第６章　波の平均場への作用

上の名前の定理を述べる。それは波に伴うエネルギー・フラックスと運動量フラックスとの関係です。前章で述べたように東西方向の線形の運動方程式は（ x-z ２次元）、(1)

∂ u′∂ t

+ u0∂ u′∂ x

+ w′∂ u

0

∂ z= −

∂φ ′∂ x

ここで φ ′ =p′ρ

0

　定常な波（一定の位相速度をもち、波の振幅は変化しない）を考え、以下の波形のような、きれいな波を仮定する　＜ー 現実はきれいな波は少ないと思う：

すると (1) 式は(2)

(u0−c)∂ u′

∂ x+ w′

∂ u0

∂ z+∂φ ′∂ x

=0

鉛直方向の運動方程式は静力学平衡の近似(3)

−gθ ′θ

0

+∂φ ′

∂ z= 0

６ １：− Eliassen-Palm の定理（１）

これまで波は線形で一般風（平均流）を基本の状態とした。ー＞重力波の作用（働き）の話し。線形の波が、基本の流れを変形する（作用を及ぼす）。それが大気中で興味ある現象を引き起こす。

そして運動のエネルギーと、、　　質も形も進度も位置も時間もみな因縁が…

€

A exp(ik(x − ct))ここら

連続の式として(4) ∂ u′

∂ x+

∂ w′∂ z

+1ρ

0

dρ0

dzw′ = 0

熱力学の方程式は (3) を用いて(5)

(u0−c) ∂

∂ x(gθ

′θ 0

) + N2w′ =0

以上が定常な波にたいする線形波動方程式である（散逸などはない）。次に (2) 式を以下のように変形する。

(6) ∂∂ x

( (u0

− c) u′ + φ ′ ) +du

0

dzw′ = 0

線形の式を変形して波の２次の量を評価すること。

ここで u0 は高さのみの関数として偏微分を全微分に置き換えた。この式に左辺の第一項の x の偏微分の中の変数を左から掛けると

(7) ((u0−c) u′ + φ ′) ⋅ ∂

∂ x((u0 −c) u′ + φ ′) +

du0

dz ( (u0 −c)u′w′ + φ ′w′) =0

　波の２次の量のうち、これからはおもに東西に平均した量を議論する。そこで上式に、東西方向に１波長（ Lx = 2 π / k ）の平均操作を適用してみる。式で書けば

1L x

A dx0

L x

∫ そして１波長の平均操作を over bar で表す。

　波の一次の量の１波長の平均はゼロになるが積の１波長の平均は一般的にはゼロにはならない。例えば cos k x の１波長平均はゼロだが、 cos 2 kx = (1+cos2kx)/2 の１波長平均はゼロではない。

図からわかるように、 u’w’ や p’w’ は正の相間関係

左が平均東西風で右がそのときの運動量フラックス。 Miyahara et al. (1986) より。−u′ω′ ≈p0

Hu′w′

Lindzen （ 1990 ）によると、これが Eliassen-Palm の第一定理と呼ばれる（波に伴うエネルギー・フラックス（左辺）と運動量フラックス（右辺の u と w の相関、 u という運動量が鉛直に流れるとして）の関係を示すものを第一定理としている、１章に出ていた項）。ただし、非粘性の線形定常波で位相速度がはっきりした波についての関係式。

GFDL の大循環モデルで得られた重力波に伴う運動量フラックスの緯度 高度断面図を示す。成層圏中緯度の− 東風のところで運動量フラックスは正、西風のところで負になっている（以下で大事）。赤道の成層圏では正になっている。　ただし、これは全ての擾乱成分であり非定常部分も含む。

なので、 (7) 式に平均操作をすることにより以下の式が導かれる。(8)

一般に A′∂ A′∂ x

= ∂∂ x

(A′2) / 2=0

φ ′w′ = − (u0

− c)u′w′

正負

西風 東風

€

∂u

∂t+ v

∂u

∂y+ w

∂u

∂z− fv = −

∂

∂yu'v ' −

1

p

∂

∂zpu'w'

北半球冬

€

u'w' > 0

６ ２：波のエネルギー方程式について（ここでの式は− Rossby 波も含んでいる）

　波のエネルギー方程式を導く。前節と同様に定常の波を仮定する。ここでは南北方向も考慮する。普通のエネルギー方程式の導出と同様に東西方向の式に u’ を掛け、南北方向の式に v’ をかけて足すと（南北シアーもあり）、

(9)

次に熱力学の方程式から（南北基本温度差も含める）(10)

この式に 　　を掛けて

(11)

€

∂∂x

(u0 − c)u'2

2+

(u0 − c)v'2

2

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥+ u'v '

∂u0

∂y+ u'w'

∂u0

∂z+ u'

∂φ'

∂x+ v'

∂φ'

∂y= 0

€

∂∂x

(u0 − c)∂φ'

∂z+ v'

∂

∂y

∂Φ

∂z+ N 2w = 0

€

∂φ'

∂z

€

∂∂x

(u0 − c)

2(∂φ'

∂z)2 ⎡

⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥+ v'

∂φ'

∂z

∂

∂y

∂Φ

∂z+

∂φ'

∂zN 2w'= 0

∂

∂x

(u0 − c)

2

1

N 2(∂φ'

∂z)2 ⎡

⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥+ v'

∂φ'

∂z

1

N 2

∂

∂y

∂Φ

∂z+ w'

∂φ'

∂z= 0

(9) と (11) を足して

(12)

€

∂∂x

(u0 − c)u'2

2+

(u0 − c)v'2

2+

(u0 − c)

2

1

N 2(∂φ'

∂z)2

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥+ u'v '

∂u0

∂y+ u'w'

∂u0

∂z+ u'

∂φ'

∂x+ v '

∂φ'

∂y+ v'

∂φ'

∂z

1

N 2

∂

∂y

∂Φ

∂z+ w'

∂φ'

∂z= 0

連続の式 (13)を使って

€

∂u'

∂x+

∂v'

∂y+

1

ρ

∂

∂zρw'= 0

第２項の微分の中は圧力と南北方向の速度の積であるが圧力によってなされる仕事を示している（ランダウの流体力学６節参照）。第３項の微分の中は圧力によってなされる鉛直方向の仕事を示している。またエネルギーフラックスとよばれる。最後の３つの項は、ここでは基本場から（または基本場へ）のエネルギー変換を表している。

(14)

€

∂∂x

(u0 − c)u'2

2+

(u0 − c)v'2

2+

(u0 − c)

2

1

N 2(∂φ'

∂z)2

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥+

∂

∂xu'φ'+

∂

∂yv 'φ'+

1

ρ

∂

∂zρw'φ'+u'v'

∂u0

∂y+ u'w'

∂u0

∂z+ v'

∂φ'

∂z

1

N 2

∂

∂y

∂Φ

∂z= 0

静力学平衡を仮定しているので鉛直成分の運動エネルギーが、また音波を落としているので弾性エネルギーが(14) にはない。

€

1

2(u'2 +v '2 )運動エネルギー：

Potential エネルギー：

€

1

2

1

N 2(∂φ'

∂z)2

波が時間的に成長するような成分を持ち、東西に平均したエネルギーの式は以下のように書かれる。

€

∂∂t

1

2(u'2 + v '2) +

1

2

1

N 2(∂φ'

∂z)2

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥+

∂

∂yv'φ' +

1

ρ

∂

∂zρw'φ' + u'v '

∂u0

∂y+ u'w'

∂u0

∂z+ v '

∂φ'

∂z

1

N 2

∂

∂y

∂Φ

∂z= 0

いくつかの解析例：

12

1N2 (

∂Φ∂z

)2 =12

1N2 (

RH

)2(T' )2 =12

1N2 (

gT

)2(T' )2

の図（ Tsuda et al., 2000, J. G. R. ) 。５月から８月の平均で、高度は 20-30km の領域での全球分布である。赤いところが重力波の Potential Energy の高いところ。 Global Positioning System データから得られたもの。

GCM を用いた実験での短周期重力波に伴う PEの図：大西洋に重力波にともなう Potential Energy の大きなところがある（ 20-30km の高度）。これは６月の結果

5-8 月の OLR 図：対流の強さの指標である。大西洋の Potential Energy の大きいところは強い対流とずれている。

重力波に伴う Potential Energy 、

衛星から見積もられた中層大気全体の重力波シグナル（ microwave limb sounder ）

但し、重力波に伴う温度偏差（ K2 ）、重力波のpotential エネルギーに対応したもの

１月 ７月

80km

33km

48km

Wu and Waters, 1996, GRL

緯度高度断面図

１月

７月

北半球

衛星から見積もられた重力波シグナル（ CRISTAという測器）

97 年 8 月、 25km 高度における、重力波に伴う温度偏差（ K2 ）ー＞　慣性重力波として鉛直運動量フラックスの絶対値を見積もっている

Ern et al., 2004, JGR

18-25km での重力波の全エネルギーの時間的変化、Vincent and Alexander, JGR, 2000, 場所は Coros Islands (12S, 97E) 、インド洋でのラジオゾンデ観測を解析、 1 月は wet season

月平均の東西風実線：見積もられた月平均 18-25km の高度

ゾンデ観測：

€

ρu'w' (1−f 2

) ω 2

)

重力波の水平波長頻度

数値モデルから：

鉛直エネルギーの流れ（左図に対応しては、実線の方）

u’w’ のスペクトル , 14km 高度、red が正の

T=4h のおける対流（対流圏）と重力波（成層圏）のようす：細い線は等温位線、太い線は雲 >0.1g/kg

€

p'w' > 0

成層圏では上向きのエネルギーフラックス

周波数

波数

対流からの運動量フラックスとエネルギーフラックス： Eitzen and Randall, JAS, 2005

６ ３：− Eliassen-Palm の定理（ 2 ）

　次に Eliassen-Palm の第二定理を述べる。東西／鉛直２次元のエネルギーの式に東西に１波長平均の操作を施す。すると x の偏微分の項は消える。残りを書き表すと、(15) du0

dz′ u ′ w +

1ρ0

∂∂z

(ρ0 ′ w ′ φ ) =0

前の (8) 式は ′ φ ′ w =−(u0 −c) ′ u ′ w

ρ0 ′ φ ′ w =−ρ0(u0 −c) ′ u ′ w

上式を z 微分すると、

∂∂z

ρ0 ′ φ ′ w =−∂u0

∂zρ0 ′ u ′ w −(u0 −c)

∂∂z

ρ0 ′ u ′ w

で、 (15) 式を用いると、

(u0 −c)∂∂z

ρ0 ′ u ′ w =0

なので、下記の条件をみたすとき Eliassen-Palm の第二定理が導かれる。

(16)∂∂ z

(ρ0u′w′ ) = 0

条件としては、

　（ i ）波が定常であること　（ ii ） Forcing （例えば thermal forcing ）　　または Damping がない　（ iii ） critical level ( u0 - c = 0 ) がない

を満たすときである。

補足注：線形波動として物理量が

u =Aeiϕ , w=Beiϕ

のように表されているとする。ここで A と B は複素数とする。このとき積の量の平均値のみを問題にするときには、

uw=Re(Ar +iAi)(cosϕ +isinϕ)[ ]⋅Re (Br +iBi )(cosϕ +isinϕ)[ ]

=(Ar cosϕ −Ai sinϕ)⋅(Br cosϕ −Bi sinϕ)

=12

(ArBr +AiBi)

=12

Re Aeiϕ ⋅B*e−iϕ[ ]

=12

Reuw*[ ]

＊じるしは complex conjugate を示す。例えばランダウの電磁気学の 45 節参照

u0(z)

z

密度を掛けて

u0(z)

z

＊ critical level ( u0 - c = 0 ) がない WKB 近似解の場合 :

　 WKB 近似解が (16) 式を満たすことを示しておく。もう一度書き下すと（この波は基本流に対して東に進む波である）、

w′ = Aez2H

m1 / 2 exp( ik(x −ct) −i mdz)∫　話しの簡単化のために連続の式として Boussinesq 近似の連続の式を使い、波は鉛直に平面波的とすれば、

iku′ ≈imw′ u′ = Ak m1 / 2 e

z2H exp(ik(x −ct) −i mdz)∫

最終的に

(17)

ρ0u′w′ = ρ

00e

−zH e

zH

2kA

2=

ρ00

2kA

2= const

ここで ρ00 は地表面での密度である。 Eliassen-Palm の定理が導かれた。

WKB 近似解の w’ の中の分母に m1/2 の factor があったが、物理的には波の運動量の保存則（ Eliassen-Palm の定理）を満たすように摂動の変動が基本流の中でおこっているといっていいであろう。

このようでも運動量flux は一定である。

€

m(z) =N

c − u0(z)

c

u0

　前章において重力波の critical level の議論をした。その結果を用いて運動量フラックスのとびを計算する（上の条件（ iii ）の破れの場合である）。

w =Az1/2 eiμ lnz z>0

iku≈−∂w∂z

=−Aiμz−1/2 eiμ lnz

u=−Aμk

z−1/2eiμ lnz

′ u ′ w =12

Re(Az1/2 eiμlnz ×−A* μk

z−1/2 e−iμ lnz) =−12

A2 μk

w =−Ai z1/2 eπμeiμln z z<0

iku≈−∂w∂z

=Aieπμ z1/2 1

ziμ =Aeπμ z

−1/2μ

′ u ′ w =12

Re(−Ai z1/2eπμeiμ lnz ×A*eπμ z−1/2) =12

A2 μk

e2πμ

となる。 critical level の上下で差があることに注意　ー＞　波が吸収された分の差であることになる。この差により、平均東西風への加速がおこることになる。

z<0 では（下）、

z>0 で（上）、φ ′w′ = − (u

0− c)u′w′

＋ ＋ ー上

の別の見方：ρ0u′w′

線型近似で、鉛直変位と鉛直流との関係は (∂∂t

+u0∂∂x

)ς=w

東西に波の形を仮定すれば，∂ς∂x

=w

(u0−c)

となる．これに圧力偏差をかけて１波長の平均をとると， p∂ς∂x

=pw

(u0−c)

となる．これを式 　　　　　　　を使って変形すると，

−p∂ς∂x

=ρ0u'w'

図は位相速度 c ＞０で山を動かしている状況

斜の矢羽根は風速を示しており、　　　＞０

　 ＞０　 ＞０のところでは　　　　　　 の

式から負になっており（ u0=0 ）、

shade の部分を山の所までもっていったところが

　　　　　 に対応している。　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　の形から　　　　　　　　　で

c ＞０なので、 u>0 のところは 　　　　　　　から、

図のよう に p ＞０ のようになっている。

図の影の部分 は

u'w'u' w'

∂ς∂x

=∂h∂x

∂u∂t

=−∂p∂x

−ikcu=−ikp

−p∂ς∂x

=ρ0u'w'

　　 　のところで山がおしていて圧力偏差＞０の状況となっており、 ζ を h と見なせば山が流体に加える力（圧力の次元）と見做す事が出来る。その力が波動として上方に伝わる。その力の鉛直差で流体が加速される

∂ς∂x

=w

(u0−c)

＞０の状況

φ ′w′ = − (u0

− c)u′w′

€

exp(ik(x − ct))

のように表される．

∂ς∂x

<0

３次元への拡張

２次元内部重力波について Eliassen-Palm の定理を導いた。この定理は３次元 stationary （ c=0 を議論してあるがｃがあっても同様）の長波（ｆも含む） についても拡張されている ( Eliassen and Palm,1961) 。論文の孫引きですが（ p- 座標 ）：

fU(y,p) =−∂Φ∂y

ρ−1 =−∂Φ∂p

温度風は fUp =(ρ−1)y

慣性重力波に伴う南北、鉛直 energy flux ： Kawatani et al., GRL, 2003

stationary な波の式は

Uux +(Uy −f )v+Upω +∂ϕ∂x

=0

fu+Uvx +∂ϕ∂y

=0

Uϕpx− fUpv+σω =0

∂u∂x

+∂v∂y

+∂ω∂p

=0

σ =−θp

ρθ は安定度

このとき、第１定理は（エネルギーフラックスと運動量フラックスの関係）ー＞　

ϕv=U(σ−1Upvϕp −uv)

ϕω =U(σ−1( f −Uy)vϕp −uω)南北方向鉛直方向

保存則（第２定理）は ∂∂y

σ−1Upvϕp −uv[ ]+∂∂p

σ−1( f −Uy)vϕp −uω[ ]=0

がなりたつ。　　の中が Eliassen-Palm flux と呼ばれる（南北の成分および熱フラックスを含む）。定常で保存的、および臨界層のない波の場合は Eliassen-Palm flux の発散＝０となることが Eliassen-Palm の定理である。

[ ]

基本状態としては

６−４：平均東西風（帯状流）の変化について

Eliassen-Palm の定理を導いたときと同じように東西と高度のみの２次元運動だけを考えると、左辺の子午面循環やコリオリ項、および右辺の１項は落ちて、

１章において、東西に平均した物理量と波動成分に分離して

前に述べた、 Eliassen-Palm の定理は、非常に特別な場合（定常な波で散逸などがない）に (20) の右辺がゼロになることを示している

この式により、もし右辺がゼロでなければ東西平均流が変化していくことを示している。はじめ線形の波動方程式を議論していたときは０次の基本場と仮定して線形の波動擾乱を議論していたわけであるが、今や線形の波により基本場が変化していくことがわかる。

€

∂u

∂t+ v

∂u

∂y+ w

∂u

∂z− fv = −

∂

∂yu'v ' −

1

ρ

∂

∂zρu'w'

€

u = u + u'(18)

(19)

€

∂u

∂t= −

1

ρ

∂

∂zρu'w'(20)

東西方向の運動方程式から以下のような式を導いた。

Eliassen-Palm の定理の一般化（破綻したときはどのようになる？） : Andrews and McIntyre (1976, J. Atmos. Sci. ) から

擾乱の式として（ブシネスク流体近似、 β 平面、静力学平衡）、

Dtu'+Av'+Bw'+p'x =−X'

Dtv'+fu'+p'y =−Y'

−θ'+p'z =0

Dtθ'+θyv'+θzw'=−Q'

u'x +v'y +w'z=0

ここで、

Dt =∂∂t

+u∂∂x

A=uy −f B=uz

東西平均流の式は以下のように書かれる。

z

uBf

y

uA

z

w

y

v

Qwz

vyz

wy

vt

p

Ywvz

vy

pufvwvvt

v

Xwuz

vuy

wBvAt

u

z

yzy

∂∂

=−∂∂

=

=∂∂

+∂∂

−∂∂

−∂∂

−=∂∂

+∂∂

+∂∂

=+−

−∂∂

−∂∂

−=++++∂∂

−∂∂

−∂∂

−=++∂∂

0

''''

0

'''

''''

2

θθθθθ

θ

ー＞この式を変形すること：（南北熱フラックスが子午面循環をつくり、それにコリオリ力がかかり運動量を変化させるので、そこを一緒に解釈する方法）

この方程式には、重力波だけでなく、 Rossby 波動も含まれる。

平均東西風は緯度、および高さの関数であり、対応した温度場も緯度、高度依存性をもつ。

右辺： unspecified forcing terms

−∂∂y

(u'v'−Bv'θ' /θz) −∂∂z

(u'w' +Av'θ' / θz)

の項（ Eliassen-Palm flux divergence ）の変形から、平均東西流の加速として近似的に以下の式が導かれている。平均東西流の式の * のついた項は、小さい近似である（定常で散逸や critical level がないときはゼロになる）。

∂u(y,z,t)∂t

≈−∂∂y

(η'X' )

+1

(c−u)(u'+η'uy)X' +v'Y' +

θ'Q's(z)

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

+12

∂∂t

−∂∂y

(η'u') +1

(c−u)(u'+η'uy)u' +v'2 +

θ'2

s(z)

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

⎡

⎣ ⎢ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ⎥

波に対しての外力（１項や２項）、 transience の時（３項）、 critical level （２、３項）のところで東西風が変化することを示している。

Eliassen-Palm の定理がなりたたない状況で東西風が変化していく。

Richardson 数が大きく、赤道 β 平面で、 c をもつ trap 赤道波動について：

)''

()''

(

0

)''''(

0

)(''

'''

)''

''()''

''(

**

**

**

42

2*

**

zz

z

yzy

zy

zz

v

yww

v

zvv

z

w

y

v

Qvwz

wvt

z

p

aOYv

ztwv

zv

ypuf

t

v

Xv

Awuz

vBvu

ywBvA

t

u

θθ

θθ

θθ

θθθθθ

θ

θθ

θθ

θθ

∂∂

−=∂∂

+=

=∂∂

+∂∂

−+∂∂

−=++∂∂

=∂∂

+−

+−∂∂∂

−∂∂

−∂∂

−=++∂∂

−+∂∂

−−∂∂

−=++∂∂

Eliassen-Palm flux を見て想像されるように、南北熱フラックスが f （コリオリ項）をとおして運動量フラックスとからむので、その項を東西風の変化の式にくりこむと、以下の式になる。 Eliassen-Palm flux を pseudo- 運動量フラックスと呼ぶこともある。ー＞それの収束が東西風の変化に対応。

ここで、　　　は擾乱に伴う南北変位をあらわし、　　　　 で定義される。

η'

Dtη'=v'

∂∂y

σ−1Upvϕp −uv[ ]+∂∂p

σ−1( f −Uy)vϕp −uω[ ]=0

中層大気における平均東西風の変動について（言葉の羅列ですが）

赤道域下部成層圏準２年振動

赤道域半年振動

突然昇温、惑星波動による（９章）

中間圏弱風層

赤道

重力波も関係

東風

西風

１月の平均東西風

熱圏下部の平均東西風に大気潮汐波（全球的な重力波）が寄与をしている話がある

平均東西風の緯度ー高度断面図において、下部熱圏に注意してほしい。赤道域で東風が吹いている。

大気中の１日潮汐波（お日さまの加熱と一緒に西に伝播）の非線形効果を計算した結果。赤道域は東風になっている。観測の東風と対応している。一方中緯度では西風が生成されている。

Miyahara, 1978, J. M. S. J.

金星大気の成層圏における高速の平均東西流に波動による運動量輸送が重要な役割を果たしている。

CCSR/NIES/FRCGC AGCM で得られた高速風の実験結果である（ Ikeda et al.,2006) 。金星大気の成層圏では高速の風が再現されている。温度観測から推測された平均東西風

しかしながら、この結果では対流圏の中では東西風は再現されていない。

観測されている東西風

東西風 0

€

≈

赤道

45ºN

金星大気の成層圏における高速の平均東西流に寄与する波動の輸送：

€

ρ u'v' , u'w'( )

運動量バランスには大気潮汐波動が重要である、今の場合は、潮汐が生成されている場所で高速風が生成されている。地球大気の下部熱圏の東風は潮汐波動がつぶれている場所で作られている。（ 80km 近傍の減速と対応している）

z

wu

∂′′∂

− 0

0

1 ρρ

z

uw∂∂

−

y

vu

∂′′∂

−

赤道での各項の加速