指数分布とポアソン分布のいけない関係

ポアソン分布と指数分布のいけない関係

@teramonagi 第20回R勉強会＠東京（#TokyoR）

2012/01/28

Agenda

•自己紹介

•ポアソン分布ってなに？

•指数分布ってなに？

• ２つの分布のいけない関係

ポアソン分布と指数分布のいけない関係＠第20回R勉強会＠東京（#TokyoR） 2

自己紹介

こういう者です ◆職業：クオンツ（計量的に金融する）

◆使う道具

データ・数理解析/プログラム

C++/C#/R/Python/Excel/VBA…..

◆最近の興味：

関数型言語・統計（科）学・確率論


ポアソン分布ってなに？


•単位時間：1時間・1秒間・(1m)等

•生起確率：事象が起こる確率ポアソン分布と指数分布のいけない関係＠第20回R勉強会＠東京（#TokyoR） 6

単位時間当りの生起確率


•単位時間当り平均λ回起こる事象が単位時間中にx回起こる確率は・・・

ex

xpx

! ,...2,1,0x


ポアソン分布の例～1年間での1日あたりの交通事故死亡者数～

x 度数

0 1191 1522 683 204 45 16 1

6以上 0計 365

ポアソン分布と指数分布のいけない関係＠第20回R勉強会＠東京（#TokyoR） 8 死亡者数

頻度

•平均：λ、分散： λ

•ただ1つλというパラメーターだけで特徴づけられる

ポアソン分布の特徴


ポアソン分布を計算してみる

• １時間に平均５人が訪れるWebサイ

トがある。１時間に３人訪問者がある確率を求める

• λ＝５、ｘ＝３を公式に代入

> (5^3) / (3 * 2) * exp(-5)

[1] 0.1403739（約１４％！）


稀な現象としてのポアソン分布

•高校で習った二項分布を思い出す

•表が出る確率がpのコインをＮ回投げてｘ回表が出る確率は？


xNx

xN ppCxp

1

稀な現象としてのポアソン分布


xNx

xN ppCxp

1

ex

xpx

!

0, pN Npただし以下のようにp, λの積を固定

ちなみにRだと


(d,r,p,q)pois関数

指数分布ってなに？


•生起間隔：ある事象が起こって次にまた発生するまでの間隔


事象の生起間隔の確率


•単位時間当り平均λ回起こる事象を

考える。その事象の発生間隔がｔ単位時間である確率（密度）は・・・


tetp 実数,0t

～30歳のおっさんの平均余命の分布～指数分布の例

ポアソン分布と指数分布のいけない関係＠第20回R勉強会＠東京（#TokyoR） 17 余命（年）

確率（密度）

指数分布を計算してみる

• １時間に平均５人が訪れるWebサイトがある。次の訪問者が来るまでの間隔が12分である確率を求めよ

• λ＝５、t＝12/60を公式に代入

> 5 * exp(-5 * 12 / 60)

[1] 1.839397

（確率“密度“なんで１越えます）


• 平均：1/λ、分散： 1/λ^2

• ただ1つλというパラメーターだけで特徴づけられる

• 次に事象が発生するまでの時間は今まで待った時間とは関係ない（無記憶性）

指数分布の特徴


ちなみにRだと


(d,r,p,q)exp関数

２つの分布のいけない関係


22 ポアソン分布と指数分布のいけない関係＠第20回R勉強会＠東京（#TokyoR）

ポアソン分布単位時間当りの生起確率

指数分布事象の生起間隔の確率

ポアソン分布単位時間当たり平均λ回

指数分布平均1/λ単位時間に一回



ポアソン分布単位時間当たり平均λ回

指数分布 1/λ単位時間に一回



ある“事象”に対して

回数に注目：ポアソン分布時間に注目：指数分布

同じ物（事象）を異なる視点から見てるわけだね！

Rで確かめてみる

• Rを使って指数分布を生成

• １単位時間に何回事象が発生するかをカウント

•その頻度がポアソン分布に従うかをチェック！


アルゴリズムの流れー１

ポアソン分布と指数分布のいけない関係＠第20回R勉強会＠東京（#TokyoR） 27 13

指数分布に従う乱数生成

2

456

7

8

9

アルゴリズムの流れー２

ポアソン分布と指数分布のいけない関係＠第20回R勉強会＠東京（#TokyoR） 28 1 32

作った乱数の合計が単位時間に何個入るかカウント

１（単位時間）

＋＋ ≧１

アルゴリズムの流れー２

ポアソン分布と指数分布のいけない関係＠第20回R勉強会＠東京（#TokyoR） 29 1 32



＋＋ ≧１

この場合３番目の指数分布の値を足しちゃうと合計が１

を越えるので、２とカウント

アルゴリズムの流れー２’



≧１


アルゴリズムの流れー２’



≧１


この場合１番目の指数分布

の値が１を越えるので、０とカウント

アルゴリズムの流れー３

１と２を繰り返して出てきたカウント値の統計量を計算


結果のチェック（分布比較）

ポアソン分布と指数分布のいけない関係＠第20回R勉強会＠東京（#TokyoR） 33 訪問者数

頻度（確率）

結果のチェック（分布比較）

ポアソン分布と指数分布のいけない関係＠第20回R勉強会＠東京（#TokyoR） 34 訪問者数

頻度（確率）

指数分布からポアソン分布を作成することができた！

まとめ

•ポアソン/指数分布について説明

•ある“事象”に対して

–“回数“に注目：ポアソン分布

–“時間”に注目：指数分布

• Rでシミュレーションしてみた


Rのコード #1単位時間内に到着する訪問者数を数えるシミュレーション

VisitorCounter <- function(lambda)

{

counter <- 0

time.arrival <- rexp(1, rate = lambda)

while(time.arrival < 1) {

counter <- counter + 1

#次の訪問者の到着時間を計算

time.arrival <- time.arrival + rexp(1, rate = lambda)

}

counter

}


Rのコード #１単位時間あたりの訪問者数の平均値 lambda <- 5 #シミュレーション回数 N <- 10^4 #シミュレーション実施 x <- sapply(1:N, function(i){VisitorCounter(lambda)}) #表示 barplot(rbind(table(x) / N, dpois(0:max(x), lambda)), col = c("violetred1", "slateblue4"), legend.text = c("Simulation", "Theoritical"), args.legend = list(x = "topright"), beside = TRUE )


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