几何初步及平行线、相交线

几何初步及平行线、相交线考点聚焦

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归类探究中考预测

第 17 讲┃几何初步及平行线、相交线

考点聚焦归类探究

考点 1 三种基本图形——直线、射线、线段

考点聚焦

回归教材中考预测

直线公理经过两点有且只有 ________条直线

线段公理两点之间， ________最短

两点间的距离

连接两点间的线段的 ________，叫做这两点间的距离

一

线段

长度


考点 2 　角

角的概念

定义 1 有公共端点的两条 ____组成的图形叫做角．这个公共端点叫做角的 ____，这两条射线叫做角的 ____

定义 2 一条射线绕着它的 ____从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角

角的分类角按照大小可以分为平角、周角、 ____、 ____、钝角

角的大小比较 (1) 　叠合法 (2)度量法

角的度量单位及换算

1°＝ 60′， 1′＝ 60″

角平分线从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线

锐角

边顶点射线

　直角

端点


考点 3 　几何计数

考点聚焦归类探究回归教材中考预测

1数直线的条数

过任意三个不在同一直线上的 n个点中的两个点可以画 ________条

2数线段的条数

线段上共有 n个点 (包括两个端点 )时，共有线段 ________条

3数角的个数

从一点出发的 n条直线可组成 ______个角

4数交点的个数 n条直线最多有 ________个交点

5数直线分平面的份数

平面内有 n条直线，最多可以把平面分成 ________个部分

n（n－1）2 　

n（n－1）2 　

n（n－1）2 　

n2＋n＋22 　


考点 4 　互为余角、互为补角


互为余角

定义如果两个角的和等于 90°，则这两个角互余

性质同角 (或等角 )的余角 ________

互为补角

定义如果两个角的和等于 180°，则这两个角互补

性质同角 (或等角 )的补角 ________

拓展一个角的补角比这个角的余角大 90°

相等

相等


考点 5 　邻补角、对顶角


邻补角定义

若两角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两

个角，互为邻补角

对顶角定义若两角有一个公共顶点，且两角的两边互为反向延长线，具有这种位置关

系的两个角，互为对顶角

性质对顶角相等



考点 6 “ 三线八角”的概念

同位角

如果两个角在截线 l的同侧，且在被截直线 a、 b的同一方向叫做同位角 (位置相同 )．∠ 1和∠ 5，∠ 4和∠ 8，∠ 2和∠ 6，∠ 3和∠ 7是同位角

内错角

如果两个角在截线 l的两旁 (交错 )，在被截线 a、 b之间 (内 )叫做内错角

(位置在内且交错 )．∠ 2和∠ 8，∠ 3和∠ 5是内错角

同旁内角

如果两个角在截线 l的同侧，在被截直线 a、 b之间 (内 )叫做同旁内角．∠

5和∠ 2，∠ 3和∠ 8是同旁内角



考点 7 平行

平行线的定义

在同一平面内， ________的两条直线叫做平行线

平行公理

经过直线外一点，有且只有 ____条直线与这条直线 ______

平行公理的推论

如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相 ________

不相交

一平行

平行


平行线的判定

同位角相等，两直线平行

内错角相等，两直线平行

同旁内角互补，两直线平行

平行线的性质

两直线平行，同位角相等

两直线平行，内错角相等

两直线平行，同旁内角互补


考点 8 垂直

垂直

定义如果两条直线相交成 ______，那么这两条直线互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线，互相垂直的两条直线的交点叫做 ______

特别说明

(1)两条直线垂直是两条直线相交的特殊情况，特殊在它们所交的角是直角； (3)线段与线段、射线与线段、射线与射线的垂直，

都是指它们所在直线垂直

垂直的性质在同一平面内，过一点有且只有 ______条直线与已知直线垂直

直角

垂足

一


垂线段定义从直线外一点引一条直线的垂线，这点和

垂足之间的线段叫做 ______

性质直线外各点与直线上各点所连的线段中，______最短

点到直线的距离

直线外一点到这条直线的 ________的长度，叫做点到直线的距离

垂线段

垂线段

垂线段


探究一线与角的概念和基本性质

命题角度：1. 线段、射线和直线的性质及计算；2. 角的有关性质及计算．


归类探究

例 1 [2012·北京 ]　如图 17－ 1，直线 AB， CD交于点O，射线 OM平分∠ AOC，若∠ BOD＝ 76°，则∠ BOM等于 ( 　　 )A． 38°　　B． 104°C． 142°　　D． 144°

C

图 17 － 1



解　析　根据对顶角相等求出∠AOC 的度数，再根据角平分线的定义求出∠AOM 的度数，然后根据平角等于180°列式计算．　

∵ ∠BOD＝76°，　∴ ∠AOC＝∠BOD＝76°.　∵ 射线 OM平分∠AOC，　

∴ ∠AOM＝12∠AOC＝

12×76°＝38°，　

∴ ∠BOM＝180°－∠AOM＝180°－38°＝142°.　故选 C.　


探究二　直线的位置关系

命题角度：1. 直线平行与垂直的判定及简单应用；2. 角度的有关计算 .


例 2 [2013·重庆 ] 如图 17－ 2，直线 a、 b、 c、 d，已知 c⊥a， c⊥b，直线 b、 c、 d交于一点，若∠ 1＝ 50°，则∠ 2等于 ( 　　 )

A． 60° B． 50°

C． 40° D． 30° 图 17 － 2

B



解　析　先判断 a∥b，再由平行线的性质，可得出∠ 2的度数．

∵c⊥a， c⊥b，∴a∥b.∴∠1＝∠ 2＝ 50°.故选 B.


计算角度问题时，要注意挖掘图形中的隐含条件 (三角形内角和、互为余角或补角、平行线的性质、垂直 )及角平分线知识的应用．



探究三度、分、秒的计算命题角度：1．互为余角的计算；2．互为补角的计算； 3 　．角度的有关计算．

15.5


例 3 (1) [2013·湖州 ] 把 15°30′化成度的形式，则 15°30′＝ ________度； (2)[2013·义乌 ] 把角度化为度、分的形式，则 20.5°＝ 20°________； (3)一个角的补角是 36°5′，则这个角是 ________．

30′　143°55′　



解　析　　 (1)根据度、分、秒之间的换算关系，进行运算．(2)注意角的度数之间的进率是 60而不是 10，这是容易出错的地方．(1) 30′∵ ＝ 0.5°，∴15°30′＝ 15.5°.(2)1°＝ 60′，可得 0.5°＝ 30′，20． 5°＝ 20°30′.(3)180°－ 36°5′＝ 143°55′.


(1)此题考查了度、分、秒的换算， 1°＝ 60′， 1′＝

60″.(2)此类题是进行度、分、秒的加法、减法计算，相对比较简单．两个度数相加，度与度，分与分对应相加，分的结果若满 60，则转化为度；度数乘一个数，则用度、分、秒分别乘这个数，秒的结果满 60则转化为分，分的结果满 60则转化为度．



探究四平行线的性质和判定的应用

命题角度：1. 平行线的性质；2. 平行线的判定； 3. 平行线的性质和判定的综合应用．

例 4　　　如图 17－ 3， AB∥CD，分别探讨下面四个图形中∠ APC与∠ PAB、∠ PCD的关系，请你从所得到的关系中任选一个加以证明．

图 17 － 3



解　　 ①∠APC　＝∠PAB　＋∠PCD；　②∠APC＝360°－(∠PAB　＋∠PCD)；　③∠APC＝∠PAB　－∠PCD；　④∠APC＝∠PCD－∠PAB.　如证明① 　∠APC　＝∠PAB　＋∠PCD.　

　证明：过 P点作 PE∥ AB，所以∠A＝∠APE.　又因为 AB∥ CD，所以 PE∥ CD，所以∠C＝

∠CPE，　所以∠A＋∠C＝∠APE＋∠CPE，　∴ ∠APC　＝∠PAB　＋∠PCD.　同理可证明其他的结论．　


平行线的性质与判定的综合运用，是解决与平行线有关的问题的常用方法． “ ” “ ”先由形得到数，即应用特征得到角相等 (或互补 ) ，再利用角之间的关系进行计算， “ ” “ ”得到新的关系．然后再由数到形得到一组新的平行．



汽车灯的启示教材母题　北师大版八下 P236知识技能第 1

题

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图 17－ 4



探照灯、锅形天线、汽车灯以及其他很多灯具都与抛物线形状有关．如图 17－ 4，从点 O照射到抛物线上的光线 OB， OC等反射以后沿着与 POQ平行的方向射出．图中如果∠ BOP＝ 45°，∠ QOC＝ 88°，那么∠ ABO和∠ DCO各是多少度？解：∵ BA∥PQ(已知 )，∴∠ABO＝∠ BOP＝ 45°(两直线平行，内错角相等 )．∵CD∥PQ(已知 )，∴∠DCO＋∠ QOC＝ 180°(两直线平行，同旁内角互补 )，

∴∠DCO＝ 180°－∠ QOC＝ 180°－ 88°＝ 92°.



中考预测

1．如图 17－ 5是赛车跑道的一段示意图，其中 AB ED∥ ，测得∠ B＝ 140°，∠ D＝ 120°，则∠ C的度数是 ( 　　 )

A． 120°　　B． 100°C． 140°　　D． 90° 图 17－ 5

B



解　析　方法不唯一．过点 C作平行线 CF，则∠ ABC＋∠ BCF＝ 180°，所以∠ BCF＝ 180°－∠ ABC＝ 40°.同理，∠ FCD＝ 60°.所以∠ BCD＝∠ BCF＋∠ DCF＝ 100°　



2．如图 17－ 6，已知 AB∥DE，∠ ABC＝80°，∠ CDE＝ 140°，则∠ BCD＝ ________．

图 17－ 6

40°



解　析　如图，反向延长 DE交 BC于M，∵AB DE∥ ，∠ ABC＝ 80°，∴∠BMD＝∠ ABC＝ 80°.∴∠CMD＝ 180°－∠ BMD＝ 100°.又∵∠ CDE＝∠ CMD＋∠ C，∠ CDE＝ 140°，∴∠BCD＝∠ CDE－∠ CMD＝ 140°－ 100°＝ 40°.



3．如图 17－ 7，已知 a b∥ ，∠ 1＝ 70°，∠ 2＝ 40°，则∠ 3＝ ________．

图 17－ 7

　

70°



解　析　由对顶角相等可得∠ ACB＝∠ 2＝ 40°.在△ ABC中，由三角形内角和定理知∠ ABC＝ 180°－∠ 1－∠ ACB＝ 70°.又∵ a b∥ ，∴∠ 3＝∠ ABC＝ 70°.

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