线性矩阵不等式在控制理论的应用

线性矩阵不等式在控制理论的应用

报告人：潘宁导师：蔡云泽

2010.04.7

控制领域发展现状LMILMI 简介简介Matlab Matlab 软件中的软件中的 LMILMI 工具工具包包

Linear Matrix Inequality

控制领域发展现状

控制理论发展

现代控制理论自 20 世纪 50 年代，现代控制理论飞速发展，在随后工业应用中（ 1 ）描述物理系统的解析模型复杂（ 2 ）模型不能精确刻画对于此类复杂的不确定性系统的分析与综合，引出一个全新的领域：参数不确定性系统的鲁棒性能分析与综合问题。它是近20 年以来，国际自动控制界最活跃的研究领域之一。提出诸如H 无穷， H2,u 方法等全新的结果。

经典控制理论


求解方法存在问题克服 Riccati 缺陷

Lyapunov

控制问题转化求解

提前设定参数

控制问题转化求解

Matlab 工具包

Riccati 方程（早期） LMI(20 世纪 90 年代 )

在时域中研究此类鲁棒不确定性问题，主要理论基础是 Lyapunov 稳定性理论


Riccati 方程处理方法在过去的 10 余年内 , 由于线性矩阵不等式 (LMI) 的优良性质

以及解法的突破 , 使其在控制系统分析和设计方面得到了广泛的重视和应用。在此之前 , 绝大多数的控制问题都是通过 Riccat 方程或其不等式的方法来解决的。但是解 Riccati 方程或其不等式时 , 有大量的参数和正定对称矩阵需要预先调整。有时 , 即使问题本身是有解的 , 也找不出问题的解。这给实际应用问题的解决带来极大不便 , 具有很大的保守性

Linear Matrix Inequality 处理方法线性矩阵不等式方法给出了问题可解的一个凸约束条件 , 因此 ,

可以应用求解凸优化问题的有效方法来进行求解 , 不需要预先调整任何参数和正定对称矩阵 , 大大降低了间题求解的保守性和方便性。同时这种凸约束条件的任意一个可行解都是满足设计要求的控制器 , 这一性能在求解系统的多目标控制问题时是特别有用的‘

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11 12

21 22

111 22 12 11 12

122 11 12 22 12

,

0, 0;

(3) 0, 0;

T

T

s ss

s s

s s s s

s s s s

以下三个条件等价：

(1)s<0;

(2)s

s

引理 1：（ schur补引理）对于给定的矩阵 S，


LMI 在控制领域的应用

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Matlab LMI工具包

Matlab 软件开发出功能强大、的 LMI 工具箱的算法就是基于内点法 , 它提供了与上述相对应的 3 类标准的线性矩阵不等式问题求解 :feasp ,mincx ,gevp 。

Matlab LMI工具包

LMI 主要解决如下矩阵不等式形式：

Matlab LMI工具包

三个标准问题：

实例仿真

例 1 ：求解满足 P>I 的对阵矩阵 P, 使得 A1’P+PA1<0

A2’P+PA2<0

A3’P+PA3<0

A1=[-1,2;1,-3];

A2=[-0.8, 1.5;1.3,-2.7];

A3=[-1.4,0.9;0.7,-2.0];

实例仿真

Setlmis([])

P=lmivar(1,)

提纲提纲

NCSNCS 滤波研究背景滤波研究背景11

NCSNCS 模型描述模型描述22

鲁棒鲁棒 H2H2 滤波稳定性分析滤波稳定性分析33

鲁棒鲁棒 H2H2 滤波器设计滤波器设计44

55 仿真研究仿真研究

NCS 滤波研究背景NCSNCS 模型描述模型描述鲁棒鲁棒 H2H2 滤波稳定性分析滤波稳定性分析鲁棒鲁棒 H2H2 滤波器设计滤波器设计仿真分析仿真分析

网络控制系统（网络控制系统（ NCSNCS ）的崛起）的崛起

Smart home （智能家居）

日常应用

automobiles （ 007 智能车）

intelligent Robot （美国军用智能狗） Telesurgery （远程手术）

NCS

NCSNCS 研究背景研究背景

战斗机协同作战

军工应用

鱼雷导弹制导与控制

航天火星探测

NCS

NCSNCS 历史追踪历史追踪

1998Walsh马里兰大学，马里兰大学，

给出给出 NCSNCS 的图示结构的图示结构

19481948 维纳维纳《控制论—关于在动物和机器中控制和通信的科学》

于之训和顾洪军Halevi 和 Ray给出网络控制系统的给出网络控制系统的

概念和明确定义概念和明确定义Murry 和 As2

trom 等

将网络控制大致分为（ 1 ）基于网络的控（控制领域）（ 2 ）对网络的控制（通讯领域）

NCSNCS 领域分支领域分支 ------ 滤波（信号处理）研究现状滤波（信号处理）研究现状

NCSNCS 滤波研究现状滤波研究现状网络诱导时延

（（ 11 ））对于随机且分布特性已知的网络时延 , 利用随机控制理论方法进行系统分析与设计 .

（（ 22 ））对于时变、不确定的网络时延 , 采用鲁棒控制、自适应控制、智能控制等方法进行系统分析与设计

（（ 33 ））通过技术手段将时变时延转化为固定时延 , 利用确定性系统方法

进行分析和设计（（ 44 ）主要短时延，长时延研究较少）主要短时延，长时延研究较少

NCSNCS 领域分支领域分支 ------ 滤波（信号处理）研究现状滤波（信号处理）研究现状

NCSNCS 滤波研究现状滤波研究现状数据包丢失

由于数据包丢失呈现出明显的时变和不确定性 , 难以准确描述数据包丢失特性和模型 . 因此：（ 1 ）一方面 , 建立反映时变、不确定和随机丢包特性的 NCS 模型（ 2 ）并采用近年来出现的切换系统，混合系统，异步动态的分析方法 , 研究控制器的设计方法

NCSNCS 领域分支领域分支 ------ 滤波（信号处理）研究现滤波（信号处理）研究现状状

New Derection

Lincoln

Noise

ZhangWei 于之训Goktas

Walsh 和Bushnell

带有干扰的 NCS 设计（去噪，滤波）

卡尔曼滤波器 ,保证分离定理

提出了一种时延补偿结构 ,可实现对噪声的滤波处理

H∞,H2 综合的方法引入控制器和滤波器设计

用非线性和摄动理论 , 将 NCS中的时延效应看作连续系统的

摄动 , 提出了摄动方法

考虑长时延，丢包，等因素的滤波研究

本文研究思路本文研究思路


传统的最优滤波理论如最小二乘法、维纳滤波以及卡尔曼滤波理论均是基于系统部件之间数据传送具有无限可能的精度假设 , 而并未考虑实际网络环境下的时延，丢包等不确定性因素；虽然已有研究试将卡尔曼滤波算法扩展到时滞情况，但是滤波公式推导复杂，且得不到最优解。

在 Kalman 滤波理论基础上发展的现代鲁棒滤波技术考虑了系统中含有不确定参数、噪声干扰统计特性不能完全获知等情况，在系统中存在不确定因素的情况下可以得到较好的滤波效果，但在网络环境中，接收的信息还出现了延时和丢包现象。因此，基于确定性系统的鲁棒滤波技术在随机系统领域已经不再适用，需要改进或开发新的理论和算法。



目前对 NCS 的鲁棒滤波问题研究较少，且多考虑短时延。对于同时考虑时延和丢包的鲁棒滤波研究更少。最新研究成果将定常系统 H2 滤波的概念推广到随机系统，研究了同时具有随机短时延和数据包丢失的随机系统 H2 滤波。

本文基于已有思想，研究了传感器和滤波器之间同时存在长时延及丢包的滤波器设计问题。引入随机序列，建立具有长时延和数据包丢失的随机参数模型。基于该模型，通过扩展范数在随机系统中的定义，给出滤波误差系统的随机范数表达式。利用状态增广的方法给出满足滤波误差系统指数稳定和随机性能指标的充分条件。通过求解线性矩阵不等式求出最优滤波参数。

NCSNCS 滤波研究背景滤波研究背景NCS 模型描述鲁棒鲁棒 H2H2 滤波稳定性分析滤波稳定性分析鲁棒鲁棒 H2H2 滤波器设计滤波器设计仿真分析仿真分析

NCS模型描述

模型合理假定：（ 1 ）假设 NCS被控对象为线性定常系统，状态方程为：

（ 2 ）传感器和滤波器均采用时钟驱动，采样周期为 T。控制器为事件驱动。

（ 3 ）

（ 4 ）丢包采用开关切换系统：

NCS模型描述

模型表示（处理时延和噪声）引入滤波方程K1 发生时：

K2 发生时通过状态增广，将系系统方程和滤波方统方程融合为滤波误方系统

引入随机序列

NCSNCS 滤波研究背景滤波研究背景NCSNCS 模型描述模型描述鲁棒 H2 滤波稳定性分析鲁棒鲁棒 H2H2 滤波器设计滤波器设计仿真分析仿真分析

鲁棒 H2滤波稳定性分析

鲁棒滤波稳定性分析（ 1 ）对于确定的线性定常系统，如果输入是标准白噪声，则系统输出的均方根

等于系统的 H2 范数。而在随机系统领域，此结论将不再适用。（ 2 ）基于对带有随机长时延和丢包的 NCS 滤波器设计问题可归结为设计滤波

器使得：

① 滤波误差系统指数稳定；

② 由扰动输入到误差状态输出的范数小于一个指定的上界，即：

<

<

定理

NCSNCS 滤波研究背景滤波研究背景NCSNCS 模型描述模型描述鲁棒 H2 滤波稳定性分析鲁棒 H2 滤波器设计仿真分析仿真分析

鲁棒 H2滤波器设计

鲁棒 H2 滤波器设计（将定理 1 的矩阵不等式线性化）采用矩阵分解，合同变换等方法，将定理 1 中的非线性矩阵不等式转化

为线性矩阵不等式得定理 2 ：

NCSNCS 滤波研究背景滤波研究背景NCSNCS 模型描述模型描述鲁棒 H2 滤波稳定性分析鲁棒 H2 滤波器设计仿真分析

仿真分析

仿真分析利用 LMI 工具包进行仿真分析，仿真结果如下：

论文总结论文总结

NCSNCS滤波滤波

丢包因素丢包因素

长时延因素长时延因素

噪声干扰噪声干扰

NCSNCS滤波前景展望滤波前景展望

由于现实社会网络复杂度，研究复杂网络环境，分布式系

统，多智能体领域的 NCS 滤波具有重要意义

复杂网络通信领域与控制领域融合

为了更贴近现实，将通信领域的因素考虑到控制领域，所设计的 NCS 滤波器将更具有实际应用价值，更容易被工业领域认可

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