конус

Определение

Лице на повърхнина на конусОбем на конус

Предмети,които имат форма на конус

Видове конуси

Прав кръгов конусПрав кръгов конус

Наклонен конусНаклонен конус

Да разгледаме картонен модел на прав конус

Точка М – връх на конусаКръгът – основа на

конусаОтсечки като АМ или ВМ

–образуващиАО=ВО радиус на

основатаМО височина на конуса

А В

М

О

Да разгледаме картонен модел на конус

Ако го разрежем по Ако го разрежем по окръжността на окръжността на основата и развием,ще основата и развием,ще получим развивка на получим развивка на конусаконуса

Фигурата АВМ се нарича Фигурата АВМ се нарича конична повърхнинаконична повърхнина

АМ=АВ=АМ=АВ=ll образувателна образувателнаДължината на дъгата АВ Дължината на дъгата АВ

е равна на дължината е равна на дължината на основата 2на основата 2ππrr

Конус е тяло,което има Конус е тяло,което има конична повърхнина и конична повърхнина и 1 кръг1 кръг

Прав кръгов конус се получава приПрав кръгов конус се получава припълно завъртане на правоъгълен пълно завъртане на правоъгълен триъгълник около един от катетите мутриъгълник около един от катетите му

Катета,около който се върти е Катета,около който се върти е височина на конусависочина на конуса

хипотенузата ехипотенузата е образувателнаобразувателна

Другият катет еДругият катет е радиус на основатарадиус на основата

Лице на повърхнина на конус

Нека да Нека да допълним допълним коничната коничната повърхнина до повърхнина до цял кръг.цял кръг.

ll

ll

х0

Лице на повърхнина на конусТози кръг има за Този кръг има за

радиус радиус образувателната образувателната на конуса на конуса ll и и обиколка обиколка 22ππll.На .На всеки сектор с ъгъл всеки сектор с ъгъл 110 0 отговаря дъга с отговаря дъга с дължина дължина 22ππll/360/36000

Тогава на сектор с Тогава на сектор с ъгъл от хъгъл от х00-отговаря -отговаря дъга дъга 22ππllхх00/360/3600 0

22ππllхх00/360/3600 0 =2=2ππrr→→хх00=360=36000rr//ll

ll

ll


Лицето на конуса съвпада с лицето на кръговия сектор

Sконус =Sкр.сектор

На всеки кр.сектор с ъгъл 10,отговаря лице

На всеки кр.сектор с ъгъл х0,отговаря лице

360

2l

xl

360

2


За да намерим лицето на сектора заместваме х с израза:

Получаваме:

За лице на околна повърхнина на конус получихме формулата:

360l

rx

lrl

rllx

l..360..

360

...

360

2

lrS ..


За да намерим пълната повърхнина е достатъчно да прибавим лицето на основата В=πr2

И така

S1= S + B = S1= S + B = ππ.r.l + .r.l + ππ.r.r22

S = S = ππ.r.l .r.l

Намерете в градуси ъгъла х Намерете в градуси ъгъла х между двете образуващи на между двете образуващи на коничната повърхнина,ако:коничната повърхнина,ако:

a)a) r=3cm l=10cmr=3cm l=10cm

b) r=4cm l=9cmr=4cm l=9cm

010836.3360.10

3360.

l

rx

016040.4360.9

4360.

l

rx

Намерете лицето на околната повърхнина и лицето на повърхнината на конус с радиус 7см и образуваща 11см

Дадено: Решение: Конус S=π.r.l r=7 S= π.7.11=77 π l=11 S=77S=77ππ cm cm22

S=?S=? SS11=? =? S1=S+B , B= πr2π.7.7=49π

SS11=77=77ππ+ + ππ49=12649=126ππ

Намерете образуващата на конус с диаметър12 см и лице на повърхнина 96πсм2

Дадено: конус І Търси се:образуващата

d=12 CM, І l=?

S1= 96π см2 ІРешение:

d=12 → r= 12:2=6CM → B= πr2π.6.6=36πсм2

S1=S+B → S=S1-B= 96π - 36π= 60π см2

S=π.r.l → 60π = π.6.l → l=10 CMl=10 CM

Намерете лицето на повърхнина на конус с дължина на основата 14π см и образуваща 12см

Дадено: Решение: Конус S=π.r.l r=? C=2πr →14 π=2πr → r =7CM

С=14π S= π.7.12=84 π l=12 S=84S=84ππ cm cm22

SS11=? =? S1=S+B , B= πr2π.7.7=49π

SS11=84=84ππ+ + ππ49=13349=133ππ

Правоъгълен триъгълник ,с катети АС=3см,ВС=4см и височина към хипотенузата СО=2,4см,е завъртян около хипотенузата.Намерете повърхнината на

полученото тяло.

Ще се получат 2 конуса с обща основа с радиус r= СО=2,4см

Търсената повърхнина е сбор от околните повърхнини на двата конуса: S=S1+S2

S=πrl1+πrl2= =π.2,4.4+ π.2,4.3S= π.2,4.(3+4)=

=π.2,4.7=168πS=168π CM2

l1=4

l2=3

C

A

B

О

2,4 2,4

Правоъгълен трапец е завъртян около малката основа.По данните от чертежа(в см) намерете повърхнината на полученото тяло.

Получава се цилиндър с радиус 3 и височина 10, с издълбан в него конус с радиус 3 и образуваща 5.

Sтяло=Sцилиндър+Sконус+В

Sтяло=2.π.3.10+πл3.5+π.32

Sтяло= 84 π см2

3

6

5

10

Обем на конусОбем на конус

Обемът на конус се намира по формулата

Където Където r r е радиуса на основата,е радиуса на основата, h h е височината на конуса,е височината на конуса, B B е е лицето на основаталицето на основата

2

..3

1

rB

hBV

Намерете обема на прав кръгов конус с радиус 5 см и височина 9 см.

Дадено: конус r= 3см h= 9смДа се намери: обемът V на конусаРешение:

33

1

2

759.253

1

255.5.

..3

1

смV

rB

hBV

Правоъгълен триъгълник ,с катети АС=3см,ВС=4см и хипотенузата 5см. Намерете обема на полученото тяло, ако е завъртян около хипотенузата

Дадено: 2 конуса с обща основа

с r= височината към хипотенузата,

h1+h2= 5

l1=3 и l2=4Да се намери: обемът V на тялото

3

4

h1

h2

5

Решение: от чертежа се вижда,че hc= rтогава r =?

32

2121

21

6,95.4,23

13

1

3

1

3

1

4,2,

4,25

4.3

2

4.3

2

.5

2

.

2

.

смV

hhBBhBhV

VVV

rчеполучаваме

hhbahc

триъгълникналицезаформулатаизползваме

тяло

тяло

тяло

ccc

Съд с форма на конус събира 4710литра.Намерете височината на съда,ако радиуса е 1,5 метра.

Дадено: конусV=4710л=4710 дм3 ,r =1,5м=15 дмДа се намери: височината hРешение: Ще работим в дм, защото

1л=1дм3

мдмh

h

hhrrV

BhV

220

.5,2354710

.14,3.15.15.3

14710...

3

13

1

Попълнете таблицата за конус с радиус r ,лице на основата В, височина h и обем V

r см B см2 h см V см3

3 5

5 75π

36π 96π

49π 12

Решение

r см B см2 h см V см3

3 9π 5 15π

5 25π 9 75π

6 36π 8 96π

7 49π 12 196π

Documents

конус