数学概念教学的思考和建议

重庆 95中学 陈天斌

问题的提出

• 当前的课堂教学，对概念教学不够重视是一个比较普遍的现象。

• 课堂教学演变为“题型教学”，“题型教学”又进一步蜕变为“刺激——反应”训练的状况。

• 应用概念的过程替代理解概念的过程 。

对数学概念教学的认识• 概念是思维的细胞。数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也。

• 数学概念教学的基本原则： 概念教学的核心就是“概括”：以若干典型具体事例为载体，引导学生分析各事例的属性、抽象概括其共同本质属性、归纳得出数学概念等思维活动而获得概念，数学教学要“讲背景，讲思想，讲应用”。

概念教学强调让学生经历概念的概括过程。 数学能力就是以数学概括为基础的能力。

数学概念教学的基本环节 背景引入， 通过典型、丰富的具体事例（尽量让学生自己举例），

引导学生展开分析、比较、综合等活动； 概括共同本质特征征得概念的本质属性； 下定义（用准确的数学语言表达，可以通过阅读教材完

成）； 概念的辨析，即以实例（正例、反例）为载体，引导学

生分析关键词的含义，包括对概念特例的考查； 用概念作判断的具体事例，这里要选用有代表性的例子，

其目的是形成用概念作判断的具体步骤； 概念的“精致“，主要是建立与相关概念的联系，形成

功能良好的数学认知结构。

数学概念教学注意的基本问题• 第一：概念（特别是核心概念）教学中，要把“认识数学对象的基本套路”作为核心目标之一；

• 第二，数学概念的高度抽象性，决定了其认识过程的曲折性，不可能一步到位，需要一个螺旋上升、在已有认知基础上再概括的过程；

• 第三，人类认识教学概念具有“渐进性”，因此学习像函数这样的核心概念，需要区分不同年龄阶段的概括层次（如变量说、对应说、关系说等），这也是“教学要与学生认知水平相适应”的原因所在；

•第四，为了更有利于学生开展概括活动，教师要重视让学生自己举例，“一个好例子胜过一千条说教”；•第五，“细节决定成败”，必须安排概念的辨析、精致的过程，即要对概念的内涵进行“深加工”，对概念要素作具体界定，让学生通过对概念的正例、反例作判断，更准确地把握概念的细节；•第六，在概念的系统中学习概念，即要通过概念的应用，形成用概念作判断的“操作步骤”，同时建立相关概念的联系，这是一次性的概括过程。

举例：• (1) 已知 ， 求 的值。 • (2) 已知 ， 则 。

• (3) 已知 ，求 的值。

• (4) 已知 ， ，求 的值。

0)9384(35 22 yxyxx

)1384(5 2 yxyx012 aa

199819992000 aaa

7524

2

xx8

3

4

3

82

xx

6:5: ba 3:4: cb cb

ba

“反比例函数概念”的教学设计•问题 1：我们学习过反比例概念，你能举出一些两个量成反比例的例子吗？

•设计意图：通过学生自己举例并用概念理解，调动思维，激发思考，并从“两个量在变化过程中”引向“变量”，“成反比例”是一种“变化规律”。

•问题 2：所举的这些例子（匀速运动中路程固定，速度与时间的关系；总价固定，商品单价与商品数量的关系；长方形面积固定，长与宽的关系；等等）有什么共同特征？

•设计意图：让学生概括例子的共同特征是为理解反比例函数概念做基础。最终要使学生得到两个本质要素：一是有两个变量；二是变化规律都是“两个变量成反比例“。

• 问题 3 ：如何用函数的观点解释上述问题？• 设计意图：通过用函数概念解释上述问题，让学设计意图：通过用函数概念解释上述问题，让学

生体会“两个变量成反比例”上升到“反比例函生体会“两个变量成反比例”上升到“反比例函数”的过程，其中主要是确定自变量和函数。例数”的过程，其中主要是确定自变量和函数。例如，按照绿化率的要求，某居民小区要种植如，按照绿化率的要求，某居民小区要种植 100010000 0 的矩形草坪，以草坪的宽 为自变量，长 的矩形草坪，以草坪的宽 为自变量，长 为函数，那么， 随 的变化而变化，给定一个宽 为函数，那么， 随 的变化而变化，给定一个宽 ，长 就唯一确定了，并且对于不同的 及其对 ，长 就唯一确定了，并且对于不同的 及其对应的 ，都有相同的关系 （即 的变形）。应的 ，都有相同的关系 （即 的变形）。

2mx y

y xx y x

yx

y10000

10000xy

•问题 4：请同学们阅读课本，并举例说明你对反比例函数概念的理解。

• 设计意图：让学生通过阅读课本，明确反比例函数的定义；通过举例，并用定义解释，检验学生对概念的理解情况。

• 问题 5 ：概念辨析：用定义判断 ， 是否为反比例函数，为什么？

• 设计意图：从“ 与 成反比例”和“函数”两方面辨析概念。通过举反例使学生进一步明确反比例函数的两个要素。

2

10000

xy

1

10000

xy

yx

用概念作判断的“操作步骤”• 第一步，看 是否随 的变化而变化，任意

一个 是否唯一对应一个 值；• 第二步，“自变量 与相应的函数值 是否

成反比例”，也就是看 与 的乘积是否为常数。

• 对于 ，是一个随 的变化而变化的量，不是一个常数，所以 与 不成反比例。所以它不是反比例函数。同样，对

于 ， 不是一个常数，所以它不是反比例函数。

y xx y

x yx y

2

10000

xy

xxy

10000 x

x y

1

10000

xy )

1

11(10000

1

11(10000

1

10000

xxx

xxy

例题

• 已知 是 的反比例函数，当 时， ，求函数关系式。

• 说明：通过本例要使学生理解，只有形如（ ， 是常数）的函数才是反比例函数，反比例函数就是确定 的值。

• 小结：反比例函数是一类特殊的函数，特殊在自变量与对应的函数值成反比例。

xy 2x 6y

x

ky

0k kk

“《谁的包裹多》”的教学设计

• 以《谁的包裹多》为例，探讨如何根据概念教学的几个基本环节进行概念课的教学。

7.1 　谁的包裹多

累死我了！

你还累？这么大的个，才比我多驮了 2 个．

真的？它们各驮了多少个包裹呢？

哼 ! 我从你背上拿来 1 个，我的包裹数就是你的2 倍！

你还累？这么大的个，才比我多驮了 2 个．

它们各驮了多少个包裹呢？

哼 ! 我从你背上拿来 1 个，我的包裹数就是你的2 倍！

牛驮的包裹数 +1=2 （马驮的包裹数 -1 ）

牛驮的包裹数 - 马驮的包裹数 =2

它们各驮了多少包裹呢？

你还累？这么大的个，才比

我多驮了 2个．

哼 ! 我从你背上拿来 1 个，我的包裹数就是你的 2 倍！

解：设老牛驮了解：设老牛驮了 x 个包裹个包裹 ,, 小马驮了 小马驮了 y 个包裹个包裹 ..根据题意，得根据题意，得

牛驮的包裹数 - 马驮的包裹数 =2牛驮的包裹数 +1=2 （马驮的包裹数 -1 ）

x – y = 2

x + 1 = 2(y – 1)

× √

× ×

(1) x ＋ y ＋ z = 9 ，

(3)

下列方程是不是二元一次方程？(2) 2x ＋ 6y =14,

(4) xy ＋ y = 7 .

（　）（　）

（　）（　）

　　含有两个未知数，并且含有未知数的项的项的次数都是 1 的方程叫做二元一次方程．

,62 yx

注意：单项式的次数注意：单项式的次数就是指这一项所有就是指这一项所有字母（未知数）的指数和字母（未知数）的指数和

你昨天赚了多少钱呀？

昨天我驮了 8 个包裹，大包裹的运费每个 5元，小包裹的运费每个 3 元，共得了 34 元钱。

小羊，考考你？我大小包裹各驮了多少个呀？

老牛你真勤劳！

小马：“你今天赚了多少钱呀？”老牛：“今天我驮了 8 个包裹，大包裹的运费每个 5 元，小包裹的运费每个 3 元，共得了 34 元钱。”小羊：“老牛你真勤劳！”老牛：“小羊 , 考考你大小包裹各驮了多少个呀？”

若设大包裹有 x个 , y 个小包裹 .由此你能得到怎

样的方程 ?

大包裹个数＋小包裹个数＝８

大包裹运费＋小包裹运费＝ 34

5x+3y=34

x +y=8

　议一议

　　 x ， y 的含义分别相同，因此 x ， y 同时满足这两个方程 ，把它们联立起来，得 :

x ＋ y ＝ 8 ，5x ＋ 3y ＝ 34 ．

　　根据上述事例，方程 x ＋ y ＝８和 5x ＋３ y

＝ 34 中， x 的含义相同吗？ y 呢？

　　像这样含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程叫做二元一次方程组 .

注意注意 方程组各方程中同一字母必须代表同一个量 .方程组各方程中同一字母必须代表同一个量 .

它们是二元一次方程组吗？

(×)

(√)(×)

（ 2 ）总共有两个未知数

（ 1 ）都是一次方程

3x ＝ 9 ，y ＝ x+9 ．(4)

(√)xy － x ＝ 4 ，x ＋ y ＝ 5 ；(1)

2x+3y ＝ 16 ，x ＋ 4y ＝ 13 ；(2

)x ＋ y ＋ z ＝ 9,3x － 2y ＝6;

(3)

找适合方程的 x,y 的值：

x 1 2 3 4 5 6 9 …

y 7 6 5 4 3 2 -1 …

3435 yx

8 yx

x 2 5 1 22/5 19/5 16/5 13/5 …

y 8 3 29/3 4 5 6 7 …

二元一次方程组的解 :

二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。

例如 就是二元一次方程组 的解 . x=5,

y=3

x+y=8,

5x+3y=34.

老牛昨天驮的大包裹有 5 个小包裹有 3 个

2. 下面 4 组数值中，哪些是二元一次方程 2x+y=10 的解？

x= -2,

y=6;x=3,

y=4;

x=4,

y=3;

x=6,

y=-2.

3. 二元一次方程组 的解是 。 x+2y=10,

y=2x;x=4,

y=3;

x=3,

y=6;

x=2,

y=4;

x=4,

y=2.

A B C D

C

随堂练习 P218

t

请你说一说，这次草原上数学的探究之旅，请你说一说，这次草原上数学的探究之旅，你收获到了什么你收获到了什么 ??

• 知识上：• 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程

叫做二元一次方程．• 含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程叫做二元

一次方程组 .• 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一

次方程的一个解．• 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方

程组的解．• 思想方法：• 类比、枚举、列方程解决问题

学有学有所获所获

　 1. 你能写出一个以　　　为解的二元一

次方程吗？

1-

1

＝，＝

y

x能力大挑战

2. 你能写出一个以　　　 为解的二元一

次方程组吗？

1-

1

＝，＝

y

x

3. 请根据二元一次方程组 ，设计一道应用题。

1

5

＝yx

yx

作业： 1 、填写数学日记　 2 、 7. １节课后作业　　　　　　　　　　　 　

数学日记 姓名： _________ 日期： ___________ 今天数学课的课题： _________________ 所涉及的重要数学概念 : 理解得最好的地方： 不明白或还需要进一步理解的地方： 所学的内容能否应用在日常生活中，举例说明：