1

请准备好，我们要上课了。

生活真奇妙

朱玉玲 制作

知识库 任意角的三角函数是三角学中最基本最重要的概念之一。

三角学起源于对三角形边角关系的研究，始于古希腊的科学家对天文的测量，在相当长的时期里隶属于天文学。直到 1464年，才独立于天文学之外。

14~16 世纪，三角学曾一度成为欧洲数学的主要内容，研究的方面包括三角函数值表的编制、平面三角形和球面三角形的解法，三角恒等式的建立和推导等等。

1631年，三角学输入中国。

随着科学的发展，三角函数成为研究自然界和生产实践中周期变化现象的重要数学工具，它在测量、力学工程和无线电学中有着广泛的应用。

任意角的三角函数是三角学中最基本最重要的概念之一。

三角学起源于对三角形边角关系的研究，始于古希腊的科学家对天文的测量，在相当长的时期里隶属于天文学。直到 1464年，才独立于天文学之外。

14~16 世纪，三角学曾一度成为欧洲数学的主要内容，研究的方面包括三角函数值表的编制、平面三角形和球面三角形的解法，三角恒等式的建立和推导等等。

1631年，三角学输入中国。

随着科学的发展，三角函数成为研究自然界和生产实践中周期变化现象的重要数学工具，它在测量、力学工程和无线电学中有着广泛的应用。

温故知新 在直角三角形中，我们对于锐角的

三角 函数定义如下：

A

B

C

ca

b

正弦函数： )( sin 对边比斜边c

aA

余弦函数： )( cos 邻边比斜边c

bA

正切函数： )( tan 对边比邻边b

aA

此定义只限于直角三角形中的锐角，而现在角的 定义已经拓广到任意角，所以对于任意角的三角函数的 定义也要作相应的拓广 .

猜一猜 脱离直角三角形，在直

角坐标系中，锐角的三角函数也可由锐角终边上一点 P 的坐标及 P 点到原点的距离三者之间的比值来定义 . 那么

如何来定义任意角的三角函数呢？

任意角的三角函数定义

对于任意给定的角 α, 以 α 的顶点为原点 O, 始边为 x 轴的正半轴，

建立 直角坐标系，设 OP 为它的终边，如下图：

O

α

在角的终边上任取一个

不与顶点重合的点 P(x,y),

这点到原点的距离为 r .

P(x,y)

r22r yx 则

正 弦： αsin

αcos

αtan

余 弦：

正 切：

y

x X

Y

(P 点的纵坐标 y 比 P 点到原点的距离 r)r

y

(P 点的横坐标 x 比 P 点到原点的距离 r)r

x

(P 点的纵坐标 y 比 P 点的横坐标 x)x

y

当角 α 是其它象限角时，它的三角函数的定义也是一样 .

X

Y

O

P(x,y)

X

Y

OP(x,y)

正 弦：r

ysin α 余 弦：

r

xcos α 正 切：

x

ytan α

此时横坐标

的终边上任意点时即当轴上的终边落在角

,0x

)yP(x,,z)(k 2

π πk,Y

αα

x

ytan α 没有意义。

X

Y

O

P(0,y)

X

Y

O

P(0,y)

除上述情况无意义外，对于每一个确定的角 α ，上面三种比值都是唯一确定的，所以 sinα 、 cosα 、 tanα 都是角 α 的函数 .

我们把角 α 的正弦、余弦、正切、分别叫做角 α 的正弦函数、余弦函数、正切函数，统称为三角函数 .

解题演示

例 1 、 已知角 α 终边上一点的坐标为 P(-4,3) ，求角 α 的各个三 角函数值 .

X

Y

O

αP(-4,3)

r

解：如右图，因为 x=-4,y=3, 所以 22 3)4(r 525

根据三角函数的定义，可得

5

3

r

ysin α

5

4

5

4

r

xcos

α

4

3

4

3

x

ytan

α

已知角 α 终边上的一点 P 的坐标如下，求角 α 的各个三角函数值 .

（ 1 ） P （ 1 ， -7 ） （ 2 ） P（ -5 ， 2 ） （ 3 ） P （ 1 ，0 ） （ 4 ） P （ -3 ， -3 ）

议一议 一个任意 角的三角函数值会因终边上P 点的位置不同而改变吗？

4

3

2

1

y7

6

5

1 2 3 4 x

P(1,2)

P(2,4)

P(2.5,5)

更上一层楼啦！

若 P 点的坐标为 (-4a,3a)(a>0) ，求角 α 的三个三角函数值 .

P是角 α终边上的任意一点

说一说 本节课学习了那些内容？

你有那些方面的收获？

趁热打铁

1 、已知角 α 的终边上的一点 P 的坐标如下，求角 α 的各个三角函数值 .

2 、已知角 α 的值如下，求角 α 的有意义的三角函数值 .

（选做题）

3 、已知角 α 的终边上的一点 P 的坐标为（ -5a ， 12

a ）， (a>0 ），求角 α 的各个三角函数值 .

（必做题）

α =（ 1 ） -

（ 1 ）（ -3 ， 2 ） （ 2 ）（ 1 ， -4 ）

2

2

温故知新复习：任意角三角

函数的定义 .

预习：三角函数在各个象限

的 符号是怎样 的？ ！

下课了！