整式方程

要点、考点聚焦 课前热身 典型例题解析 课时训练

要点、考点聚焦1.一元一次方程(1)定义：只含有一个未知数且未知数的最高次数是 1的整式方程，叫做一元一次方程 .(2)一般形式： ax+b=0(a≠0).

2.一元一次方程的解法的一般步骤是：(1) 去分母； ( 方程两边同乘以分母的最小公倍数 )(2)去括号； ( 单项式与多项式相乘的分配律 )(3)移项； ( 注意变号 )(4) 合并同类项 :( 系数相加 , 字母和字母的指数不变 )(5)系数化为 1.(两边同除以未知数的系数 )

3.一元二次方程及其解法 一般形式： ax2+bx+c=0(a≠0).

(4) 因式分解法 . 右边为零 , 左边能因式分解

(2) 配方法：要先化二次项系数为 1 ，然后方程两边同加上一次项系数的一半的平方，配成左边是含未知数完全平方式，右边是非负常数的形式，再用直接开平方法求解 .

(1) 直接开平方法：形如 ( 含未知数 )2=k(k≥0) 的形式 .

一元二次方程的四种解法：

(3) 公式法：若 ax2+bx+c=0(a≠0) ，利用求根公式： (b2-4ac≥0)

x=-b b2-4ac

2a

1. (2003 年 · 广东省 ) 关于 x 的方程 2(x-1)-a=0 的根是 3 ，2. 则 a 的值为 ( )3. A.4 B.-4 C.5 D.-5

课前热身

A

2. (2003 年 · 北京海淀区 ) 用换元法解方程 (x+ )2-(x+ )=1 ，设 y=x+ ，则原方程可化为 ( )A.y2-y-1=0 B.y2+y+1=0C.y2+y-1=0 D.y2-y+1=0

x

2x

2

x

2A

3.(2003 年 · 南京市 ) 用换元法解方程 x2+x+1= ，如果设 x2+x=y, 那么原方程可变形为 ( ) A.y2+y+2=0 B.y2-y-2=0 C.y2-y+2=0 D.y2+y-2=0

xx 2

2

D

4.(2003 年 · 武汉市 ) 一元二次方程 x2-1=0 的根为 ( ) A.x=1 B.x=-1 C.x1=1,x2=-1 D.x1=0,x2=1

C

5.(2003 年 · 辽宁省 ) 已知 2 是关于 (3/2)x2-2a=0 的一个根，则 2a-1 的值是 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6

C

典型例题解析【例 1 】 (2003 年 · 甘 肃 省 ) 若 3 是 关 于 (4/3)x2-

2a+1=0的一个解，则 2a 的值是 ( ) A.11 B.12 C.13 D.14

C

【例 2 】 (1) 若 2(y+3) 的值与 3(1-y) 的值互为相反数，那么 x 等于 ( ) A.-8 B.8 C.-9 D.9 (2) 若方程 y2-3y+m=0 的一个根是 1 ，则它的另一个根是( ) ， m 的值是 ( ).

D

2 2

【例 3 】 解方程： (1)x2-3x-10=0 ；(2)x2+4x-1=0 ；(3)y(y-1)=2 ；(4)m2-6m-616=0.

解 ： (1)(x-5)(x+2)=0 ，∴ x1=5 ， x2=-2.

(4) 用 配 方 法 得 ： m2-6m+9=616+9 (m-3)2=625 m-3=±25 m １ =28,m2=-22.

(3) 原 方 程 变 形 为 ： y2-y-2=0 (y-2)(y+1)=0 y1=2 ， y2=-1.

2

)1(44 (2) 用公式法得 x1,2= =-2±5.

【例 4 】 若实数 x 满足条件： (x ２ +4x-5)2+ ｜ x２ -x-30 ｜ =0 ，求 的值 .

22 )1()2( xx (-3)

【例 5 】 (2002 年 ·绍兴 ) 若一个三角形的三边长均满足 x2-6x+8=0 ，则此三角形周长为 .

6,10,12

方法小结：1. 解一元二次方程常见的几个关键：用因式分解法解方程的关键是先使方程的右边为 0 ；用公式法解方程的关键是先把一元二次方程化为一般形式，正确写出 a 、 b 、 c 的值；用直接开平方法解方程的关键是先把方程化为 (mx-n) 2=h 的形式；用配方法解方程的关键是先把二次项系数化为 1 ，再把方程的两边都加上一次项系数一半的平方 .

2. 一元二次方程解法的顺序：先特殊，后一般；即先考虑能否用直接开平方法和因式分解法 ; 再考虑用公式法 ; 一般不用配方法 .

课时训练1. (2001 年 · 上海市 ) 如果 x=2 是方程 x2-kx-k+5=0 的一个2. 根，那么 k 的值等于 ( ).

2. (2002 年 · 厦门市 ) 一元二次方程 x2+x-1=0 的根是

( ).

3. (2003 年 ·陕西省 )方程 (x+1)2=9的解是 ( ) A.x=2 B.x=-4 C.x1=2,x2=-4 D.x1=-2,x2=4

4. (2002 年 · 甘肃 ) 方程 (m+2)x ｜ m ｜ +3mx+1=0 是关于 x 的一元二次方程，则 ( )

A.m=±2 B.m=2 C.m=-2 D.m≠±2

B

C

3

2

51x

5.(2003 年 · 安徽省 ) 党的十六大提出全面建设小康社会，加快推进社会主义现代化，力争国民生产总值到 2020 年比 2000 年翻两番，在本世纪的头二十年 (2001-2020 年 ) ，要实现这一目标，以十年为单位计算，设每个十年的国民生产总值的增长率都是 x, 那么 x 满足的方程为 ( ) A.(1+x)2=2 B.(1+x)2=4 C.1+2x=2 D.(1+x)+2(1+x)=4

B

6.(2003 年 ·新疆 )用配方法解方程 x2+6x-7=0.

解： x2+6x-7=0x2+6x+9=7+9 (x+3)2=16x+3=±4x1=1 ， x2=-7