§2 复合函数微分法

一、链式法则

二、复合函数的全微分

证

),()( tttu 则 );()( tttv

一、链式法则　定 理 如 果 函 数 )( tu 及 )( tv 都 在 点 t可

导，函数 ),( vufz 在对应点 ),( vu 具有连续偏导数，则复合函数 )](),([ ttfz 在对应点 t可导，且其导数可用下列公式计算：

　 　 　 　dtdv

vz

dtdu

uz

dtdz

．

，获得增量设 tt

由于函数),(vufz在点),(vu有连续偏导数

,21 vuvvz

uuz

z

当 0u ， 0v 时， 01 ， 02

tv

tu

tv

vz

tu

uz

tz

21

当 0t 时， 0u ， 0v

,dtdu

tu

,dtdv

tv

证略。

复合函数的求导法则

定理　 如果函数 )(xu 及 )(xv 都在点 x可导，　

函数 ),( vufz 在对应点 ),( vu 具有连续偏导　

数，则复合函数 )](),([ xxfz 在对应点　

x可导，且其导数可用下列公式计算：　

1 、 z u

vx 型

.dxdv

vz

dxdu

uz

dxdz

.lim0 dt

dvvz

dtdu

uz

tz

dtdz

t

上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况 .

如dtdw

wz

dtdvvz

dtduuz

dtdz

uvw

tz

以上公式中的导数 称为全导数全导数 ..dtdz

定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：

如果 ),( yxu 及 ),( yxv 都在点 ),( yx 具有对x　

和 y的偏导数，且 ),( vufz 在对应点 ),( vu 具有连续　

偏导数，则复合函数 )],(),,([ yxyxfz 在对应点　

),( yx 的两个偏导数存在，且可用下列公式计算：　

2 、 z u

v

x

y型

,xv

vz

xu

uz

xz

.

yv

vz

yu

uz

yz

链式法则如图示

xz

u

v

xz

y

uz

xu

vz ,

xv

yz

uz

yu

vz .

yv

u

v

xz

y

类似地，设 ),( yxu 、 ),( yxv 、 ),( yxww 　

都在点 ),( yx 具有对x和 y的偏导数，复合函数　

)],(),,(),,([ yxwyxyxfz 在对应点 ),( yx 的　

两个偏导数存在，且可用下列公式计算：　

yw

wz

yv

vz

yu

uz

yz

xw

wz

xv

vz

xu

uz

xz

z

w

v

u

y

x

特殊地 ),,( yxufz ),( yxu

即 ],,),,([ yxyxfz

,xf

xu

uf

xz

.

yf

yu

uf

yz

令 ,xv ,yw

其中

,1xv ,0

xw ,0

yv .1

yw

把 ],),,([ yxyxfz 　

中的 y看作不变而对　

x的偏导数　

把 ),,( yxufz 中　

的u及 y看作不变　

而对x的偏导数　

区别类似

例 1　设 tuvz sin ，而 teu ， tv cos ，　

　 　 　 　求全导数dtdz . 　

解 dtdz

ttuev t cossin

ttete tt cossincos

.cos)sin(cos ttte t

uz

dtdu

vz dtdv

tz

z u

v

tt 型

例 2　设　 vez u sin ，而　 xyu ， yxv ，　 　

　 　 　 　求　xz

和

yz

. 　

解 xz

uz

xu

vz

xv

1cossin veyve uu

yz

uz

yu

vz

yv

1cossin vexve uu

z u

v

x

y型

)].cos()sin([ yxyxye xy

)].cos()sin([ yxyxxe xy

例 3　设222

),,( uyxeyxuf ，而 .sin2 yxu 　

　 　 　 　求yz

xz

, . 　

解xf

xu

uf

xz

.yf

yu

uf

yz

222222

2sin22 uyxuyx xeyxue

.)sin21(22222 uyxeyxx

222222

2)(cos2 2 uyxuyx yeyxue

.)2sin2(2224 uyxeyxy

例 4　设 )( xyxfz ，且 f具有一阶导数。

　求yz

xz

, . 　

解

xu

dudf

xz

令 .xyxu 则 ).(ufz

)( xyxf ).1( y

yu

dudf

yz

).( xyxf x

z ux

y 型

例 5　 　设 ) ,( xyzzyxfw ， f具有二阶连续偏　

　 　 　 　 　导数，求xw

和

zxw

2. 　

解 令 ,zyxu ;xyzv

记 ,1 uf

f

,12

2

11 uf

u

ff

,2 vf

f

vf

vuf

f

1

2

12

,12

2

22 vf

v

ff

w u

v

xyz

型).,( vufw 则

.22

21 uf

uvf

f

二阶偏

导连续

zxw2

)( 21 fyzfz

;2

21

zf

yzfyzf

zf1

zv

vf

zu

uf

11 ;1211 fxyf

zf2

zv

vf

zu

uf

22 ;2221 fxyf

因此，

zxw2

1211 fxyf 2fy )( 2221 fxyfyz

.)( 2222

1211 fyfzxyfzxyf

xw

xv

vf

xu

uf

; 2 1 fzyf 于是，

设函数 ),( vufz 具有连续偏导数，则 u，v不论是

自变量还是中间变量，总有全微分　

dvvzdu

uzdz

。　

二、复合函数的全微分

（ 1 ）如果 u， v 是自变量，结论显然。

（ 2 ）如果 u， v 是中间变量，

).,( ),,( yxvyxu

有全微分：

dyyzdx

xzdz

事实上，

dyyv

vz

yu

uzdx

xv

vz

xu

uz

dyyzdx

xzdz

dy

yvdx

xv

vzdy

yudx

xu

uz

.dvvzdu

uz

全微分形式不变形的实质： 无论 z 是自变量 u， v 的函数或中间变量 u， v

的函数，它的全微分形式是一样的 .

例 6　设　 vez u sin ，而　 xyu ， yxv ，　 　

　 　 　 　求全微分　 dz. 　

解 dvvzdu

uzdz

)()cos()()sin( yxdvexydve uu

dydxvexdyydxve uu )cos()sin(

dyvvxedxvvye uu )cossin()cossin(

dxyxyxye xy )]cos()sin([

.)]cos()sin([ dyyxyxxe xy xz

yz

例 7　 　已知　 2 0xy ze z e ，求　

xz

　和　

yz

. 　

解 , 0 2 zxy eze

,02)( dzedzxyde zxy

),()2( ydxxdyedze xyz

,)2()2(dy

exedx

e

yedz

z

xy

z

xy

xz

,

2

z

xy

e

yeyz

.

2

z

xy

exe

d ( ) d ( )

1 、链式法则（分二种情况）

2 、全微分形式不变性

（特别要注意课中所讲的特殊情况）

（理解其实质）

三、小结