统计学原理（第八讲）

第九章动态数列分析

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统计学原理（第八讲）


罗洪群



本章教学目的和要求 : 本章阐述动态数列编制和动态数列指标的计算和应

用等问题。学习本章 , 要求掌握 : 1. 从数量方面研究社会经济现象发展变化过程和发

展趋势是统计分析的一种重要方法。 2. 动态数列编制的基本要求。 3. 水平和速度两方面动态分析指标的计算和应用。 4. 长期趋势分析和预测的方法。



本章主要内容第一节动态数列的意义和种类第二节现象发展的水平指标

第三节现象发展的速度指标

第四节现象变动的趋势分析



第一节动态数列的意义和种类一、动态数列的概念教材 P368

动态数列由两部分构成时间指标数值

500

2000

330

1999

100

1997

160生产总值（万元）

1998年份

例如：某企业各年生产总值资料如下：



二、动态数列的种类教材 P369

1 、总量指标动态数列时期数列

时点数列特点？

连续时点数列间断时点数列间隔相等时点数列

间隔不等时点数列

12 月底八月底三月底一月底时间 240 229 238 230职工人数（人）

某企业某年职工人数统计表



2 、相对指标动态数列 3 、平均指标动态数列

相对指标和平均指标动态数列的形成

时期数列时期数列

时点数列时点数列

时点数列时期数列

120

三月 105

二月 98计划完成程度（ % ）一月月份 68

三月 70 二月

60工人占全部职工比重（ % ）

一月月份 168 三月

170 二月

160工人劳动生产率（件 / 人）

一月月份



第二节现象发展的水平指标

动态分析的指标两类反映现象发展的水平指标

反映现象发展的速度指标一、发展水平发展水平就是动态数列中的每一项具体指标数值。其数值可以表现为绝对数、相对数或平均数。

例如：某商业企业 1 月份销售额 500 万元；完销售计划的 120% 。

发展水平最初水平最末水平报告期水平基期水平

根据各发展水平在动态数列中所处的地位和作用不同



二、平均发展水平

（一）平均发展水平的含义：教材 P375

注意动态平均数与静态平均数的区别：

主要区别：序时平均数所平均的是某一指标在不同时间上的指标数值，反映该指标在不同时间下达到的一般水平。而静态平均数所平均的是某一数量标志在总体各单位的数量表现——标志值，反映该数量标志的标志值，在同一时间下在总体各单位达到的一般水平。



（二）平均发展水平的计算

1 、由总量指标动态数列计算序时平均数

（ 1 ）由时期数列计算序时平均数公式n

aa

360

5 月 a5

310

4 月 a4

300

3 月 a3

240

2 月 a2

320

1 月 a1

销售额

月份

例：某商业企业 1—5 月份商品销售资料如下：单位万元

则： 1—5 月份平均每月的销售额为：

n

aa （万元）306

5

360310300240320



（ 2 ）由时点数列计算序时平均数① 由连续时点数列计算序时平均数

n

aa

以天为瞬间单位，每天都进行登记，形成的时点数列。

例如：有某企业 1 号— 6 号每天的职工人数资料：

106

6 日 a6

108

5 日 a5

101

4 日 a4

99

3 日 a3

100

2 日 a2

98

1 日 a1

职工人数（人）

日期

则： 1—6 号平均每天的职工人数为：

n

aa （人）102

6

1061081019910098

f

afa



例如：有某企业 1 号— 30 号每天的职工人数资料：

108

16 日— 30 日 a3

105

9 日— 15 日 a2

102

1 日— 8 日 a1


日期

则： 1 号至 30 号平均每天的职工人数为：

f

afa （人）106

30

1510871058102



② 由间断时点数列计算序时平均数

A 、间隔相等时点数列

122 132

1

n

aaaa

a

a

nn

104

4 月初 a4

108

3 月初 a3

105

2 月初 a2

102

1 月初 a1


时间

则：一季度平均每月的职工人数为：

（人）10514

2

104108105

2

102

a



B 、间隔不等时点数列

f

faa

faa

faa

an

nn1

12

321

21

222

104

年底 a4

108

9 月初 a3

105

3 月初 a2

102

1 月初 a1


时间

则：该年平均每月的职工人数为：

（人）106462

42

1041086

2

1081052

2

105102

a



C 、间隔相等时点数列与间隔不等时点数列的关系

f

faa

faa

faa

an

nn1

12

321

21

222

当 f1= f2 … = fn-1 时，上式可变为：

mf

aaaaaaf

a

nn )222

( 13221

m

aaaaaa nn

22222213221

122 132

1

n

aaaa

a nn



2 、由相对指标或平均指标动态数列计算序时平均数

b

ac 基本公式

公式表明：相对指标或平均指标动态数列的序时平均数，是由a 、 b 两个数列的序时均数对比得到的。

a 数列的序时平均数

b 数列的序时平均数

因为 a 、 b 两个数列都是总量指标动态数列，所以 ab 两个数列的序时平均数，可根据数列的性质，分别采用相应的公式来计算。



例如：有某企业产量和职工人数资料如下：

64 1650

四月

65 1050

三月

60 1440

二月 1200产量（件） 60

一月

月初人数（人）

项目时间

要求：计算该企业一季度平均每月的劳动生产率。

人数产量劳动生产率

∴ 产量为 a 数列，人数为 b 数列

时期指标

时点指标



各期人数的序时平均数各期产量的序时平均数数劳动生产率的序时平均

即：b

ac

n

aa （吨）1230

3

105014401200

其中：

1

22 1321

n

bbbbbb nn

（人）6214

2646560260

所以：人）（吨 /8.1962

1230c



例题：某商业企业商品销售额和库存额资料如下：

75

150

七月

45

240

六月

55

200

五月 150商品销售额（万元） 45

四月

月初库存额（万元）

项目时间

要求：根据资料计算二季度每月的商品流转次数。

提示：商品库存额商品销售额商品流转次数



b

ac 解：平均每月的商品流转次数

（次）69.3160

590

2

754555

2

45240200150

1

1)

22(

1

1)

22(

1321

1321

n

bbbb

bn

aaaa

a

b

ac

nn

nn

即：二季度的商品库存额平均每月周转 3.69 次。



例：某地区某年各季度末零售网点和职工人数资料如下：

320 2536

四季末 304 2520

三季末 255 2479

二季末 256 2408

一季末 250 2400

上年末零售企业数（个）职工人数（人）

要求：根据资料计算该地区平均每季度每网点职工人数。



解：平均每季度每个零售网点的职工人数为：

1

1)

22(

1

1)

22(

1321

1321

n

bbbb

bn

aaaa

a

b

ac

nn

nn

（人）9

2

320304255256

2

2502

2536252024792408

2

2400

即：该地区该年平均每个零售网点约 9 名职工。



第三节现象发展的速度指标

现象发展变化的速度指标反映了现象在不同时间上发展变化的程度。主要包括以下指标：

• 发展速度 • 增长量• 增长速度

• 平均发展速度和平均增长速度• 增长百分之一的绝对值



一、发展速度

发展速度是两个不同时间上的发展水平之比，反映现象报告期比基期发展变化的相对程度。

基本公式基期水平报告期水平发展速度

根据采用基期的不同

环比发展速度定基发展速度

报告期前一期水平报告期水平

固定基期水平报告期水平

11

2

0

1 ,,n

n

a

a

a

a

a

a

00

2

0

1

a

a

a

a

a

a n，，



环比发展速度与定基发展速度的关系

•各期环比发展速度的连乘积等于定基发展速度

012

3

1

2

0

1

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a n

n

n

•相邻两个时期的定基发展速度之商等于相应的环比发展速度

101

0

n

n

n

n

a

a

aa

aa



例：已知 1997 年、 1998 年、 1999 年三年的环比发展速度分别为110% 、 150% 、 180% ，试计算 1998 年和 1999 年的定基发展速度。

解：根据环比发展速度与定基发展速度之间的关系

1999 年的定基发展速度 = 110%×150%×180% = 297%

1998 年的定基发展速度 = 110%×150% = 165%



例：已知 1995 年— 1998 年的发展速度为 180% ， 1985年— 1999 年的发展速度为 200% ，试计算 1999 年的环比发展速度。解：因为相临的两个定基发展速度之商等于相应的环比发展速度，所以：

1999 年的环比发展速度 = 年定基发展速度年定基发展速度

1998

1999

%111%180

%200



二、增长量增长量是以绝对数形式表示的速度分析指标基本公式：增长量 = 报告期水平－基期水平

根据采用基期的不同分为

1 、逐期增长量 = 报告期水平－报告期前一期水平

符号表示：1431201 ,,, nn aaaaaaaa

2 、累计增长量 = 报告期水平－固定基期水平符号表示： 0030201 ,,, aaaaaaaa n



3 、逐期增长量与累计增长量的关系：

011201 )()()( aaaaaaaa nnn

4 、平均增长量的计算

计算方法逐期增长量个数逐期增长量之和平均增长量

1

n

累计增长量平均增长量

(n 代表动态数列的项数 )



三、增长速度增长速度是反映现象数量增长方向和程度的动态相对指标。计算方法有两种：

基期水平增长量增长速度

第二种方法：

第一种方法：

增长速度 = 发展速度－ 1

当计算结果为正值，表示现象报告期比基期的增长程度。

当计算结果为负值，表示现象报告期比基期的降低程度。



根据采用基期的不同增长速度分为两种

环比增长速度

定基增长速度

报告期前一期水平逐期增长量

环比发展速度－ 1 （ 100% ）

固定基期水平累计增长量

定基发展速度－ 1 （ 100% ）



四、增长百分之一的绝对值

增长百分之一的绝对值是速度指标与水平指标相结合运用的统计指标。它能够对现象发展变化规律作出更加深刻的分析。

计算方法(%)增长速度

绝对增长量

100

基期水平



例：已知某企业 1995 年— 2000 年生产总值资料如下：

783

2000

703

1999

548

1998

519

1997

447

1996

343

1995

生产总值年份

单位：万元

要求：2 、计算各年的环比发展速度和定基发展速度3 、计算各年的环比增长速度和定基增长速度4 、计算各年的增长百分之一的绝对值

5 、计算 1995 年— 2000 年生产总值的平均发展速度和平均增长速度。

1 、计算各年的逐期增长量和累计增长量

解：列表计算如下：

逐期增长量（万元）

累计增长量（万元）

环比发展速度 %

环比增长速度 %

定基发展速度 %

定基增长速度 %

增长百分之一的绝对值（万元）

783

2000

703

1999

548

1998

519

1997

447

1996

343

1995

生产总值（万元）年份

—

—

104 72 29 155 80

104 176 205 360 440

100 130 116 106 128 111

30 16 6 28 11—

100 151130 160 205 228

— 30 51 60 105 128

— 3.43 4.47 5.19 5.48 7.03



五、平均发展速度和平均增长速度平均发展速度和平均增长速度统称为平均速度。

平均发展速度反映现象逐期发展变化的平均速度

平均增长速度反映了现象逐期递增的平均速度

平均速度是各期环比速度的平均数，说明现象在较长时期内速度变化的平均程度。

平均增长速度 = 平均发展速度－ 1 （ 100% ）

平均速度



平均发展速度的计算方法

几何平均法

这是计算平均发展速度的基本方法因为，平均发展速度是对各期的环比发展速度求平均数，对不同时期的环比速度求平均需采用几何平均法。公式为：

平均发展速度 nnxxxxx 321

公式中： x1…xn 表示各期环比发展速度

（ 1 ）



因为各期环比发展速度的连乘积等于定基发展速度，所以可以推导出计算平均发展速度的第二个公式：

1

n

ni a

ax因为各期环比发展速度

nn

n

n

n

a

a

a

a

a

a

a

a

a

ax

012

3

1

2

0

1

所以（ 2 ）

即平均发展水平为动态数列的最末水平与最初水平之比的 n次根。



因为某一时期的定基发展速度就是这个时期现象发展的总速度，所以根据第二个公式可以推导出第三个公式：

n Rx 平均发展速度（ 3 ）

公式中： R 代表现象在某一时期内发展变化的总速度



例如：已知 1996 年至 2000 年各年生产总值的环比发展速度分别为130% 、 116% 、 106% 、 128% 和 110% ，试计算 1996 年至 2000 年平均每年的发展速度。

解：根据公式（ 1 ）计算如下：n

nxxxxx 321

%)66.125(2566.1

11.128.106.116.13.15

x

即 96 年至 2000 年生产总值平均每年的发展速度为 125.66% 。



例如：某企业生产的某种产品 2000 年产量为 500 吨，根据对市场需求情况进行预测，预计 2005 年市场需求量将达到 5000 吨。为满足市场需求，问该产品产量每年应以多大的速度增长？

解： 5000 a已知 5000na 5n

则：平均增长速度 110

nn

a

ax

%)49.58(5849.01500

50005



例如：某企业 2000 年生产总值为 574.8 万元，若预计每年平均增长 13% ，问 2006 年生产总值可达到多少万元？

解：已知 8.5740 a %131 x 6n

求 na ？n

n xaa 0

（万元）7.119613.18.574 6 na

即按此速度增长， 2006 年产值可达到 1196.7 万元。

根据公式 nn

a

ax

0

可知



例如：某企业计划 2005 年产量要比 2000 年增长 2倍，问平均每年增长百分之几才能完成预计任务？

解：因为 2005 年产量比 2000 年增长 2倍，即 2005 年产量为 2000 年的 3倍

所以， 2000 年至 2005 年产量总速度为 300%

则平均增长速度 = 11 n Rx

%)25(25.0125.1135

即每年平均增长 25% ，才能完成预计任务。



第四节现象变动的趋势分析

影响动态数列变动的因素

长期趋势

季节变动

循环变动

不规则变动

现象变动的趋势分析就是对影响动态数列变化的各种因素进行分析，目的是发现影响现象变化的原因，掌握现象发展变化的规律，为预测和决策提供依据。

（教材 P396 ）



长期趋势的测定一、时距扩大法二、移动平均法三、数学模型法



三、数学模型法

数学模型法是根据动态数列的资料配合一个方程式，据以计算各期的趋势值。直线趋势的测定方法

如果动态数列逐期增长量相对稳定，则采用直线作为趋势线，来描述动态数列的趋势变化，并进行预测。

直线趋势方程为： btayc

公式中： yc 因变量，代表所研究现象的预测值t 自变量，代表时间的序号

a 、 b 为方程参数



用最小平方法求解方程参数 a 、 b ：

22 )(

ttn

yttynb

tbyn

tb

n

ya

例题：教材 P403 表 9-18



用最小平方法求解方程参数 a 、 b 的简化公式

如果让时间序号的合计数等于零，即∑ t = 0 ，则求解 a 、 b 的公式可以简化为：

2t

tyb

yn

ya



令∑ t = 0 的方法为：

当动态数列为奇数项时，可令数列的中间一项为原点，数列的前半部分序号从中间开始取负的 1、 2、 3、…；数列的后半部分序号从中间开始取正的 1、 2、 3、…。

例如教材 P404

当动态数列为偶数项时，可令数列的中间两项的中点为原点，数列的前半部分序号从中间开始取负的 1、 3、 5、 7、…；数列的后半部分序号从中间开始取正的 1、 3、 5、 7、…。

例如教材 P404



例题：某商业企业历年销售额资料如下：单位：万元

59

2000

56

1999

53

1998

55

1997

53

1996

53

1995

50

1994

48

1993

销售额

年份

要求：根据资料配合销售额的直线趋势方程，并预测 2001 年的销售额。

59

2000

56

1999

53

1998

55

1997

53

1996

53

1995

50

1994

48

1993

销售额

年份解题过程如下：

t -1-3-5-7 1 3 5 7

t2 49 25 9 1 1 9 25 49ty -336 -250 -159 -53 55 159 280 413

y

2t

tyb 65.0

168

109 375.53

8

427

n

ya

tyc 65.0375.53

预测 2001 年的销售额， t = 9 则预测值为：

（万元）225.59965.0375.53 cy



本章作业



判断题： 1. 发展水平就是动态数列中每一项具体指标数值，它

只能表现为绝对数。（ × ）



2. 定基发展速度等于相应各环比发展速度的连乘积 ,所以 , 定基增长速度也等于相应各环比增长速度的连乘积 . （ × ）



3. 发展速度是以相对数形式表示的速度分析指标 , 增长量是以绝对数表示的速度分析指标 . （ √ ）



4. 定基发展速度和环比发展速度之间的关系是两个相邻时期的定基发展速度之积等于相应的环比发展速度 .（ × ）



单项选择题

1. 已知各期环比增长速度为 2% 、 5% 、 8% 、 7% ，则相应的定基增长速度的计算方法是 ( A )

%100%)7%8%5%2.(

%7%8%5%2.

%107%108%105%102.

%100%)107%108%105%102.(

D

C

B

A



2. 平均发展速度是（ C ）Ａ . 定基发展速度的算术平均数Ｂ . 环比发展速度的算术平均数Ｃ . 环比发展速度连乘积的几何平均数Ｄ . 增长速度加上 100%



多项选择题

1. 下面那几项是时期数列（ BC ）Ａ . 我国近几年来的耕地面积Ｂ . 我国历年新增人口数Ｃ . 我国历年图书出版量Ｄ . 我国历年黄金储备量Ｅ . 某地区国有企业历年资金利税率



2. 定基发展速度与环比发展速的关系是（ ABD ） A. 两者都属于速度指标　　　　　　　 B. 环比发展速度的连乘积等于定基发展速度 C. 定基发展速度的连乘积等于环比发展速度 D. 相邻两个定基发展速度之商等于相应的环比发展速度

E. 相邻两个环比发展速度之商等于相应的定基发展速度



3.累积增长量与逐期增长量（ ABCDE ） A. 前者基期水平不变，后者基期水平总在变动 B. 二者存在关系式：逐期增长量之和等于相应的累积

增长量Ｃ . 相邻的两个逐期增长量之和等于相应的累积增长量Ｄ . 根据这两个增长量都都可以计算较长时期内的平均

增长量Ｅ . 这两个增长量都属于速度分析指标



填空题

1. 动态数列按其指标表现形式不同分为总量指标动态数列、相对指标动态数列和平均指标动态数列三种。



2. 发展速度由于采用基期不同，可分为定基发展速度和环比发展速度，这两个发展速度之间的关系为定基发展速度等于相应各期环比发展速度的连乘积。



3. 增长量由于基期的不同可分为累计增长量和逐期增长量，两者的关系为逐期增长量之和等于累计增长量。。



4. 增长速度的计算方法有两种：（ 1 ）增长量 / 基期水平；（ 2 ）发展速度 -1 。



5. 平均发展速度是对各期环比发展速度求平均的结果，也是一种序时平均数。



问答题 1.动态数列的基本构成和编制原则是什么？ 2. 时期数列与时点数列各有什么特点？ 3. 序时平均数和一般平均数有何不同？



1. 某地区 1984 年平均人口数为 120 万人， 1995 年人口变动情况如下：

月份 1 2 5 9 11 次年 1月

月初人数

122 125 132 147 151

157

计算 : (1)1995 年平均人口数 . (2)1984 年— 1995 年该地区人口的平均增长速度 . （ 3 ）假设从 1995 年起该地区人口以 9‰ 的速度增长，则经过多少年人口将达到 180 万？

计算题



2. 某工厂第一季度工人数和工业总产值资料如下：一月二月三月

四月总产值（万元） 180 160 200 190 月初工人数（人） 600 580 620 600

试计算第一季度的平均月劳动生产率及第一季度平均劳动生产率。

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