空間図形の取り扱いについて

平面の定義（１）• 法線ベクトル（基本ベクトル） U （３次

元）と原点と平面との距離 L で表される。– ※ 　法線ベクトルの長さは１

• 固有ベクトル V （３次元）– 計算に便利– 原点を通る平面（ L=0 ）の場合は使用でき

ない（解が無限になる）– V=U÷L

平面の定義（２）

X

Y

Z

C点

平面

L

法線ベクトル U

C 点＝原点からの距離が最も近い点☆ 平面の求め方

Q ・ V ＝１　： Q と Vとの内積

※ 　 Q ＝通過点で、３点あれば平面が求まる。

点 Q

平面の求め方（例）

X

Y

Z

C点平面

法線ベクトルU

（０，０，５）

（２，０，０）

（０，３，０）

２　０　０

０　３　０

０　０　５

１１１

・ V ＝

で求まる

直線の定義• 直線は通過点と方向ベクトル U （３次元）で表さ

れる

通過点

法線ベクトル U

２平面から直線を求める

通過点Q

方向ベクトル U

通過点を求める式

U1X U1Y U1Z

U2X U2Y U2Z

1 1 1

L1

L2

１・ Q ＝

方向ベクトルを求める式

U1X U1Y U1Z

U2X U2Y U2Z

1 1 1

0

0

１・ U ＝

平面１： U1 、L1

平面２： U2 、L2 ※ 　第３行は 0,0,0 以外何でもよい

※ 　第３行は 0,0,0 以外何でもよい

平面と点の距離

C点

平面

L

点 P

h

（ h の長さを求める）

法線ベクトル U

点 P を通りベクトル U に垂直な平面の式から

L+h ＝ U ・ P

∴ h ＝ U ・ P －L

※ 　点 P のほうが原点から遠いなら、ｈは＋になる

直線と点の距離

通過点 Q

点 P

方向ベクトルV

r

|QP| ・ cosθ ＝ QP ・ V

|QP| ・ sinθ ＝ｒ

両辺を二乗して加えると

|QP| ＾２＝（ QP ・ V ）＾２＋ｒ＾２

∴ ｒ＝ |QP| ＾２ー（ QP ・ V ）＾２

直線と直線の距離

V1

V ３

V ２

Q1

Q2

h

２直線に直交する方向ベクトル V３を求める

V1X V1Y V1Z

V2X V2Y V2Z

1 1 1

0

0

１・ V3 ＝

V3 を法線ベクトルとしＱ１を通る平面はQ １・ V3 ＝ L １　で表される同様にＱ２を通る平面は

Q ２・ V3 ＝ L ２　で表される

∴ h ＝｜ L1 ー L2 ｜＝ | Q １・ V3 ー Q２・ V3|

V3 を求めた後、 V3 を正規化する。※ 　第３行は 0,0,0 以外何でもよい

点群の平面近似• 最小二乗法とは

– Σ （近似値誤差）＾２を最小にする方法

h （誤差）

点群

Σ ｛ Pi1*Pi1 ｝、 Σ ｛ Pi2*Pi1 ｝、 Σ ｛ Pi3*Pi1 ｝ 　 Σ ｛ Pi1 ｝Σ ｛ Pi1*Pi2 ｝、 Σ ｛ Pi2*Pi2 ｝、 Σ ｛ Pi3*Pi2 ｝ ・ V = Σ ｛ Pi2 ｝Σ ｛ Pi1*Pi3 ｝、 Σ ｛ Pi2*Pi3 ｝、 Σ ｛ Pi3*Pi3 ｝ 　 Σ ｛ Pi3 ｝

※ i ＝ 1 ～点群の数

以下の式で求めることができる

点群の球面近似

Σ ｛ Ui1*Ui1 ｝、 Σ ｛ Ui2*Ui1 ｝、 Σ ｛ Ui3*Ui1 ｝ 　 Σ ｛ Li*Ui1 ｝Σ ｛ Ui1*Ui2 ｝、 Σ ｛ Ui2*Ui2 ｝、 Σ ｛ Ui3*Ui2 ｝ ・ C = Σ ｛ Li*Ui2 ｝Σ ｛ Ui1*Ui3 ｝、 Σ ｛ Ui2*Ui3 ｝、 Σ ｛ Ui3*Ui3 ｝ 　 Σ ｛ Li*Ui3 ｝

※ i ＝ 1 ～点群の数（数が多いほど精度がよくなる）

以下の式で求めることができる

まず、点群の任意の２点が面対称になる平面 Si を求める。

平面 Si は球面中心近くを通るので次式で球面の中心 C を求めることができる

P1

P2

Pi

Pi+1

焦点 C

参考：ガウスの消去法（線形一次連立方程式の解法）

・ ＝a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

X

Y

Z

C1C2C3

手順１：１行全体を１行１列目で割ることで１行１列目を１にする

※ １行１列目が０の場合は、他の行と入れ替える手順２：２行目全体－１行目全体＊ a21 を行い、２行１列 　　　 目を０にする。３行目も同様手順３：手順１と同様に、２行２列目を１にする手順４：３行目全体－２行目全体＊ a32 を行い、２行１列 　　　 目を０にする。１行目も同様

手順６：１行目全体－３行目全体＊ a13 を行い、１行３列 　　　 目を０にする。２行目も同様

手順５：手順１と同様に、３行３列目を１にする

a11 a12 a13 　C1 　

a21 a22 a23 　 C2

a31 a32 a33 　 C3