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角与距离的向量解法

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角与距离的向量解法. 江苏省灌南高级中学 袁中飞. 空间向量的引入为代数方法处理立体几何问题提供了一种重要的工具和方法,解题时,可用定量的计算代替定性的分析,从而避免了一些繁琐的推理论证。求空间角与距离是立体几何的一类重要的问题,也是江苏省理科高考的热点之一。. 空间的角常见的有:. 线线角、线面角、面面角。. 一、线线角:. 异面直线所成的锐角或直角. 范围:. 思考: 空间向量的夹角与 异面直线的夹角有什么关系?. 结论:. z. y. x. - PowerPoint PPT Presentation

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Page 1: 角与距离的向量解法

江苏省灌南高级中学 袁中飞

Page 2: 角与距离的向量解法

空间向量的引入为代数方法处理空间向量的引入为代数方法处理立体几何问题提供了一种重要的工具和方立体几何问题提供了一种重要的工具和方法,解题时,可用定量的计算代替定性的法,解题时,可用定量的计算代替定性的分析,从而避免了一些繁琐的推理论证。分析,从而避免了一些繁琐的推理论证。求空间角与距离是立体几何的一类重要的求空间角与距离是立体几何的一类重要的问题,也是江苏省理科高考的热点之一。问题,也是江苏省理科高考的热点之一。

Page 3: 角与距离的向量解法

空间的角常见的有:线线角、线面角、面面角。

Page 4: 角与距离的向量解法

范围: 0,2

A

B

C D

1D

| |

一、线线角:

a b , a b

设直线 的方向向量为 , 的方向向量为C Aa B bD

a

ab

b

异面直线所成的锐角或直角

思考:空间向量的夹角与

异面直线的夹角有什么关系?

结论: cos cos ,CD AB ����������������������������

| |

Page 5: 角与距离的向量解法

x

z

y ② 向量法A

D C

B

D1

C1

B1

A1

E1

F1

① 传统法:平移

例 1. 如图所示的正方体中,已知 F1

与 E1 为四等分点,求异面直线 DF1 与BE1 的夹角余弦值?

Page 6: 角与距离的向量解法

所以 与 所成角的余弦值为

A

1A

B

1B

C

1C

1D1F

x

y

z解:如图所示,建立空间直角坐标 系 , 如图所示,设 则: C xyz 1 1CC

(1,0,0), (0,1,0),A B 1 1

1 1 1( ,0,1), ( , ,1)2 2 2

F D

所以: 1

1( ,0,1),

2

��������������AF

1

1 1( , ,1)2 2

��������������BD

1 1cos , ����������������������������AF BD 1 1

1 1| || |

AF BD

AF BD

����������������������������

����������������������������

11 304

105 34 2

1BD 1AF30

10

例 2 : 090 , 中, 现将 沿着Rt ABC BCA ABC 平面 的法向量ABC

1 ,BC CA CC

1 1求 与 所成的角的余弦值.BD AF1 1 1平移到 位置,已知A BC

1 1 1 1 1 1取 、 的中点 、 ,A B AC D F

Page 7: 角与距离的向量解法

练习:如图,正三棱柱 ABC—A1B1C1 的底面边长为 a, 侧棱长为 求 AC1 和 CB1 的夹角,

2a

A B

C

A1 B1

C1

1

3 1( , , 2 )

2 2AC a a a ��������������

1

3 1( , , 2 )

2 2CB a a a��������������

2

1 11 1 2

1 1

312cos ,

3 2| | | |

aAC CBAC CB

aAC CB

��������������������������������������������������������

����������������������������

∴AC1 和 CB1 的夹角为:3

x

Z

D

Page 8: 角与距离的向量解法

直线与平面所成角的范围: [0, ]2

结论:sin | cos , | ������������� �n AB

二、线面角:直线和直线在平面内的射影所成的角角,叫做这条直线和这个平面所成的角 .

思考:如何用空间向量的夹角表示线面角呢?

AA

OOBB

n

Page 9: 角与距离的向量解法

例 3 、如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,

求 A1B 与平面 A1B1CD 所成的角

A B

CD

A1 B1

C1D1

O

① 向量法

② 传统法

Page 10: 角与距离的向量解法

A

B C

D

1A

1B 1C

1D

M

x

y

z

B C

D

1A

1B 1C

1D

MN

解:如图建立坐标系 A-xyz, 则(0,0,0),A )6,2,6(M

可得由 ,51 NA )3,4,0(N

).3,4,0(),6,2,6( NAMA

由的法向量设平面 ),,,( zyxn

0

0

nNA

nMA

034

0626

zy

zyx即

在长方体 中,

AD ANM求 与平面 所成的角的正弦值.

例 4 : 1 1 1 1ABCD ABC D1 1 1 2,M BC BM 为 上的一点,且 1N AD点 在线段 上,

1 5,A N ,61 AA

,8,6 ADAB

Page 11: 角与距离的向量解法

A

B C

D

1A

1B 1C

1D

MN

x

y

z

B C

D

1A

1B 1C

1D

MN

)3

4,1,1( n

,34

343

)34

(118

|0810|

222

(0,8,0),AD ��������������

AD ANM与平面 所成角的正弦值是34

343

||||

|||sin|

nDA

nDA

在长方体 中,

AD ANM求 与平面 所成的角的正弦值.

例 4 : 1 1 1 1ABCD ABC D1 1 1 2,M BC BM 为 上的一点,且 1N AD点 在线段 上,

1 5,A N ,61 AA

,8,6 ADAB

Page 12: 角与距离的向量解法

例 5. 如图,在四棱锥 S-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,侧面 SBC 底面 ABCD 。已知 AB=2 , BC= , SA=SB= .

(1) 求证

(2) 求直线 SD 与平面 SAB 所成角的正弦值。

045ABC 2 2 3

.SA BC

S

A

BC

D

O

x

y

z

10

10

Page 13: 角与距离的向量解法

二面角的平面角必须满足:

3 )角的边都要垂直于二面角的棱

1 )角的顶点在棱上

2 )角的两边分别在两个面内

以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。

10

l

O

A

B

:[0, ]范围

三、面面角:

Page 14: 角与距离的向量解法

ll

三、面面角: 二面角的范围: [0, ] ② 法向量法

1n��������������

1n��������������2n

��������������2n

��������������1 2n n

����������������������������,

1 2n n ����������������������������,

cos 1 2cos , ����������������������������n n cos 1 2cos ,

����������������������������n n

【【注意注意】】法向量的方向:一进一出,二面角等于法向量夹角;法向量的方向:一进一出,二面角等于法向量夹角;

同进同出,二面角等于法向量夹角的补角。同进同出,二面角等于法向量夹角的补角。

1 2n n����������������������������,

1 2n n����������������������������,

Page 15: 角与距离的向量解法

① 证明:以 为正交基底,建立空间直角坐标系如图。则可得

1DA DC DD������������������������������������������、 、

1

(2 0 0) (0 2 0) (0 0 1)

(2 2 2) (11 0)

A C M

B O

,,, ,,, ,,,,,, ,,。

1

(2 0 1) (0 2 1)

( 1 1 2)

MA MC

BO

����������������������������

��������������所以 ,, , ,, ,

, ,

1 12 0 2 0 0 2 2 0BO MA BO MC ��������������������������������������������������������

1 1BO MA BO MC ��������������������������������������������������������

所以 ,

1 1BO MA BO MC MA MC C 即 , 。又

1BO MAC所以 平面

例 6. 已知正方体 的边长为 2 , O为 AC和 BD的交点,M为 的中点 ( 1 )求证: 直线 面MAC; ( 2 )求二面角 的余弦值 .

1111 DCBAABCD 1DD

OB1

1B MA C B1

A1

C1D1

D C

BA

O

M

x

y

z

Page 16: 角与距离的向量解法

② 1BO MAC由 知 平面 ①

B1A1

C1D1

D C

BA

O

M

x

y

z1BO MAC

��������������所以 是平面 的一个法向量

1(2 0 0) (0 0 1) (2 2 2)A M B由 ,,, ,,, ,,得1 ( )BMA n x y z

设平面 的一个法向量为 , ,

1(2 0 1) (2 2 1)MA MB ����������������������������

,, , ,,

10 0

2 0 02 1 - 2

2 2 0

n MA n MB

x zz x y

x y z

����������������������������所以 ,

即 取 =得 =, =

1

(1 2 2)

BMA

n 所以平面 的一个法向量为

, ,

1 ( 1 1 2)BO ��������������

且 , ,

1

1 2 4 6cos

66 9BO n

����������������������������,

1

6

6B MA C 所以二面角 的余弦值为 。

由图可知二面角为锐角

Page 17: 角与距离的向量解法

,

1, 1, ,

2.

A ABCD SA AB BC AD SCD SBA

0如所示,ABCD是一直角梯形, ABC=90

S 平面 求面 与面

所成二面角

例 :

的余弦值

A

B C

D

S

x

z

y

A- xyz解:建立空直角坐系 如所示,

A(0,0,0), C(- 1,1,0),1

,0),2

D(0, (0,0,1)S

11

(0, ,0)2

������������� �

SBA n AD易知面 的法向量1 1

(1, ,0), (0, , 1)2 2

����������������������������CD SD

2 ( , , ),��������������

SCD n x y z的法向量 2 2, , ��������������������������������������������������������n CD n SD由 得:设平面

02

02

yx

yz

2

2

yx

yz

2 (1,2,1)��������������n任取

1 21 2

1 2

6cos ,

3| || |

n nn n

n n

��������������������������������������������������������

���������������������������� 6

3即所求二面角得余弦值是

例 7

Page 18: 角与距离的向量解法

A B

C

D

E

M

N

练习 . 如图所示的几何体 ABCDE 中, DA⊥平面EAB , CB//DA , EA=DA=AB=2CB , EA AB⊥ ,M 是 EC 的中点, ( )Ⅰ 求证: DM EB⊥ ; ( )Ⅱ 求二面角 M-BD-A 的余弦值 .

Page 19: 角与距离的向量解法

E

D

C

BA

M

z

y

x

a

2

解 : 分别以直线 AE , AB , AD 为 x 轴、 y 轴、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz ,设CB=a ,则 A(0 , 0 , 0) , E(2a , 0 , 0) , B(0 , 2a , 0) , C(0 , 2a , a) , D(0 , 0 , 2a) ,所以 M(a , a , )

DM EB⊥ ,即 DM EB⊥( )Ⅱ 解 : 设平面 MBD 的法向量为 n=(x , y ,z)

DB=(0, 2a,- 2a)由 n DB⊥ , n D⊥M 得

DM · EB =a ( - 2a) +a ·2a +0=0

(Ⅰ) 证 :DM=(a , a ,- 1.5a) , EB=( - 2a , 2a , 0) ,

Page 20: 角与距离的向量解法

取 z=2得平面MBD的一非零法向量为 n=(1, 2,2), 又平面 BDA的法向量为 n1=(1 , 0 , 0) ,

2 2 2 2 2 2

1+ 0 + 0= =

1 + 2 + 2 1 + 0 + 0

1.

3

cos <n, n1

>

即二面角 M-BD-A 的余

弦值为 1

3E

D

C

BA

M

z

y

x

n DB = 2ay 2az = 0

3n DM = ax + ay az = 0

2

������������� �

������������� �y = z

3x + y z = 0

2

Page 21: 角与距离的向量解法

练 习:

如图,已知:直角梯形 OABC 中, OA BC∥ ,∠ AOC=90° , SO⊥面 OABC ,且 OS=OC=BC=1 , OA=2 。求: ⑴ 异面直线 SA 和 OB 所成的角的余弦值, ⑵ OS 与面 SAB 所成角 α 的正弦值 , ⑶ 二面角 B - AS - O 的余弦值。

则 A ( 2 , 0 , 0 );

于是我们有

O

A B

C

S

解:如图建立直角坐标系,x

y

z

= ( 2 , 0 , -1 );SA = ( -1 , 1 , 0 );AB

= ( 1 , 1 , 0 );OB = ( 0 , 0 , 1 );OS

B ( 1 , 1 , 0 );

S ( 0 , 0 , 1 ),

C ( 0 , 1 , 0 ); O ( 0 , 0 , 0 );

Page 22: 角与距离的向量解法

02

0

zx

yx

令 x=1 ,则 y=1 , z=2 ;从而 )2,1,1(n

3

6

61

2,cossin

nOS

nOSnOS

( 2 )设面 SAB 的法向量 ),,( zyxn

SAnABn ,显然有O

A B

C

S

x

y

z

Page 23: 角与距离的向量解法

OBSA

OBSAOBSA⑶

,cos.

5

10

25

2

⑵. 由⑴知面 SAB 的法向量 = ( 1 , 1 , 2 ) 1n

又∵ OC⊥面 AOS , OC∴ 是面 AOS 的法向量,令 )0,1,0(2 OCn

则有6

1,cos

21

2121

nn

nnnn

由于所求二面角的大小等于 21,nn

O

A B

C

S

x

y

z

∴ 二面角 B - AS - O 的余弦值为6

6

所以直线 SA 与 OB 所成角余弦值为5

10

Page 24: 角与距离的向量解法

课堂小结:1. 异面直线所成角:

cos cos ,CD AB ����������������������������

| |

C D

AB

1D

2. 直线与平面所成角:

sin cos ,n AB ������������� �

| |

n

OB

A

3. 二面角:cos 1 2| cos , |n n

����������������������������

cos 1 2| cos , |n n ����������������������������

关键:观察二面角的范围

2n��������������

1n��������������