위상수학

• 공간의 연결 구조 • 곡면의 분류 , 종수• 기본군 , 호모토피군 • 푸앙까레 추측 • 3- 차원 다양체 • 우주

위상수학이란 ?

• 공간의 연결구조를 연구한다 . 즉 찢어지지 않는 변형에서 불변하는 구조를 topology 라고 한다 .

• 예 : 원과 타원은 위상적으로 같다 . 그래프의 성질들

• 그래프에서 벋어나 일반적인 2, 3, …, n 차원 공간의 연결구조를 연구하려 한다 . 또한 특이점이 있는 경우도 연구한다 .

Topology 의 정의

• A set X along with a collection T of subsets of it is said to be a topology if the subsets in T obey the following properties: • 1. The (trivial) subsets X and the

empty set are in T. • 2. Whenever sets A and B are in T,

then so is their intersection. ( 유한 ) • 3. Whenever two or more sets are in T, then so is their union ( 무한 가능 )

예

• { , X}• {, {1}, {2}, {1, 2}}

일만적으로 P(X)={ A| A 는 X 의 부분집합 } 은 topology 이다 . Discrete topology 라고 한다 .

• {1,2} 의 모든 topology: {, {1,2}},{, {1}, {1, 2}}, {, {2}, {1,2}}, { , {1}, {2}, {1,2}}

예

실수의 집합에서는 서로소인 열린 구간( 무한포함 ) 의 합집합을 모으면 topology 이다 . 물론 실수 전체 집합과 공집합도 포함된다 . 열린 유한구간의 합집합들을 모으면 위상이다 .

평면에서는 좀더 복잡하다 : 열린 원내부의 합집합

곡면 (2 차원 다양체 )

• 곡면이란 국소적으로 2- 차원인 위상공간을 말한다 .

• 이차원에서의 향이란 회전방향을 국소적으로 주는 것을 말한다 .

• 가향 곡면은 향을 줄수 있다 . • 비가향 곡면은 향을 줄수 없다 .

( 예 : 모비우스 띠 )

곡면 만드는 법

• 평면을 여러 조각으로 잘라서 다시 붙인다 . 이때 추상적으로 붙인다 . 즉 우리가 살고 있는 3- 차원 공간이라고 생각하지 않고 붙이는 방법만 생각 한다 .

예

•구 •실사영곡면

예

•원환면 •클라인병

구

• 구나 타원형이나 마찬가지이다 .

원환면 (torus)

실사영곡면

http://web.meson.org/topology/projective.html

클라인 병 (Klein bottle)

http://www.ma.umist.ac.uk/kd/geomview/geometry.html

( 닫힌 ) 곡면의 분류

• Connected sum construction.Remove two disks from two surfaces and identify the two circle boundaries.

• 또는 손잡이를 붙인다 . • 종수 (genus):

가향곡면 : 원환면의 개수 , 또는 손잡이의 개수비가향곡면 : 실사영곡면의 개수 , 또는 십자모자(cross-cap) 의 개수

• http://www.math.ohio-state.edu/~fiedorow/math655/classification.html

분류의 도우미

• 곡면위에 그래프를 그린다 . 이때 그래프의 보공간은 disk 여야 한다 .

• 오일라 표수는 매몰된 그래프에 상관없이 같은 수를 준다 . ( 예 : 구에서 )

• 손잡이를 붙이면 오일라 표수는 어떻게 변하는가 ? 십자모자를 붙이면 ?

• 종수 , 오일라 표수가 같으면 곡면은 위상적으로 같다 .

오일라 표수 계산

• 구• 원환면 • 실사영 곡면 • 클라인 병 • 가향 종수 g • 비가향 종수 g

20

10

2-2g1-g

기본군 , 호모토피 군

• 기본 세미군 : 곡면위의 길들 , 언제 끝점을 보존하고 변형가능한가 ?

• 두 길 class 는 곱하기를 할수 있다 . A*B (A 가 끝나는 점에서 B 가 시작하는 경우 )

• Loop 들만 보면 군을 이룬다 . • 이것을 기본군이라고 한다 . • 호모토피군은 모든 차원의 구에서의

사상의 변형공간을 계산한다 .

http://mathworld.wolfram.com/Fundamental Group.html

http://mathworld.wolfram.com/HomotopyGroup.html

다차원 공간

• n 차원 공간이란 국소적으로 n 차원 유클리드 공간과 위상동치인 공간을 말한다 . 2 차원과 마찬가지로 여러가지 공간이 있다 .

• 예 : S3 ={ v∈ R4| |v|=1}, S1xS1xS1

http://www.math.tu-berlin.de/diskregeom/stellar/

http://geometrygames.org/

http://geometrygames.org/TorusGames/index.html

12 면체 3- 차원 다양체

• 예 12 면체에서 반대면끼리 시계방향으로 36 도 돌려서 붙임 1/10* 360 = 36

• 3/10* 360 도 돌려서 붙여도 된다 . http://www.nature.com/nature/journal/v425/n6958/fig_tab/nature01944_F3.html

http://www.geometrygames.org/CurvedSpaces/

푸앙카레 추측 (Poincare Conjecture)

• Poincare 는 만약 유한한 공간의 기본군 , 호모토피군이 다 trivial 군이면 그 공간은 구일 것이라고 추측하였다 .

http://mathworld.wolfram.com/PoincareConjecture.html

증명

• 2 차원 구• S. Smale 7 차원 이상에서• Stallings, Zeeman 5 차원 이상 • Freedman 4 차원 • 3- 차원 해결 안됨

Geometrization of 3-manifolds

• 단힌 3- 차원 다양체는 essential 한구나 원환면으로 잘라낸후 3- 차원 기하구조를 지닌다 .

• 3- 차원 기하학을 지닌 다양체란 그 기하학의 공간으로 덮히는 다양체를 말한다 . 또는 대칭군으로 잘라서 만든 공간을 말한다 .

http://mathworld.wolfram.com/ThurstonsGeometrizationConjecture.html

3- 차원 기하학

• Euclidean geometry • Hyperbolic geometry • Spherical geometry

http://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_geometry

• The geometry of S2 x R • The geometry of H2 x R • The geometry of SL2R • Nil geometry, or • Sol geometry.

우주는 생각보다 작다 ?

http://www.nature.com/cgi-taf/DynaPage.taf?file=/nature/journal/v425/n6958/abs/nature01944_fs.html

현재 모델 : 평탄한 유클리드 공간