Ταλάντωση είναι κάθε παλινδρομική περιοδική κίνηση Ταλαντώσεις Γραμμική ταλάντωση ονομάζεται κάθε ταλάντωση που γίνεται σε ευθεία τροχιά

Απλή αρμονική ταλάντωση ονομάζεται κάθε γραμμική ταλάντωση στην οποία η απομάκρυνση του σώματος από τη θέση ισορροπίας είναι αρμονική συνάρτηση του χρόνου με εξίσωση

Αν τη χρονική στιγμή t =0 το κινητό περνά από κάποιο άλλο σημείο που βρίσκεται σε απόσταση d από τη Θ.Ι. τότε για την

απομάκρυνση ,την ταχύτητα και την επιτάχυνση ισχύουν αντίστοιχα οι σχέσεις :

Η παράσταση (ωt + φο) ονομάζεται φάση της ταλάντωσης και η γωνία φο ονομάζεται αρχική φάση της ταλάντωσης και αφορά τη θέση του σώματος τη στιγμή t=0 σε σχέση με τη θέση ισορροπίας της ταλάντωσης Πάντα : Γενικά και αν φο=0 τότε

- 1 -

Επισημάνσεις πάνω στο κεφάλαιο των ταλαντώσεων Βασικά σημεία που οι μαθητές πρέπει να προσέξουν !!

Οι σχέσεις , και ισχύουν σε κάθε απλή αρμονική ταλάντωση με την προϋπόθεση ότι τη χρονική στιγμή t=0 το κινητό διέρχεται από τη θέση ισορροπίας και κινείται κατά τη θετική φορά .

Η σχέση πάντα θα χρησιμοποιείται αφού πρώτα αποδειχθεί !!

Τι σημαίνει όταν λέμε ότι μεταξύ δύο μεγεθών υπάρχει διαφοράΤι σημαίνει όταν λέμε ότι μεταξύ δύο μεγεθών υπάρχει διαφορά φάσης ; φάσης ;

Μεταξύ απομάκρυνσης και ταχύτητας υπάρχει διαφορά φάσης .Διότι :

Σημαίνει ότι τα μεγέθη αυτά δεν παίρνουν ταυτόχρονα τη μέγιστη ή την ελάχιστη τιμή τους , σε αντίθεση με τα μεγέθη που είναι συμφασικά ( έχουν την ίδια φάση )Πιο συγκεκριμένα βλέπουμε ότι η φάση της ταχύτητας προηγείται της φάσης της απομάκρυνσης κατά π/2 ή ότι μεταξύ ταχύτητας και απομάκρυνσης υπάρχει διαφορά φάσης π/2 rad .

Διαφορά φάσης μεταξύ επιτάχυνσης και απομάκρυνσης :Διαφορά φάσης μεταξύ επιτάχυνσης και απομάκρυνσης :

δηλαδή βλέπουμε ότι η φάση της επιτάχυνσης προηγείται της φάσης της απομάκρυνσης κατά π rad . Όταν ένα σώμα κ άνει ομαλή κυκλική κίνηση , τότε η κίνηση της προβολής του πάνω σε μια διάμετρο της κυκλικής τροχιάς του είναι α.α.τ.

Η σχέση

- 2 -

ΠΡΟΣΟΧΗ !

ημ(5π/3) = ημ( 2π-π/3) =ημ(-π/3) = -ημ(π/3) =

συν(5π/3) =συν(2π-π/3) =συν(-π/3) =συν(π/3)= 1/2

+ω2Α

-ω2Α

-Α

Α

α

x

μας δείχνει ότι στην απλή αρμονική ταλάντωση η επιτάχυνση α έχει πάντοτε αντίθετο πρόσημο από αυτό της

απομάκρυνσης χ .

Η απομάκρυνση χ είναι

διάνυσμα με φορά προς τις ακραίες θέσεις , ενώ η επιτάχυνση είναι διάνυσμα με φορά προς τη θέση ισορροπίας .

Στην α.α.τ. δεν έχουμε σε ίσα χρονικά

διαστήματα ίσες μετατοπίσεις !Κι αυτό γιατί η ταχύτητα δεν είναι σταθερή !Θυμηθείτε ότι :

Α είναι το πλάτος της ταλάντωσης

Προσδιορισμός της αρχικής φάσης φο :Η αρχική φάση ενός σώματος που εκτελεί α.α.τ. μπορεί να υπολογιστεί αν ξέρουμε ταυτόχρονα δύο πράγματα :Α. τη θέση του τη χρονική στιγμή t=0

Β. τη φορά κίνησης του ταλαντωτή .

- 3 -

Η συνολική απόσταση που διανύει ένα σώμα που εκτελεί α.α.τ. πλάτους Α σε χρονικό διάστημα μιας περιόδου Τ είναι 4 Α

Ένα σώμα τη χρονική t=0 περνάει από τη Θ.Ι. Πότε η αρχική φάση του είναι μηδέν και πότε είναι π rad ;

Ισχύει επειδή όμως

και εξ ορισμού αν πάει προς τα δεξιά είναι φο=0 ενώ αν πάει προς τα αριστερά είναι φο=π ( rad) Οι μαθητές συνήθως παίρνουν τη μορφή της

απομάκρυνσης με φο= 0 και αγνοούν την περίπτωση να κινείται το σώμα προς τα αριστερά οπότε και πρέπει να πάρουν την τιμή φο=π .Δηλαδή δεν λογαριάζουν τη φορά κίνησης !!

χρήσιμες σχέσεις από την Τριγωνομετρία

ημ(π/2 +ωt) =ημ(π/2-(-ωt))=συν(-ωt) =συνωt

Μας ζητάνε τη διαφορά χρόνου διέλευσης δύο κινητών από τη Θ.Ι. όταν κινούνται ομόρροπα δύο υλικά σημεία που εκτελούν α.α.τ. ίδιας διεύθυνσης , ίδιας συχνότητας και γύρω από την ίδια θέση Θ.Ι.

Τι κάνουμε τότε ;

Έστω Δφ=π/6 rad - 4 -

H σχέση ισχύει είτε έχουμε αρχική φάση είτε όχι . Άρα όταν τότε θα είναι πάντα

=-αmax (με απόδειξη )

συνδέω τη Δφ με τη χρονική διαφορά Δt

Όταν αντικείμενο κινείται ανάμεσα σε δύο ακραίες θέσεις με σταθερό όμως μέτρο ταχύτητας , τότε η κίνηση αυτή δεν μπορεί να χαρακτηριστεί σαν α.α.τ.

Κι αυτό γιατί η κίνηση είναι γραμμική ταλάντωση διότι είναι ευθύγραμμη και παλινδρομική .Όμως δεν είναι α.α.τ. αφού η ταχύτητα είναι σταθερή κατά μέτρο , η δε απομάκρυνσή του μεταβάλλεται ανάλογα με το χρόνο και όχι ημιτονοειδώς ή αρμονικά .Η απομάκρυνση θα μεταβάλλεται με το χρόνο όπως δείχνει το διάγραμμα :

Κατά τη χρονική στιγμή t=0 το σώμα διέρχεται από τη θέσηi) +Α ,ii) -Α και iii)+Α/2 .Πώς θα βρούμε την αρχική φάση σε κάθε περίπτωση ; i)

- 5 -

χ

tTT/

2

A

-A

0,0

χ=+Α τότε : Α=Αημ(ω.0 +φο) ημφο=ημπ/2 =1

για κ=0 έχουμε φο=π/2 για κ=1 έχουμε φο=5π/2η οποία απορρίπτεται διότι πρέπει Άρα η αρχική φάση της ταλάντωσης είναι

φο=π/2 rad .

ii) με όμοιο τρόπο iii) με όμοιο τρόπο

Ιδανικό ελατήριο είναι εκείνο στο οποίο ισχύουν τα ακόλουθα ταυτόχρονα :Η μάζα του είναι αμελητέα ( m=0)Ισχύει ο νόμος του Ηooke Όπου χ η συμπίεση του ελατηρίου ή η επιμήκυνση από το φυσικό του μήκος .

ΕΡΓΟ ΔΥΝΑΜΗΣ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ

ο υπολογισμός γίνεται με εμβαδομέτρηση

απάντηση :

όχι διότι και φαίνεται καθαρά ότι φο=π/2

- 6 -

φο=2Κπ+π/2

με κ=0,1,2,3,…

Aν η εξίσωση μιας α.α.τ. δίνεται από την : αυτό σημαίνει ότι η αρχική φάση της ταλάντωσης είναι φο=ο ;

Να αποδειχτεί σε κάθε α.α.τ. ότι ισχύει :

- 7 -