27

вектори

  • Upload
    lesya74

  • View
    8.686

  • Download
    2

Embed Size (px)

DESCRIPTION

 

Citation preview

Page 1: вектори
Page 2: вектори

Зміст навчального матеріалу по темі:

1. Вектори у просторі. Рівність векторів.

2. Колінеарність векторів.

3. Компланарність векторів.

4. Координати вектора.

5. Додавання і віднімання векторів.

6. Множення вектора на число. Властивості дій над векторами.

7. Кут між векторами. Скалярний добуток векторів.

8. Розкладання вектора по ортах.

9. Сюжетна задача.

Page 3: вектори

Вектором називається напрямлений відрізок. Напрям вектора позначається його початком і кінцем. На малюнку напрям вектора позначається стрілкою.

Вектори у просторі. Рівність векторів.

Якщо початок вектора збігається з його кінцем, то вектор називається нульовим і позначається .0

Page 4: вектори

Вектори однаково напрямлені , якщо однаково напрямлені півпрямі, що містять дані вектори.

Вектори протилежно напрямлені, якщо протилежно напрямлені півпрямі, що містять дані вектори.

Page 5: вектори

Назвати однаково напрямлені та протилежно напрямлені вектори.

Завдання

Page 6: вектори

Абсолютна величина вектора або модуль вектора – це довжина відрізка, що зображає вектор.Абсолютна величина позначається |а| і обчислюється за формулою

Вектори рівні, якщо вони суміщаються паралельним перенесенням.

Рівні вектори однаково напрямлені і рівні за абсолютною величиною.

Рівні вектори мають рівні відповідні координати.

23

22

21 aaaa

a b

33

22

11

ba

ba

ba

(a1,a2,a3) = (b1,b2,b3)<=>

Page 7: вектори

Завдання: Записати всі можливі векторні рівності.

Page 8: вектори

Колінеарні вектори

Колінеарні вектори – це два ненульові вектори, які лежать на одній прямій або на паралельних прямих.

Умова колінеарності векторів:

Відношення відповідних координат векторів – рівні.

a і b колінеарні, якщо

1. Чи колінеарні вектори (2,3,8) і (-4,6, -16)?

2. При якому значення n і m вектори (15,m,1) і (18,12,n) - колінеарні?

ab * 3

3

2

2

1

1

a

b

a

b

a

b

a b

ba

Page 9: вектори
Page 10: вектори
Page 11: вектори
Page 12: вектори

Компланарність векторів

Три вектори називаються компланарними, якщо відповідні їм напрямлені відрізки розміщені у паралельних площинах.

Вектори компланарні тільки за умови, що точки О,А,В,С лежать в одній площині.

Завдання: Чи компланарні вектори (3;2;0),

(6;3;0), (8;1;0)?

ОСОВОА ,,

a

b c

Page 13: вектори
Page 14: вектори
Page 15: вектори

Координати вектора

Координатами вектора називаються числа а1=х2-х1, а2=у2-у1, а3=z2-z1.

Щоб знайти координати вектора, треба від координат кінця вектора відняти координати його початку.

Завдання:

1. А(2;3;4), В(1;1;1). Знайти координати векторів

та .

2. Які координати вектора , якщо А(5;1;-3), точка О – початок координат.

AB

BAAO

a

Page 16: вектори

.Додавання векторів Правило трикутника

Отже, сумою двох векторів a і b називається третій вектор c , початок якого збігається з початком a , а кінець – з кінцем вектора b при умові, що кінець вектора a збігався з початком вектора b .

Правило паралелограма (для неколінеарних векторів): a + b = c .

Якщо два вектори виходять з однієї точки, то вектор суми цихb векторів є діагоналлю паралелограма, побудованого на даних векторах.

Page 17: вектори

Додавання векторів.

Сумою векторів (а1, а2, а3) та (в1, в2, в3) називається вектор с з координатами : а1+в1, а2+в2, а3+в3.

a b

Сумою трьох не колінеарних векторів, що виходять з однієї точки, є діагональ паралелепіпеда, побудованого на цих векторах, яка виходить з цієї ж точки.

Page 18: вектори

Якщо треба знайти суму кількох векторів, можна скористатися правилом многокутника (див. рисунок).

Page 19: вектори
Page 20: вектори

Завдання по темі “Додавання векторів”

1. Дано . Знайти координати суми

даних векторів.

)1;4;0(),3;0;2( ba

2. Дано вектори .

Чи правильно, що .

)8;1;4(),3;4;2(),5;3;2( cba

abc

Page 21: вектори

Віднімання векторів

Різницею векторів (а1,а2,а3) і (в1,в2,в3) називається вектор , координати якого: а1-в1,а2-в2,а3-в3.

a bc

Щоб відняти два вектори, потрібно відкласти їх від спільної точки, з'єднати кінці і стрілку поставити до того вектора, від якого віднімаємо

Page 22: вектори

Множення вектора на число

Добутком вектора на число λ є вектор

=(λа1,λа2,λа3).

Властивості:

1.

2. Для будь – якого вектора а і чисел λ і μ має місце рівність:

3. Для будь – яких векторів а і в і числа λ має місце рівність.

Абсолютна величина вектора дорівнює:

aa

),,(**),,( 321321 aaaaaa

aaa ***)(

baba **)(* a*

aaaaaaaa **)*()*()*(* 23

22

21

23

22

21

Page 23: вектори
Page 24: вектори

Скалярний добуток векторів

Скалярним добутком векторів (а1, а2, а3) і (в1, в2, в3) є число (скаляр) а1*в1+ а2*в2+а3*в3.

Кутом між ненульовими векторами і називається кут ВАС – кут між векторами, що дорівнюють даним і мають спільний початок.

Теорема: Скалярний добуток векторів дорівнює добутку модулів векторів на косинус кута між ними.

Якщо , то кут гострий; – кут тупий,

– кут прямий (вектори перпендикулярні).

Умова перпендикулярності векторів – скалярний добуток дорівнює 0.

a b

AB AC

0* ba 0* ba

0* ba

Page 25: вектори

Завдання по темі “Скалярний добуток векторів”

1. Чи перпендикулярні вектори (2;3;6) і (3;2;-1) ?

2. При якому значення m вектори (6;0;12) і (-8;13; m) перпендикулярні ?

3. Який кут утворюють вектори (-5;0;0) і (0;3;0) ?

a

a

a

b

b

b

Page 26: вектори

Розкладання вектора по ортах

Вектор називається одиничним, якщо модуль вектора дорівнює 1.

Одиничні вектори, які мають напрями додатних координатних півосей, називаються ортами.

Для будь – якого вектора (а1, а2, а3) маємо: a

332211 *** eaeaeaa

Page 27: вектори

Сюжетна задача

Дано чотири точки А(1;2;3), В(-2;4;1), С(0;2;5), Д(1;-4;2).

Знайти:

1. Координати і .

2. Модулі і .

3. +

4. -

5. 3* ; ½*

6. 3* + ½*

7. Чи колінеарні вектори?

8. *

9. Cos φ між векторами. Чи перпендикулярні вектори?

10.Розкласти по ортах.

ABAB

ABAB

AB

AB

AB

CDCD

CDCD

CD

CD

CD