第二篇：动态电路的时域分析

第二篇：动态电路的时域分析

• 第六章电容元件与电感元件• 第七章一阶电路• 第八章二阶电路

包含一个电容和一个电感，或两个电容，或两个电感的动态电路称为二阶电路。本章着重分析含电感和电容的二阶电路，这类电路的响应可能出现振荡的形式。

本章学习目的及要求本章学习目的及要求

1 、电路二阶微分方程的建立；

2 、求特征根，并由此能判断响应的四种形式（无阻尼、临界阻尼、欠阻尼、过阻尼）；

3 、求四种不同形式的响应。

补充：二阶线性常系数微分方程的求解二阶齐次方程的求解

)11(02

2

cxdt

dxb

dt

xda

)21()(,)( 2010 AtxAtx

其中 x(t) 为待求变量， a 、 b 、 c 、 A 1 及 A2 均为常数。

方程和初始条件

特征方程

设特征根（固有频率）为 s1 和 s2 ，根据 s1 和 s2 的不同情况，（ 1 － 1 ）方程有如下形式的通解。

求通解

02 cbsas

确定待定常数

将初始条件 (1 － 2) 式代入通解中，可求得待定常数 (K1 ， K2) 、 (K ， ) 或 (K ， ) 。二阶非齐次方程的求解方程和初始条件

)12(2

2

wdcxdt

dxb

dt

xda

)22()(,)( 2010 AtxAtx

其中 x(t) 为待求变量， w(t) 为输入函数， a 、 b 、 c 、 d 、 A 1 及 A2 均为常数。

求通解：)32()()()( txtxtx ph

其中 xh(t) 为齐次通解，形式取决于微分方程的特征根，称为自由分量； xp(t) 为（ 2 － 1 ）式的一个特解，形式取决于输入函数，称为强制分量。

xh(t) 的求解如前所述， xp(t) 的形式与 w(t) 有关。

第八章二阶电路

§8.1 LC 电路中的正弦振荡§8.2 RLC 串联电路的零输入响应§8.3 RLC 串联电路的全响应§8.4 GLC 并联电路的分析

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§8.1 LC电路中的正弦振荡1、 LC 电路中能量的振荡设：电容的初始电压为 U0 ，电感的初始电流为零。(a) 在初始时刻，能量全部储于电容中，电感中没有储能，电路的电流为零。由于 U0 的存在，电容通过电感放电，电路的电流开始增加，能量逐渐转移到电感的磁场中。(b) 当电容电压下降到零的瞬间，电感电压为零，即 di/dt=0 ，电路电流达到最大值 I ，此时储能全部转入到电感。(c) 由于电感电流不能跃变，此时电路的电流开始逐渐减小，电容在该电流的作用下又被充电，只是电压的极性不同。当电感电流下降到零的瞬间，能量又全部转入到电容之中。电容电压又达到 U0 ，但极性与 (a) 相反。

(d) 当电容电压达到 U0 的瞬间，电容通过电感又开始放电，只是放电电流与上一次放电电流方向相反。随放电电流的增加，能量逐渐又转移到电感的磁场中，电流又达到最大值。

(e) 当电感电流达到最大值的瞬间，电容在该电流的作用下又被充电，当电感电流下降到零的瞬间，能量又全部转入到电容之中，电容电压又达到 U0 ，电路状态又和初始时刻相同，这意味着上述过程将不断地重复进行。

由此可见，在由电容和电感两种不同的储能元件构成的电路中，随着储能在电场和磁场之间的往返转移，电路中的电流和电压将不断地改变大小和极性，形成振荡。这种电路中不含电阻由初始储能维持的振荡是一种等幅振荡。

如果电路中含有电阻，在能量转移过程中要被电阻消耗，振荡将不可能是等幅的，幅度会逐渐衰减而趋于零。这种振荡称为阻尼振荡。

如果电路电阻较大，在能量初次转移过程中大部分能量就被电阻消耗，将不可能产生振荡。

２、 LC 电路中振荡的方式右图中， L=1H 、 C=1F， uc(0)=1V、 iL(0)=0 。

上述两个联立的一阶微分方程表明：电压的存在要求有电流的变化，电流的存在要求有电压的变化。因此电压、电流都必须处于不断的变化状态之中。

结合初始条件： uc(0)=1V、 iL(0)=0 。因此， LC 回路中的等幅振荡是按正弦方式随时间变化的。

3、 LC 电路中的储能根据电容和电感的储能公式，可得 LC 回路的储能为：

将 u、 i、 L=1H 、 C=1F 代入上式 ,

可得在任何时刻储能均为常量 , 这就表明 : 储能不断地在电场和磁场之间往返 , 永不消失。

§8.2 RLC 串联电路的零输入响应

8.2.1 电路和方程8.2.2 过阻尼 (overdamped) 情况8.2.3 临界阻尼 (critically damped) 情况8.2.4 欠阻尼 (underdamped) 情况8.2.5 零阻尼情况

8.2.1 电路和方程

换路后电路如图，电路中无电源，电路响应为零输入响应。

C

R Lu C

+

-

iL

0)0(,)0()1( 0 LC iUu

0)0(,0)0()2( Iiu LC

00 )0(,)0()3( IiUu LC

有以下三种初始状态情况：

下面仅以第一种情况为例讨论该电路的零输入响应。

由 KVL ，有

0 CL

L udt

idLiR C

R Lu C

+

-

iL

代入电容的 VARdt

duCi c

c ，得微分方程：

)1(01

2

2

CCC u

LCdt

ud

L

R

dt

ud

)1(02

2

CCC u

dt

udRC

dt

udLC

初始条件为：)2(0)0()0(,)0( 0 CiuUu LCC

可求得特征根：

C

LR

LL

R

LCL

R

L

Rs

42

1

2

1

22

2

2

2,1

（ 1 ）式的特征方程为

012

LCS

L

RS

)1(01

2

2

CCC u

LCdt

ud

L

R

dt

ud

1 、当时，即

时， S1 、 S2 为两个不相等的负实根，则响应

形式为：

LCL

R 1)

2( 2

C

LR 2

根据两特征根的形式，响应可分为四种：

tstsc ekektu 21

21)(

LCL

R

L

Rs

1

22

2

2,1

C

LR 2＝

2 、当时 , S1 、 S2 为两相等的负实

根，则响应为：

C

LR 2＝

称为临界阻尼

为临界电阻

stc etkktu )()( 21

称为过阻尼

3 、当时，即

时， S1 、 S2 为一对共轭复根：称为欠阻尼。

则响应形式为

LCL

R 1)

2( 2

C

LR 2

)cos()( tketu dt

c

式中：；； 2L

R ＝ 22

0 ＝ d LC

10＝

LCL

R

L

Rs

1

22

2

2,1

4 、当 R=0时，即＝ 0 时， S1 、 S2 为一对

共轭虚根：称为无阻尼。则响应形式为

)cos()( 0 tktuc

8.2.2 过阻尼 (overdamped) 情况)2( CLR

特征根为两个不相等的负实根，

C

R LuC

+

-

iL令 2211 , ss

其中,

1

22

2

2,1 LCL

R

L

R

显然有21

（ 1 ）式通解为：

)3()( 2121

ttC ekektu

上式求导，得：

)4()( 212211

ttC ekektu

初始条件代入（ 3 ）、（ 4 ）式，得：

)5(02211

021

kk

Ukk

由（ 5 ）式求得12

021

U

k12

012

Uk

代入（ 3 ）得方程（ 1 ）满足初始条件的解为：)0()()( 21

1212

0

teeU

tu ttC

t

uc teU

1

12

02

teU

2

12

01

结果分析：

(2)

)0(0)(,,0)(,0)0( 21 ttiii LLL

(3) 令 diL / dt =0 , 求得 iL 的极值点

1

2

12

ln1

mt

(1) ,0)(,)0( 0 CC uUu

0)( tuc 且 uc(t) 单调下降 )0( t

)()( 2112

12

0 ttC ee

Utu

)()( 12

12

120 ttL ee

CUti

(4) 过渡过程的能量情况如下图所示：

CR

L

mtt 0

C

R

L

mtt

(5) 过阻尼情况下，电路具有非振荡的过渡过程。

电压和电流表达式中，特征根 s1= -1 对应项在过渡过程中起主要作用。

8.2.3 临界阻尼 (critically damped) 情况)2( CLR

特征根为两个相等的负实根：

21 ss )2

(L

R C

R LuC

+

-

iL

（ 1 ）式通解为：)6()( 21

ttC tekektu


)7()( 221ttt

C ektekektu

初始条件代入（ 6 ）、（ 7 ）式，求得：

0201 , UkUk

代入（ 6 ）式得微分方程（ 1 ）满足初始条件的解为：

)0()1()( 0 tteUtu tC

)0()()()( 0 tetLUdtudCti tCL

分析可知， uc 、 iL 波形图与过阻尼情况类似。

8.2.4 欠阻尼 (underdamped) 情况)2( CLR

特征根为一对共轭复根：

djs 2,1

其中 2

2

1,

2

L

R

LCL

Rd

C

R LuC

+

-

iL

通解为：

)8()cos(

)sincos()( 21

tek

tKtKetu

dt

ddt

C


)9()sin()cos()( tketketu dt

ddt

C

初始条件代入（ 8 ）、（ 9 ）式，得：

)10(0)cos()sin(

)cos( 0

kk

Uk

d

K2

K1

K

由（ 10 ）式求得

)(,0022

0

ddd

d arctgUU

k

其中 LCd /1220

、 d 、 0 及的关系如下图所示

d

0

方程（ 1 ）满足初始条件的解为：

)0()cos()( 00 tteU

tu dt

dC

进一步求得：

)0()sin(

)sin()(

0

200

tteL

U

teCU

dt

udCti

dt

d

dt

d

CL

分析：

(1) uc 和 iL 均是幅值按指数规律衰减的正弦函数。

(2) 0)(,)0(,0)(,0)0( 0 CCLL uUuii

(3) uc 的过零点为 ,...)2,1,0(2/ kktd

iL 的过零点为 ,...)2,1,0( kktd (4) uc 的极值点即 iL 的过零点。

由 )cos(00

teL

U

dt

did

t

d

L

可求得 iL 的极值点为

),2,1,0(2 kktd

)0()cos()( 00 tteU

tu dt

dC

)0()sin()( 0 tteL

Uti d

t

dL

d

0

uC

iL

U0

t

d

eU

00

t

d

eU

00

td 2 2

结果分析* 过渡过程中电场和磁场能量相互转换，由于耗能电阻的存在，总能量逐渐减少。

20 td 22 td td2

R

LC+

-

R

LC+

-

R

LC+

-

* 欠阻尼情况下，电路具有阻尼振荡 (damped oscillation) 或衰减振荡的过渡过程。由

可知 uc(t) 和 iL 的包络线函数分别为t

d

eU

00 t

d

eL

U

0

称为衰减系数，越大，则电压和电流衰减越快；称 d 为衰减振荡角频率， d 越大，则电压和电流振荡越剧烈。

uC

iL

U0

t

d

eU

00

t

d

eU

00

td 2 2

)cos()( 00 te

Utu d

t

dC

)sin()( 0 teL

Uti d

t

dL

2

2

1,

2

L

R

LCL

Rd* 由

可知，若电路中 L 、 C 一定，则 R 越小，就越小， d 就越大。电路过渡过程的振荡性就会越强，过渡过程时间也会越长。可以想象，若 R

＝ 0 ，则过渡过程会无休止地进行下去。

8.2.5 零阻尼情况)0( R

特征根为一对共轭虚根：

02,1 1 jLCjs C

R Lu C

+

-

iL

（相当于欠阻尼情况下 =0 、 d = 0 、 = 0 。）

)cos()( 00 te

Utu d

t

dC

)sin()( 0 teL

Uti d

t

dL

利用欠阻尼情况的分析结果，得：)0()cos()( 00 ttUtuC

)0()sin()sin()( 00000

0 ttCUtL

UtiL

零阻尼情况下，电路响应为等幅振荡的正弦函数， 0 称为无阻尼振荡角频率。电场和磁场不断进行着完全的能量交换，但总能量并不减少，任一时刻的电路总能量都等于电路的初始储能。

因振荡仅由电路的初始储能所产生，故称

为自由振荡。

t

LC+

-

图 9-6

电路所示如图， t = 0 时打开开关。求 : 电容电压 uC , 并画波形图。

解 :

(1) uc(0-)=25V iL(0-)=5A

例 1

5Ω

μF

20Ω

10Ω

10Ω

0.5H

100

50V

+-

uc

+ -

iL

5Ω

20Ω

10Ω

10Ω

50V+ -

iL+uC

-

0- 电路

25V

20Ω

10Ω

10Ω

+

-5A

iC

0+ 电路

(2) uc(0+)=25V iC(0+)= -5A

)139sin(25 tKeu tC

410

5sin25cos139

25sin

KK

K

176 358 ，K

(4)

5

25)0(

dt

duC

u

C

C

由

特征方程为 50S2+2500S+106=0

13925 jS

0d

d

d

d )3(

2

2

CCC ut

uRC

t

uLC

5Ω

μF

20Ω

10Ω

10Ω

0.5H

100

50V

+-uc

+ -

iL

t >0 电路 :

25

LC+

-

uC

t0

358

25

0V)176139sin(358 25 tteu tC

例：判断如图所示电路，是过阻尼情况还是欠阻尼情况。

解：由 KVL 可知 11 tutudt

tdiLtRi SC

由 KCL 知 titi 5.011

则 25.015.01

1

dt

tduCtii C

而 32

21

dt

tudC

dt

tdi C

将式 (2) 和式 (3) 代入式 (1) 得电路的二阶微分方程

45.012

2

tutudt

tduRC

dt

tudLC SC

CC

其特征方程为

010104

0110410

015.01

842

428

2

ss

ss

sRC

LCs

特征根为

20

28

244

2,1 102

104

2

104

s

因，电路为过阻尼情况。0

作业 P367: 8-2 8-5

§8.3 直流 RLC 串联电路的全响应

换路后电路如图，电路响应由电源和电路的原始储能共同产生。

00 )0(,)0( IiUu LC

C

R Lu C

+

-

iLU S

C

I

C

iu

Uu

tuudt

duRC

dt

udLC

lc

c

sccc

0'

0

2

2

)0()0(

)0(

)(

)0()0()0(1

)0(

)0(

'

0

2

2

cLsL

L

sL

LL

uRiuL

i

Iidt

duCi

dt

diRC

dt

idLC

或：

通解为：

pChCC uutu )(

可求得特解：SpC Uu

uch 为方程对应齐次方程的通解，它的形式决定于方程的特征根也有四种，讨论与零输入响应相同。初始条件代入通解，即可确定 2 个待定的积分常数。

C

I

C

iu

Uu

tuudt

duRC

dt

udLC

lc

c

sccc

0'

0

2

2

)0()0(

)0(

)(

C

R Lu C

+

-

iLU S

例 : 电路如图所示。已知 R=6, L=1H, C=0.04F,

uS(t)= (t)V 。求 t>0 时电容电压的零状态响应。

解： t>0 时， (t)=1V ，可以作为直流激励处理。首先计算电路的固有频率：

j4351

222

2

21

233

LCL

R

L

Rs ，

根据这两个固有频率 s1=-3+j4 和 s2=-3-

j4 ，可以得到全响应的表达式为

)0(V}1)]4sin()4cos([e{)( 213

C ttKtKtu t ＋

利用电容电压的初始值 uC(0)=0 和电感

电流的初始值 iL(0)=0 得到以下两个方程

043d

)(d

01)0(

210C

1C

KKt

tu

Ku

t

求解以上两个方程得到常数 K1 ＝ -1 和

K2 ＝ -0.75 ，得到电容电压的零状态响应 :

)0(V]1)1.1434cos(e25.1[

V}1)]4sin(75.0)4cos([e{)(3

3C

tt

tttut

t

可以画出电容电压和电感电流零状态响应的波形为：

注：图 (c) 和 (d) 表示当电阻由 R=6Ω 减小到 R=1Ω ，衰减系数由3 变为 0.5 时的电容电压和电感电流零状态响应的波形曲线。

§8.4 GCL 并联电路分析

它是 RLC 串联电路的对偶电路 , 二阶微分方程为：

C

R LuC

+

-

iLUS

L

U

L

ui

Ii

Iidt

diGL

dt

idLC

cl

l

slll

0'

0

2

2

)0()0(

)0(

LCC

G

C

Gs

1)

2(

22

2,1

IsG C L

iL

特征根： C

I

C

iu

Uu

tuudt

duRC

dt

udLC

lc

c

sccc

0'

0

2

2

)0()0(

)0(

)(

LCL

R

L

Rs

1

22

2

2,1

响应形式：

2 、 G ＝，临界阻尼。L

C2

3 、 G< ,为欠阻尼。L

C2

4 、 G ＝ 0 ，为无阻尼。

1 、 G> ,为过阻尼。L

C2

已知： iL(0-)=2A uC(0-)=0 求： iL,iR

(1) 先变成标准并联电路，根据已讨论的结果，可直接列出微分方程：

(2) 求特解

解：R iR

-

50 V

50

10

0F0.5H

+ iL

iC

例 1 ：

1A50 C L

iL0)0(

)0(

2)0(

'

2

2

L

ui

i

Iidt

diGL

dt

idLC

cl

l

slll

1Lpi

1d

d01.0

d

d1050

2

26

LL i

t

i

t

i

(3)求通解0200002002 SS

特征根为： S= -100 j100

)100sin(1 100 tAei t

(4)定常数

)0( 0sin100cos100

)0( 2sin1

L

L

uAA

iA

245

A

)45 100sin(21 100 tei t

L

特征方程为：

0d

d01.0

d

d1050

2

26

LL i

t

i

t

i

(5)求 iR


R

或设解答形式为：

定常数

?)0(d

d

1)0( 1)0(

R

CR

t

i

ii

R

ui C

R

50

200)0(1

)0(d

d1)0(

d

dC

CR iRCt

u

Rt

i

CLR iii 2

2

d

d

t

iLCi L

L R iR

-

50 V

50

10

0F0.5H

+ iL

iC

R iR

-

50V

50

+

iC2A

200sin100cos100

1sin1

AA

A

2

0

A


R

1. 一阶电路是单调的响应，可用时间常数表示过渡过程

的时间。

小结小结

)(过阻尼非振荡放电 tt eKeK 2121

共轭虚根 0 R

)sincos

)cos(

21

tKtKe

tKe

ddt

dt

（或

)(临界阻尼非振荡放电 )( 21 tKKe t

2. 二阶电路用三个参数， d 和 0来表示动态响应。22

02 ddjS

特征根响应性质自由分量形式

不等的实根 2 C

LR

2 共轭复根C

LR

) ( 阻尼无等幅振荡 )cos( 0 tK

相等的实根 2 C

LR

)(欠阻尼衰减振荡

4. 线性电路古典法解二阶过渡过程包括以下几步：

(1) 换路后 (0+) 电路列写微分方程 ;

(2) 求特征根，由根的性质写出自由分量（积分常数待定） ;

(3) 求强制分量（稳态分量） ;

(4) 全解 = 自由分量 + 强制分量；

(5) 将初值 f(0+) 和 f(0+) 代入全解，定积分常数求响应；

(6) 讨论物理过程，画出波形。

3. 电路是否振荡取决于特征根，特征根仅仅取决于电路的结构和参数，而与初始条件和激励的大小没有关系。

作业 P368： 8-7、 8-10

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第二篇：动态电路的时域分析