати середнє арифметичне

(71 796 000 : 31) = 2 316 000, це і буде середня виручка за добу

Володіння мистецтвом стохастичних міркувань учителем - неодмінна

умова успішного вивчення стохастики в початкових класів. Потрібен погляд

на стохастику не тільки як на систему понять, фактів і тверджень, а як на

специфічну методологію, що охоплює імовірнісні і статистичні висновки в їх

взаємозв'язку. Аналіз тих ситуацій, коли для проблеми, яка вирішується

немає однозначної або визначеної відповіді, не повинен викликати

розгубленості вчителя. Потрібно бути людиною з гнучким мисленням,

позбавленою догматичної віри в абсолютну істинність чужих висновків.

44

РОЗДІЛ 4 Особливості змістовного характеру по реалізації

вивчення комбінаторики в початковій школі

4.1. Вступ. Множина. Комбінаторика.

Повторення. Пригадайте.

МНОЖИНА – це група об'єктів,

об'єднаних загальною назвою. Кожен

об'єкт множини називається елементом

множини. Елементом множини може

бути і множина, вона називається

вкладеною множиною або

підмножиною. Демонстрація прикладів

множини, підмножини, елементів

підмножини.

І. КОМБІНАТОРИКА. Ми

починаємо знайомитись з дуже цікавим

розділом математики і інформатики,

який називається складним словом

КОМБІНАТОРИКА. Можливо, ви

здогадалися, що слово КОМБІНАТОРИКА походить від слова

«комбінація». Ми вивчатимемо різні комбінації частин якоїсь

множини. Вивчимо, як різними способами можна розташувати ці

частини.

Приклад 1. Розглянемо приклад.

До нас в гості завітав Олівець. Що ж він

хоче? Зараз він нам про це розповість.

45

«Я намалював однакові коробочки

з трьома смужками і тепер хочу

розфарбувати їх, але так, щоб вони не

були однаковими. У мене залишилися

тільки три олівці – червоний, синій і

жовтий. Як мені бути? Допоможіть! (з'являються три коробочки, на них три смужки і палітра кольорів з

трьома кольорами – червоний, синій, жовтий). Нам необхідно

розфарбувати ці смужки різними способами.

Хай спочатку верхня смужка буде

червона, середня може бути синя, нижня

– зелена. Отже, у нас вийшов 1 варіант,

комбінація трьох кольорів, яку ми

позначимо –ЧСЗ.

Наступна комбінація – знову

верхня червона, але тепер середня – зелена, нижня – синя ЧЗС.

З верхньою червоною смужкою варіантів більше немає. Тепер

розфарбуємо верхню смужку зеленим, середню – червоним, нижня -

синя (3-а комбінація – ЗЧС) і, такий варіант розфарбування – ЗСЧ –

4-а комбінація. Тепер вгорі розмістимо синю смужку і розфарбуємо

по черзі нижні зеленою і червоною фарбою. Є ще дві комбінації –

СЗЧ і СЧЗ. Чи є у нас ще комбінації? Ні, більше немає комбінацій. У

нас вийшло 6 різних коробочок, що і хотів Олівець.

Таким чином утворюємо всі можливі комбінації кольорів.

Приклад 2. До нас прийшли троє

поросят з казки – Ніф-Ніф, Нуф-Нуф і

Наф-Наф. Вони всі люблять завжди

бути першими. Скільки ж є способів,

щоб їх поставити в ряд, ане один

заодним? Спробуємо порахувати!

46

(У поросят є імена, поросята стають

різними способами, всі варіанти

демонструються – 6 комбінацій, кожна з`являється послідовно в ході

пояснення.)

Першого поставимо Наф-Нафа, тоді далі стоїть Нуф-Нуф і за

ним Ніф-Ніф. І комбінація.

Тепер поміняємо місцями Ніф-Ніфа і Нуф-Нуфа. Вийшла ІІ

комбінація.

Нуф-Нуф тепер перший, за ним

Наф-Наф і Ніф-Ніф. ІІІ комбінація.

Тепер міняємо місцями Наф-Нафа і

Ніф-Ніфа. IV комбінація.

Тепер першим стоїть Ніф-Ніф, а за

ним Наф-Наф і Нуф-Нуф. V комбінація.

І, навпаки, Ніф-Ніф, Нуф-Нуф і Наф-Наф. VI комбінація.

Вийшло 6 різних способів побудови в ряд наших пустотливих

поросят.

Приклад3. На День народження

Ослику подарували 5 червоних кульок і

3 синіх. Ослик пішов гуляти, але тут

налетів сильний вітер, і 4 кульки

полетіли. Полетіла хоч б одна червона

кулька? (на екрані Ослик з кульками).

Давайте спробуємо намалювати

таблицю. (цифри в таблиці з'являються

поступово по ходу міркування)

Якщо відлетіли всі три сині кулі, то обов'язково відлетіла і одна

червона (у завданні мовиться, що відлетіли 4 кульки).

Якщо відлетіли дві сині, то тоді відлетіло і дві червоних.

47

Якщо 1 синя, то три червоних.

А могло бути і так, що відлетіли тільки червоні кулі – 4 штуки.

Робимо висновок, так, відлетіла хоч б одна червона кулька.

Приклад 4. Тепер пограємо в

Піжмурки. У цьому мішку лежать жовті

і зелені кульки однакової форми – 4

жовтих кульки і 3 зелених. Нам

потрібно, не заглядаючи в мішок, узяти

обов'язково 2 зелені кульки.

Яку найменшу кількість кульок

нам необхідно захопити? Якщо ми

витягнемо 2 кульки, то вони можуть

бути обидві жовті.

Якщо 3 кульки, є ймовірність, що вони теж виявляться

жовтими. Якщо 4 кульки – теж можуть всі виявитися жовтими. Якщо

ми витягнемо п'ять кульок, то тільки одна кулька може виявитися

зеленою, а нам потрібно, щоб дві кульки були зеленими.

Якщо ми, не зазираючи в мішок, витягнемо шість кульок, то точно

дві з них будуть зелені. Давайте спробувємо? (Під час практичної

роботи з предметами учень повторює міркування, починаючи з 2

кульок. Замість кульок можна взяти й інші однакові за формою, але

різні за кольором предмети).

4. 2. Комбінаторика

На правилах і законах комбінаторики

засновано безліч ігор, люди багатьох

професій застосовують їх в своїй роботі - в

ситуаціях, де потрібно вміти правильно

вибрати, розташувати, розставити якісь

предмети, (тобто потрібно вміти складати

48

різні комбінації.)

Приклад 1. Можна з друзями пограти в

кульки. Всього 7 кульок, треба розкласти їх в

два кошики. У один кошик покладемо 2

кульки, тоді в другий покладемо 5 кульок, що

залишилися, – 2+5=7. Якщо в перший кошик

покладемо 1 кульку, тоді в другому кошику

буде 6 кульок: 1+6=7.

Які ще є варіанти? Весь час треба пам'ятати, що всього кульок – 7 і

не можна повторюватися. Продовжимо розкладати кульки. У 1-ий

кошик 3 кульки, в 2-ий кошик - 4 кульки. 3+4=7.

У 1-ий кошик - 4 кульки, в другий -

3кульки. 4+3=7.

У перший кошик 5 кульок, в другий - 2

кульки. 5+2=7.

У перший кошик 6 кульок, в другий - 1 кульку. 6+1=7.

Ось ми і перебрали всі можливості розміщення кульок в кошиках. Таких

комбінацій вийшло 6.

Приклад 2. У зоопарк привезли 5

звіряток, а вільних кліток всього 2. Потрібно

якимсь чином всіх звіряток розмістити. Які

можливі варіанти? (варіанти поступово

демонструються з коментарем)

Отримали 4 комбінації розміщення

звіряток.

1 + 4 = 5

2 + 3 = 5

3 + 2 = 5

4+ 1 = 5

49

Приклад 3. А 6 птахів в дві клітки?

Сподіватимемося, що жити вони будуть

дружно. (варіанти поступово демонструються

з коментарем) Таких варіантів 5. Але якщо

вважати, що варіанти 1 – 5 і 5 – 1

однакові і 2-4 і 4-2 – теж однакові, адже

клітки можна переставити, то залишаються

варіанти 1+5=6, 2+4=6 і 3+3=6 тобто 3

комбінації.

Приклад 3. У цій шафі треба

розставити глечики. На кожному поверсі їх

повинно бути 3, причому розподіл по всіх

чотирьох полицях повинен бути різним (без

повторень). Поставимо глечики, яких не

вистачає. На верхньому поверсі шафи вже є

два глечики, отже, ми можемо поставити туди

тільки один глечик.

Причому, цей глечик ми можемо поставити і на першу полицю і на

другу. На нижньому поверсі не вистачає двох глечиків. Обидві версії

розташування глечиків на другому поверсі ми можемо розставити

глечики на першому трьома способами: 2 на

першій полиці і 1 на другій, 1 на першій

полиці і 2 на другій; три на другій полиці.

Тепер перевіримо, які з наших варіантів

підходять до тієї умови, що кількість глечиків

на полицях не повинна співпадати. Версія 1 –

не співпадає, у версії два на двох полицях по 2 глечики і в інших двох –

по 1, тобто цю версію відкидаємо. У версії 3 кількість глечиків скрізь

різна, у версії 4 знову збіги, прибираємо і версію 5 прибираємо теж. А

ось у версії 6 збігів немає. Ми знайшли три рішення – 3 комбінації для

50

нашого завдання, вони залишилися у нас на екрані.

Приклад 4. а) Скільки двоцифрових

чисел можна скласти з двох цифр, наприклад

з цифр 1, 2?

Можемо відповісти відразу? Якщо ні,

утворимо спочатку ці числа: 11, 12, 21, 22 – 4

числа.

б) А з трьох цифр? Візьмемо цифри 2, 3,

4. 22, 23, 24, 32 33, 34, 42, 43, 44 Ми

написали всі можливі варіанти. Подивися

уважно на ці числа. На першому місці можуть

бути три цифри, для кожної з них на другому

місці можна написати теж три цифри.

Виходить 3 рази по 3, тобто 9.

в) Скільки і які комбінації

можна скласти з фігур □ і ○

Брати можна тільки дві фігурки, тобто

пару. Завдання дуже схоже на попереднє, тільки тепер замість цифр у

нас фігурки. На першому місці у нас може бути або кружок або

квадратик і для кожного з них на другому місці теж може бути або

кружок або квадратик.

Тобто виходить 2 х 2= 4 комбінації. Намалюємо їх: □ ○, ○ □,

○○, □ □.

Приклад 5.

До нас завітали веселі герої Буратіно,

Незнайко і Чиполіно. Перешикуємо їх по-

іншому? Для зручності давай візьмемо перші

букви їх імен. Так, як вони стоять: Б Н Ч.

Скільки способів їх перешикування?

Запишемо спочатку всі способи: БНЧ, БЧН, НБЧ, НЧБ, ЧБН, ЧНБ.

51

Ми записали всі способи і їх вийшло 6. Відмітимо, що тут ми не

розглядали випадки, коли одна і та ж буква повторюється. Тут таких

випадків бути не може, тому що у нас всього один Буратіно, один

Незнайко і один Чиполіно.

Приклад 6. Давайте помалюємо.

Дивіться, скільки чашок і блюдець. Але

вони такі нудні - сірі, будемо їх прикрашати.

Є дві фарби: синя і червона. Чашку з

блюдцем назвемо чайною парою.

Розфарбовувати будемо по-різному.

1-ше завдання. Скільки вийде різних пар, якщо використовувати

обов'язково обидві фарби і чашку і блюдце в парі повинні бути різного

кольору? Розфарбуємо і порахуємо Одержали всього дві пари.

2-ге завдання. Тепер чашка і блюдце можуть бути однаковими.

Скільки в цьому випадку буде різних пар? Цього разу вийде 4, до вже

розфарбованих пар додалися пара повністю синя і пара повністю

червона.

3-тє завдання. А зараз треба зробити так, щоб серед всіх 9 пар не

було однакових. Для цього ми повинні не фарбувати якісь частини пари

і тоді у нас збільшаться варіанти. Ми залишатимемо незафарбованими

то верхню частину пари, то нижню, і одну пару взагалі фарбувати не

будемо. Ось що вийшло в результаті.

Приклад 7. Розклади м'ячі на всіх

порожніх полицях так, щоб на кожній полиці

було 5 м'ячів. Скільки існує варіантів для

розв’язання цього завдання?

Давай спочатку доповнимо ті полиці, на

52

яких вже щось лежить. У порожню полицю

другого поверху розмістимо 3 м'ячі, на третій

– теж три, на четвертій – 1 м'яч. Залишилася

сама нижня полиця, Запишемо всі варіанти:

1+4; 2+3; 3+2; 4+1. Тобто 4 варіанти.

Намалюємо все.

Приклад 8. Чи правильно розв’язані

приклади? Якщо відповідь вірна, введи 1

(істина), інакше введи 0 (хиба). 3+3-5=1 - це

правильно, вводимо 1. 12-7+2=7 - і це

правильно, - 1. 12-2+3=10 – не правильно,

правильна відповідь 13, вводимо 0. 5+1-5=2 -

не правильно, правильна відповідь 1, вводимо

0. 9-2+4=11 - це правильно, вводимо 1. 6+5-

3=8 - і це правильно, - 1

53

4. 3. Схема. Дерево

І. Поняття «дерево».

Приклад 1. Пригадайте, як до уроків

природознавства ви готували влітку гербарій.

Гербарій – це множина засушених рослин. Їх

охайно складають в альбом. У всьому повинен

бути порядок.

Утворимо порядок у гербарії за

допомогою схеми. Малюємо крапку і

підпишемо її «гербарій». У нашому гербарії –

листки і квіти. Від крапки «гербарій»

проведемо дві лінії: одна веде до крапки

«листя», а інша – до крапки «квіти».

Яке листя у нашого дерева? Ось вони три

відрізки, три гілочки ведуть від крапки «листя»

до крапок «береза», «дуб», «клен». Для

кожного кольору – своя гілочка-відрізок від

крапки «квіти», на кінці цих гілок – крапки і

відрізки відповідного кольору.

Тепер залишилося розподілити квіти. Білі – Для кожного кольору –

своя гілочка-відрізок від крапки «квіти», на кінці цих віток – крапки і

вказаний колір. Тепер залишилося розподілити квіти. Білі – це ромашка

і троянда – малюємо для них вітки від крапки «Білі».

Таким чином малюємо дві гілки для жовтих - календули і нарциса,

для червоних – мак, тюльпан, жоржина. Сама нижня точка, з якою ми

почали будувати нашу конструкцію, називається коренем, відрізки від

точки до точки – це гілочки-ребра, а самі точки– вершини. Самі верхні

або останні вершини – як листочки на дереві. Якщо в нашому гербарії

з'явиться нова рослина, ми відразу зрозуміємо, де додати гілочку або

54

листочок на схемі. Наприклад, синій дзвоник?

Ну звичайно, потрібно від вершини «квіти» додати (намалювати) гілочку-ребро «сині». Листочок на цій гілці і буде дзвоник. А

якщо у кожної вершини поставити номер

відповідної сторінки альбому, то в твоєму

гербарії буде повний порядок. Біла троянда – на стр.1, і ти відразу

відкриєш потрібну сторінку і милуватимешся прекрасною квіткою.

Схема нашого гербарію дуже нагадує гілки на дереві і тому, звуть таку

схему деревом. Таким чином, можна побудувати дерево для будь-якої

множини, знаходячи в ній вкладені множини за певними ознаками.

Приклад 2. Напевне, ми добре вміємо

визначати загальні ознаки об'єктів. Давайте

побудуємо ще одне дерево. Погляньте, яка

весела вулиця з різнокольоровими

будиночками. У цих будиночках живуть

казкові герої, от вони дивляться з вікон. Назвемо цю вулицю «Вулиця

казок». А ось і дерево для цієї вулиці. Замість крапок для вершин ми тут

використаємо прямокутники. Давайте для кожного казкового героя

знайдемо місце на дереві, тобто його листочок. Ось перший будиночок,

він червоний.

Хто виглядає у віконце на першому

поверсі? Чебурашка. Рухаємося по гілочці, що

веде до прямокутника «1-ий поверх» і далі

відводимо гілочку до Чебурашки. На другому

поверсі – крокодил Гена. Позначаємо в

прямокутнику «2-ий поверх». Наступна гілочка для Білосніжки. Таким

чином знаходимо листочки для Віні Пуха, Ослика і П'ятачка, які живуть

в зеленому будиночку. Але ще і жовтий будиночок, і в ньому на

першому поверсі в двох кімнатах живуть Буратіно і тато Карло, а на

55

другому поверсі – Мальвіна. А гілочок на дереві більше немає.

Потрібно намалювати ще одну гілку, що

веде до прямокутника «Жовтий будиночок»,

від нього – дві гілочки – «1-ий поверх» і «2-ий

поверх», від вершини «1-ий поверх» малюємо

дві гілки для двох кімнат. Також гілочка від

вершини «2-ий поверх» і листочок для Мальвіни. А якщо з

Мальвіною поряд живе її пес Артемон, треба намалювати гілочку до «4-

ої кімнати». Можна вважати, що і це дерево готове.

Самостійна робота. Ми можемо самостійно побудувати дерево

розміщення своїх книг на полицях, іграшок в скриньках та багато інших

дерев.

І. Гра «Так чи ні?» Дерева можна

використовувати для розв’язування деяких

задач. Для цього треба уміти правильно

ставити питання. Правильними питаннями

називатимемо сьогодні такі, на які можна дати

тільки один з двох можливих відповідей – «та чи ні». Наприклад.

«Сьогодні понеділок?» Якщо дійсно понеділок, ти відповіси «так»,

відповідь «ні», якщо інший день тижня.

Приклад 1. Подивися на це дерево. Нехай,

хтось задумав якусь тваринку і потрібно її

вгадати. Зверни увагу, що з кожної вершини

відходить тільки дві гілочки. Ставимо питання

і відповідаємо на них тільки словами «так і ні».

Дві гілочки – дві відповіді.

Ця тварина свійська? – Відповідь «ні» - переходимо до вершини «дика».

Ця тварина живе у воді? – Відповідь «ні» - переходимо до вершини «живе на суші». Тварина хижа?

56

Відповідь «так» - переходимо до

вершини «хижак». Звір сірого кольору? –

Відповідь «так». Можна вже здогадатися, що

це за звір? Якщо ні, треба ще ставити питання,

але здається вже зрозуміло, що це вовк.

Приклад 2. На цій схемі перемістимо

правильно (у потрібні рамочки) слова:

Трамвай, Трактор, Метро, КАМАЗ. Почнемо з

першого слова, Трамвай. Він відноситься до

пасажирського транспорту, переміщаємо.

Друге слово – Трактор. На тракторі пасажирів не перевозять, його

використовують для перевезення вантажів. Отже – це вантажний

транспорт.

Переміщаємо. У метро їздять люди на

роботу, в школу, додому та в інших справах,

це, звичайно, пасажирський транспорт,

перемістимо слово «Метро» на своє місце. А

КАМАЗ – це дуже велика вантажівка, тобто –

це вантажний транспорт. Ось ми всі транспорті

засоби розставили на свої місця.

Приклад 3. А це справжнє чудо-дерево!

Чого на ньому тільки нема! Нам потрібно

повісити предмети на потрібні гілочки, і не

помилитися. Спочатку визначимо множини на

товстих гілках. Як бачите, ліворуч у нас -

меблі, а праворуч – посуд. Напишемо ці написи. На першій гілці –

шафи, напишемо біля вершини – Шафи. На другій гілці – меблі, на яких

можна сидіти, підпишемо цю вершину – Стільці. На третій гілці

розташувалися столи, так і запишемо. Перейдемо до товстої гілки

праворуч. На першій гілочці з цього боку посуд, з якого можна пити,

57

підпишемо – для пиття. На другій гілочці – тарілки, так і напишемо.

І на останній – столові прибори,

напишемо просто прибори. А зараз розставимо

наші предмети. Журнальний столик – це меблі,

і він підійде до гілочки з написом Столи.

Глибока тарілка відноситься до посуду а ще

точніше, до тарілок. Фужер – це посуд, з якого п'ють, туди її і

помістимо. Крісло – це меблі, на яких сидять, розмістимо його поряд з

диваном. Ложка – це столовий прибор, помістимо її поряд з виделкою і

ножиком. Ну а шафа – це меблі і це шафа для одягу. Помістимо його

поряд з шафами. Тепер наше дерево повне.

Приклад 4. Перевіримо правильність

виконання прикладів. Поставимо 1 біля

правильних (істинних) відповідей і 0 – біля

хибних. Проведемо вертикальну лінію і

напишемо наші варіанти відповідей.

У першому прикладі: 3+3=6, 6 – 5 = 1.

Правильно.

У другому: 12 – 7 = 5, 5 + 2 = 7. Правильно.

У третьому: 12–2 = 10, 10 + 3 =13. Не правильно

У четвертому прикладі: 5 + 1 = 6, 6 – 5= 1. Не правильно

В п'ятому прикладі: 9 - 2 = 7, 7 + 4 = 11. Правильно.

І в шостому прикладі: 6 + 5 = 11, 11 - 3 = 8. Правильно.

Як бачиш у нас не співпали відповіді в третьому і в четвертому

прикладах, отже, ми поставимо 1 біля прикладів 1), 2), 5) і 6).

А біля прикладів 3) і 4) поставимо 0.

58

Приклад 5. Розв’яжемо задачу про дерева.

Тополя нижча за сосну, але вища за ялину. Яке

дерево найвище? Яке найнижче? Щоб

розв’язати цю задачу, намалюємо відрізок. Ось

так вздовж екрану . Поставимо крапку – це

тополя.

Якщо тополя нижча за сосну, то наступна крапка, що позначає

Сосну повинна бути розташована вище за крапку – Тополя. Поставимо

нову крапку і назвемо її Сосна.

Якщо тополю вища за ялину, то крапку Ялина поставимо нижче, за

крапку Тополя. Тепер стало зрозуміло, яке дерево найвище – це сосна, а

найнижче – це ялина.(Вісь намалювати спочатку. Послідовно в ході

пояснення з`являються точки. В кінці показати всі три дерева: ялина,

тополя, сосна).

Приклад 6. Ось три таблички і три банки з

варенням. Ми знаємо, що всі банки підписані

невірно. Нам потрібно розставити правильно

таблички з назвами варення.

На першій банці написано Малина, але це

неправильно.

Отже до цієї банки підходить табличка з написом Смородина чи з

написом Полуниця. До другої банки по тій же логіці може підійти напис

Полуниця чи напис Малина. А ось до третьої банки підходить тільки

один напис – Полуниця. Замінимо цей напис, тепер все стало зрозуміло і

з першими двома банками, якщо в третій – Полуниця, то слово

Полуниця закреслимо на першій та другій банках. Таким чином на

першій банці залишився напис Смородина, а на другій – Малина. Всі

наші банки підписані вірно.

59

Приклад 7. Накреслити граф для вибору

костюма. Скільки варіантів костюма можна

скласти з цих речей?

Для спідниці три варіанти і для брюк три

варіанти, тобто всього шість. З'єднали точки і

одержали граф. Порахуємо ребра і

переконаємося в своїй правоті.

4.4. Графи. Вершини і ребра графа.

Поняття графа. Графи. Що це таке? Ми

вже будували дерева?

Це дуже цікаве заняття. Дерево – це схема.

На цьому уроці ми теж будуватимемо

схеми, але інші. Вони називаються графами.

Спробуємо побудувати дерево своєї сім'ї:

ти → твої батьки → батьки твоїх батьків і так

далі…

Приклад 1. Ти в школу ходиш завжди

однією дорогою? А ось на шляху Буратіно –

цирк, його треба обійти, щоб потрапити в школу

60

вчасно.

Можна з одного боку, а можна з іншого.

Скільки різних шляхів є у Буратіно?

Схематично це можна зобразити от так. Такі

схеми називають графами. Граф, як і дерево,

теж має вершини які ми позначимо точками.

Вершини з'єднуються лініями, які називаються

ребрами.

Але в графах дві вершини можуть бути

сполучені декількома ребрами – в нашому

прикладі середня і права точки сполучені двома

лініями. Це верхній шлях і нижній.

Скільки ж можливостей (способів) проходження з найлівішої точки в

найправішу? Давай міркувати разом. Для зручності позначимо вершини

буквами А, Б, В.

Буратіно йде від вершини А до вершини Б,

а далі у нього дві можливості: верхня доріжка

або нижняя. Значить, всього два шляхи, або дві

можливості, або два способи. Але іноді Буратіно

все-таки заходить в цирк – спокуса велика!

Та і до точки Б є дві доріжки. Якщо

врахувати ці дві доріжки і любов Буратіно до

цирку, то схема можливих шляхів, або граф,

матиме такий вигляд:

Якщо піти по нижній доріжці, то після

точки Б - теж три доріжки: всього виходить 6

можливих шляхів від найлівішої точки А до

найправішої точки В 3 + 3 = 6.

Ліворуч - 2 можливості.

61

Праворуч – 3 можливості.

Число лівих ліній (ребер) показує, скільки разів потрібно додати кількість

правих. Можна рахувати кількість можливих варіантів по-іншому:

помножити число лівих ліній на число правих 2·3=6 - отримали кількість

всіх можливих шляхів. Зрозуміло, як рахувати кількість можливих

шляхів?

Ось складніший граф.

1) Давай порахуємо число способів

переміщення з найлівішої вершини А в

найправішу – В. Малюємо всі можливі способи.

1 – по верхньому ребру

2 – по середньому ребру і

3 – по нижньому.

Тепер від вершини А підемо по

середньому ребру до вершини Б і далі,

рухаючись до вершини В, повторимо способи,

знайдені щойно.

І нарешті, третій варіант – від точки А

йдемо по нижньому ребру.

Тепер рахуємо всі можливості. Скільки вийшло? Дев'ять. А як

порахувати всі можливі шляхи, не малюючи їх? Число лівих

можливостей помножити на число правих: 3·3 = 9.

Приклад 2. А в такому графі зможемо

підрахувати всі можливі шляхи? Давай

намалюємо всі можливі варіанти.

Спочатку йдемо по верхньому ребру від точки А до точки Б, далі по

верхньому від точки Б до точки В. Далі можна йти по верхньому або по

нижньому ребру до точки Г. Тепер йдемо по верхньому ребру від крапки

А до крапки Б, по нижньому ребру до крапки В і знову два шляхи до

точки Г: Тепер перший відрізок шляху пройдемо по нижньому ребру, а

62

другий – по верхньому.

Порахуємо, скільки варіантів ми

намалювали? Поки 6, але це не ще всі варіанти.

Домальовуємо ті, яких не вистачає. Ми

перебирали всі можливі шляхи по графові, але,

давай подумаємо, чи не можна відповісти на

питання:

«Скільки всього шляхів переміщення з точки А в точку Г є?» не малюючи

всі ці варіанти? Ми переконались, що від точки А до точки В можна

пройти чотирьма способами, тому що число лівих можливостей рівне

двом і число правих можливостей рівне двом, а 2 · 2 = 4. Від точки В до

точки Г можна дістатися двома шляхами. Значить, ми можемо чотирьма

шляхами дістатись від А до В і піти по першому шляху від В до Г, і

чотирьма шляхами дістатися від А до В і піти по другому шляху від В до

Г. Тобто двічі по чотири, вийде 8.

Приклад 3. А ось таку гру ти можеш

запропонувати в своїм друзям: яка команда

швидше збере предмети, що зустрічаються на

шляху.

Наша команда складається з трьох казкових героїв: від крайньої лівої

точки до середньої точки Буратіно піде по верхній доріжці, Мальвіна – по

середній і П'єро – по нижній. На кожній доріжці лежить по одному

предмету: яблуко, груша, вишня, гриб і суниця

Перед нами два питання: Скільки

можливих шляхів всього? Скільки можливих

шляхів у кожного?

Щоб відповісти на перше питання потрібне

число лівих можливостей помножити на число

правих можливостей. 3 · 2=6.

Щоб відповісти на друге питання

63

відмітимо, що у кожного ліворуч одна

можливість, а праворуч дві. Значить, у кожного

є 1 · 2 = 2 можливих шляхів.

Що ж кожен з них може зібрати?

Складемо таблицю, в першому стовпці

перерахуємо наших героїв. Кожен з героїв має

дві можливості дістатися до крайньої правої

точки, тому додамо в таблиці ще два стовпчики.

Перетягнемо для кожного зібрані ним предмети,

по першому шляху в перший стовпчик, а по другому – в другий.

Почнемо з Буратіно. Буратіно йде по верхньому шляху, значить, він

обов'язково візьме яблуко. Помістимо по яблуку в обох стовпцях. Якщо

він далі піде по верхньому шляху, то знайде гриб, якщо ж піде по

нижньому, то знайде суницю.

Мальвіна йде по середньому шляху, означає, вона не пройде мимо

груші, а підбере її у будь-якому випадку. Помістимо грушу в обидва

стовпці. А що буде далі? Далі буде як і у Буратіно - або гриб, або суниця.

Ну, а П'єро обов'язково знайде вишню, а далі, як і його друзі, або гриб або

суницю.

Приклад 4. Накреслити граф для вибору

костюма. Скільки варіантів костюма можна

скласти з цих речей?

Для спідниці три варіанти і

для брюк три варіанти, тобто

всього шість. З'єднали точки і

одержали граф. Порахуємо ребра і

переконаємося в своїй правоті.

64

4.5. Графи.

Приклад 1. Сьогодні ми відправляємся в

ліс і погуляємо лісовими стежками. В лісі

мешкають герої нашої задачі. Зайчик, Білочка,

Вовчик.

Всі ці звірятка дуже дружні і полюбляють

ходити один до одного в гості. Скільки ж

доріжок потрібно провести, щоб вони могли

зручно ходити один до одного в гості?

Напевне три доріжки. Схематично

зобразимо будиночки наших героїв і проведемо

доріжки. Будиночки героїв відмітимо точками, а

доріжки між ними відрізками.

Тепер по малюнку видно, що відрізків-

доріжок всього три. Пригадай, такі схеми або

креслення, малюнки ми називаємо ГРАФАМИ.

Точки називаються ВЕРШИНАМИ графа,

а відрізки, які їх сполучають – РЕБРАМИ

графа. За допомогою таких схем ми будемо

розв`язувати задачі.

65

Уявимо, що наші друзі познайомилися ще з

одним лісовим жителем. Дивися, хто до них ще

приєднався – Лисеня, і у нього теж свій

будиночок. Скільки ж потрібно тепер доріжок?

Давай схематично зобразимо чотири будиночки

і вершини назвемо буквами З – Зайчик, Б –

Білочка, В – Вовчик, Л – Лисеня.

Спочатку ми малюємо доріжки від

будиночка Зайчика до всіх інших.

Потім ми розглядаємо будиночок

Лисеняти, від нього залишається провести

тільки дві дороги, тому що одна вже проведена.

Потім від будиночка Вовчика залишиться

провести тільки одну доріжку. До будиночка

Лисеняти всі доріжки вже проведені.

Порахуємо, скільки всього доріжок?

Рахуємо всі відрізки, що утворились.

Вийшло ШІСТЬ відрізків. Ми побудували граф,

у якого 4 вершини і 6 ребер.

Приклад 2. Ми побуваємо ще в одній

подорожі, в казковій країні - це Квіткове місто

до Незнайка. Він запросив нас поїхати в

Сонячне місто, але не міг зрозуміти, яким чином

йому туди дістатися.

66

На шляху зустрічається ще і Кам'яне місто.

З Квіткового міста в Кам'яне місто ведуть дві

дороги, з Кам'яного в Сонячне місто теж дві.

Скількома шляхами ми можемо проїхати разом

з Незнайком?

Спробуємо порахувати, але спочатку

намалюємо схему. Ми позначатимемо Квіткове

місто– Кв., Кам'яне – Км., Сонячне – С. Отже,

намалюємо всі можливі шляхи.

Від Кв. до Км. два шляхи (1 і 2), від Км. до

С. два шляхи (3 і 4). Означає, ми можемо

поїхати такими дорогами: (1, 3) (1,4) (2, 3) (2,

4). Всього отримали 4 шляхи. Сподіваємося,

Незнайко вибере зручний маршрут.

Приклад 3. Завітаємо разом з Пампушкою

в кафе. Ти знаєш, він – великий ласунчик! У

кафе Пампушці запропонували з їжі – пиріжок,

бутерброд і сирок, а з напоїв – чай, сік і воду.

Пампушка задумався, скільки ж у нього

варіантів? Давай намалюємо схему і спробуємо

полічити варіанти. Пампушка може з'їсти

пиріжок з чаєм або соком, або з водою.

Проведемо три лінії.

Він може з'їсти бутерброд з чаєм або з

соком або з водою. Проводимо від бутерброда

ще три лінії. Аналогічно, наш Пампушка може

з'їсти сирок або з чаєм, або з соком, або з водою.

67

Проведемо ще три лінії. Вийшло всього

ДЕВ'ЯТЬ варіантів.

Бідний Пампушка! Нелегко буде вибирати,

побажаємо йому успіхів!

Повторимо про дерево. Дерево – це різновид графа. У справжнього

дерева є корінь, гілочки, листя.

У нашого дерева будуть ЕЛЕМЕНТИ дерева, КОРІНЬ дерева,

ГІЛКИ дерева і ЛИСТЯ дерева.

Приклад 4. Корінь цього дерева –

ТВАРИНИ. Тварини бувають дикими і

свійськими, це наступні елементи дерева. Ці

тварини можуть бути комахи, плазуни, звірі,

птахи.

І останній рівень дерева – листя – самі тварини, далі в нашій

класифікації шляху немає. Чудове дерево вийшло!

68

Висновок

Вивчення стохастики продиктоване самим життям.

Сучасній Україні необхідні люди, здатні приймати нестандартні

рішення, які уміють творчо мислити, добре орієнтуватися в звичайних

життєвих ситуаціях. Дітей необхідно з молодшого віку вчити шукати,

аналізувати і обробляти різноманітну інформацію, порівнювати й

комбінувати деколи суперечливу інформацію, приймати рішення в ситуаціях

з випадковими результатами, оцінювати ступінь ризику і шанси на успіх.

Необхідність формування ймовірнісного мислення обумовлена і тим,

що ймовірнісні закономірності універсальні: сучасна фізика, хімія, біологія,

демографія, соціологія, лінгвістика, весь комплекс соціально-економічних

наук розвивається на базі ймовірносно-статистичної математики, в основі

якої – прості прийоми розв’язання комбінаторних задач.

Основним засобом для навчання стохастики обраний комп'ютер, він

дозволив відкрити нові можливості в опанування навчальним матеріалом.

Комп'ютерна анімація дозволяє показати всі можливі варіанти під час

вивчення комбінаторики значно заощаджуючи час, ніж це було б

продемонстровано на предметних прикладах, або, що найгірше, в уяві

дитини. Мультимедійний супровід дозволяє формувати просторові образи

геометричного об'єкту, а також здійснювати плавний перехід від натуральної

речової моделі до умовно-графічного зображення – креслення, схем, таблиць,

дваграм, що в значній мірі підвищує рівень просторових уявлень учнів.

Використання прикладних програм робить викладання статистики

доступним, цікавим, необхідним школярам у повсякденному житті.

Збираючи статистичні дані, інтерпретуючи їх, учень поступово

переконується в тому, що багато явищ у навколишньому середовищі має

випадковий характер, що не завжди можна передбачити їх наслідки,

врахувати особливості, їх перебігу. Крім того, дитина має змогу за цими

даними порівнювати шанси настання різних подій. Так вона готується до

свідомого і повноцінного життя в сучасному інформаційному суспільстві.

69

Література

1. Бродський Я. С., Павлов О. Л. Про формування комбінаторного та

ймовірносно-статистичного мислення учнів початкової школи //Початкова

освіта, вид-во “Шкільний світ”, №№ 42-43, 2001.

2. Бродський Я. С. Про розвиток комбінаторного та ймовірносно-

статистичного мислення учнів початкової школи /Матеріали Всеукраїнської

науково-практичної конференції “Проблеми переходу початкової школи на

нову структуру і зміст навчання” - Донецьк, 2000.

3 Бродський Я. С., Павлов О. Л. Формування комбінаторного мислення

у молодших школярів (здано до друку).

4 Бродський Я. С., Павлов О. Л. Формування статистичних уявлень у

початковій школі (здано до друку).

5 Бродський Я. С. Комбінаторика без формул. Знайомство з імовірністю та

статистикою. – Харків: Вид. група “Основа”, 2004. – (Б-ка ж. “Математика в

школах України”; Вип. 8(20)).

6 .Бичкова Л. О., Селютін В. Д. Об изучении вероятностей и статистики

в школе. – //Математика в школе. 1991. №

7. Бунімович Е.А. Вероятностно-статистическая линия в базовом

школьном курсе математики // Математика в школе. - 2002. - №3.

8. Краснянська К.А., Кузнєцова Л.В. Результаты международного

исследования математической подготовки школьников 9 и 13 лет //

Математика в школе, 1993, № 2.

9. Маневич Д. В. Теория вероятностей и статистика в школьном

образовании. Методическое пособие. Ташкент: «УКИТУВЧИ», 1989.

10 Плоцки Адам. Стохастика в математике «для всех». Стохастика в

школе как математика в стадии созидания и как новый элемент

математического и общего образования. Дидактический очерк. Краков:

Wydawnictwo Naukowe Wyzszej Szkoly Pedagogicznej, 1996.

11. Селютин В.Д. О формировании первоначальных стохастических

представлений. [текст] // Математика в школе. - 2003. - №3

70

12. Селютин В. Д. Компоненты методической готовности учителя к

обучению детей стохастике // Школьные технологии, № 2, 2004.

13. Ткачєва М.В., Василькова Е.Н., Чуваева Т.В О готовности учащихся

к изучению стохастики // Математика в школе. - 2003. - №9.

14. Фройденталь Г. Математика как педагогическая задача. Ч. ІІ.

Пособие для учителей /Под ред. Н. Я. Виленкина; Сокр пер. с нем. А. Я.

Халамайзера. – М.: Просвещение, 1983.

15. Сравнительный анализ математической и естественнонаучной

подготовки учащихся основной школы России (по результатам

международного исследования – TIMSS). /Под ред. Г. С. Ковалёвой.

Российская Академия образования. – М. 1996.

16. О введении элементов комбинаторики, статистики и теории

вероятностей в содержание математического образования основной школы.

- //Математика в школе, № 9, 2003.

17. Збірка нормативних документів. Математика [Текст] / сост.

Е.Д.Днепров, А.Г. Аркадьев. – М.: Дрохва, 2006. – 80 с.

71