第二章　连续时间信号和系统的时域分析

信号与系统

温州大学瓯江学院

第二章　连续时间信号和系统的时域分析第二章　连续时间信号和系统的时域分析

信号分析：任意信号任意信号 f(t)f(t) 分解为无穷多冲激信号的和分解为无穷多冲激信号的和 ;;

t

dtftf0

)()()(

信号的脉冲分解

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系统分析：系统分析：

e(t) r(t)H(p)

已知系统已知系统 ,, 已知系统输入已知系统输入 ,, 求系统输出求系统输出 ..

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时域分析方法 : 以时间 t 为自变量的分析方法 .

时域分析方法：第一步：建立数学模型；第二步：运用数学方法处理、运算和求解（ t 自变量）；第三步：对所得的数学解给出物理解释，赋予物理意义。

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本章重点：

1 、求系统的冲激响应；2 、用卷积积分法求零状态响应。

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２２ -- １１ LTILTI 系统的数学模型与传输算子系统的数学模型与传输算子

雷达通信系统信息处理武器控制

精确制导数学模型

一、系统数学模型的意义及形式

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信号与系统


ebdt

deb

dt

edb

dt

edb

radt

dra

dt

rda

dt

rd

m

m

mm

m

m

n

n

nn

n

011

1

1

011

1

1

...

....

一般，对于一个线性系统，其输入与输出之间关系，总可以用下列形式的微分方程来描述：

n 阶常系数微分方程

系统r(t)e(t)

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二、电路系统数学模型的建立

列方程的基本依据：

1 、元件特性约束：ＶＣＲ方程。2 、网络拓扑约束： KCL、 KVL 方程。

列方程的基本方法：

节点分析法和网孔电流法。

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例例 11 ：已知电路，求输出电容电压。：已知电路，求输出电容电压。

一阶系统：

Ri

)(tuc

)(tus电源：

电容电压：

电阻电压：

)()()(

tutudt

tduRC sc

c 一阶常系数线性微分方程

dt

tduRC c )(

VCR

KVL

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二阶系统：

+

Uc

-

i(t)

*** 注：同一系统不同变量的系统模型具有同一性。

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例 2. 对图示电路，写出激励 e(t) 和响应 r(t) 间的微分方程。)(ti

)(te2C

L

R)(tr

解：由图列方程

)..().........t(iR

)t(r

dt

)t(drC 22 KCL:

)..().........t(e)t(rdt

)t(diL 1 KVL:

KVL 方程

KCL 方程

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)t(e)t(rdt

)t(dr

R

L

dt

)t(rdLC

2

2

2

将（ 2 ）式两边微分，得

).(..........dt

)t(di

dt

)t(dr

Rdt

)t(rdC 3

12

2

2

将（ 3 ）代入（ 1 ）

二阶常系数线性微分方程

)..().........t(e)t(rdt

)t(diL 1

得：

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三、三、用算子符号表示微分方程用算子符号表示微分方程

n

nn

dt

dp;

dt

dp

dp

t

1

1 、定义：算子作用于某一时间函数时，此时间函数将进行算子所表示的特定运算。

•积分算子（ Integral operator）：

•微分算子（ Differential operator）：

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2 、算子符号的一般运算规则。

abxdt

dx)ba(

dt

xdx]abp)ba(p[x)bp)(ap.(

2

221

Cyxdt

dy

dt

dx

P,PyPx.

两边积分得＝

不能消去其中

4

xPxp

,)(x

)(x)t(xd]dt

dx[Px

p.

t

t

＝则若

1 0

13

xxddt

dx

pP.

t 1

2

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ebdt

deb

dt

edb

dt

edb

radt

dra

dt

rda

dt

rd

m

m

mm

m

m

n

n

nn

n

011

1

1

011

1

1

...

....

一般，对于一个线性系统，其输入与输出之间关系，总可以用下列形式的微分方程来描述：

引入算子后，可以简化系统模型的表示，如：

明显看出：表示方式得到简化。

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i1(t) i2(t)

dt

dfi

Ci

Cdt

diR

dt

diL 1

211

12

21

1

11

dt

dfi

Ci

Cdt

diR

dt

diL 2

212

22

22

2

11

pdt

d n

n

n

pdt

d

pd

t 1

1211112

1

11pfi

Ci

CpiRipL

2212222

2

11pfi

Ci

CpiRipL

1211

111 fd)ii(C

1

dt

diLiR 21222

22 fd)ii(

C

1iR

dt

diL

算子方程

例 3 、由电路得到微分方程

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四、用算子电路建立系统数学模型四、用算子电路建立系统数学模型

类似电路分析中向量法：

,1

,

CjC

LjL

,1

,

pCC

pLL

仅适用于正弦稳态电路中

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例 4 、用算子法求系统微分方程，输出为 2 欧姆电阻的电流。

i1 i2

)(5.0)()2

35( 2

2 tpftipp

)(5.0)(2

3)(5)( 2222

2

tfdt

dtiti

dt

dti

dt

d

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五、五、传输算子（传输算子（ transfer operatortransfer operator））

D(p)r(t)=N(p)e(t)

e(t) r(t)H(p)

pD

pNpH

tepD

pNtr

传输算子

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例 5 、系统的输出为 2 欧姆电阻的电流，求系统的传输算子。

i1 i2

)(5.0)()2

35( 2

2 tpftipp

)(5.0)(2

3)(5)( 2222

2

tfdt

dtiti

dt

dti

dt

d

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)2p3p

1p

)t(f

)t(y)p(H

2

例 6 、由模拟框图H(p)

231 x3x2)t(fx 112x

p

3x

p

2)t(f

dxxt

12 1xp

1

dxxt

23 12x

p

12x

p

1

32 xx)t(y 112x

p

1x

p

1

2p3p

)t(pfx

21

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２２ .2 .2 零输入响应（零输入响应（ zero—input zero—input responseresponse））

0r,0r,0r

0trpD1n

zi

（ The zero-input response is the system response due to initial conditions. ）

)(5.0)(2

3)(5)( 2222

2

tfdt

dtiti

dt

dti

dt

d例、

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**** 零输入响应的一般形式：零输入响应的一般形式：

n ,......, 21

tn

tt nececectr ......2121

t

nt

m

tmm

nm ecec

etctcctr

......

......

1

1

1

121

特征方程：Ｄ（ λ） = ０的根：

1 ）单根：

2 ）重根：（ λ1为m 阶重根）

3 ）共轭复根：

n

3j

tj21

t

2,1

jectcosctsincetr

j

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求解系统零输入响应的一般步骤

1 ）求系统的自然频率；

2 ）写出零输入响应 yx(t) 的通解表达式；

3 ）根据换路定理、电荷守恒定理、磁链守恒定理求出系统的初始值：

)0(),0(),0( )1( nxxx yyy

4 ）将初值带入 yx(t) 的通解表达式，求出待定系数；

5 ）画出 yx(t) 的波形。

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例：已知某系统激励为零，初始值例：已知某系统激励为零，初始值 y(0y(0++)=2)=2 ，， y’(0y’(0++)=1)=1，， y”(0y”(0++)=0)=0 ，，描述系统描述系统

的传输算子为的传输算子为求系统的响应 y(t)。2

2

)3)(1(

382)(

pp

pppH

解：0)3p)(1p()p(D 2

系统时域响应为

11p 3pp 3 2

t33

t32

t10 teKeKeK)t(y

210 KK)0(y

3210 KK3K)0(y

3210 K6K9K)0(y

=2

=1

=0

5K,4K,6K 321

0546)( 330 tteeety ttt

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2.3 2.3 零状态响应零状态响应 ((Zero—state response)Zero—state response)

由于研究方法和目的不同可以有不同的解分解形式。比如：全解＝零输入响应＋零状态响应＝暂态响应＋稳态响应 (transient response)+ (steady-state response)

＝自然响应＋强迫响应　 (natural response)+ (force response)

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一、冲激响应：

1 、定义： Impulse response , denoted h(t), of a fixed,

linear system assumed initially unexcited, is the response of the system to a unit impulse applied at time t=0.

冲激响应是系统对单位冲激信号输入时的零状态响应。

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)()()( tbtaytydt

d ap

bpH

)(

冲激响应的形式为：

)(t )(th

)()( tUbeth at

特征方程： 0 ap 特征根： ap

22 、、冲激响应的一般形式：冲激响应的一般形式：

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高阶系统的单位冲激响应

传输算子0

11

0)(apap

bpbpH

nn

n

mm

001

1 apap n

nn 特征方程：

当 n>m ，且特征根均为单根时：

将H(p) 展开成部分分式：

n

i i

i

n

n

pp

K

pp

K

pp

K

pp

KpH

12

2

1

1)(

)()()()( 2121 tUeKtUeKtUeKth tp

ntptp n

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a ）求传输算子 H(p)；

b ）如果 m≥n, 用长除法将 H(p) 化为真分式；

c ） H(p) 部分分式；

d ）根据 H(p) 部分分式的各项，写出单位冲激响应h(t)；

求单位冲激响应的一般步骤 :

例 1 ：已知某系统的微分方程为 ,求 f(t)=(t) 时的零状态响应h(t)。

)(2)(

2

1)(2

)(3

)(2

2

tfdt

tfdty

dt

tyd

dt

tyd

答： )()2

3()( 2 tUeeth tt

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MATLAB 仿真结果：

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)3)(1(

221

)()1(

pp

ppH

例：求系统单位冲激响应 h(t) ，已知描述系统的传输算子分别为

)3)(1(

221

)()1(

pp

ppH

23

5553)()2(

2

23

pp

ppppH

解：

3p

4/1

1p

4/3

)t(U)e4

1e

4

3()t(h t3t

23

5553)()2(

2

23

pp

ppppH

)2p)(1p(

3p4p3

2p

1

1p

24p3

)t(U)ee2()t(4)t(3)t(h t2t

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又又

例、 RLC 串联电路零状态响应

sc Uudt

diLiR

dt

duCi c

sccc Uu

dt

udLC

dt

duRC

2

2

可得

t0 , K 在 1 ，由 KVL,有

sccc U

LCu

LCdt

du

L

R

dt

ud 112

2

( 二阶常系数线性非齐次微分方程 )

012

LCP

L

RP

( 特征方程 )

t<0 , K 在 2, 电路稳定，有

0)0( cu 0)0( i

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特征根特征根 ::

（自然频率、固有频率）

C

LR 2

C

LR 2

C

LR 23 、共轭复根： ( 欠阻尼 ) 即

2 、重根： ( 临界阻尼 ) 即

1 、单根： ( 过阻尼 ) 即

stptp

c UBeAeu 21

spt

c Ue)BtA(u

sdt

c UtAeu )cos(

LC

1,,

L2

R0

220d

LCL

R

L

RP

1)

2(

22

2,1

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信号与系统


二、阶跃响应：二、阶跃响应：

1 、定义： Step response is a zero state response of

a fixed ,linear system to a unit step function applied at time t=0.

阶跃响应是系统对单位阶跃信号输入时的零状态响应。

阶跃响应记作 g(t)。

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2 、阶跃响应和冲激响应的关系：

dt

tdgth

dhtgt

3 、阶跃响应的求法： 1 ）经典法； 2 ）从冲激响应求阶跃响应。

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例：例：图示电路，求单位阶跃响应图示电路，求单位阶跃响应 u(t)u(t)。。

解：由算子电路，有算子方程

101

p21

201

102/u

20)t(f

u

p10

3

u)t(f

10p2

)t(pfu

dt

)t(df)t(u10

dt

)t(du2 5p

VtUetutg t )(2

1)()( 5

h(t)=?

利用冲激响应和阶跃响应的关系得：

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例例 -------------- 工程应用实例工程应用实例 11电子电路工作时，往往在有用信号之外，还存在

一些令人头痛的干扰信号。如何克服这些干扰是电子电路在设计、制造时的主要问题之一，克服这些干扰的方法多种多样，但很难完全克服。

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例例 -------------- 信号消噪实例信号消噪实例 22

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例例 -------------- 指纹图象的消噪指纹图象的消噪 33

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设在电子测量中，测得信号波形，其中包括两部分：慢设在电子测量中，测得信号波形，其中包括两部分：慢波动的有用信号和快速波动的干扰信号。如何消除或抑波动的有用信号和快速波动的干扰信号。如何消除或抑制这些干扰信号呢？制这些干扰信号呢？

例例 -------------- 工程应用实例工程应用实例 44

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解决办法 : 设计一个系统 .

LCP

RCP

LCPH11

1

)(2

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25007.70

2500)(

2

PPPH选取合适的电路参数 ,得 :

信号通过系统 :

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一、定义：

dtffty f )()()( 21 )()()( 21 tftfty f

二、卷积积分的计算1 ．利用定义计算 2. 2. 利用卷积的性质计算利用卷积的性质计算3. 3. 利用卷积积分表计算利用卷积积分表计算

4. 4. 利用图解法计算利用图解法计算 1 ）

dτ(tff ))( 21

2）3 ）

4）5）

)(),( 21 tftf )(),( 21 ff

（折叠）)(2 f )(2 f

（平移）

（相乘）

)(2 f )(2 tf

)()( 21 tff

（积分）

２－２－ 44 卷积卷积

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三、卷积的意义：

零状态响应 = 输入信号系统的冲激响应

过程：LTILTI( t ) h( t ) （定义）

( t ) h( t ) （时不变性）

f( t ) ( t ) f( t ) h( t )

f( t ) y( t )

f( )( t ) f( )h( t ) （齐次性）

d)()( thf

d)()( tf （叠加性）

h( t )f( t ))(tyzs

)(*)()()()( 2121 tftfdtffty f

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例 1 、（定义式法）求 )(e)(e)()()( 2121 tututftfty tt

d)()()( 21 tffty

设 1 = 1 ， 2 = 3 ，则 )()ee(2

1)( 3 tuty tt

解

d)-u(t)eu(e )(21 t

tt

0

)( dee 212

)(21 ee tt

0d

)()ee(1

21

21

tutt

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例例 2 2 图解法示意说明图解法示意说明

)30(,2

)(,10

11)( 21

tt

tft

ttf

0 t

tf11

11

0 t

tf2

3

2

3

0

1f

1

11t

)(2 f

0

2f

3

2

3

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3t t

tf2

当 t<-1

3t t

tf2 021 tff

021 tftfty

当 -1<t<1

dtfftyt

)()()( 21 1

4

1

24

2

tt dt

t .

2

1.1

1

当1<t<2

3t t

tf2

tdtty .2

1.)(

1

1

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当当 2<2<t<4t<4

3t t

tf2

224

).(2

1.1)(

2

1

3

tt

dttyt

当 t>4

3t t

tf2

021 tftfty

t

ttt

tt

ttt

ty

其它0

42224

21

114

1

24

)( 2

2

信号与系统


例例 33 ：：用图解法求用图解法求 y(t)=f(t)*h(t)y(t)=f(t)*h(t) 。。其中其中解：

当 t<0： 0 thtfty

当 0<t<7： detyt t

0

)()(

te1

当 7<t： dety t7

0

)()(

tee )1( 7

1 、变量代换2 、翻转

3 、时移

信号与系统


四、四、卷积积分的一些性质：卷积积分的一些性质：

1 、卷积满足交换律、结合律和分配律。

tftftftftftftf

tftftftftftf

tftftftf

3121321

321321

1221

注意：对于信号和系统的相互作用，以上定律有特殊的物理意义。

h2(t) r(t)

h1(t) e(t)

•级联：

h(t) e(t) r(t)

•并联：

h1(t) e(t)

h2(t)

r(t)

ththth 21

ththth 21

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22 、、卷积的微分和积分：卷积的微分和积分：

t

tt

dxxfxf

xfdxxfdxxfxf

tfdt

dtftftf

dt

dtftf

dt

d

21

2121

212121

tftfty jiji )(2

)(1

)( )(

信号与系统


五、五、奇异函数的卷积：奇异函数的卷积：

dftutft

tfttf

tfttf

tttfttttf

ttftttf

tfttf

kk

2121

00

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例 1： f(t)=tU(t) ， h(t)=U(t)-U(t-2) ，求卷积积分y(t)=f(t)*h(t)。

=tU(t) *[U(t)-U(t-2)]解： y(t)=f(t)*h(t) =tU(t) *U(t)- tU(t) *U(t-2)]

)t(U2

t 2

)2t(U2

)2t( 2

0t0

2t02/t 2

2t2t2

例例 22 ：：求卷积积分求卷积积分 y(t)=ey(t)=e-t-t U(t)*U(t) U(t)*U(t)。。

练习。

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例例 33 ：：若若 hh11(t)(t) = U(t)= U(t) ，， hh22(t) = (t) = (t-T)(t-T) ，， hh33(t) = - (t) = - (t)(t)，，求求 h(t)h(t) 。。

)()()()()( 3211 ththththth

)]([)()()( ttUTttU

)]([)()( tTtUtU

)()( TtUtU

解：

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例例 44 ：已知：已知 ff11(t)(t)和和 ff22(t)(t) 的波形，的波形，求求 y(t)= fy(t)= f11(t) f﹡(t) f﹡ 22(t)(t)

t

2f1(t)

0

)(2 tUe t

t

2f2(t)

031

-1

）tfdt

ddftftfty

t()()()()( 2121

解： )3()1(3)(2)()(2)( 21 tUtUtUtftUetf t

（微积分性）

)]3()1(3)(2[)(2 tttdUe

t t

)3()1(2)1()1(6)()1(4 )3()1( tUetUetUe ttt

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解：

1 求 H(p)

1

1)(

1

1

ppH

tfp

ti

2 求单位冲激响应 )()( tUeth t

)()()( thtfti

图示电路，例例5:5: )2()()( 2

tUtUetf

t

1

p

i(t)

求零状态响应 i(t)。

计算卷积：

)2()(2)()(2 )1(22 tUeetUeeti t

tt

t

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波形图：波形图：

0 5 10

0.5

1

f(t)

0 5 10

0.5

1

h(t)

0 2 4 6 8 10

0.5

1

i(t)

2][2

20)(2)()1(

2

tee

teetitt

tt

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信号分析中 , 常需要讨论信号的相似性。

２－２－ 5 5 信号的相似性信号的相似性 ---------------- 相关相关

可以利用相关系数进行度量：

dttfdttf

dttftf

)()(

)()(

22

21

21

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当需要了解信号在不同时延后与其他信号的相关性时当需要了解信号在不同时延后与其他信号的相关性时 ,, 需需要使用要使用相关函数相关函数 ..

发出信号 :

收到信号 : 2 倍的传输

时间

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定义定义 : f1(t): f1(t)和和 f2(t)f2(t) 的相关函数为的相关函数为

dttftfR )()()( 21

dtffty )()()( 21

显然 , 相关函数是时间间隔 τ的函数 .并且 ,与卷积运算类似，卷积的定义式为：

)(*)()()()( 2121 tftfdttftfR

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第二章　连续时间信号和系统的时域分析