现金流

《 Fixed Income Securities Analysis 》讲义， Copyrights © 2004，吴文锋 1

现金流贴现率

定价

风险管理寻求套利金融创新


第四讲债券的利率风险及度量

投资回报率分析与风险概述

利率风险度量

久期

凸性


4.1 投资回报率分析与风险概述


利率风险度量

久期

凸性


(1) 投资回报率分析

• 到期收益率– 持有到到期日、再投资收益率等于 YTM– 只是价格指标，判定定价是否合理– 能否给出某个债券的投资参考

• 问题：– 如何做债券投资，买长期还是短期？– 买进债券之后，如何分析投资回报？


持有收益率和投资回报率

• 持有收益率 HPR– holding period return, horizon return, total

return, realized compound yield.– HPR is 债券持有期间的投资收益率– 其大小取决于债券资本利得与再投资收益。


• 投资债券收益的来源– 1. 利息支付– 2. 利息收入的再投资收益 ( 再投资风险 )

– 3. 资本利得或者资本损失 ( 价格风险 )


• 例子：• 投资 $1000 于 7 年期票面利率 9% （半年付息），

面值交易的债券。• 则到期收益率 9% (bond equiv. basis), 半年 4.5% 。• 假设收到利息的再投资年收益率也为 9%(b.e.y)

• 问题： 7 年后的总收入为多少？这 7 年的投资收益率为多

少呢？


• 由于票面利率等于到期收益率，也等于再投资收益率

• 另外，持有到到期日• 所以在到期日的累积收入相当于：

• 这七年的投资回报率等于：

• 年均投资回报率为：

1852)045.1(1000 14


总收入分解

(1) 利息及其再投资收入：

到期日

45 45 45 ……

852045.0

1)045.1(45)045.01(*45

1413

0

i

i


• 利息及其再投资收入 852 中：纯利息收入： 45*14 = 630

利息的利息： 852 – 630 = 222

(2) 资本利得：持有到结束，所以最后价格为本金 1000 ，等

于期初的投资额 1000 ，所以，资本利得为 0

(3) 总回报：纯利息 630 + 利息再投资收入 222 + 资本利得 0 =

852


Example 2:

• 假设现有 $816 ，投资于期限 20 年，票面利率 7% （半年支付），价格 $816 ($1,000 面值 ) ，到期收益率 9%.

• 假设利息的再投资收益率等于 9%(b.e.y)

• 问题： (1) 20 年末到期日时的总收入为多少呢？ (2) 20 年的总投资回报率？ (3) 年平均投资回报率？


总回报的分解

1 、利息及其再投资收入：

2 、利息的利息 $3,746 - 40($35) = $2,3463 、资本利得 $1,000-$816 = $1844 、总结：总利息 = $1,400 利息的利息 = $2,346 资本利得 = $ 184 总收入 = $4,746

3746045.0

1)045.1(35

40


Example 3( 在到期日之前出售 ):

• 投资于 3 年期，票面利率 7% （半年付息）的债券，价格为 $960.33 ($1,000 面值 ) ，该债券的到期收益率为 8.53% (b.e.y.) 。投资者打算 2 年后卖掉该债券。

• 问题：期望年均投资回报率为多少呢？


t( 期限 ) 即期收益率单期远期利率 f(t-1,t)

0.5 年 3.25%*2 3.25%*2=6.50 ％1 年 3.50%*2 3.75%*21.5 年 3.70%*2 4.10%*22 年 4.00%*2 4.91%*22.5 年 4.20%*2 5.00%*23 年 4.30%*2 4.80%*2


3. 00%

3. 50%

4. 00%

4. 50%

5. 00%

0. 5 1 1. 5 2 2. 5 3

spot f orward


1. 求 2 年后债券的卖出价格 :

所以投资者预期资本利得为 :$973.90 - $960.33 = $13.57

2. 求累积利息 :$35(1.0375)(1.0410)(1.0491) + $35(1.0410)(1.0491) +35(1.0491) + $35 = $149.60

3. 总预期回报金额=$13.57 + $149.60 = $163.17

9.973)048.1)(05.1(

1035

05.1

352 P


• 年均投资回报率：

• 问题：为什么会比到期收益率 8.53% 小呢？

%16.8133.960

17.16333.9602/1


Example 4:

• 投资者作 1 年期投资，准备购买 20 年期 6% 票面利率的公司债券，发行价格为 86.4365 ，到期收益率 7.3% ，1 年后出售。

• 假设发行在外的 20 年国债的到期收益率为 6.5% ，而且即期收益率曲线是平坦的 (Flat)

• 假设持有期内的利息的再投资收益率为 6.0% • 而投资者预期即期收益率曲线在 1 年后会下移 35bp ，

而且保持平坦，公司债券与国债之间的利差则增加10bp

• 问题：预期的投资回报率为多少呢？


(1) 利息及其再投资收入： 3*(1+6%/2) +3 = 6.09

(2) 1 年末的债券价格： 19 年期的到期收益率变为： 6.50% - 0.35%+(7.3%-

6.50%+0.1%) = 7.05%

19 年期债券按照 7.05% 贴现，价格为： 89.0992

(3) 投资回报率： (6.09 + 89.0992 – 86.4365)/86.4365 = 10.13%


投资回报率分析总结：

(1) 确定利息收入的未来收入

C = 利息支付（半年）n = 至偿还期或者出售债券时利息支付次数r = 半年基础上的再投资收益率

r

rCrC

nn

k

k 1)1()1(

1

0


其中一部分为纯利息收入： nC.

(2) 所以，利息的利息为：

(3) 最后计算资本利得：

nCr

rC

n

1)1(

0PPn


(2) 债券投资风险概述

债券投资收入纯利息收入

利息再投资收入

资本利得 Pn – P0

Reinvestment*

Yield Curve*

Spread

Interest rate*

Exchange rate

Credit

Liquidity

Call, Prepayment

Inflation

Political

Event


Reinvestment Risk

• This risk is greater for those investors who depend on a bond’s coupon for most of their return

• Minimized with low or zero-coupon bond issues or when time horizons are short

• 例外：– 如果刚好需要拿利息另有所用的，就不用考虑这

个风险


再投资收益率风险分析

• 假设一个投资者正在考虑选择一个合适的债券期限。– 如果他选择的期限过长，他会担心市场利率上升

引起债券价格的过大幅度的下降，这对他当然是不利的。

– 但是，期限过短，同样存在问题，一是一般来说期限较短的债券收益率较低，二是到期后，他还面临再投资风险。


• 在理论上，再投资收益率风险比较复杂。下面以零息债券为例分析再投资收益率风险。

• 例子：有一零息票国债投资者，投资期为 2年。该投资者有多种投资选择：– (1) 连续投资两个 1 年期零息债券– (2) 直接购买 2 年期零息债券– (3) 购买 3 年或 3 年以上的零息债券，在

第二年年底出售（以 5 年期为例）。问题：他应作何种选择？


零息票国债的到期收益率期限即期利率折现因子0.5 8.42% 0.96041 8.51% 0.92161.5 8.59% 0.88372 8.68% 0.84672.5 8.76% 0.81073 8.84% 0.77564 8.99% 0.70865 9.14% 0.64586 9.28% 0.58717 9.41% 0.53278 9.54% 0.48249 9.66% 0.436210 9.77% 0.393811 9.87% 0.355112 9.97% 0.319813 10.05% 0.287814 10.13% 0.258915 10.21% 0.2327

考虑两种情况：

（ 1 ）不对未来收益率曲线做预测，计算各个选择的预期收益率

（ 2 ）假设收益率曲线 2 年内不发生变化，应如何选择


• 如果收益率曲线不发生变化，三种选择的投资回报率： (1) 1.08512 –1 ＝ 17.74% (2) 1.08682 –1 ＝ 18.11% (3) 第三种选择机会有很多，结果也各不相同。以选

择 5 年期债券， 2 年后出售为例，其回报率为 1.09145/1.08843 –1 ＝ 20.05%


• 推论 1 ：在收益曲线向右上方倾斜时，如果再投资收益

率不上升，即按照现在收益曲线所对应的收益率获得收益，那么，投资于长期零息债券更为有利。


• 预期未来实际利率– 未来实际利率 < 远期利率，则应该投资长期债券原因：卖出长期债券时候价格大于远期利率算出

的价格，所以回报率也要大– 未来实际利率 > 远期利率，则应该投资短期


简单总结：

• 到底是投资长期还是短期债券– 利率期限结构– 利率期限结构的未来变化

• 常见情况：– 如果利率期限结构向上倾斜，且未来不变

化，则投资长期债券要优于短期债券，但也不是越长越好。


Interest rates Risk

• Interest rates and bond prices showinverse relationship– Bondholders lose when the interest rates rise– Bondholders gain when interest rates fall

• 例子：– 隔夜风险都很大– 在美联储开会前的交易平淡


Yield Curve Risk

• Interest rates risk measures when yield curve has a parallel shift

• The risks investors face when yield curve changes non-parallelly means yield curve risk.

• 几个问题：– 从风险源看，跟利率风险类似– 但主要是针对认为已经消除利率风险的投资者– 现金的长短期分配


Credit Risk

1. Default riskRecovery rate

2. Credit spread riskYield on risky bond = yield on default-free bond + risk

premium

3. Downgrade riskHigher rating (upgrade), lower rating (downgrade)Yields rise for downgrades and fall for upgrades

例子：– 公司债要着重分析这种风险– 评级机构的影响


Liquidity Risk

• Likelihood that an investor will be unable to sell security quickly and at a fair price

• Estimated by using the bid-ask spread

• Marking positions to market—liquidity risk is important even if instruments issues are held to maturity


买卖价差（价格的百分比）

类别一般陷入危机时国债新发行短期国债 0.002 0.005

新发行中长期国债 0.003 0.006已发行国债 0.006 0.009

公司债 A 级金融公司债 0.12 0.50B 级工业公司债 0.50 5.00

MBS 固定利率类别 0.06 0.25

市政债 Aa 级 /Aaa 级 0.25 0.75



Call and Prepayment Risk

• Unpredictable cash flows

• Reinvestment risk

• Price compression


Prepayable Amortizing Securities

• Reinvestment risk is compounded for lenders when borrowers prepay their principal obligations

• If a borrower prepays, the investor gets their money back sooner than they expected in a low interest rates in a market

• 银行对按揭贷款的提前还款是要罚款的


Price Volatility Risk

• The greater the volatility of the underlying price, the greater the value of an embedded option

• When expected yield volatility increases, the value of the call option increases and the value of the callable bond decreases

• Value of callable = value of noncallable –value of embedded option


Exchange Rate Risk

• The investor bears the risk of receiving an uncertain amount when these payments are converted into the home currency– If home currency appreciates against foreign currency

of the bond payments, each foreign currency unit will be worth less

– If home currency depreciates against foreign currency of the bond payments, each foreign currency unit will be worth more


• 几个例子：– 国家外汇储备中很多是买了美国国债，人民币升值的影响

– 航空企业的外债受人民币升值的影响– 绍兴纺织企业购买欧洲设备，对方只要欧元，不要美元，宁愿给你无息延期付款


Inflation Risk

• Possibility that prices of goods and services will increase

• Purchasing power goes down with fixed coupon bonds and increasing inflation

• 投资者如何避免？


Event Risk

• Disasters

• Corporate takeovers and restructurings

• Regulatory issues

• Political risk


两个例子

• 巴林银行的倒闭– 做空日本利率期货– 做多日本股指期货– 日本地震

• LTCM 的破产– 俄罗斯主权债，做空德国债券– 俄罗斯金融危机


4.2 利率风险度量


利率风险度量

久期

凸性


• 基本问题： (1) 如果央行加息，对各债券的价格是如何影响的呢？

(2) 哪些债券的价格变动小，哪些债券的价格变动大？

(3) 如何避免债券价格受到利率变化的影响？


现金流贴现率

定价

利率


• 利率风险：– 指由于利率变化所引起的债券价格的变化。– 利率与价格之间的反向变动关系

• 利率变化包括两种：– 水平变化风险 (level risk)– 收益率曲线变化风险 (yield curve risk)


• 例子：有四种债券（年付息），分别为：– 5 年期，票面利率 5% ， YTM 为 5%

– 5 年期，票面利率 9% ， YTM 为 5%

– 20 年期，票面利率 5% ， YTM 为 5%

– 20 年期，票面利率 5% ， YTM 为 4.5%

• 问题：如果利率 (YTM) 上涨 50bp ，问这些债券的价格变化

水平？价格变化百分比孰大孰小？如果利率下降50bp 呢？


Price1: 5 年，息票率 5%Price2: 20 年，息票率 5%Price3: 20 年，息票率 9%

70. 00

90. 00

110. 00

130. 00

150. 00

170. 00

190. 00

210. 00

2. 5% 3. 0% 3. 5% 4. 0% 4. 5% 5. 0% 5. 5% 6. 0% 6. 5% 7. 0% 7. 5%

pr i ce1 pr i ce2 pr i ce3


70. 0080. 00

90. 00100. 00110. 00

120. 00130. 00

140. 00150. 00

2. 5% 3. 0% 3. 5% 4. 0% 4. 5% 5. 0% 5. 5% 6. 0% 6. 5% 7. 0% 7. 5%

pr i ce1 pr i ce2 pr i ce3

Price1: 5 年，息票率 5%Price2: 20 年，息票率 5%Price3: 20 年，息票率 9% ，除以息票率为 5% 的价格


不同债券的利率风险特征

• 期限：– 期限越长，利率变化引起的价格变化百分

比（以下称为利率风险）也越大。• 息票率：

– 息票率越小，利率风险越大。• 到期收益率：

– 到期收益率越小，利率风险越大。


• 上涨与下跌的方向：– 到期收益率变化较大时， YTM 增加引起的价格下

跌幅度要小于 YTM 减少引起的价格上涨幅度。– 这种特征称为凸性。

• 结论：– 不含期权的债券的价格与利率之间的变动为非线性关系，呈现出正凸性。



嵌入期权时的利率风险特征

• 可赎回债券– 到期收益率下降到一定水平时，由于价格

上涨到一定程度，当超过赎回价格时，发行人有赎回权利

– 利率风险呈现出负凸性特征。



利率风险度量

久期

凸性


• 基本问题：利率风险如何度量呢？– 基点价值– 价格波动的收益率价值– 久期


(1) 基点价值

• Price Value of a Basis Point• 基点价值指到期收益率变动一个基点所对应

的债券价格的变化额。• Example:

期限 5 年，票面利率 9% （半年支付），价格为100 。求该债券的基点价值。


• 解答：目前的到期收益率为 9% 。到期收益率增加 1 个基点，

为 9.01% , 债券的新价格：

所以：基点价值 = $100 - $99.9604 = $0.0396

10

101

4.5 10099.9604

(1 4.505) 1.04505tt

P


不同债券的 PVBP

• 考虑 4 个债券，每个债券的到期收益率为 9% (b.e.b) ，半年支付。息票率、期限和价格分别：– 息票率 9% ，期限 5 年，价格 $100

– 息票率 9% ，期限 20 年，价格 $100

– 息票率 5% ，期限 5 年，价格 $84.175

– 息票率 5% ，期限 20 年，价格 $63.197

• 问题：它们的 PVBP 孰大孰小？


new yld BP change 9%,5yr 9%,20yr 5%,5yr 5%,20yr

6 -300 12.7953 34.6722 11.5603 25.2458

8 -100 4.0554 9.8964 3.6591 7.114

8.9 -10 -0.3947 -0.9135 -0.3558 -0.6523

9.01 1 -0.0396 -0.0919 -0.0357 -0.0657

9.5 50 -1.9541 -4.4408 -1.7613 -3.1636

10 100 -3.8609 -8.5795 -3.4789 -6.0945

12 300 -11.0401 -22.5694 -9.9349 -15.8589


- 30

- 20- 10

010

203040

1 2 3 4 5 6 7

9% 5yr9% 20yr5% 5yr5% 20yr


(2) 价格波动的收益率价值

• Yield Value of a Price Change• 价格波动的收益率价值，是指债券价格发生

一定金额变化（通常是 1/32 of $1 ）所对应的到期收益率变化的幅度。

• Example:

期限 5 年，票面利率 9% （半年支付），收益率为9% (b.e.b.) ，对应价格为 $100 。求价格波动的到期收益率价值？


• 解答：

所以：价格波动的收益率价值 = 9% - 8.992% = 0.008%

10

101

1 4.5 100100

32 (1 / 2) (1 / 2)

8.992%

tt y y

y


4.3 久期


利率风险度量

久期

凸性


(1) 什么是久期

• Duration

• 久期是市场利率变化 1 个百分点（ 100 个基点）导致债券价格变化的百分比。

• 计算公式：

其中： V- 是利率减少后的债券价值， V+ 是利率增加后的债券价值， V0 是债券的原价值。

0

0

( ) /

2* 2* *

V V V V VD

y V y

yy


Example:

• 例子：– 两年期债券，年付息， 6% 息票率，当前

价格为 96.43– 当到期收益率下降 50bp 时，价格上涨至

97.31– 当到期收益率上升 50bp 时，价格下跌至

95.57

• 问：久期为多少？


• 解答：

804.1%50.0*43.96*2

57.9531.97

**2 0

yV

VVD


Exercise:

• 票面利率为 9% ，期限 20 的非含权债券，价格 134.67 ，到期收益率 6% 。让到期收益率上升或下降 20 个基点，债券价格将分别为 131.84 和 137.59

• 问题：它的久期多少？


两点说明

(1)下面这个公式表示久期可以吗？

其中： V- 是利率减少后的债券价值

(2) 取多少合适？

0

0 *

V VD

V y

y

y



久期的经济含义

• 上述例子中，久期为 1.804 ，什么意思？• 指利率变化 1 个百分点时，债券价格变

化的百分比• 例子中，当利率上升 1 ％时，则债券价

格下降 1.804% ，则债券新价格为： 96.43*(1-1.804%) = 94.69


金额久期

• Dollar Duration

• 把利率变化 100bp 所引起的价格变化金额称为金额久期。

• 计算公式：

100/*0 DV


• 例子：– 两年期债券，年付息， 6% 息票率，当前

价格为 96.43– 当到期收益率下降 50bp 时，价格上涨至

97.31– 当到期收益率上升 50bp 时，价格下跌至

95.57

• 问：金额久期为多少？


(2) 为什么叫 Duration ？

• 下表为零息券的久期期限到期收益率久期 1 年 5 ％ 0.952

2 年 5 ％ 1.901

3 年 5 ％ 2.856

4 年 5 ％ 3.801

5 年 5% 4.763


久期的连续形式

n

tt

t

n

tt

t

n

ttt

n

tt

t

y

C

y

Ct

ydy

PdPD

y

Ct

dy

dP

y

CP

1

1

11

1

)1(

)1(

1

1/

)1(

)1(


其中： dt为 t 时刻的贴现因子， PVt为 t 时刻的现值。

n

tt

n

tt

n

ttt

n

ttt

n

tt

t

n

tt

t

PV

PVt

y

dC

dCt

yy

Cy

Ct

yD

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

)1(

)1(1

1

＝


Macaulay 久期

• Macaulay 久期 (DM) 就是：期限的加权平均，权重为现值。

n

tt

n

tt

PV

PVtDMacaulay

1

1


Example:

• 20 年债券 , 面值 100, 票面利率10%, 年付息 1 次。根据下面提供的各年的现值

• 问： Macaulay 久期是多少？


term spot rate% df PV t*PV1 8.5056 0.9216 9.2161 9.21612 8.6753 0.8467 8.4672 16.93433 8.8377 0.7756 7.7564 23.26934 8.9927 0.7086 7.0862 28.34465 9.1404 0.6458 6.4576 32.28816 9.2807 0.5871 5.8714 35.22827 9.4136 0.5327 5.3272 37.29068 9.5391 0.4824 4.8244 38.59559 9.657 0.4362 4.3619 39.256810 9.7675 0.3938 3.9379 39.378811 9.8705 0.3551 3.5507 39.057212 9.9659 0.3198 3.1982 38.378213 10.0537 0.2878 2.8783 37.418214 10.134 0.2589 2.5888 36.243315 10.2067 0.2327 2.3274 34.911716 10.2718 0.2092 2.0920 33.472517 10.3292 0.1880 1.8805 31.967718 10.379 0.1691 1.6906 30.431019 10.4212 0.1521 1.5206 28.890620 10.4557 0.1368 15.0532 301.0648total 100.0866 911.63


Exercise

• 5 年期附息债券，息票率为 6 ％，半年付息一次

• 根据下表提供的贴现因子，试计算其Macaulay Duration ？


period cash flow discount factor PV t(PV)1 3 0.9569 2.871 2.8712 3 0.9157 2.747 5.4943 3 0.8763 2.629 7.8874 3 0.8386 2.561 10.0635 3 0.8025 2.407 12.0376 3 0.7679 2.304 13.8227 3 0.7348 2.204 15.4318 3 0.7032 2.109 16.8769 3 0.6729 2.019 18.16810 103 0.6439 66.325 663.246

Total 88.131 765.895


(3) 久期的影响因素

• 零息债券的 Macaulay 久期等于期限本身

• 附息债券的 Macaulay 久期小于期限本身

• 票面利率越高， Macaulay 久期越短• 到期收益率上升，付息债券的

Macaulay 久期下降• 期限越长，久期也越大。


时间对久期的影响

• 随着到期日的临近，久期在变小• 付息对久期的影响

– 付息后瞬时的久期会比付息前瞬时的久期增加


修正久期与 Macaulay 久期

• 其中： y 为 YTM / k ， k 为一年付息的次数比如，一年付息一次，则 y = YTM

一年付息两次，则 y = YTM / 2

1

1Modified D Macaulay Duration

y


修正久期和有效久期

• 修正久期 (modified durattion)– 假设到期收益率的变化不会引起现金流的

变化– 适用于不含期权的债券

• 有效久期 (effective duration)– 到期收益率的变化会引起现金流的变化– 适用于嵌入期权的债券


• 不含期权的债券– 修正久期和有效久期相等

• 嵌入期权的债券– 修正久期不一定等于有效久期– 比如，可赎回债券，修正久期 ? 有效久期 A. 不大于 B. 不小于


(4) 债券组合的久期

• 久期可以按照市值 ( 现值 ) 加权• 组合久期

– 久期：单个债券久期的加权平均

– 金额久期：加和– 如果各个债券的到期收益率不同，这意味着组合

中每个债券的久期计算所依据的到期收益率是不同的。

iiportfolio DwD


Example:

• 由两个债券构成的组合– P(1) = $8,000 ， D (1) = 4.3

– P(2) = $12,000 ， D (2) = 3.6

• 问：– 这个债券组合的久期和金额久期各为多少？


实际公司债和嵌入期权债券的久期计算

• 前面我们都是简单的假设：– 以到期收益率发生变动，来计算久期

• 实际中：– 债券价格的计算牵涉到利率期限结构– 公司债价格的计算牵涉到利差– 嵌入期权的债券价格的计算牵涉到利率模型


久期计算的步骤

1 、根据当时的利率期限结构，计算相关债券的价格

2 、小幅度变动短期利率水平，比如10bp

3 、根据利率期限结构与所假定的短期利率变动，重新设定利率期限结构

4 、新的期限结构下，重新计算债券新价格（包括增加 10bp 与减少 10bp ）

5 、利用久期公式，计算久期


• 第 3步骤：– 如何设定新的利率期限结构或者利率模型

是关键？– 简单一点，假设水平移动，就象 Z- 利差或

者 OAS 利差一样


(5) 久期指标的缺陷与关键利率久期

• 假定水平的到期收益曲线并且平行移动– 到期收益曲线变化的种类– 水平移动： 85% 的国债收益曲线变动– 收益曲线变陡： 5% 的国债收益曲线变动– 蝴蝶状变化： 3-4% 的国债收益曲线变动

• 请参见 Litterman and Scheikman (1991)


• 如果利率曲线不是平行移动的，即发生利率曲线风险 (yield curve risk) 时

• 会发生什么情况？


Example:

• 考虑下面两个组合，假设都是由零息券组成组合 2 年债券 16 年债券 30 年债券 A 50 0 50 B 0 100 0

• 三种零息券的久期分别为：1.90 ， 15.24 ， 28.57

• 这两个组合的久期分别为： A ： 0.5×(1.90+28.57) ＝ 15.24 B ： 15.24


• 问下面三种情况下，两个组合的价值如何变化？

(1) 每一个即期利率都下降 10 基点，考虑两个组合的价格变化百分比

(2) 2 年即期利率上升 10bp ， 30 年期下降10bp ， 16 年期没有变化

(3) 2 年即期利率下降 10 bp ， 30 年上升10bp ， 16 年期没有变化


考虑第一种情况

• 每一个即期利率都下降 10 基点，运用久期公式计算：

– 组合 A: 0.10%×15.24 ＝ 1.524%– 组合 B: 0.10%×15.24 ＝ 1.524%

– 两个组合的价值都上升 1.524%


考虑第二种情况

• 2 年即期利率上升 10bp ， 30 年期下降 10bp ，16 年期没有变化

• 组合 A– 2 年期利率上升 10 个基点，组合价值下降

0.095%

– 30 年期利率下降 10 个基点，组合价值上升 1.429%

– 总共上升 -0.095%+ 1.429% =1.334%

• 组合 B– 没有变化 !


Exercise:

• 考虑第三种情况： 2 年即期利率下降 10 bp ， 30 年上升

10bp ， 16 年期没有变化• 问题：组合 A和组合 B 的价格变化百分比？


• 前面的例子说明：久期只能针对利率曲线发生水平变动

的情况，而无法衡量利率曲线变动引起的利率风险

• 怎么办？– 考虑不同期限利率的不同变动


关键利率久期（不做要求）

• 1992 by Thomas Ho• 考虑所有期限的变动很复杂• Thomas Ho集中考虑 11 种关键利率久期

– 3 个月 , 1, 2, 3, 5, 7, 10, 15, 20, 25, 30 年。其他利率久期可以用线性估计。


(6) 利用久期估计债券价格的变化

• 例子： 20 年期， 5% 票面利率 ( 半年支付），到期

收益率 9% (b.e.b.) ， P=63.1968 ， Macaulay D = 10.87 年

• 问题： (1) 如果到期收益率从 9% 增加到 9.10% ，

预测债券价格如何变化？ (2) 如果到期收益率从 9% 增加到 11%?


• 解答： (1) D = 10.87/(1+0.045) = 10.40

价格变化： -10.40(.0010) = -1.04%

实际变化： -1.03%

(2) 价格变化： -10.40(.020) = -20.80%

实际变化： -17.94%


• 在市场利率变化较小时，久期可以相对准确地估计债券价格的变化。

• 但如果市场利率变化较大，则有偏差：



4.4 凸性


利率风险度量

久期

凸性


凸性的定义与特征

• Convexity

• 凸性衡量的是收益率 - 价格曲线弯曲的程度。

• 不含期权债券都有正的凸性，它会给投资者带来额外的收益。

• 凸性会随着到期收益率的增加而降低。



凸性的计算

• 计算公式：

02

0

2

2 ( )

V V V

V y


Example:

• yield=6%,V0 =134.67,

yield=6.2%,V+ =131.84,

yield=5.8%,V- =137.59• 则：

06.10002.067.1342

84.13159.137

)(2 0

yV

VVDeffective

02 2

0

2 137.59 131.84 2 134.6781.9

2 ( ) 2*134.67 (0.002)effective

V V V

V y


凸性的数学定义

0 0

02

0 0

2

2

( ) ( )2 1

2 ( ) 2

( )1 1 1 1

2 2

V V V VV V V y y

V y V y

dPd

dPdyP dy P d y

• 凸性，价格与到期收益率之间的二阶导数• 即久期对到期收益率的一阶导数


1

11

21

2 2

1

(1 )

(1 )

( 1)1 1 1 1 (1 )2 2 (1 )

(1 )

nt

tt

ntt

t

nt

tt

nt

tt

CP

y

t CdP

dy y

Ct t

d P yCP dy y

y


凸性的影响因素

• 期限越长，凸性越大• 息票率越小，凸性越大• 到期收益率越小，凸性越大


一点说明

(1) 有些定义凸性为：

没有除以 2

•没有关系，主要看应用的时候

02

0

2

( )

V V V

V y

21( )

2effective effective

PD y y

P


(2) 凸性的计算，也可以通过久期：

2

D D

y


利用凸性计算债券价格的变化

• 计算公式：

• 当市场利率变化很小时，利用久期可以相对准确地估计出债券价格的变化。

• 当市场利率变化幅度很大时，用久期估计债券价格会产生一定的误差。

• 如果使用久期和凸性，那么债券价格估计精度会有所提高。

2( )effective effective

PD y y

P


Example:

• 有一个 20 年期的附息债券，现价为10000.03 ，久期为 9 ，凸性为 61.2

• 如果到期收益率曲线平行上升 200bp ，问债券价格如何变化？


• 解答：根据久期计算： -9*2% = -18%

根据凸性计算： 61.2*(2%)2= 2.45%

所以价格变化： 10000.03*(-18%+2.45%) = -1555

• Exercise: 如果到期收益率曲线平行下降 200bp ？


金额凸性

•金额凸性

•上面例子中：有一个 20 年期的附息债券，现价为 10000.03 ，久期为 9 ，凸性为 61.2

20* *(0.01)V 金额

61.2*10000.03/10000 61.2 金额


组合的凸性

• 与久期类似• 组合凸性：

– 单个债券的加权平均• 组合的金额凸性

– 单个债券的总和

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