六、最小维状态观测器

0 : (5 29)

F N G

E M

r r r p r q

l r l q

z z u y

w z y

上一节研究了 Kx 观测器的一般形式：

根据定理 (5-12) ，存在 rn 矩阵 P , 使得 K=EP+MC

根据定义 5-1， K=I 时称（ 5-29 ）为状态观测器。

2

1. 状态观测器的维数 现在提出的问题是：状态观测器的维数 r 是否可以降低？可能的最小值是多少？因为维数的降低，意味着观测器可具有较为简单的形式，从而使工程实现更加方便。因此研究降维状态观测器以及最小维状态观测器的设计问题就成为观测器理论的重要课题之一。

考虑 n 维线性时不变动态方程

A BC

x x uy x

若假定 rankC=q ，那么输出 y 实际上已经给出了部分状态变量的估计。显然，为了估计全部状态，只须用一个低阶的观测器估计出其余的状态变量就可以了，也就是说，状态观测器的维数显然可比 n低。定理 5-17 若系统（ A, B, C ）可控可观测，且 rankC=q 则系统的状态观测器的最小维数是 nq

证明 根据观测器的结构条件（参见定义 5-1 和定理 5-12 ），对于状态观测器要求

[ ]

PK=EP MC E M I

C n

其中 P 是 r× n 阵，且满足 PA－ FP=GC 。要使上式有解，应有 PC

rank n

故 P 的最小维数 rmin=nq

Crank q

Prank n q

而已知所以

注：定理 5-12 的证明中没有用到 (A, C) 可观测的假设。但下面的分析将表明，只有 (A, C) 可观测方可保证所设计的状态观测器之（ F, E) 可观测。

又因为 Prn 的行数与观测器的维数 r 必须一致，故知 r=nq 这就是观测器的最小维数。 证完。

2. 最小维数状态观测器的构造 不妨假定 C=[C1 C2] ，这里 C1,C2 分别是 q×q和 q×(nq) 矩阵，而且 rankC1=q。

分以下几个步骤来具体建立最小维数的状态观测器。

1 ）取等价变换 ，变换矩阵 T 定义为 @p14 Tx x

1 11 21 1 21

00C CC C C

T TII

n qn q

显然 T 是满秩的。这时（ 5—42 ）式可化为 1 111 12 1

2 221 22 2

(5 43)BA ABA A

x x ux x

11

1 [ 0]C CT T CT Iqy x x xx x

特点：经变换后，有 显然输出 y 直接给出了 ，状态估计的问题就化为只需对 nq 维向量 进行估计就可达到状态重构的 目的 。1x 2x

1 ，y x

2 22 2 21 2

11 12 2 1

A A B

A A B

x x y uy y x u

2 ）导出关于 的状态方程和输出方程，为进一步构造状态观测器作准备。为此，将 (5-43) 重新写成：2x

记 11 1A By y y u ：

8

12 2Ay x则于是我们得到

2 22 2 21 2

12 2

( )A A B

A

x x y uy x

(5-44)

或者进一步写成 如下 nq 维系统：

2 22 2 21 2

12 2

]A [A B A BC

A

yx x x x uu

y xy x

因此，我们只要构造上述系统的观测器就可以了。立即会产生的问题是：

22 12( , )A A

是否可观测？因为根据定理 5-10 ，这是上述系统全维观测器存在并可任意配置极点的充要条件。我们有

引理 若（ A， C ）可观测，则 也可观测。 22 12( )A A,

证明：考虑下列 PBH 检验矩阵：

对任意的 s ，它列满秩的充要条件是后 nq 列也满秩。但

22 12( )A A,即 可观测。证完。12 12 22

22 22 12

00IA A A I

IA I A I Asrank rank rank

s s

11 12

21 22

0

A I AA- I

A A IC

Iq

ss

s

列n q

2 22 2 21 2

12 2

]y

x x x x uuy x

y x

A [A B A BC

A

2 22 2 12 2 21 2 2ˆ ˆ( )

B

A G A A B G

u

yx x y

u

3 ）建立 nq 维系统的全维（ nq ）状态观测器

根据全维状态观测器的一般方程，可立即写出它的观测器方程为：

11 1 A By y y u将 代入上式，得到

12

12 2

2 22 2 12 2 21 2

2 11 1

ˆ ˆ( )

( )A

A G A A B

G A Bx

x x y uy y u

或：

22 2 12 2 22 2 1 2 2 11 1ˆ( ) (ˆ )A G A A B G AG Bx yx u yy u

2 2ˆ Gz x y

得到

22 2 12 2 2 1

21 2 11 22 2 12 2

( ) ( )

[( ) ( ) ] 5 45

A G A B G B

A G A A G A G

uz zy

（ ）

记 @p14

讨论：a ）因为 11 1y y y u A B：

其中包括了 y 的微分。为了避免经微分将 y 中的噪声放大，故有以上变换。b ）令

2 2 2ˆ:x x x

2 22 2 12 2( )A G Ax x

故只要设计 G2 ，使得上述系统矩阵所有特征值有负实部，就有2 2 2

ˆ: 0x x x

则容易验证

1

22

ˆ 0ˆ

IG I

q

n q

yxzx

根据前面的分析，我们有 @p12

4 ）最后，求状态 x 的估计 ：x̂

2 2

ˆ

ˆ G

x x yx z y

1 1

1 1ˆ ˆˆ ˆ T T

x y x

x x x x x1这就是 的估计，其中 = ,事实上无须估计。再由

，可知 给出了 的估计 ： @p6

15

1 11 1 2

2

1 111 2 2 2 1 2 21 2

2 2

0ˆ

0

[( ) ] [( )

q

n qq

q q

yx z y

z

y z z yz y

IC C CE M

G II

C I C G C C I C GC CG GI

将其写成观测器的标准形式，并与 Kx 观测器 (5-29) 相比较：

1 11 2 1 2 2

2

( )ˆ (5 46)q

n qx w z y

E M

C C C I C GI G

22 2 12 2 2 1

21 2 11 22 2 12 2

( ) ( )

[( ) ( ) ] (5 45)

z z uy

F N

G

A G A B G B

A G A A G A G

我们看到，这是一个状态观测器，但不是一个 n 维状态观测器，而是一个 nq 维的状态观测器，因为

Rn qz 。

1

1 11 1 2

2

0ˆ

0q

n qq

yx

z

IC C CG II

T

注意：讲义中

也可以写成1 1

1 1 2

2

0ˆ

0q

n qq

zx

y

IC C CI GI

n-q 维 (最小维）状态观测器结构图

2 2 1( )B G Bu

22 2 12( )A G A

z z 11 2C C

In q

21 2 11 22 2 12 2( ) ( ) ]A G A A G A G

y1

1 2 2

2

( )C I C G

Gq

ˆw x

G

N

F

E

M

0 : (5 29)ˆ

F N G R

E M R

n q

n

z z u y

w x z y

进而，可以验证式（ 5-45 ）及式（ 5-46 ）的系数矩阵满足定理 5-12 的条件（ 5-32 ）：

0 : (5 29)F N G

E Mr r r p r q

l r l q

z z u yw z y

成为（ A, B, C ）的 Kx 观测器的充要条件为存在 rn 矩阵 P ，使得下列条件满足

(1) Re ( ) 0 ( 1,2, , )(2)(3)(4)

FPA FP GCN PBK EP MC

i i rl

定理 5-12 若（ A, B ）可控，（ F, E ）可观测，则

22 2 12 22 12(1) ( ) F A G A A A稳定(因为（ ， ）可观测）；

(2) PA FP=GC验证： ：

2P G I T 为此，取 。则n q

所以：

2 2 2

P

P G I T G I Gn q n qx x x y x 2+

2 2 2 2ˆ ˆ)P G Gx z y x x y x x 2 2- + - ( 0

21

为此，考虑

11 122 22 2 12 2

21 22

( )A A

G I A G A G IA A

n q n q

1 1 1 1PA FP T PT TAT FPT （ ） =

2 11 21 2 12 22 22 2 12 2[ ] ( )G A A G A A A G A G I n q

2 11 21 22 2 12 2[ ( ) 0]1

1

G CT

G A A A G A G GCT G[I 0]

= n q

1

2

0(4) 2-1

PT

C

-G IIPEP+MC= E M =T T=I

I 0I GC

K=I

q

12 2

2(3)

BN PB= G I TB= G I

Bn q n q ；

其中，用到了

23

E M

zy @11

1

11 1

2

1 11 1 21

2 2

ˆˆˆ

ˆ

0 0

0

T

E M

T T

I IC C CT

I G I GI

q q

n q n qq

xx x

x

z zy y

事实上，若假定（ A, B ）可控，定理 5-12 的基本条件： (A, B ）可控、 可观测 ( 这由定理 5-17（ A,C) 可观测的假设保证）满足。此时，根据定义 5-1 可知，当 K=I 时就构成了一个 (n-q) 维的状态观测器，而定理 5-17 表明，它是一个最小维观测器。

22 12( , )A A

定理 5-18 若（ A, C ）可观测， rankC=q ，则对 (A, B, C ）可构造 n-q 维状态观测器（ 5-45 ）、（ 5-46 ），而且观测器的极点可任意配置。若再假定（ A, B ）可控，则该观测器具有最小维数。

结论 : 以上分析表明， (5-45) 、 (5-46)确实给出了一个 n-q 维的状态观测器。而由定理 5-17，这是一个最小维观测器。于是有如下定理：

例 5-10 设系统如下：1 0 0 1 0

1 0 00 1 1 , 0 1 ,

0 1 10 0 1 0 1

A B C

因 rank C=2 ，故可设计一维观测器。为此，首先作变换：1

1 0 0 1 0 00 1 1 , 0 1 10 0 1 0 0 1

T T

则 1 0 0 1 01 0 0

0 1 1 , 0 2 ,0 1 0

0 0 1 0 1

A B C

11 12 21 22

1 2 1 2

1 0 00 0 1

0 1 1

1 0 1 0 00 1

0 2 0 1 0

A A A A

B B C C

因此，

2 1 2 1 2 1 2[ ], : [ ] , [ ]T Tg g y y y u u u 令G

22 2 12 2 2 1

21 2 11 22 2 12

2 1 1 2 2 1

2

1 2 1 2 2

2

(1

( ) ( )

[(

) (1

)

2 ) (2 )

( ) ]

A G A B G B

A G A A G A G

z

g z gu g

z u

u g gg y gy

y

利用 (5-45)@12 可得一阶状态观测器为：

利用 (5-46)@12 ，可得1 1

1 2 1 2 2

2

1 2

1 2

( )ˆ

0 1 01 1

1

q

n qx w z y

z g g yg g

C C C I C GI G

最后，需要指出， Kx 观测器的维数可能会比 nq 低，究竟低到什么程度则尚不清楚。最小阶 Kx 观测器的设计仍是一个困难的问题。

例题 系统方程为2 1 0 0 0

0 2 1 0 00 0 1 1 01 0 0 0 1

1 0 0 00 0 1 0

A B

C

可以证明，当取 K=[ 0 1 0 1 ] 时（此时的 K 可用作状态反馈配置极点，下一节中将分析）， Kx观测器为 3 [2 5][1 3]

z z y uw z y

其维数小于n2=2。

最小维状态观测器小结1) 当 (A,B,C) 可控、可观测且 rankC=q

时，只要按以上四个步骤即可求得其最小维状态观测器。2) 应注意以上步骤中第一步的前提是 C1 为一个满秩的 qq 阵。若此条件不满足，应先进行列初等变换使之满足这一条件。在此基础上，记住公式 (5-45) 和 (5-46) 中各个子块的含义是有益的。以上设计举例已说明了这一点。