整式乘除与因式分解

全攻略

学而思网校 吴铮

物以类聚，人以群分。外面冷，进群吧！

整式乘除：整式学不好，爸妈就要整事了！

皇上，还记得大明湖畔的容嬷嬷吗？

一、整式的有关概念

1．代数式 2．单项式 3．单项式的系数及次数

4．多项式 5．多项式的项、次数 6．整式

二、整式的运算

(一)整式的加减法

去括号，合并同类项

1．单项式除以单项式

2．多项式除以单项式

(三)整式的除法

你的海马区是不是还正常？

海马有没有死掉？

1．同底数幂的乘法 2．幂的乘方

3．积的乘方 4．同底数的幂相除

5．单项式乘以单项式 6．单项式乘以多项式

7．多项式乘以多项式 8．平方差公式

9．完全平方公式

(二)整式的乘法

一、整式的有关概念

1．单项式： 数与字母乘积，这样的代数式叫单项式。单独的一个数或字母也是单项式。

2．单项式的系数： 单项式中的数字因数。

3．单项式的次数： 单项式中所有的字母的指数和。

4．多项式：几个单项式的和叫多项式。

5．多项式的项及次数：组成多项式中的单项式叫多项式的项，多项式中次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。

这些东西傻瓜都知道，你知道吗？！呵呵呵呵

6．整式：单项式与多项式统称整式。(分母含有字母的代数式不是整式)

二、整式的运算

(一)整式的加减法

基本步骤：去括号，合并同类项。

孩子跟我说，老师我最喜欢的歌者是张国荣，梅艳芳，黄家驹，你。我问：你这是合并同类项么…

1．同底数幂的乘法

法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

数学符号表示： (其中m、n为正整数) nmnm aaa

(二)整式的乘法

练习：判断下列各式是否正确(这要是判断错了，枪毙二十分钟~~)。

3 3 3 4 4 8 2 2 2

3 2 6 6

2 , , 2

( ) ( ) ( ) ( )

a a a b b b m m m

x x x x x

2．幂的乘方

法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。

数学符号表示： mnnm aa )( (其中m、n为正整数)

练习：判断下列各式是否正确(三十分钟~~)。

mnppnm aa ])[( (其中m、n、P为正整数)

4 4 4 4 8 2 3 4 2 3 4 24

2 2 1 4 2 4 4 2 2

( ) ,[( ) ]

( ) ,( ) ( ) ( )n n m m m

a a a b b b

x x a a a

3．积的乘方

法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

符号表示：

)()(

),(,)(

为正整数其中

为正整数其中

ncbaabc

nbaab

nnnn

nnn

练习：计算下列各式(这题就不用给正确答案了，你能算错我就给你跪了~~)。

4 2 3 2 3 3 2 31(2 ) ,( ) ,( 2 ) ,( )

2xyz a b xy a b

4.单项式与单项式相乘的法则：

单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。(如果觉得名字不够霸气，可以叫做单项式与单项式相乘大法！)

法则： 多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加。(展开时请保持队形！)

(a+b)( m+n)=am+an+bm+bn

( a+b)(m+n) = a(m+n)+b(m+n)

5 .多项式与多项式相乘：

=am+an+bm+bn

(1) 平方差公式

即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。这个公式叫(乘法的)平方差公式

.,,

))(( 22

也可以是代数式既可以是数其中 ba

bababa

说明：平方差公式是根据多项式乘以多项式得到的，它是两个数的和与同样的两个数的差的积的形式。

6.乘法公式：

一般的，我们有：

(2)．完全平方公式

法则：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍。

.,,

2)(

;2)(

222

222

也可以是代数式既可以是数其中 ba

bababa

bababa

222 2)(: bababa 即

一般的，我们有：

注意：前面的式子是常态，以下是---变态：

(1)(a-b)=-(b-a)

(2)(a-b)2=(b-a)2

(3)(-a-b)2=(a+b)2

(4)(a-b)3=-(b-a)3

7．添括号的法则：

• 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都要改变符号。(切莫一失足成千古恨，别人还会笑你笨！)

(1)同底数幂的除法

即：同底数幂相除，底数不变，指数相减。

一般地，我们有

nmnm aaa (其中a≠0，m、n为正整数,并且m＞n )

01( 0)a a

8.整式的除法：

即任何不等于0的数的0次幂都等于1

(2)单项式除以单项式

法则：单项式除以单项式，把它们的系数、同底数幂分别相除作为商的一个因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

(3)多项式除以单项式

法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。

222 19992001)6(,1999)5(

)23)(23)(4(

zyxzyx

?

,2)()3(

.,1,2)2(

.)1

(,51

)1(

222

222

2

2

2

应为多少则

如果

的值求若

的值求已知

z

nmnmznm

xyyxyx

aa

aa

这些就不提供答案了，错的请自觉面壁思过三年！

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整式乘除拓展

如果你以为以上就是全部，那你就错了，而且错的很到位，接下来才是真正刺激的部分！

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乘法公式

基本公式：a2-b

2=(a+b)(a-b)

(a+b)2=a

2+2ab+b

2 (a-b)

2=a

2-2ab+b

变形公式：

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• 拓展公式：

• 立方和公式：a3+b

3=(a+b)(a

2-ab+b

2)；

• 立方差公式：a3-b

3=(a-b)(a

2+ab+b

2)；

• 完全立方公式：a3+3a

2b+3ab

2+b

3=(a+b)

3

a3-3a

2b+3ab

2-b

3=(a-b)

3

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一、基本变形

• 1．用“＞”号，把355

、444

、533

连结起来_____。

• 解：∵ 355

=(35)11

=24311

, 444

=(44)

11=256

11,

∵ 533

=(53)

11=125

11, 而 256

11

＞24311

＞12511

.

∴ 444

＞355

＞533

.

• 2．计算19992-2000×1998 =_____

• 解：原式=19992-1999

2+1=1

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二、公式转换

• 1．已知 a+b=5,ab=6求a2+b

2 和(a-b)

2

的值。

• 解：a2

＋b2

＝(a＋b)2

－2ab＝25－12＝13

• (a－b)2

＝(a＋b)2

－4ab＝25－24＝1

• 2．已知x-y=2,x2+y

2=4,求（x+y）

2002

的值？

• 解：(x+y) 2002

＝ 22002

• 注意：灵活运用，基本公式及其变形公式。

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三、创造条件使用公式

1．已知：x=a+1，y=a+2，z=a+3，

求：x2+y

2+z

2-xy-yz-zx的值。

解：原式=1/2( 2x2+2y

2+2z

2-2xy-2yz-2zx )

=1/2[(x-y)2 +(y-z)

2 +(z-x)

2]

由题意得：x-y=-1，y-z=-1，z-x=2

原式=1/2 [(-1)2 +(-1)

2 +(2)

2]=3

2．求 的值

解：原式=19991998/19991996+19992000=1/2

3．4a2+4b

2+12a-16b+25=0,求ab/(a+b)的值？

解：(2a+3) 2+(2b-4)

2=0 a=-3/2 b=2 ab/(a+b)=-6

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四、x与1/x类型

1．若x-1/x=3，求x2+1/x2的值。

答案：11

2．若x2-13x+1=0,则x4+ 的个位数字是 。

答案：7

3．非0实数a、b满足4a2+b2=4ab，求 的值。

答案：2

注意：熟悉x与1/x关系一类题的性质，并学会创造条件。

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五、消元问题

1．已知实数x、y、z满足x+y=5 ，z2=xy+y-9, 那么

x+2y+3z=______。

解：带入，消元，z=0,y=3,所以原式=8

2．设x+2z=3y,试判断x2-9y

2+4z

2+4xz的值是不是定值?

如果是定值,•求出它的值;否则请说明理由 。

解：定值为0

注意：在解决多元问题时，通常使用消元法，切记此类问题要敢于去做，去消，看起来变复杂了，实际常常是柳暗花明。

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六、降次问题

1．已知x2-2x-3=0,求x

3+x

2-9x-8的值。

解：x2=2x+3，代入得值为1

注意：降次问题在初二阶段使用不多，但要了解解决此类问题的方法，仅以此题为例。

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七、规律性问题

1．19492-19502+19512-19522+……+19972-

19982+19992=_________

解：(1949+1950)(1949-1950)+(1951+1952)(1951-

1952)+…+(1997+1998)(1997-1998)+(2000-1)2

= -(1949+1950+1951+……+1997+1998)+(4000000-

4000+1)

= -25×(1949+1998)+4000000-4000+1

注意：复杂的公式应用，找到其中的规律。

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2．求 的值

3．

注意：灵动思维的锻炼，发现规律。

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八、尾数问题

1．19881989+19891988的个位数字是_____

解：∵ 19881989=19884×497+1=(19884)497·1988,

而(19884)497的个位数是6。

∴ 19881989的个位数是8。

∵ 19891988=19892×994=(19892)994,

而19892的个位数字是1，

则(19892)994的个位数字是1。

即 19891988的个数数字是1。

∴ 19881989+19891988

的个位数字是9

注意：化归思想，变动为静思想，整体的思想，拆分的思想等多种思想的综合应用

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2．31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38=6561，39=19683，……它们的个位数字的变化有一定规律，用你发现的规律直接写出910的个位数字是几？

答案：1

3．判断(2+1)·(22+1)·(24+1)……(22048+1)+1的个位数字是几？

解：原式=(2-1)(2+1)(22

+1)(24

+1)……(22048-1)+1 =24096=161024

个位数字必为6。

注意：多种数学方法的综合应用。

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九、实际应用问题

1．随着计算机技术的迅猛发展，电脑价格不断降低.

某品牌电脑按原售价降低m元后，又降价20%，现售价为n元，那么该电脑的原售价为 多少？

解：(5n/4+m)元

注意：此类问题是现阶段考试的热点，难度不大，往往联系实际，只是一些固有知识穿上了时尚的外衣。

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十、综合运用问题

1．一个自然数减去45后是一个完全平方数,这个自然数加上44后仍是一个完全平方数,试求这个自然数.

设这个自然数为x,由题意得

②-①得n2-m

2=89 即(n+m)(n-m)=89×1

从而 ,解得 (m,n都为自然数)

故 x=452-44=1981。

注意：多个知识点的综合考察性问题。

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练习

1已知：5x2+10x+30=5-4xy-y2,求2x+y的值?

2已知：2a+b=4,3b=2c,求(a+c-b)2-(3a+c)2的值？

3已知：a-b=ab=2,求3a2+4ab+3b2的值？

4已知：x2-5x-1=0,求x2+1/x2的值？

5已知：a2+b2+2c2+2ac-2bc=0,求a+b的值?

6已知：x2-5x+1=0,求x3-4x2-4x-1的值？

7已知：25x2-30x+k是完全平方式,求k的值？

8已知：三角形abc满足a2+b2+c2=ab+bc+ca

判断三角形abc的形状。

答案：32，-32，32，27，0，-2，9，等边△

物以类聚，人以群分。外面冷，进群吧！