對偶理論

6-1實用管理科學

陳明德、陳武林著前程文化

Ch6簡捷敏感度分析與對偶理論

對偶理論「敏感度分析」，研究數學規劃問題中參數值 ( 如各類係數 ) 的改變對於最佳解以及目標函數值的影響。「對偶理論」 (duality) ；瞭解每一個線性規劃問題都會有一個「對偶問題」 (dual)與其對應，而此對偶問題在經濟上具有相當有趣的含意。




敏感度分析—運用簡捷列表目標函數係數敏感度分析中，我們常見到對於目標函數係數值有一個限制範圍，我們稱之為「最佳化範圍」。當我們一次只改變一個目標函數係數時，只要改變後的目標函數係數落在此限制範圍內，則改變前的最佳解仍然是改變後問題的最佳解。




LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2 OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 9.000000 VARIABLE VALUE REDUCED COST

X1 5.000000 0.000000 X2 1.000000 0.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 0.500000 3) 0.000000 0.250000

NO. ITERATIONS= 2 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:

OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE

COEF INCREASE DECREASE X1 1.000000 0.333333 0.200000 X2 4.000000 1.000000 1.000000

RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE

RHS INCREASE DECREASE 2 10.000000 3.333333 2.000000 3 16.000000 4.000000 4.000000




範例說明 (1/4)在考慮弘光問題 -- 題目請見課本 p130 運用簡捷法，最後可得簡捷列表：

X1 X2 S1 S2Basis CB 1 4 0 0

X2 4 0 1 1/2 -1/4 1X1 1 1 0 -3/2 5/4 5 zj 1 4 1/2 1/4 9 cj - zj 0 0 -1/2 -1/4

得基本可行解 X1 = 5 、 X2 = 1 、 S1 = 0 、 S2 = 0目標函數值為 : Z = X1 + 4X2 = 1(5) + 4(1) = 9




範例說明 (2/4)每單位 A 產品之利潤 c1 的範圍，在簡捷列表內，以 c1 取代目標函數 X1 的係數，並重新計算 zj 與 cj - zj 兩列，可得簡捷表如下：為維持最佳化，則 cj - zj 列的所有數皆須 0 可得 (3/2)c1-2 0 c1 4/3 ， 1-(5/4)c1 0 c1 4/5




範例說明 (3/4)

從以上二式，可得到 c1 的範圍如下： 4/5 c1 4/3 同樣地，以 c2 取代目標函數

中 X2 的係數 (4) ，並重新計算 zj 與 cj - zj 兩列，並讓 cj - zj 列上的所有數皆必須 0 ，可得3/2-1/2c2 0 c2 3

1/4c2 -5/4 0 c2 5

從以上二式， c2 的範圍： 3 c2 5




範例說明 (4/4)




限制式右側值在許多線性規劃問題中，限制式的右側值是代表可以運用的資源數量。對偶價 (dual price) ：是提供決策者有關於取得額外資源 ( 即增加右側值 ) ，所必須額外支出的資訊。每條限制式都有一對應的對偶價，其意義為該限制式的右側值每增加一單位，目標函數值的「改善」量。




範例說明 (1/2)

以弘光為例，最終簡捷列表如下： X1 X2 S1 S2

Basis CB 1 4 0 0

X2 4 0 1 1/2 -1/4 1

X1 1 1 0 -3/2 5/4 5

zj 1 4 1/2 1/4 9

cj - zj 0 0 -1/2 -1/4

S1 與 S2 所對應 zj 值分別為 1/2 與 1/4 ，表示第一條與第二條限制式的對偶價分別為 0.50 與 0.25




範例說明 (2/2)

最大化問題中，當限制式為時，則對偶價為 0 或負數。因為，當右側值增加時，則限制式更難滿足，對於利潤可能沒幫助，甚或損及利潤，故對偶價不會是個正數。因此，限制式的對偶價，可由簡捷列表內，剩餘變數欄所對應的 zj 值變號而得，亦即 – zj 值。




可行性範圍簡捷列表中的 zj 列可以決定對偶價，以預測當右側值 bi 改變一單位時，目標函數值的改變量。然而，此結論只有當 bi 改變量不大時，即不足以使目前的可行解變成不可行解時，方能適用。「可行性範圍」算出維持可行解右側值 bi 可能改變的範圍。




範例說明 (1/4)

過程說明請見課本 p135 。最終簡捷列表如下：

X1 X2 S1 S2

Basis CB 1 4 0 0

X2 4 0 1 1/2 -1/4 2

X1 1 1 0 -3/2 5/4 2

zj 1 4 1/2 1/4 10

cj - zj 0 0 -1/2 -1/4




範例說明 (2/4)

原先解 b1 改變量 S1 欄新解

新解 = + 2 =

S1 欄內的每個值亦可以表示當右側值 b1 增加一單位時，基本變數值的改變量。新的解則等於原來的解加上此改變量。

5

1

2/3

2/1

2

2




範例說明 (3/4)若 b1 改變 b1 ，則弘光問題之新基本解，如下

= + b1 =

只要新基本解非負值，則為可行解，亦為最佳解。因此，我們可以界定 b1 的範圍，來達到非負的條件，如下：

1 + (1/2) b1 05 – (3/2) b1 0

則我們可以得到 b1 的範圍： -2 b1 10/3

xx

1

2

5

1

2/3

2/1

2

35

2

11

1

1

b

b




範例說明 (4/4)

將上述可行性範圍的計算步驟，彙整於下：m = 限制式的個數若 = 目前的解， i = 1, 2, …, m

bi = 第 i 個限制式右側值的改變量 = 簡捷列表中第 i 列第 j 欄的數值，其中 j為第 i 個限制式之寬裕 ( 或剩餘 ) 變數所對應的欄則 bi 範圍的計算如下：若限制式為 0 ， + bi 0 ， i = 1, 2, , m

若限制式為 0 ， - bi 0 ， i = 1, 2, , m

bi

aij

bi

bi aij

aij




對偶理論 (1/5)

每一個線性規劃問題都會有一個「對偶問題」與其對應，而原來的問題則稱之為「原始問題」。有關於原始對偶間的關係，一個最基本的性質，那就是原始與對偶問題兩者有相同的最佳目標函數值，此特性稱之為「對偶理論」




對偶理論 (2/5)(Primal)

Max X1 + 4X2s.t.

X1 + 5X2 10 2X1 + 6X2 16

X1, X2 0 (Dual)

Min 10u 1 + 16u2s.t.

1u 1 + 2u 2 1 5u 1 + 6u 2 4 u 1, u 2 0




對偶理論 (3/5)目標函數轉變為： Max -10u 1 - 16u2

則最初簡捷列表如下： u1 u 2 S1 S2 a1 a2

Basis CB -10 -16 0 0 -M -M a1 -M 1 2 -1 0 1 0 1a2 -M 5 6 0 -1 0 1 4 zj -6M -8M M M -M -M -5M

cj – zj -10+6M –16+8M -M -M 0 0




對偶理論 (4/5)將過三次的基底變換，可以得到最終簡捷列表如下： u1 u2 S1 S2

Basis CB -10 -16 0 0 u2 -16 0 1 -5/4 1/4 1/4u1 -10 1 0 3/2 -1/2 1/2zj -10 -16 5 1 -9

cj - zj 0 0 -5 -1

對偶問題的最佳解為： u1 = 1/2 ， u2 = 1/4 ， S1 = S2 = 0 。因為我們將對偶問題的目標函數變號後來求解，故其最佳目標函數值應為： - (- 9) = 9 。




對偶理論 (5/5)

可以驗證原始與對偶問題具有相同最佳目標值 (=9) 。任何一組原始與對偶問題，皆存在此種關係，我們稱此為「性質一」。性質一若原始問題有最佳解，則其對偶問題亦有最佳解反之亦然。此外，原始問題與對偶問題的最佳目標函數值是相同的。




對偶變數在經濟上的涵義 (1/2)

原始問題與對偶問題有相同最佳目標值。原始目標函數為： X1 + 4X2 = 9(6.1)

對偶目標函數為： 10u1 + 16u2 = 9(6.2)

由 (6.1) 式， X1 與 X2 分別表示， A 產品與 B 產品的產量，則 ( 每單位 A 產品價值 )(A 產品產量 ) + ( 每單位 B 產品價值 )(B 產品產量 ) = 總產值




對偶變數在經濟上的涵義 (2/2)由 (6.2) 式，對偶問題目標函數係數 (10與 16) 可解釋為可以運用的資源數。 ( 可運用資源一之數量 ) u1 + ( 可運用資源二之數量 ) u2 = 總產值對偶變數，乃代表單位資源所產生的價值。以弘光而言，u1 = 每單位組裝時間所產生的價值u2 = 每單位測試時間所產生的價值




從對偶問題求得原始問題 (1/2)原始問題與對偶問題的最佳目標函數值是相同的。倘若我們只有求解對偶問題，可否同時得到原始問題的最佳解？

對偶問題的最終簡捷列表提供對偶變數的最佳值，則原始問題之變數應可在對偶問題最終簡捷列表中的 zj 列中找到。將此性質稱之為「性質二」。




從對偶問題求原始問題解 (2/2)

性質二給定對偶問題最終簡捷列表，則原始問題決策變數的最佳值可由表中剩餘變數所對應 zj 值得到。此外，原始問題寬裕變數最佳值為表中 uj 變數所對應 cj-zj項的負值。利用此性質，得到 X 1 = 5 ， X 2 = 1 ， S1 = S2 = 0 。

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