林玉鴦

數學解題教學策略探究

簡報大綱 壹、提升孩子解題能力的方法 貳、加減應用題的解題教學策略 叁、乘除應用題的解題教學策略 肆、植樹問題的解題教學策略 伍、平均問題的解題教學策略 陸、速率問題的解題教學策略 柒、相遇與追趕問題的解題教學策略 捌、四則運算的教學策略 玖、結語

壹、提升孩子解題能力的方法

※ 在《香港教育學院小學教師進修課程小學數學課程與教學》裏，指出作為一個數學教師，處理應用題時應注意下列幾點：

1.考慮學生的已有知識。 2.引導學生了解題意。 3.引導學生解答問題。 4.提示學生解答應用題時必須注意的地方。 5.鼓勵學生用不同方法用不同方法解答應用題。 6.鼓勵學生養成估計和驗算答案養成估計和驗算答案的習慣。 7.鼓勵學生自擬應用題學生自擬應用題。

壹、提升孩子解題能力的方法

※根據數學家波爾的經典著作《如何解題》中，指出數學解難題中的四個步驟 :

1.了解問題： 設法理解整個題目要求的是什麼，並正確理解題意。 如：「什麼是未知數？」、「什麼是已知數？」 及「有什麼已知條件？」；可以透過畫圖、 引入適當的符號，皆有助於瞭解問題， 千萬不可在瞭解題意之前就埋頭苦算千萬不可在瞭解題意之前就埋頭苦算。

壹、提升孩子解題能力的方法

2.擬定計畫： 逐漸形成或經過一連串的嘗試錯誤所激發的靈感， 所規劃的解題路徑。 如：「是否知道什麼相關題目？」、 「仔細看未知數。」、 「這裡有個以前解過的問題能否運用？」 及「是否使用了全部條件？」 可運用重述問題、一般化、特殊化、類比、 除去部分條件等方法，架構出解題計畫。

壹、提升孩子解題能力的方法

3.執行計畫： 穩紮穩打地執行擬定好的計畫，並「檢查每一個步驟」， 時時確保過程中沒有遺漏任何已知的條件及預定的計畫。

4.驗算與回顧： 回顧整個求解的過程可加深對數學知識的理解及培養解

題能力。 如：「能否檢查這個論證？」、 「能否將其結果應用到其他問題上？」 「把問題裡的抽象數學元素賦予具體的詮釋。」 如此加深對問題的印象，可大幅增進解題能力， 但這個步驟也是最多人容易輕忽的。

貳、加減應用題的解題教學策略

1.布題盡量從孩子的日常生活中取材〈可改編課本的題目〉。「例 1 」電梯從 3 樓向上走到 15樓，電梯走了幾樓？ 「例 2 」排隊結帳，王先生排在第 12個，阿姨排在王先生前面第 2 個， 阿姨排在第幾個？ 2.與孩子分析題意、從眾多文字中抽絲剝繭，讓孩子掌握題

目裡最關鍵的幾個數字所代表的意義 ( 已知條件 ) 及題目中要問什麼 ( 未知條件 ) 。

3.不要只教孩子用關鍵字來判斷加或減，容易造成誤判。 「例」拔河比賽，參加的女生有 80人，參加的女生比男生少

20人，共有多少人參加拔河比賽？ (96年三、四年級 )

這題要怎麼改編成孩子比較容易懂的題目？

這題要怎麼改編成孩子比較容易懂的題目？

貳、加減應用題的解題教學策略

4.尊重並鼓勵孩子多元的解題方式〈最好能窮盡各種解法〉 「例 1 」小英原來存了 276元，買一本故事書用了 97元， 媽媽又給她 100元，小英現在有多少元？

「例 2 」一桶礦泉水 30公升，第一天喝掉 7.5公升，第二天 喝掉 9.8公升，還剩下多少公升？ (96年四年級 )

5.佈題的題型要多樣化： 加法：併加型、添加型、比較型、序列型。 減法：拿走型、比較型、序列型。

叁、乘除應用題的解題教學策略

1.和孩子分析題意、掌握題目中的基準量、比較量、母子和、母子差。

▲以某數為基準，某數叫做「基準量」，又稱做「母數」。 另一個量叫做「比較量」，又稱做「子數」。 （通常應用問題「倍」或「幾分之幾」前面有一個「的」，通常應用問題「倍」或「幾分之幾」前面有一個「的」， 此「的」前面是基準量，當作此「的」前面是基準量，當作 11 ）。 「例」「甲數是乙數的 4 倍」，此題中乙數是基準量， 甲數是比較量。 ▲母子和：母數和子數的和，叫做「母子和」。 「例」「甲數是乙數的 4 倍」，甲乙兩數的和就是母子和。 ▲母子差：母數和子數的差，叫做「母子差」。 「例」「甲數是乙數的 4 倍」，甲乙兩數的差就是母子差。

叁、乘除應用題的解題教學策略

※基準量知道，要算比較量、母子和或母子差， 通常用「乘法」。「例 1 」甲數是乙數的 3 倍，乙數是 50，那麼甲數是多少？ 3 1 〈知道基準量，求比較量〉

「例 2 」乙數是甲數的 5 倍，甲數是 30，甲和乙共是多少？

5 1 〈知道基準量，求母子和〉

「例 3 」小蘭的存款是小文的 6 倍，小文的存款是 150元， 小蘭和小文的存款相差多少元？ 〈知道基準量，求母子差〉

叁、乘除應用題的解題教學策略

※知道比較量、母子和或母子差，要算基準量，通常用「除法」。

「例 1 」一本故事書 100元，已知一本故事書的價錢是 一枝鉛筆的 5 倍，一枝鉛筆多少元？ 〈知道比較量，求基準量〉「例 2 」甲數是乙數的 3 倍，已知甲、乙兩數的和是 200， 那麼甲、乙兩數各是多少？ 〈知道母子和，求母數和子數〉

「例 3 」甲數是乙數的 3 倍，已知甲、乙兩數相差是 100， 那麼甲、乙兩數各是多少？ 〈知道母子差，求母數和子數〉

叁、乘除應用題的解題教學策略

花蓮市學生基本能力檢測相關問題「例 1 」仁愛國小的男生共 120人佔全校人數的，全校有多少人？ (97年六年級 )

「例 2 」中華國中七年五班全班有 40人，男生佔，這次運動會要選出 班上男生的參加接力賽，這次參加接力賽的男生有幾人？ (97年六年級 )

「例 3 」白米ㄧ袋 2 公斤，吃掉其中的後，還剩下多少公斤？ (97年六年級 )「例 4 」甲數是乙數的 34倍，甲數是 2210，乙數是多少？ (98年五年級 )

「例 5 」一本書總頁數的是 84頁，那這本書的是多少頁？ (98年六年級 )

叁、乘除應用題的解題教學策略

2.用圖解方式幫助孩子理解題意。「例 1 」一些糖果平分給 7 個小朋友，每個人分到 3 顆，還剩下 2 顆， 原來有多少顆糖果？ (96年三年級 )「例 2 」藍色繩子長 75公分，紅色繩子的長比藍色繩子的 2 倍短 1 公分，紅色繩子有多長？ (96年三年級 )「例 3 」一條鐵絲做勞作剪一樣長的 7 段，每段長 19公分，剩下 13公分，這條鐵絲本來長幾公分？ (96年四年級 )「例 3 」一條緞帶長5 公尺，包裝禮物用去 2 公尺，還剩下多少公尺？ (97年五年級 ) 「例 3 」飲料一瓶平分給 5 位小朋友，每位小朋友分到 2/5公升，請問這瓶飲料原有多少公升？ (97年五年級 )

5

2

5

2

5

2

5

2

叁、乘除應用題的解題教學策略

3.除法中注意「裝滿」與「裝完」的區別 ~ 商的答案是否加 1。「例 1 」米 200公斤，每 30公斤裝一袋，可以裝滿幾 袋？還剩下多少公斤？ 「例 2 」米 200公斤，每 30公斤裝一袋，需要幾個袋子 才能裝完？最後一個袋子裝了幾公斤？ 「例 3 」米 200公斤，每 30公斤裝一袋，需要幾個袋子 才能裝完？最後一個袋子還可以再裝幾公斤？

叁、乘除應用題的解題教學策略花蓮市學生基本能力檢測相關問題(1)三年一班有 33人，校外教學時搭小火車，每 4 個人坐一節車廂，請問最少要幾節車廂才夠全班一起搭乘？ (96年三年級 )

(2)一台碰碰車可以坐四個人，三年甲班有 31人，需要多少台才能全部坐下？ (98年三年級 )

(3) 8765元最多可換成幾張一百元的鈔票？ (97年四年級 )(4)校外教學時排隊搭乘纜車，班上有 17位小朋友，每 4 人搭 1 台纜車，依照順序從 1 號纜車開始搭乘，最後一位小朋友會搭上幾號纜車？ (98年四、五年級 )

(5)花蓮國小辦理校外教學活動，共有 1235 人參加，已知一輛遊覽車最多可載 45 人，則最少要租幾輛遊覽車才夠？ (98年五年級 )

肆、植樹問題的解題教學策略

※解題策略：先簡化問題，再用圖示表示，以便了解 兩端都種、兩端都不種、一端種與一端不種 棵數與間隔數棵數與間隔數的關係。

※全長、間隔數與距離的算法：1. 全長÷距離＝間隔數 2. 全長÷間隔數＝距離 3. 距離×間隔數＝全長

舉實例並以圖示輔助，讓孩子確實理解公式，非要求孩子死背公式。

肆、植樹問題的解題教學策略

※樹木的總棵數與間隔數的關係 1.兩端都種：樹木的棵數＝間隔數＋ 1 。 「例」一條路長 4250公尺，在一旁每 50公尺種一棵樹，兩端都種，共種幾

棵？ ※教學策略： 1.分析題意，了解已知條件及未知條件： 已知條件： (1)4250公尺是道路的全長。 (2)50公尺是兩棵樹之間的距離。 (3)知道只在一旁種樹，兩端都種。 未知條件：一共種幾棵數。 2.用圖示表示，讓孩子了解兩端都種，樹木的棵數與間隔數的關係。 1 2 3 4 3.進行解題 1 2 3

肆、植樹問題的解題教學策略

※樹木的總棵數與間隔數的關係 2.一端種，一端不種：樹木的棵數＝間隔數。 「例」一條路長 4250公尺，在一旁每 50公尺種一棵樹，一端種，一端不種， 共種幾棵？ ※教學策略： 1.分析題意，了解已知條件及未知條件： 已知條件： (1)4250公尺是道路的全長。 (2)50公尺是兩棵樹之間的距離。 (3)知道只在一旁種樹，一端種，一端不種。 未知條件：一共種幾棵數。 2.用圖示表示，讓孩子了解，一端種，一端不種，樹木的棵數與間隔數的關係。 1 2 3 3.進行解題 1 2 3

肆、植樹問題的解題教學策略※樹木的總棵數與間隔數的關係 3.兩端都不種：樹木的棵數＝間隔數－ 1 。 「例」一條路長 4250公尺，在兩旁每 50公尺種一棵樹，兩端都不種，共種幾棵？

※教學策略： 1.分析題意，了解已知條件及未知條件： 已知條件： (1)4250公尺是道路的全長。 (2)50公尺是兩棵樹之間的距離。 (3)知道在兩旁兩旁種樹，兩端都不種。 未知條件：一共種幾棵數。 2.用圖示表示，讓孩子了解，一端種，一端不種，樹木的棵數與間隔數的關係。 1 2 3.進行解題 1 2 3 ※先算出一旁的棵數 再乘以 2 1 2 3 1 2

肆、植樹問題的解題教學策略

※樹木的總棵數與間隔數的關係 4.封閉的區域 ( 如圓形或正方形 ) ：樹木的棵數＝間隔數。 1 2 3

4

567

8

12

3

4

56

7

8

1

2

3

4

1

23

4

※如果正方形或長方形的 4 個角都不種那麼樹木的棵數＝間隔數－ 4

肆、植樹問題的解題教學策略花蓮市學生基本能力檢測相關問題(1)小美幫班上布置布告欄，她想在一條 10公尺長的彩繩上，每隔 2 公尺綁

上一張小卡片，首尾都要有，請問小英需要多少張小卡片？ (96年四年級 )

(4)路上每支路燈都有編號，而每兩支路燈之間的距離是 30公尺，學校門口的路燈是第 144號，魯夫家門口的路燈是 77號，從魯夫家到學校距離是幾公尺？ (96年五年級 )

(2)用 6 公尺的彩帶布置教室，彩帶頭尾都要掛鈴鐺，從一端開始每 1 公尺也掛上一個鈴鐺，全部共掛了幾個鈴鐺？ (97年三、四、五年級 )

(5)一排房子有 12棟，每 2 棟房子中間種一棵樹，這排房子共種多少棵樹？ (98年三年級 )(3)植樹節種樹時，將樹苗種在直線走道的右邊，從走道一端開始每 4 公尺種

一顆，到另一端剛好種下第 8 顆樹苗，這條走道有多長？ (98年四年級 )

伍、平均問題的解題教學策略

1.平均數的意義：※把幾個同類量同類量取多補少，使其一樣多，叫做「平均」。「例 1 」小英有 100元，小凱有 200元，小凱給小英幾元後， 兩個人的錢就會一樣多？ 「例 2 」 110、 111、 112、 113、 114五數的平均數是多少？

( 連續數的平均數可以指導孩子用心算的方法 )

2.平均數的算法： (1)總和÷個數＝平均數。 (2)總和÷平均數＝個數。 (3)平均數×個數＝總和。

每個公式都要舉例說明，讓孩子確實理解，不要死背

伍、平均問題的解題教學策略

花蓮市學生基本能力檢測相關問題(1)小華有 36張色紙，比小英多 14張，小華給小英多少張後， 兩人的色紙張數會一樣多？ (96年三、四、五年級 )(2)小羅和 4 位同學到遊樂園玩，全部門票共要 800元，小羅自己又花了 60元買飲料，小羅共花了多少元？ (97年四、五年級 )

(3)超商集點活動，弟弟集了 14 點，姊姊集的點數比弟弟多 8 點， 姊姊要給弟弟幾點後，兩人的點數才會一樣多？ (98年四、五年

級 )(4)飲料一瓶平分給 5 位小朋友，每位小朋友分到公升，請問這瓶飲料原有多少公升？ (97年五年級 )

陸、速率問題的解題教學策略

1.速率的意義： 單位時間（一秒、一分、一小時）內所移動的 距離，叫做「速率」。2.速率的基本公式： 距離÷時間＝速率 距離÷速率＝時間 速率×時間＝距離

陸、速率問題的解題教學策略

花蓮市學生基本能力檢測相關問題(1) 800公尺賽跑，胖虎跑了 5 分 9 秒，大雄跑了 479秒， 小夫跑了 4 分 79秒， 請問誰跑得最快？ (97年五年級 )(2)小明走路的秒速是 0.8公尺 / 秒，也就是說他的分速是多少？ (97年六年級 )(3)爸爸騎摩托車的時速是 60公里/ 時，他騎車載小明去部落中的學校上學一趟花

了 3 分鐘，從小明家到學校是多少公里？ (97年六年級 )(4)分速 1.8公里的火車，行駛 36分鐘，共可以行駛多少公里？ (98年六年級 )

(5)分速 0.98公里的車，速度跟下面哪一個速度是一樣快的？ (98年六年級 )

980公尺 / 分 980公尺 / 時 58.8公里/ 秒 0.01633公里/ 時(6)時速 100公里的自強號火車，從花蓮站出發要到達距離 20公里的新城站，需要多少分鐘？ (98年六年級 )

柒、相遇與追趕問題的解題教學策略一、兩人同時相向而行，相遇的問題

※解題策略：實作 ( 請學生實際演出 ) 或用圖示表徵

※距離÷（兩人速率的和）＝相遇所需的時間。

「例」小芬和小伶相距 2520公尺，小芬的分速是 75 公尺，小伶的分速是 65公尺，兩人同時相向 而行，幾分鐘以後會相會？

柒、相遇與追趕問題的解題教學策略二、兩人同時相背而行的問題

※兩人速率的和×時間＝兩人的距離。※距離÷（兩人速率的和）＝相遇所需的時間。「例 1 」小凱和小傑兩人同時從甲地朝相反方向相反方向行走， 小凱的分速是 65公尺，小傑的分速是 55公尺， 1 小時後，兩人相距多少公尺？

「例 2 」純蕙的秒速 1.2公尺，思涵的秒速 1.8公尺，兩人

沿著一個周長 360公尺的圓形池塘，同時同地朝

著相反方向出發，幾分鐘後，兩人會相遇？

柒、相遇與追趕問題的解題教學策略三、追趕問題

※解題策略：實作 ( 請學生實際演出 ) 或用圖示表徵或列表※距離÷（兩人速率的差）＝追到所需的時間。「例 1 」小明和小威兩人從學校出發，小明走路的分速是 80公尺， 小威走路的分速是 60公尺，小威出發 3 分鐘後，小明才出發。 (1)小明需要幾分鐘後，才能追上小威？ (2)當小明追上小威時，小威已經走了多少分鐘？ (3)小明需要走幾公尺後，才能追上小威？「例 2 」小婷每個月存 120元，小惠每個月存 80元，小惠先存了半年後， 小婷才開始存，小婷存了幾個月後，兩人的存款就會一樣多？「例 3 」機車和火車相距 24公里，若機車在前面以時速 60公里前進，火車

以時速 80公里在後面追趕，在幾小時後可以追上？ (98年六年級 )

捌、四則運算的教學策略※四則混合計算的規則 ( 利用逐次減項法 )1.由左而右計算： 一個算式裡，如果只有加減或只有乘除，就由左而右，依照順序計算 「例 1 」 15－ 7 ＋ 3 － 6 「例 2 」 120÷5×6×22.先乘除，後加減： 一個算式裡，如果有加減，也有乘除，要先算乘除，最後再算加減。 「例 1 」 13＋ 8×4－ 18÷9 「例 2 」 100－ 56÷4×73.有括號，由括號先算：（ 1 ）在四則混合計算的算式裡，如果有括號，就要先算出括號裡的數。

（ 2 ）括號裡的數如果有加減，也有乘除，則要先算乘除，最後再算加減 「例 1 」 15－（ 4 ＋ 6 ） × 9 「例 2 」 200÷（ 400÷5－ 20） ×5

捌、四則運算的教學策略※指導學生利用加減互逆、乘除互逆的性質來解未知數及做驗算。

1.加法： □＋ 5 ＝ 16 65＋□＝100

2.乘法： □ × 8 ＝ 48 12×□＝6

3.減法： □－ 28＝ 100 60－□＝ 24

4.除法： □ ÷ 15＝ 300 8÷□＝ 2

捌、四則運算的教學策略※孩子常見的迷思概念迷思概念或錯誤錯誤之處 1.只有出現加減符號，會「先加再減」。 「例」 80-20+5 ＝ 80-25＝ 55 2.只有出現乘除符號，會「先乘再除」。 「例」 40÷ 5× 2 ＝ 40÷ 10＝ 4 3.答案正確，而計算過程不對。 「例」 100-6× 5+8 ＝ 100-30＝ 70+8 ＝ 78 4.其他的錯誤類型 「例」 16+4× (10÷ 5-2) ＝ 16+4× 0 ＝ 20× 0 ＝ 0

捌、四則運算的教學策略※善用交換律做簡化計算※交換律：指一個式子中，各數字的計算順序任意變 動，其計算結果都是一樣的。 ㄅ＋ㄆ＋ㄇ＝ㄅ＋ㄇ＋ㄆ ㄅ×ㄆ×ㄇ＝ㄅ×ㄇ×ㄆ

＝ㄆ＋ㄇ＋ㄅ ＝ㄆ×ㄇ×ㄅ ※「交換律」只適用於連加法或連乘法的算式。

「例」 25＋ 89＋ 75 「例」 125×79×8

＝ 25＋ 75＋ 89 ＝ 125× 8×78 ＝ 100＋ 89 ＝ 1000×78 ＝ 189 ＝ 78000

捌、四則運算的教學策略※善用結合律做簡化計算※結合律：指一個算式中，不論先算哪兩項， 其計算結果都是一樣的。 ㄅ＋ㄆ＋ㄇ＝〈ㄅ＋ㄆ〉＋ㄇ＝ㄅ＋〈ㄆ＋ㄇ〉 ㄅ×ㄆ×ㄇ＝〈ㄅ×ㄆ〉×ㄇ＝ㄅ×〈ㄆ×ㄇ〉※「結合律」只適用於連加法或連乘法的算式。 「例」 879＋ 64＋ 36 「例」 899×25×4 ＝ 879＋〈 64＋ 36 〉 ＝899×〈 25×4〉

＝ 879＋ 100 ＝ 899×100 ＝ 979 ＝ 89900

捌、四則運算的教學策略※善用分配律做簡化計算※分配律：「乘法對加（減）法的分配律」是指乘法 可以分配到以加（減）法隔開的兩項上， 也就是先乘再加（減）與先加（減）再乘 的結果是一樣的。 ★「分配律」只適用於乘法對加法或乘法對減法的算式。 「例 1 」 56×37＋ 44×37 「例 2 」 25×（ 10 － 4 ） ＝（ 56＋ 44 ）×37 ＝ 25×10 － 25×4 ＝ 100×37 ＝ 250 － 100 ＝ 3700 ＝ 150 ※做四則計算時，若能善用交換律、結合律或分配律， 可以簡化計算，不但可以節省計算時間， 更能降低計算的錯誤率。

捌、四則運算的教學策略※連減法的簡便算法1.連減法：被減數不可以換位置。 (1) 可以先把減數相加後，再用被減數去減。 「例」 875－ 49 － 125－ 151 ＝ 875－（ 49 ＋ 125＋ 151 ） ＝ 875－ 325 ＝ 550 (2) 可以把減數任意對調。 「例」 875－ 49－ 125－ 151 ＝ 875－ 125－ 151－ 49 ＝ 750－ 151－ 49 ＝ 550

捌、四則運算的教學策略※連除法的簡便算法2.連除法：被除數不可以換位置。 (1)可以先把除數相乘後，再用被除數去除。 「例」 39000÷125÷8 ＝ 39000÷（ 125×8） ＝ 39000÷1000 ＝ 39 (2)可以把除數任意對調。 「例」 4500÷25÷45÷10 ＝ 45000÷45÷10÷25 ＝ 1000÷10÷25 ＝ 100÷25 ＝ 4

捌、四則運算的教學策略※只有加減或只有乘除的簡便算法3.只有加減：第一個數不更動位置，先加後減或先減後 加，其結果是一樣的。 「例」 163＋ 87－ 63 「例」 163＋ 87－ 63 ＝ 163－ 63＋ 87 ＝ 163＋（ 87－ 63） ＝ 100＋ 87 ＝ 163＋ 24 ＝ 187 ＝ 1874.只有乘除：第一個數不更動位置，先乘後除或先除 後乘，其結果是一樣的。 「例」 24×48÷6 「例」 24×48÷6 ＝ 24÷6×48 ＝ 24×（ 48÷6） ＝ 4×48 ＝ 24×8 ＝ 192 ＝ 192

玖、結語一、應用題的解題教學策略： 1.確實要求孩子讀題。 2.與孩子分析題意、讓孩子確實理解題意。 3.讓孩子掌握已知條件 ( 知道題目上每個數字所代表的意

義 ) 4.讓孩子知道題目要求的答案是什麼。 5.敎孩子冷靜思考，擬定解題策略。 6.算出答案後，敎孩子能思考答案的合理性。

二、建議老師們能透過圖示、列表或實作的方式，讓孩子 真正理解公式的緣由，不要只要求孩子死背公式。

三、鼓勵孩子能嘗試各種不同的解題策略。

恭請賜教 祝大家教學愉快