带电小球对心碰撞（固定一球）

电气 0902 李玮仑

x

d

x

2

2

1221

)( dt

xdm

xd

qqk

vdx

dvm

dt

dx

dx

dvm

xd

qqk 112

21

)(

v

v

xvdvmdx

xdqkq

11220 1 )(

1

1

2

11

21

20

1

v

vvm

x

xdm

qkq

1v

R

22

1 21

1

2

121

21

vm

vm

d

qkq

xdqkq

dt

dx

dm

qkqv

xdm

qkqv

1

2121

1

21 212

1

211

2

m

qkqk

dm

qkqvk

1

21212

2

21

1k

xdk

dt

dx

txdtdx

kxd

k00

21

1

1

令 mkxd

k 21

1

dmkm

kdmkm

mk

m

22

122

1

)(

12

)(

2122

积分上下限省写

令 sec2km

dkkdk

kk

32

3

212322

1 tan

sec2sec

tan

12

ddkk

ddkk

sin

1

sin

1

2

1

sin2

cos2

cscsin

12

22

3

21

32

3

21

)cotln(csc

2

1

sin2

cos2

22

3

21

kk

代入积分上下限 上限 sec1

221 kkxd

k

)(

)(sec

2

21

xdk

xdkk

)(

)(cos

21

2

xdkk

xdk

)(sin

21

1

xdkk

k

1

21 )(csc

k

xdkk

1

2 )(cot

k

xdk

下限 0x 有 sec1

221 kkd

k

dk

dkk

2

21sec

dkk

dk

21

2cos

dkk

k

21

1sin

1

21csck

dkk

1

2cotk

dk

将积分上下限代入得碰撞前小球的类运动学方程：

txdkxdkk

dkdkkkkxdkxdkkdkkdkk

)((ln))()((

221

2212

3

2122

2212122

22

3

2 ）

dm

qkqv

xdm

qkqv

1

2121

1

21 212

1

211

2

m

qkqk

dm

qkqvk

1

21212

2

值得思考的是 积分过程中 令 sec2km

那么方程成立时必须满足 02

1

21212

dm

qkqvk

o x

碰撞后两小球电性中和并平分剩余电荷 不妨设21 qq 那么碰撞后各小球的带电量为

221 qq

q

2

2

12

2 )(

)( dt

xddm

xd

qk

令 'xxd

2

2

12

2 '

' dt

xdm

x

qk

vdx

dvm

dt

dx

dx

dvm

x

qk

'

'

'' 112

2

dvvkq

mdx

x

v

v

x

R '2

1'

2 21

''

1

dm

qkqv

Rm

qkqv

1

2121

1

211

2'

代入碰撞前小球速度公式求得碰撞后小球初速

)2

'

2(

2

1

'

1 21

21

2

vv

kq

m

Rx

RdRq

qqv

kq

mv

kq

m

x

1)

21(

'

22

212121

1

22

aRdRq

qqv

kq

m

1)

21(

2212

11

2令

21

2'

2v

kq

ma

x

'

2

1 xaq

m

kv

'

2'

1 xaq

m

k

dt

dx

令 px

a '

2 dppa

pdx

22 )(

4'

t

t

x

Rdtq

m

kdx

xa

'1

'

2'

'

2

1

dp

padp

pa

p

p 2222 )(

14

)(

41省写积分上下限

cosap dadp sin令

dada

adp

pa 32

3

4222 sin

14

sin

sin4

)(

14

)cotln(csc2

1

sin2

cos4

sin

1

2

1

sin2

cos4

22

3

22

3

ada

确定积分上下限 上限： cos'

2a

xa

'

2'cos

ax

ax

'

2sin

ax

2

'csc

ax

2

2'cot

ax

下限： Rx 2' cos1

aR

a

aR

aR 1cos

aR

1sin

aRcsc 1acot R

代入上下限得碰撞后小球的类运动学方程为：

)'2

1ln2)1(2

1

2''ln2')2'(

1

2

3

ttqm

kaaRaR

aRaR

axaxaxax

（

RkRkk

dkdkkkkdkkdkkRkRkkkt

221

2212

3

212122

3

222

2212

3

222

ln)(42'

xdx '1

211

2

m

qkqk

dm

qkqvk

1

21212

2

同样方程在： 01

)21

(2

2121

1

2

RdRq

qqv

kq

m

误差分析： 1 、两小球在逐渐靠近，在一定距离内不符合库仑定律。 2 、小球在碰撞前且相距很近时由于球间场强过大将空气击穿，通过电弧放电；因此小球在碰撞前已开始电性中和。 3 、两小球间的电荷互相吸引导致电荷分布发生变化，因此电荷中心偏离球心。

由此看出以上推导得出的类运动学方程是在无限理想的状态下得到的。