电路基础

电路基础

上海交通大学本科学位课程

第一章基本概念和基本规律

2

§1.2 基尔霍夫定律

牢固掌握基尔霍夫定律

基本要求：

能正确和熟练地应用 KCL和 KVL列写电路方程

3


1 、有关术语

基尔霍夫定律概括了电路中电流和电压分别遵循的基本规律，是用以分析和计算电路的基本依据。

KCL适用于电路中的任一“节点”， KVL适用于电路中的任一“回路”。

（ 1 ）支路：二端元件（ 2 ）节点：元件的端点（ 3 ）回路：电路中任一闭合路经（ 4 ）网孔：内部不含组成回路以外支路的回路（ 5 ）网络：含元件较多的电路

ⓐ

1i

2i 3i

4i 5iⓑ ⓒ

ⓓ

4

网孔的概念仅适用于平面电路。平面电路是指支路间没有交叉点的电路。右图为非平面电路。


①

1

② ③

④

2

3

4

5 6

5

2 、基尔霍夫电流定律

对于任一集中参数电路中的任一节点，在任一瞬间，流出（或流入）该节点的所有支路电流的代数和等于零。

1

( ) 0n

kk

i t

KCL 反映了电路中会合到任一节点的各电流间相互约束关系。


（基尔霍夫第一定律） KCL

6

对右图所示电路应用 KCL, 取流出节点的支路电流为正，流入节点的支路电流为负，则有

KCL的实质是电流连续性原理在集中参数电路中的表现。所谓电流连续性：在任何一个无限小的时间间隔里，流入节点和流出节点的电流必然是相等的，或在节点上不可能有电荷的积累，即每个节点上电荷守恒。


请同学们现在列写

根据 KCL写出的电路方程称为 KCL方程

ⓐ

1i

2i 3i

4i 5iⓑ ⓒ

ⓓ

7

KCL 的重要性和普遍性还体现在该定律与电路中元件的性质无关，即不管电路中的元件是 R 、 L 、 C 、M 、受控源、电源，也不管这些元件是线性、时变、非时变、…

KCL 的也适用于广义节点，即适合于一个闭合面。右图所示电路，根据 KCL 设流入节点的电流为负，则

-i1-i2-i3=0

应用 KCL 时必须注意和电流的两套符号打交道。


3i

1i

2i

8

3 、基尔霍夫电压定律

对于任一集中参数电路中的任一回路，在任一瞬间，沿该回路的所有支路电压的代数和等于零。

1

( ) 0n

kk

u t

KVL 反映了回路中各支路电压间的相互约束关系。


（基尔霍夫第二定律） KVL

应用 KVL 时，应指定回路的绕行方向 ( 可任意选取，可取顺时针方向，也可取逆时针方向 ) 。当支路电压的参考方向与回路绕行方向一致时，该支路电压取正号，反之取负号。

9

对右图所示电路应用 KVL, 取支路电压方向与回路方向一致时为正，否则为负，则有：

KVL 实质上是能量守恒定律在集中参数电路中的反映。单位正电荷在电场作用下，由任一点出发，沿任意路经绕行一周又回到原出发点，它获得的能量（即电位升）必然等于在同一过程中所失去的能量（即电位降）。


请同学们现在列写

根据 KVL 写出的电路方程称为 KVL 方程

3

1

2

4

5

6

12

10

KVL 的重要性和普遍性也体现在该定律与回路中元件的性质无关。

KCL 、 KVL 只对电路中各元件相互连接时，提出了结构约束条件。因此，对电路只要画出线图即可得方程。

例：右图所示电路中 Ec=12V ， Rc=5kΩ ， Re=1

kΩ ， Ic=1mA ， Ib=0.02mA ，求： Uce及 c 点、 e 点的电位 c、 e。

请同学们现在求解


bI

cI

eI

c

be

b1R

b2R

cR

eR

cE

cE

11

§1.3 从网络到图

基本要求：

初步建立网络图论的概念

图、连通图和子图的概念

树、回路和割集的概念

树的选取，基本回路和基本割集的选取

12


1 、网络图论概论

图论是数学领域中一个十分重要的分支，这里所涉及的只是图论在网络中的应用，称网络图论。网络图论也称网络拓扑。

为在计算机上系统地列出一个复杂网络的方程以便分析，就要用到网络图论和线性代数的一些概念。

随着计算机的发展，网络图论已成为计算机辅助分析中很重要的基础知识，也是网络分析、综合等方面不可缺少的工具。

13

2 、图及其概念图论是数学家欧拉创始的。 1736 年欧拉

解决了有名的难题，肯尼希堡城七桥问题。该镇的普雷格尔河中有两个小岛，共有七座桥与两岸彼此连通，问题：从陆地或岛上任一地方开始，能否通过每座桥一次且仅仅一次就能回到原地。

A

B

CD

欧拉用顶点表示陆地区域，用联接相应顶点的线段表示各座桥（如左图），于是七桥问题就变为一道数学问题：在左图中是否可能连续沿各线段，从某一始点出发只经过各线段一次且仅仅一次又回到出发点，即是否存在一条“单行曲线”。


A

B

CD

14

附录：欧拉 (Euler)

欧拉 (Euler)，瑞士数学家及自然科学家。 1707年 4月 15 日出生於瑞士的巴塞尔， 1783 年 9月 18 日於俄国彼得堡去逝。欧拉出生於牧师家庭，自幼受父亲的教育。 13 岁时入读巴塞尔大学， 15 岁大学毕业，16 岁获硕士学位。欧拉是 18 世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域。他是数学史上最多产的数学家，平均每年写出八百多页的论文，还写了大量的力学、分析学、几何学、变分法等的课本，《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》等都成为数学中的经典著作。

15

欧拉得出了一般结论，即存在单行曲线的必要、充分条件是奇次顶点（联接于顶点的线段数为奇数）的数目为 0 。显然右图不满足此条件，因此，七桥问题的答案是否定的。

在七桥问题中，欧拉用点表示陆地，用线段表示桥。图论中，把一些事物及其之间的联系用点和连接于点与点之间的线段来表示，因此，图就是一些点与线段的集合。


A

B

CD

16

网络图论中的一条标准支路

S S

S S

( )

( )k k k k k

k k k k k

u u r i i

u r i i u

S S

S S

( )

( )k k k k k

k k k k k

i i g u u

i g u u i

在网络图中，将支路用线段表示，支路间的连接用点表示。


①

1

② ③

④

2

3

4

5 6

①

1

② ③

④

2

3

4

5 6

Ski

ki Sku

ku

kr

Ski

ki Sku

ku

kg

17

右图网络的网络图中包含有两个独立部分。虽然网络中存在互感，但在网络图中并不反映出磁耦合 M ，因为 M属于网络中支路的特性，而不属于网络图的性质。

一个网络图可以有多个独立部分。

左面两个图，上面的图中包含有一个单独节点，下面的图中有一条支路的两端终止在同一个节点上，称“自环”。这些情况都属于图，但对“自环”图，将不作讨论。


M

18

网络图：一组节点和一组支路的集合，且每条支路的两端终止在两个节点上（排除了“自环”情况）

有向图：若图中的一组支路都标有方向，则这样的图称有向图。

子图：存在网络图 G ，若 G1 中的每个节点和每条支路就是 G 中的节点和支路，则 G1是 G 的子图。也即若存在图 G ，则可从 G 中删去某些支路或某些节点，得到子图 G1 。


①

1

② ③

④

2

3

4

5 6

19

连通图与非连通图 : 当图 G 的任意两个节点之间至少存在着一条由支路构成的通路，这样的图就称连通图，如左上图，否则就是非连通图，如左中图和左下图所示。

①

1

② ③

④

2

3

4

5 6

一个连通图也可以说成是一个独立部分，一个非连通图至少有两个独立部分，而每个独立部分又是一个连通的子图。


20

回路：回路是一条闭合的路经。确切地说，有图 G ，存在一个子图 G1 ，且

①G1 是连通的， ②G1 中与每个节点关联的支路

数恰好是 2 条。

对每个回路，可根据 KVL ，写出Σu=0 的回路方程。


21

树：一个连通图 G 的一个子图，如果满足下列条件就称为 G 的一棵树：①连通的，②没有回路，③包括 G 的全部节点。

构成树的支路称树支，其余的支路称连支。右图中 1、 2、 3 号支路与所有节点构成树 T， 4、 5、 6 号支路为连支。

左图中 2、 4、 6 号支路与全部节点构成树 T， 1、 3、 5 号支路为连支。


5

1

4

2

3 6

5

1

4

2

3 6

22

同一个图 G ，可选择不同的树。设图 G有 n 个节点，如果任意两个节点之间都有一条支路联接，则可选出 nn-2 个不同的树。

右图中有 n = 4 个节点，所以可找到 42 = 16种树（树数的一般计算式子为 detAAT ，其中 A 为图的降阶关联矩阵）。


5

1

4

2

3 6

23

割集：割集是一组不包括节点的支路集合。有一连通图 G ，存在一组支路集合，如果留下任一支路不取掉，则剩下的图仍然是连通的，换言之，割集是一极小支路集。

取走割集将使连通图分成两个独立部分，可以抽象地用高斯面（闭合面）将某一独立部分包围起来，由高斯面所切割的一组支路，就是割集。

左图所示高斯面切割的 1、 4、 5 号支路构成割集。


5

1

4

2

36

高斯面

24

在网络图中，可以将闭合面看作一个广义节点。根据 KCL ，流出或者流入高斯面的支路电流的代数和为零，即流经一组割集的电流的代数和为零 Σi=0

闭合面如何封闭是任意的（这主要是观察位置不同，若在图内观察，则高斯面把圈外部分闭合），封闭面一旦闭合，一般以流出高斯面的电流为正，流入为负，因此也可认为割集有方向，一般取由闭合面里面指向外面为正方向。


25

有些图，某些割集不便用高斯面，如下左图中的 1、 2、 3、4 号支路就不能用高斯面切割，这时可改变一下图的画法。

3

1

2

4

有些图，与高斯面相交的支路集不是割集。如右图中的支路 1、 2、 3、 4 ，当这些支路取走后，将出现三个独立部分。一般来说，如果图 G 具有 S 个独立部分，取走一组割集后，图所应具有S+1 个独立部分。


3

1

2

4

3

1 2

4

26

3 、图论的基本定理若给定一个具有 nt 个节点， b 条支路的连通图 G及 G

的一个树 T 。

在 G 的任何两个节点之间，总有由 T 的树支组成的唯一路经。

若不考虑根节点 ( 或起始节点 ) ，每条树支都有一个终止节点，则树支数 n=nt-1 ，连支数 l=b- ( nt-1)=b-nt+1

每条连支都可以和一些树支构成一个唯一的回路 ( 因为树本身没有回路，增加一条连支，就可得一个回路 ) ，即 l= b-nt+1 个回路，并称单连支回路 ( 也称基本回路 ) 。


27

每条树支都能和一些连支构成唯一的割集，共有 n=nt-1个单树支割集 ( 基本割集 )(∵ 树本身是连通的，当取走一条树支后，树就分成两个独立部分，∴一条树支和一些连支能构成一个割集 )

一个网络的网络图有 nt-1 个基本割集，运用 KCL 可得nt-1 个独立的基本割集方程。

一个网络的网络图有 b-nt+1 个基本回路，由 KVL 可得 b-nt+1 个独立的基本回路方程。每条支路都有一个支路约束方程， b 条支路就有 b 个约束方程。


28

因此，一个网络总共可以有 2b 个独立方程。

对每条支路来说，涉及两个网络变量， ik和 uk ，共有 2b 个变量。

由于独立方程数和网络变量数相等，完全可由 2b个独立方程求出 2b 个未知变量。


29

§1.4 KCL、 KVL 的矩阵形式

基本要求：

掌握关联矩阵和降阶关联矩阵

用降阶关联矩阵表示的 KCL和 KVL 的矩阵形式

30


1 、 KCL 的矩阵形式（系统分析方法）

1i2i

3g

4g

5g5i

2g

S1u

4i

S5i

3i①

1g

② ③

④

右上图所示为一个直流电阻电路 N ，可得其拓扑图，如右下图所示。

从拓扑图中知，支路 1 与节点①和节点④关联，支路 2 与节点①和节点②关联，…，由此可以得到一个节点对支路的关联矩阵 Aa

51

42

3

① ② ③

④

31

关联矩阵由左图，根据 KCL ，对每个节点列方程

1 2

2 3 4

4 5

1 3 5

0

0

0

0

i i

i i i

i i

i i i

1

2

3

4

5

1 1 0 0 0 0

0 1 1 1 0 0

0 0 0 1 1 0

1 0 1 0 1 0

1 2 3 4 5

i

i

i

i

i

①

②

③

④

AaIb=0

1

1k

k

k

ik

b

b

b

a

节点与支路关联，参考电流流出

节点与支路关联，参考电流流入

节点与支路无关联0

ⓘ ⓘ

ⓘ ⓘ

ⓘ

-

Aa矩阵描述了图中节点对支路的关联关系，即 Aa=(aik)


51

42

3

① ② ③

④

32


就每条支路而言，电流总是从一个节点流入，从另一个节点流出，所以关联矩阵的每一列总有两个非零元素，一个是正 1 ，一个是负 1 。因此，把 Aa 的全部行加起来将得到一行全为零，就是说， Aa 的所有行不是线性独立的。

1

2

3

4

5

1 1 0 0 0 0

0 1 1 1 0 0

0 0 0 1 1 0

1 0 1 0 1 0

1 2 3 4 5

i

i

i

i

i

①

②

③

④

AaIb=0

就电路方程组而言，只要把四个方程任意划去一个，剩下的三个方程就是线性无关的。因此，就 Aa而言，只要划去任一行，所得矩阵就是线性独立的。

51

42

3

① ② ③

④

33

∴对 nt 个节点， b 条支路的拓扑图而言，可得 ntb

阶关联矩阵 Aa， Aa 的秩为 nt-1

在关联矩阵 Aa 中，任意划去一行，得矩阵 A ，其秩仍为 nt-1， A 称为降阶关联矩阵。

对电网络来说，总是把与参考节点对应的行划去，同样可得矩阵方程： AIb=0


34


已知一网络图，可以求得 Aa或 A 。同样，如果知道了 Aa或 A ，也一定可得网络图。

a

1 1 1 1 0

1 2 3 4

0 0 0 1 0

1 1 0 0 1

0 0 1 1

5

0

①

②

③

④

A

如果已知降阶关联矩阵 A ，则先根据 Aa 中每列有两个非零元素，且一个为 1 ，另一个为 -1 的性质，求得 Aa ，再求有向图。

① ② ③ ④

1

2

3

45

35

设 e1、 e2、 e3、 e4 为节点电位， u1、 u2、u3、 u4、 u5 为支路电压，并选择节点④为参考节点，即 e4=0 。根据 KVL 可得支路电压与节点电位间的关系。

Ub=ATEn

2 、 KVL 的矩阵形式（系统分析方法）

1 1

2 1 2

3 2

4 2 3

5 3

u e

u e e

u e

u e e

u e

1

2 1

3 2

4 3

5

1 0 0

1 1 0

0 1 0

0

1

2

3

4

5

1 1

0 0 1

u

u e

u e

u e

u

① ② ③


51

42

3

① ② ③

④

36

§1.5 特勒根定理

基本要求：

了解特勒根定理

了解特勒根定理和 KCL、 KVL 的关系

37


特勒根定理是电路中最普遍的定理，它的不寻常之处在于，特勒根定理的导出只依据基尔霍夫两条定律，因此，不论元件的性质如何，激励的种类如何，特勒根定理总是成立的。

特勒根定理是特勒根于 1952 年正式提出的。特勒根定理是可以应用于非线性电路、时变电路的少数几个定理中的一个。

38

对于具有 n 个节点， b 条支路的电路，假定支路电压、电流取一致参考方向，电路中的支路电压向量 Ub= (u1,u2,…,ub)T 、支路电流向量 Ib= (i1,i2,…,ib)T 分别满足 KVL和 KCL ，则

特勒根定理证明：

Tb b 0U I

若电路降阶关联矩阵为 A ，则根据 KVL 有 Tb nU A E

对上式两边转置 T Tb nU E A

两边右乘 Ib得 T Tb b n bU I E AI

根据 KCL有 AIb=0 Tb b

1

0 0b

k kk

u i

或 U I


39

Ub和 Ib并不要求是同一时刻的值 Tb 1 2 1 2

1

( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0b

b k kk

t t u t i t

U I

Ub和 Ib 可以从不同电路中测量得到，只要两个电路的结构相同，且不论各支路中的元件性质是否相同，即对 N有 Ub、 Ib；对有、则 N

bU bI Tb b

1

ˆ ˆ0 0b

k kk

u i

U I

Tb b

1

ˆ ˆ0 0b

k kk

u i

U I

Tb b

1

0, 0b

k kk

u i

U I 可理解为各支路吸收的瞬时功率之和为0 ，即功率守恒，但它适用于结构相同的不同网络，所以称似功率守恒定律。


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