1第四章第 讲 1

第第 44 章 连续系统的频域分析章 连续系统的频域分析 周期信号激励下的系统响应 周期信号激励下的系统响应 非周期信号激励下的系统响应 非周期信号激励下的系统响应 信号的无失真传输 信号的无失真传输 理想低通滤波器 理想低通滤波器 调制与解调调制与解调

1第四章第 讲 2

4.1 4.1 引言引言

在时域中在时域中 ,, 卷积积分的方法可求得系统的零状卷积积分的方法可求得系统的零状态响应。它是以态响应。它是以冲激信号冲激信号作为基本信号，将任作为基本信号，将任意连续信号分解为无穷多个冲激函数的加权和，意连续信号分解为无穷多个冲激函数的加权和，每个冲激函数对系统的响应叠加起来，就得到每个冲激函数对系统的响应叠加起来，就得到的零状态响应。的零状态响应。

本章中本章中 ,, 正弦信号正弦信号或谐波信号作为基本信号，或谐波信号作为基本信号，将信号分解为无穷多个正弦信号或虚指数的加将信号分解为无穷多个正弦信号或虚指数的加权和。这些信号作用于系统时所得到的响应之权和。这些信号作用于系统时所得到的响应之叠加即为系统的零状态响应。 叠加即为系统的零状态响应。

1第四章第 讲 3

4.1 4.1 引言引言

在时域中，在时域中， 在频域中在频域中 , ,

)()()( tfthty

)()()( jFjHjY

)()()(

)()(

jejHjF

jYjH

输入的频谱响应的频谱

其中： H(j)=F [h(t)] 称频域系统函数。 则 h(t)= F -1[H(j)] 　

)( jH 也称系统的频率响应。)( jH )(称为幅频特性， 称相频特性。

1第四章第 讲 4

4.1 4.1 引言引言 基本思想基本思想

零状态响应的求法如下：零状态响应的求法如下：

)(th

)( jH

)(tf )()()( tfthtyzs

)( jF )()()( jFjHjYzs

傅里叶变换 傅里叶反变换

1第四章第 讲 5

频域系统函数频域系统函数

tjjtj

tjtjzs

ejHdehe

dehethty

)()(

)()()( )(

dehjH j

)()(式中 为 h(t) 的傅里叶变换，

可见，系统的零状态响应可见，系统的零状态响应 yyzszs((tt)) 是等于激励是等于激励 eejjtt 乘以加权函乘以加权函数数 HH(j(j)) ，，此加权函数此加权函数 HH(j(j)) 即为频域系统函数，亦即为即为频域系统函数，亦即为hh((tt)) 的傅里叶变换。的傅里叶变换。

设激励 f(t)=ejt, 则系统零状态响应为

即有 h(t)H(j)

1第四章第 讲 6

4.2 4.2 周期信号激励下的系统响应周期信号激励下的系统响应

正弦信号激励时的响应正弦信号激励时的响应 设输入信号为正弦信号，即设输入信号为正弦信号，即

)cos()( 0tAtf )]()([)( 00 AjF

)()()( jFjHjY )]()()[( 00 jAH

)]()()()([ 0000 jHjHA

)]()([)( 00000 jj eejHA

)cos()()( 000 tAjHty所以

1第四章第 讲 7

例 例 4.1 4.1

)( jH

200

2005.1)(

jH 60)(

)12025cos(5)9010cos(2)( tttf

)(ty

设系统的频率响应 为

若输入信号求系统响应

)9010cos(2)(1 ttf

)3010cos(3

)609010cos(2)10()(1

t

tjHty

解 用叠加定理考虑， 作用于系统时，

)12025cos(5)(2 ttf 0)25( jH

)3010cos(3)( tty20对于第二项， 作用于系统时，

所以，响应为零。因此，系统响应为

的频率被滤掉。

1第四章第 讲 8

例 例 4.2 4.2

正弦波通过正弦波通过 RCRC 电路电路

)(tf

R

C )(ty

tttf 3000cos100cos)(

1000/1 RC带宽 求系统响应 解 : 系统函数为

RCj

RC

RCjCjR

Cj

jF

jYjH

/1

/1

1

1

)/(1

)/(1

)(

)()(

22 )/1(

/1)(

RC

RCjH

幅频特性

RC 1tan)( 相频特性

1第四章第 讲 9

例 例 4.24.2

用用 MATLABMATLAB 画出的幅频和相频特性图画出的幅频和相频特性图

截止频率

1第四章第 讲 10

例 例 4.24.2

995.0)100( jH 71.5)100(100当 rad/s时，

)6.713000cos(316.0)71.5100cos(995.0)( ttty

系统响应为

316.0)3000( jH 6.71)3000(3000当 rad/s时，

1第四章第 讲 11

例 例 4.24.2

用用 MATLABMATLAB 画出的输入和输出波形画出的输入和输出波形

1第四章第 讲 12

例 例 4.34.3 某线性非时变系统的幅频响应某线性非时变系统的幅频响应 ||HH(j(j)|)| 和相频和相频

响应响应 (()) 如图所示。若激励 如图所示。若激励 , ,

求该系统的响应 y(t) 。解：

1

cos1

1)(n

tnn

tf

()

-2 20-

|H(j)|

2

-2 20

tt

tnn

tfn

2cos2

1cos1

cos1

1)(1

)]2()2([2

1)]1()1([

)(2)(

jF

该信号通过系统后，其响应的频谱为：该信号通过系统后，其响应的频谱为：

2

2)(

)]1()1([)(4

)]}1()1([)(4{)(|)(|)()()(

j

jj

e

eejFjHjFjHjY

ttty sin2)2

cos(2)( 傅里叶反变换即可得：傅里叶反变换即可得：

1第四章第 讲 13

非正弦周期信号激励时的响应 非正弦周期信号激励时的响应

n

tjnneFtf )(

H(j)

tjne tjnejnH )(

tjnneF

tjnn ejnHF )(

n

tjnneFjnHty )()(

nn FjnHY )( 为输出信号的频谱

由于这类计算通常比较烦琐，因此最适合用 Matlab 来计算。

1第四章第 讲 14

例 例 4.4 4.4

RCRC电路，若输入信号为周期矩形脉冲波如下电路，若输入信号为周期矩形脉冲波如下图所示。求系统响应。 图所示。求系统响应。

解 输入信号的频谱为 解 输入信号的频谱为

)(tf

2 t5.0 02

1

5.0

,2,1,0)2

(

nn

SaT

Fn

1第四章第 讲 15

例 例 4.44.4

其中，其中， TT=2=2 ，，基波频率，因此，有，，基波频率，因此，有

RCRC 电路的频率响应为电路的频率响应为

因此，因此，

RCj

RCjH

/1

/1)(

RCjn

RCjHjnH

/1

/1)()(

,2,1,0)2

(5.0 nn

SaFn

1第四章第 讲 16

例 例 4.44.4

RCRC 电路的频率响应为电路的频率响应为

因此，因此，

输出信号的频谱为 输出信号的频谱为

系统响应为系统响应为

RCj

RCjH

/1

/1)(

RCjn

RCjHjnH

/1

/1)()(

nn FjnHY )( RCjn

RC

/1

/1

)2

(5.0n

Sa

n

tjnneYty )(

1第四章第 讲 17

例 例 4.44.4

RCRC 电路输出的幅度频谱 电路输出的幅度频谱

1第四章第 讲 18

例 例 4.44.4

RCRC 电路输出的时域波形 电路输出的时域波形

1第四章第 讲 19

4.3 4.3 非周期信号激励下的系统响应非周期信号激励下的系统响应

频域分析的方法的求解步骤为：频域分析的方法的求解步骤为： 先求出输入信号的频谱先求出输入信号的频谱 F(jF(j)) 和频域系统函数和频域系统函数

H(jH(j)) 由于由于 yy(t)=(t)=hh(t)(t)ff(t)(t) ，利用连续时间非周期信号，利用连续时间非周期信号

的傅立叶变换的时域卷积性质，有的傅立叶变换的时域卷积性质，有 Y(jY(j) = H(j) = H(j) F(j) F(j) ) ，， 求出输出信号的频谱 求出输出信号的频谱 将将 Y (jY (j)) 进行傅里叶反变换就得到 进行傅里叶反变换就得到 yy(t)(t)

1第四章第 讲 20

例 例 4.5 4.5

RCRC 电路，若输入信号为矩形脉冲波如图电路，若输入信号为矩形脉冲波如图 4-94-9所示。求系统响应。所示。求系统响应。

解 输入信号的频谱为解 输入信号的频谱为

)(tf

t5.0 0

1

5.0

图 4-9 矩形脉冲波

)2

()( SajF

1第四章第 讲 21

例 例 4.54.5

RCRC 电路的系统函数为 电路的系统函数为

因此，输出频谱为因此，输出频谱为

因为 因为

RCj

RCjH

/1

/1)(

)2

(/1

/1)()()(

SaRCj

RCjFjHjY

)(1

)2

sin(2

)2

()( 5.05.01

jj ee

jSatG

1第四章第 讲 22

例 例 4.54.5

令令 1/RC=a1/RC=a ，可得，可得)(

1)( 5.05.0

jj ee

jaj

ajY

)(11 5.05.0

jj ee

ajj

)(1

)(1 5.05.05.05.0

jjjj ee

ajee

j

)]5.0()5.0([)]5.0()5.0([)( )5.0()5.0( tetettty tata

)5.0(]1[)5.0(]1[ )5.0()5.0( tete tata

1第四章第 讲 23

例 例 4.54.5

用用 MatlabMatlab 画出的输出信号的频谱如图画出的输出信号的频谱如图 4-104-10 所所示。图中画出了带宽和的两种情况 示。图中画出了带宽和的两种情况

图图 4-10 RC4-10 RC 电路输出的幅度频谱电路输出的幅度频谱

1第四章第 讲 24

例 例 4.54.5

图图 4-11 RC4-11 RC 电路输出的时域波形电路输出的时域波形

1第四章第 讲 25

例 例 4.54.5

结论结论 由于由于 RCRC 电路的低通特性，高频分量有较大的电路的低通特性，高频分量有较大的

衰减，故输出波形不能迅速变化，衰减，故输出波形不能迅速变化， 输出波形不再是矩形脉冲信号，而是以指数规输出波形不再是矩形脉冲信号，而是以指数规

律逐渐上升和下降。律逐渐上升和下降。 当带宽增加时，允许更多的高频分量通过，输当带宽增加时，允许更多的高频分量通过，输

出波形的上升与下降时间缩短，和输入信号波出波形的上升与下降时间缩短，和输入信号波形相比，失真减小。形相比，失真减小。

1第四章第 讲 26

例 例 44.6.6在如图所示系统中， f(t) 为已知激励 ， 。求零状态响

应 y(t) 。t

th1

)(

hh(t)(t) hh(t)(t)f(t) y(t)

解：设 f(t)F(j)

)sgn(2)sgn(22

:,2

sgn

jtj

t 根据对偶性

)sgn(1 jt

即有： H(j)=F [h(t)]=-jsgn()

故得： R(j)=H(j) H(j)E(j)= [-jsgn()][-jsgn()]E(j)

=-sgn()sgn()E(j)=-E(j)

所以： y(t)= -f(t) 可见此系统为一反相器。

1第四章第 讲 27

课堂练习题课堂练习题一个系统的系统函数为 ，求对于以下各输入的时域响应 y(t) 。

)454cos(28)454cos(24

164)( ttty

)(16)( 4 tetty t

jjH

4

16)(

ttf 4cos4)()1( )()()2( ttf )()()3( 4 tetf t

(1)

(2) )(16)()( 4 tethty t

(3)2)4(

16)()()(

jjFjHjY