假設檢定

假設檢定

假設檢定是統計推論的第二個類型。它也有很廣泛的應用。

假設檢定的意義對有關母體參數的假設，利用樣本的訊息，決定接受

(Accept)( 不拒絕 ) 該假設或拒絕 (Reject) 該假設的統計方法。

為了解其概念，我們將從非統計假設檢定開始。

1. 統計推論

刑事審判是假設檢定的非統計的例子。

審判中陪審團必須在兩個假設中做決定。虛無假設 (null hypothesis) 為

H0: 被告是無罪的 ( 無罪推定原則 )

對立 (alternative) 或研究假設 (research hypothesis) 為

H1: 被告是有罪的

陪審團並不知道哪一個假設是正確的。他們必須要依據原告和被告兩方提出的證據做決策。

1. 假設檢定的非統計應用

有罪推定 vs 無罪推定

有二個相同點

１．若是很明顯罪證確鑿，都會判有罪

２．若是很明顯罪證不足，都會判無罪

但是我們很難遇到黑白分明的案件大多時候都是處於灰色地帶有很多罪證，也有很多反證感覺被告絕對脫不了關係但又不確定是不是真兇這個時候有罪推定 vs 無罪推定就會有區別實益了若採有罪推定大多數的被告都要坐牢若採無罪推定大多數的被告都能安全下莊

為什麼是無罪推定？為何不是有罪推定？Ans: 〔我們寧可放過一百，也不願錯殺無辜〕〔這樣才能保障人權啊！〕否則大多數被告都要坐牢了 , 其中有一部分可能是無辜的人喔 !

Q: 若採無罪推定 , 大多數被告都無罪開釋

其中有一部分可能是真兇 ! 讓壞人逍遙法外真的比較好嗎？

讓兇手有機會再傷害別人會比較好嗎？下一個被害人是誰？

其實並沒有證明無罪推定比有罪推定好 , 只代表二件事１．我們無法證明那一種推定比較好

２．但是我們比較喜歡無罪推定，所以選它

在統計的術語宣判被告有罪

等同於拒絕虛無假設且支持對立假設(rejecting the null hypothesis in

favor of the alternative)

也就是，陪審團認為有足夠的證據做出被告有罪的結論 ( 有足夠的證據支持對立假設 ) 。


宣判被告無罪如同說

不拒絕虛無假設且不支持對立假設(not rejecting the null hypothesis in

favor of the alternative)

注意陪審團並不是說被告是無罪的，只能說沒有足夠證據支持對立假設。這是為什麼我們從不說我們支持虛無假設。


有兩種可能的錯誤。

型 I 錯誤 (Type I error) 發生於當我們拒絕了一個真實的虛無假設。在刑事審判中，犯型 I 錯誤是當一個無罪的人被陪審團錯誤地宣判有罪。

型 II 錯誤 (Type II error) 被定義成不拒絕一個錯誤的虛無假設。型 II 錯誤的發生是當一個有罪的被告被宣判無罪釋放。


犯型 I 錯誤的機率被表示成 ( 希臘字母alpha) ，它也被稱為顯著水準 (significance level) 。

犯型 II 錯誤的機率被表示成 ( 希臘字母 beta

兩種錯誤的機率和是反向相關的，意思是試圖降低其中一個將會造成另外一個的增加。


在我們的刑事審判制度，型 I 錯誤被視為是比較嚴重的。

制度的安排是將犯型 I 錯誤的機率 α 設得很小，藉由將舉證的重擔放在原告 ( 控方必須證明被告有罪，辯方無需證明任何事情 ) ，且陪審團只有在「證據超過合理的懷疑」時才得以宣判被告有罪。


假設檢定的重要觀念如下所述：

1. 有兩個假設，為虛無假設與對立假設。2. 檢定的程序以假設虛無假設為真開始。3. 過程的目的是要決定是否有足夠的證據去推論對

立假設是真的。4. 有兩種可能的決策：

◦ 結論認為有足夠的證據去支持對立假設。 (Reject H0)

◦ 結論認為無足夠的證據去支持對立假設。 (Accept H0 )


5. 任何檢定皆有兩種可能的錯誤。型 I 錯誤 : 拒絕一個真的虛無假設型 II 錯誤 : 無法拒絕一個錯誤的虛無假設

犯型 I 與型 II 錯誤的機率是P ( 型 I 錯誤 ) ＝ P ( 型 II 錯誤 ) ＝


假設檢定之基本概念

2. 假設檢定之基本概念 (1)

( 一 ) 假設檢定 (test of hypothesis)

對母體參數作出一適當的假設，然後根據隨機抽樣之樣本，利用樣本統計量之抽樣分配來決定接受或拒絕假設的過程。

( 二 ) 統計假設 (statistical hypothesis)

對一個或多個母體參數的一個推測。


以下為幾個統計假設的例子： (1) 中華沙拉油的平均容量大於 3 公升。 (2) 台灣電腦公司所生產的電腦之不良率小於 0.1 。 (3) 福特汽車公司所生產的 Tierra 與 Mondeo 汽車具有相同的汽車耗油率。 (4) 消費者對於某餐廳服務品質之期望與認知沒有差異（即無服務品質缺口）。 (5) 不同年齡層之民眾對網路電話使用意願具有差異性。上述五個敘述中，前兩個敘述為對單一母體參數之推測，後三個敘述為二個或二個以上推測，均可稱為統計假設。

例題 1

有兩個假設。一個被稱為虛無假設，另一個被稱為對立或研究

假設。通用的符號表示法 :

H0: — 「虛無假設」

H1: — 「對立」或「研究假設」

(1) 虛無假設 (null hypothesis) ：通常為研究者欲推翻之統計假設，

即假設檢定中之主要假設，一般以 H0 表之。

(2) 對立假設 (alternative hypothesis) ：假設虛無假設不成立，即

虛無假設之互補假設，一般以 H1 表之。

2. 假設檢定的概念 (3)


虛無假設：平均待機時間大於或等於 96 小時。即。

對立假設：平均待機時間小於 96 小時。即。

某手機業者宣稱其手機之平均待機時間為 96 小時，請問消費者欲檢定此手機業者之宣稱是否為真，請問該如何假設？

0H

1H

96:0 H

例題 2

解

96:1 H

依檢定的動機可假設如下： ( 令表平均待機時間 )

2. 假設檢定之基本概念 (5)根據樣本統計量所定訂拒絕範圍的不同，可將假設檢

定的形式分成以下兩種： (1) 單尾檢定 (one-tailed tests) ：當樣本統計量僅在大於某個數值或小於某個數值之其中一種情形之下拒絕之檢定。若拒絕為樣本統計量大於某個數值時，則此單尾檢定又稱右尾檢定，反之若小於某個數值時，則稱左尾檢定。 (2) 雙尾檢定 (two-tailed tests) ：當樣本統計量大於某個數值或小於某個數值均可能拒絕之檢定。

0H

0H 0H

0H


(1) ； (2) ； (3) 。請問上述何者為單尾檢定之假設，何者為雙尾檢定之假設？

250:&250: 10 HH

250:&250: 10 HH

依樣本統計量拒絕之範圍可知 (1) 及 (3) 為單尾檢定之假設且 (1) 為左尾檢定之假設； (3) 為右尾檢定之假設；(2) 為雙尾檢定之假設。

例題 3

解

1.0:&1.0: 10 pHpH

0H

2. 假設檢定之基本概念 (7)拒絕虛無假設的範圍稱之為危險域或拒絕域 (critical region) 。

以為例：若訂定拒絕域為

，其拒絕域與接受域之範圍如下所示：

5:&5: 10 HH

圖 1

}5.4 5.5{ xx 或

左尾檢定

拒絕域接受域臨界值

3 x

f x( )

x *

右尾檢定

接受域

α

臨界值拒絕域

xx *

f x( )

00


2. 雙尾檢定與單尾檢定 (9)

單尾檢定（左尾）

雙尾檢定單尾檢定（右尾）

2. 假設檢定之基本概念(10) -錯誤的型態

( 三 ) 型 I 錯誤當虛無假設為真而拒絕，稱之為型 I 錯誤。造成型 I 錯誤的機率以 α 表示，定義如下：

• α 又稱為顯著水準 (significance level) ，為容許犯型 I 錯誤的最大機率

( 四 ) 型 II 錯誤當虛無假設非真而接受，稱之為型 II 錯誤。造成型 II 錯誤的機率以表示，定義如下：

稱為檢定力 (power of the test)

0H

0 0( ) ( )P P H H 型I錯誤拒絕為真

0 1( ) ( )P P H H 型I I錯誤拒絕為真

0H

0H 0H

1

型 I 錯誤 (Type I error) 發生於當我們拒絕了一個真實的虛無假設。

型 II 錯誤 (Type II error) 發生於當我們不拒絕一個錯誤的虛無假設 ( 例，沒有拒絕 H0 ，當它是錯誤的 ) 。

2. 假設檢定之基本概念 (11)- 錯誤的型態


一常態母體之變異數為 5 ，今對此母體平均數作以下之假設，，並決定其拒絕域為。

請問以樣本個數為 20 之一組樣本所得之樣本平均數來檢定母體平均數所造成之型 I 錯誤之機率，值為何？

5:&5: 10 HH 5.45.5 xx 或

例題 4

解0 0( | ) ( 5.5 4.5 | 5)

4.5 5 5 5.5 51 (4.5 5.5 | 5) 1 ( )

5 5 520 20 20

1 ( 1 1) ( . . ~ (0,1))

0.318

P H H P X X

XP X P

P Z RV Z N

拒絕為真或


承例 4 ，若　　時，求造成型 II 錯誤之機率　值。 6

例題 5

解

158.0

)3()1(

)13(

))20

5,6(~..()

205

65.5

205

65.4(

)6|5.55.4(

ZPZP

ZP

XVRZP

XP


承例 4 ，若拒絕域改為　　，求值及值。 6 4X X 或

例題 6

解

(4 6 | 6)

4 6 6 6( ) ( 4 0) 0.5

5 520 20

P X

P Z P Z

( 6 4 | 5) 1 (4 6 | 5)

4 5 6 51 ( )

5 520 20

1 ( 2 2) 1- 0.954 0.046

P X X P X

P Z

P Z

或


表 1


檢定統計假設的兩種方法如下： (1) 臨界值法 (critical value method) ：

給定顯著水準 α 值，然後決定拒絕域後，再依所得之樣本，計算其樣本之統計量 ( 即為檢定值 ) ，最後再判定上述檢定值是否落在拒絕域中。

(2) P 值法 (P-value method) ：在　為真的條件下，計算由給定之樣本導致拒絕的最大機率。不論是單尾或雙尾檢定，若 P 值小於 α 值，則拒絕虛無假設，否則便勉強接受。

0H

0H

0H0H


圖 3


( 五 ) 假設檢定步驟 (1) 建立假設 ( 虛無假設與對立假設 ) 。 (2) 選擇檢定之統計量，並給定顯著水準 α 值。 (3) 決定檢定方法 ( 臨界值法或 P 值法 ) ，若選擇臨界值法，則決定拒絕域。 (4) 蒐集樣本並計算檢定值。 (5) 下結論：臨界值法：若檢定值落在拒絕域，則拒絕，否則便接受。 P 值法：計算 P 值，若 P 值小於，則拒絕，否則便接受。

0H

0H

0H 0H

單一母體平均數之假設檢定

3. 單一母體平均數之假設檢定 (1)( 一 ) 常態母體且已知2

以為檢定值，其拒絕域與 P 值如下： (1) 左尾檢定：之拒絕域為　　　　 (2) 右尾檢定：之拒絕域為

(3) 雙尾檢定：之拒絕域為　

n

xz

/00

0

0100 :&: HH }{ 0 zz )( 0zZPP 值

0100 :&: HH

)( 0zZPP 值

}{ 0 zz

)(2 0zZPP 值

0100 :&: HH }{2

0 zz

3. 單一母體平均數之假設檢定 (2)

某一廠商產品重量之標準差為 5 公克。今此廠商宣稱其產品的平均重量恰為 250 公克，若隨機由該公司抽取 16 件產品秤其重量，得其平均數為 246 公克，請以顯著水準檢定此廠商宣稱是否為真？ ( 假設母體具常態分配 )

方法一：臨界值法 step 1 ： step 2 ：因為且，　。以　　　　為檢定之統計量，且顯著水準為

05.0

250: & 250: 10 HH

)25,(~ NX

例題 7

解

246x 16nn

XZ

0

05.0


step 3 ：其拒絕域為

step 4 ：檢定值

step 5 ：結論，拒絕　，即此廠商宣稱非真。

}96.1{}{}{ 0025.0020 zzzzz

96.12.31625

250246000

n

xz

0H

解


方法二： P 值法

step 1 與 step 2 同上。

step 3 ：

step 4 ：

step 5 ：結論，拒絕，即此廠商宣稱非真。

0014.0)2.3(2)165

250246(2

ZPZPP值

α..P 05000140值

0H

解

3. 單一母體平均數之假設檢定 (5 )( 二 ) 常態母體且未知，大樣本2

以為檢定值，其拒絕域與 P 值如下： (1) 左尾檢定：之拒絕域為　　　　 (2) 右尾檢定：之拒絕域為


0100 :&: HH }{ 0 zz )( 0zZPP 值

0100 :&: HH

)( 0zZPP 值

}{ 0 zz

)(2 0zZPP 值

0100 :&: HH }{2

0 zz

ns

xz

/00

0


某個工廠過去所生產之產品平均重量為 25 公斤，標準差4 公斤，今隨機抽取該工廠產品 49 件作檢查，得其平均重量為 27 公斤，請問假設在標準差未改變條件下，該工廠產品之重量是否有明顯地改變？

假設，由於隨機樣本之樣本個數 49可視為大樣本，其檢定統計量　　　　，拒絕域為而檢定值

落在拒絕域中，因此拒絕　，即此工廠產品之平均重量已有顯著地改變。

)05.0(

25:&25: 10 HH

ns

XZ

例題 8

解

}96.1{}{ 020 zzz

96.15.3494

252700

n

xz

0H

3. 單一母體平均數之假設檢定 (7)( 三 ) 常態母體且未知，小樣本2

以為檢定值，則其拒絕域與 P 值如下：

(1) 左尾檢定：之拒絕域為　　　　 (2) 右尾檢定：之拒絕域為


0 00

/

xt

s n

0100 :&: HH0{ ( 1)}t t n

0( )P P T t 值

0100 :&: HH

0( )P P T t 值

02 ( )P P T t 值

0100 :&: HH 0

2

{ ( 1)}t t n

0{ ( 1)}t t n


依題意，可建立假設為由於隨機樣本之個數 10 為小樣本，其檢定統計量　　　　，拒絕域為檢定值

∴ 不落在拒絕域中，因此勉強接受此廠商之宣稱平均重量不超過 78 公克。

某一廠牌行動電話宣稱其平均重量不超過 78 公克，今隨機抽取此廠牌行動電話 10 支，得其平均重 80 公克，標準差 4 公

克。請以顯著水準來檢定此廠商宣稱是否為真？ ( 假設母體具常態分配 )

78:&78: 10 HH

}833.1{)}9({ 005.00 ttt

05.0

例題 9

解

58.1104

7880000

ns

xt

ns

Xt


拒絕域為

承例 9 ，若以顯著水準來檢定此廠商宣稱，結果為何？

0 0.1 0{ (9)} { 1.383}t t t

0.1 例題 10

解

而檢定值落在拒絕域，0 1.58t

因此拒絕廠商之宣稱。

3. 單一母體平均數之假設檢定(10)

承例 9 ，若蒐集之隨機樣本為 100 個，請問在樣本平均數與變異數不變之條件下，以來檢定廠商之宣稱，結果為何？

0 0.05 0.05 0{ (100) } { 1.645}t t z t

05.0

例題 11

解

0

80 785

/ 4 100

Xt

s n

由於當 n=100 時，

其拒絕域為

(0,1)/

XT N

s n

而檢定值落在拒絕域中，

因此拒絕此廠商之宣稱。

4. 假設檢定與信賴區間之相關性(1) 信賴區間之假設檢定決策法則在常態母體且已知之條件下，若為隨機樣本之平均數且顯著水準為，則雙尾檢定：之決策法則如下：

2 x

nxxx ,,, 21

0100 :&: HH

0 0 0

2 2

[ , ]x z x z H Hn n

，，包含則接受否則便拒絕

4. 假設檢定與信賴區間之相關性(2)

某個工廠過去所生產之產品平均重量為 25 公斤，標準差 4 公斤，今隨機抽取該工廠產品 49 件作檢查，得其平均重量為27 公斤，請問假設在標準差未改變條件下，該工廠產品之重量是否有明顯地改變？請以信賴區間之決策法則重作本題

假設，由於隨機樣本之樣本個數 49可視為大樣本，其檢定統計量　　　　，拒絕域為而檢定值

落在拒絕域中，因此拒絕　，即此工廠產品之平均重量已有顯著地改變。

)05.0(

25:&25: 10 HH

n

XZ

例題 12

解

}96.1{}{ 020 zzz

96.15.3494

252700

n

xz

0H

4. 假設檢定與信賴區間之相關性 (2/2)

假設為雙尾檢定形式，已知顯著水準，因此平均數之 95％之信賴區間為

未包含，由此可知其結果與原作法結果相同，拒絕。

25:&25: 10 HH

05.0

]12.28,88.25[

]49

496.127,

49

496.127[],[ 025.0025.0

n

zxn

zx

某個工廠過去生產產品平均重量為 25 公斤，標準差 4 公斤，今隨機抽取該工廠產品 49 件作檢查，得平均重量為27 公斤，請問假設在標準差未改變條件下，該工廠產品之重量是否有明顯地改變？請以信賴區間之決策法則重作本題請以信賴區間之決策法則重作例 11.11 。

例題 12

解

250 0H

單一母體比例值之假設檢定

5. 單一母體比例值之假設檢定 (1)

( 一 ) 單一母體比例值假設檢定之決策法則若隨機變數 X 具有二項分配，令表次試驗中事件成功之次數，則以為檢定值，其母體比例值 p 值假設檢定之決策法則如下： (1) 左尾檢定：決策法則之 P 值 (2) 右尾檢定：決策法則之 P 值 (3) 雙尾檢定：決策法則之 P 值

),( pnb x n

n

xp ˆ

0100 :&: ppHppH

0100 :&: ppHppH

)}(),(min{2 00 ppxXPppxXP

0100 :&: ppHppH

)( 0ppxXP

)( 0ppxXP


無法拒絕　，即沒有充分的理由推翻此公司之宣稱。

1.0:&1.0: 10 pHpH

若某公司宣稱其產品不良率不高於 10％，今隨機抽取該公司產品 20 件，發現有 3 件不良品，請問在顯著水準 0.05條件下，此公司之宣稱是否為真？

例題 13

解

0H05.03231.0

6769.01

))1.0 , 20(~..()2(1

)1.03(

bXVRXP

pXPP值

依題意，可建立假設 (p 表產品不良率 )

計算決策法則之 P 值如下：

5. 單一母體比例值之假設檢定 (3)( 二 ) 大樣本時之決策法則若隨機變數具有二項分配，令表次試驗中事件成功之次數，則以為檢定值，其母體比例值 p 值假設檢定之決策法則如下： (1) 左尾檢定：之拒絕域為

(2) 右尾檢定：之拒絕域為

(3) 雙尾檢定：之拒絕域為

X

)1( 00

00

pnp

npxz

),( pnb n

0100 :&: ppHppH

0100 :&: ppHppH

0100 :&: ppHppH

}{ 0 zz

}{ 0 zz

}{ 20 zz

)( 0zZPP 值

)( 0zZPP 值

)(2 0zZPP 值

X


若某候選人宣稱其支持度至少為 30% ，今隨機抽取 100位該選區之選民作調查，發現支持此候選人者有 25位，請以顯著水準來檢定此候選人之宣稱是否正確？

不落在拒絕域中，因此勉強接受此候選人之宣稱。

05.0

3.0:&3.0: 10 pHpH

}645.1{}{ 005.00 zzz

例題 14

解

091.17.03.0100

3025

)1( 00

00

pnp

npxz

依題意，可建立假設 (p 表候選人之支持度 )

以 Z 值作為檢定之統計量，其拒絕域為

而抽樣所得之檢定值


承例 14 ，若抽樣個數為 1000 ，而樣本中支持此候選人者有 250位，其餘條件不變下，請問結果為何？

因此推翻此候選人之宣稱。

例題 15

解0

0

0 0

250 3003.45

100 0.3 0.7(1 )

x npz

np p

落在拒絕域中，

單一母體變異數之假設檢定

6. 單一母體變異數之假設檢定 (1)

單一母體變異數假設檢定之決策法則以為檢定值，則其檢定決策法則如下：

(1) 左尾檢定：　　　之拒絕域為　　　　　 (2) 右尾檢定：　　　　　之拒絕域為　　　　　　

(3) 雙尾檢定：　　　　　　之拒絕域為

20

220

)1(

sn

20

21

20

20 :&: HH

)()}1({ 20

221

20 PPn 值，

20

21

20

20 :&: HH

)()}1({ 20

2220 PPn 值，

20

21

20

20 :&: HH

)}(),(min2{)}1()1({ 20

220

2221

20

22

20 PPPnn 值，或

6. 單一母體變異數之假設檢定 (2)

檢定值落在拒絕域中，因此拒絕　，即此廠商之宣稱非真。

依題意，可建立假設：

拒絕域為

檢定值

若有一廠商宣稱其產品厚度之標準差為 1 公分，今隨機抽取該產品 30 件檢查，得其樣本標準差為 1.5 公分，請以顯著水準來檢定該廠商之宣稱是否為真 ( 假設該產品厚度具常態分配 ) 。

1:&1: 21

20 HH

}047.16722.45{)}29()29({ 20

20

2975.0

20

2025.0

20 或或

25.651

5.129)1(2

2

20

220

sn

05.0

例題 16

解

0H20

兩母體平均數之假設檢定

7. 兩母體平均數之假設檢定 (1)先視樣本為獨立樣本或成對樣本，再進一步地就母體是否為常態分配或大樣本及兩母體變異數已知與否加以討論。 ( 一 )獨立樣本　 (1) 常態母體且變異數已知：若　　　　　、　　　　　為取自於已知變異數為　及　之兩常態母體之獨立樣本，且　、　分別表其樣本平均數，以　　　　為檢定值，則

兩母體平均數假設檢定之拒絕域與 P 值如下：　

},,,{ 21 nxxx },,,{ 21 myyy 2x 2

y x y

mn

yxz

yx

22

00

7. 兩母體平均數之假設檢定 (2)

左尾檢定：之拒絕域為，右尾檢定：之拒絕域為，　　雙尾檢定：之拒絕域為，

0100 :&: yxyx HH

}{ 0 zz )( 0zZPP 值

0100 :&: yxyx HH

}{ 0 zz )( 0zZPP 值

0100 :&: yxyx HH

}|{|2

0 zz )(2 0zZPP 值


若某公司想瞭解 A、 B 兩條生產線所生產之產品平均重量之差異性，且由過去經驗得知此兩條生產線產品重量之標準差分別為 5 公克及 6 公克，今隨機從 A 生產線抽取 25 件、B 生產線抽取 36 件產品，得其平均重量分別為 95 公克、 98 公克。請以顯著水準檢定兩生產線平均重量是否有顯著地差異。 ( 假設兩母體均具有常態分配 )

05.0

例題 17


依題意，可建立假設 ( 、分別表 A、 B 兩條生產線產品之平均重量 ) ，由於隨機樣本 A 生產線抽取 25 件、 B 生產線抽取 36 件產品可視為大樣本，其檢定統計量　　　　，拒絕域為

而檢定值

落在拒絕域中，因此拒絕　，即兩條生產線所生產之產品重量有顯著地差異。

解 1

}96.1{}{ 020 zzz

96.112.236362525

0989522

00

yyxx nn

yxz

0H

0:&0: 10 BABA HH

A B

yyxx nn

yx22

0


因為 P 值＝ 0.034<0.05 ，因此拒絕，即兩條生產線所生產之產品重量有顯著地差異。

依題意，可建立假設 ( 、分別表 A、 B 兩條生產線產品之平均重量 ) ，以 P 值法檢定

0:&0: 10 BABA HH

034.0)12.2(2

)36362525

09895(2)(2

22

0

ZP

ZPnn

yxZPP

yx

值

解 2

0H

A B


(2) 常態母體、小樣本、變異數未知但相等：以為檢定值，其中　，兩母體平均數假設檢定之拒絕域與 P 值如下：

mns

yxt

p

110

0

2

)1()1( 222

mn

smsns yxp

左尾檢定：之拒絕域為

右尾檢定：之拒絕域為

雙尾檢定：之拒絕域為

0100 :&: yxyx HH

0100 :&: yxyx HH

)()}2({ 00 tTPPmntt 值，

)()}2({ 00 tTPPmntt 值，

0100 :&: yxyx HH

)(2)}2({ 0

2

0 tTPPmntt 值，

7. 兩母體平均數之假設檢定 (7)(3) 常態母體、小樣本、變異數未知且不相等：

以為檢定值，且

，兩母體平均數假設檢定之拒絕域與 P 值如下：左尾檢定：之拒絕域為



m

s

n

s

yxt

yx

22

00

1

)(

1

)(

)(

22

22

222

mm

s

nn

sm

s

n

s

vyx

yx

0100 :&: yxyx HH

)()}({ 00 tTPPvtt 值，

0100 :&: yxyx HH

)()}({ 00 tTPPvtt 值，

)(2)}({ 0

2

0 tTPPvtt 值，

0100 :&: yxyx HH


　 A B

樣本個數 8 6

樣本平均數 104 120

樣本變異數 32 50

若 A 公司行銷人員宣稱其產品的容量比 B 公司至少多 10毫升。今隨機從 A、 B 兩家公司各抽取一組樣本，得其結果如下：

假設兩家公司產品的容量均具常態分配且變異數不相等，請以顯著水準檢定 A 公司行銷人員之宣稱是否為真？ 05.0

例題 18


依題意，可建立假設以臨界值法檢定，其拒絕域為

其中，

而檢定值

因此拒絕，即 A 公司行銷人員之宣稱非真。

10:&10: 10 BABA HH

}833.1{)}9({)}({ 005.0005.00 tttvtt

9

5)650(

7)832(

)650832(22

2

v

解

0

(104 120) 107.4 1.833

32 8 50 6t

落在拒絕域中

0H

7. 兩母體平均數之假設檢定 (10)(4) 大樣本：以為檢定值，兩母體平均數

假設檢定之拒絕域與 P 值如下：左尾檢定：之拒絕域為



m

s

n

s

yxz

mn

yxz

yxyx

22

0022

00

或

0100 :&: yxyx HH }{ 0 zz

)( 0zZPP 值

0100 :&: yxyx HH }{ 0 zz )( 0zZPP 值

0100 :&: yxyx HH }|{| 20 zz )(2 0zZPP 值


隨機調查 100位公立大學和 100位私立大學社會新鮮人之起薪，得其平均起薪分別為公立大學 28000元及私立大學27500元，標準差均為 3000 ，請問根據以上資料檢定公立大學和私立大學社會新鮮人之平均起薪是否有顯著差異？( 顯著水準 ) 05.0

例題 19


0:&0: 10 yxyx HH

00 2 2 22

(28000 27500) 01.178

3000 3000100 100

yx

x yz

ss

n m

解依題意，可建立其假設如下： ( 令、分別表公立、私立大學畢業之社會新鮮人之平均起薪 )

x y

以臨界值法檢定， 00 22

yx

x yz

ss

n m

，為檢定之統計量

其拒絕域 0{ 1.96}z

而檢定值

不落在拒絕域中，因此接受，此結果顯示公立大學和私立大學畢業之社會新鮮人之平均起薪沒有顯著差異。

0H

7. 兩母體平均數之假設檢定 (13)( 二 ) 成對樣本令　　　　　　　　為一組成對樣本，且、　分別表成對樣本資料差　　　　　　之平均數與變異數，則兩母體平均數假設檢定之檢定值如下： ( 　　　　　 ( 或　　　或　　　 ))

(1) 若母體為常態、已知： Z 檢定之檢定值

(2) 若樣本為小樣本、未知： T 檢定之檢定值

(3) 若樣本為大樣本、　已知： Z 檢定之檢定值

(4) 若樣本為大樣本、　未知： Z 檢定之檢定值

),(,),,(),,( 2211 nn yxyxyx d2ds

nn yxyxyx ,,, 2211

00 : yxH 0 yx 0 yx

2D n

dz

D0

0

ns

dt

D

00

n

dz

D0

0

ns

dz

D

00

2D

2D

2D


前 70 　 70 　 82 　 76 　 66 　 76 　 62 　 68 　 72 　 54 　 60 　92 　 58 　 65 　 74

後 68 　 62 　 72 　 70 　 48 　 66 　 58 　 42 　 54 　 62 　 57 　60 　 62 　 65 　 64

瘦身公司宣稱其顧客平均三個月可瘦身 10 公斤，今隨機抽取 15 位該公司瘦身者做測量，發現其三個月瘦身前後之體重如下：

以顯著水準並假設瘦身前後體重差具常態分配來檢定此公司之宣稱是否為真？

05.0

例題 20


根據該公司之宣稱，我們可建立假設如下： ( 、表瘦身者瘦身前與瘦身後之平均體重 ) 　　　　　　　　　　　

利用臨界值法，可得拒絕域為抽樣所得之檢定值

3.11714

1642

115

)( ,9

15

135

15

15

1

2

2

15

1

i

i

di

i dds

dd

10:&10: 10 yxyx HH }145.2{)}14({ 0025.00 ttt

解

357.0153.117

1090

ns

dt

D

D

令表第 i 個資料瘦身前減瘦身後之體重差，則其樣本平均數與變異數如下：

id

不落在拒絕域，因此勉強接受此公司之宣稱。

x y

兩母體比例值之假設檢定

8. 兩母體比例值之假設檢定 (1)

若兩獨立隨機變數，，且 x、 y 分別表兩隨機變數在及次試驗中事件成功之次數，以

為檢定值 ( 視虛無假設而定 ) ，其中、且，則其決策法則如下：

),(~ xpnbX ),(~ ypmbY

yn yn

)11

)(ˆ1(ˆ

ˆˆ

)ˆ1(ˆ)ˆ1(ˆ

ˆˆ000

yx

yx

y

yy

x

xx

yxk

nnpp

ppz

n

pp

npp

kppz

或

0Hx

x n

xp ˆ

yy n

yp ˆ

yx nn

yxp

ˆ

兩母體比例值之假設檢定 ( 大樣本 )


(1) 左尾檢定：時，當時，拒絕域為， P 值 = 。當時，拒絕域為， P 值 = 。(2) 右尾檢定：時，當時，拒絕域為， P 值 = 。當時，拒絕域為， P 值 = 。(2) 雙尾檢定：時，當時，拒絕域為， P 值 = 。當時，拒絕域為， P 值 = 。

0k

0k

kppHkppH yxyx :&: 10

}{ 00 zz

}{ 0 zz k

)( 00zZP )( 0kzZP

kppHkppH yxyx :&: 10

}{ 00 zz }{ 0 zz k

)( 00zZP

)( 0kzZP kppHkppH yxyx :&: 10

}{ 200 zz

}{ 20 zz k

)(2 00zZP

)(2 0kzZP

0k

0k

0k

0k


為了估計行動電話在鄉村與都市的普及率是否有顯著的差異，某研究單位於鄉村與都市中各抽樣 1000位民眾進行調查，發現鄉村中有 800位，都市中有 900位擁有行動電話，試問以此資料是否可判定兩者之間有顯著差異？ ( )05.0

例題 21


落在拒絕域中，由此可知鄉村與都市民眾擁有行動電話之比例有顯著地差異。

0:&0: 10 yxyx ppHppH

}96.1|{|}|{| 00025.000 zzz

85.010001000

900800ˆ

yx nn

yxp

解

26.6

)1000

11000

1)(85.01(85.0

1000800

1000900

)11

)(ˆ1(ˆ

ˆˆ00

yx

yx

nnpp

ppz

依題意，可建立假設如下： ( 、分別表都市與城鄉擁有行動電話之比例值 )

xp yp

以 Z 作為檢定之統計量，其拒絕域為

而

因此其抽樣所得之檢定值

兩母體變異數之假設檢定

9. 兩母體變異數之假設檢定 (1)

若、　　　　　分別取自於兩常態母體之隨機樣本，且　、　為其樣本變異數在兩母體變異數之假設檢定中，以為檢定值，則其檢定之決策法則如下：(1) 左尾檢定之拒絕域為　　　　　或　　　　　　　，　　

},,,{ 21 nxxx },,,{ 21 myyy 2xs

2ys

2

2

0y

x

ks

sf

kHkHy

x

y

x 2

2

12

2

0 :&:

)}1,1({ 10 mnff

})1,1(

1{ 0

nmf

f

)( 0fFPP 值

兩母體變異數假設檢定之決策法則


(2) 右尾檢定　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(3) 雙尾檢定　　　　　　　　　　　　　　或　　　　　　　　　　　

kHkHy

x

y

x 2

2

12

2

0 :&:

)}1,1({ 0 mnff

0( )P P F f ，值

kHkHy

x

y

x 2

2

12

2

0 :&:

)1,1({2

0 mnff

)}1,1(210

mnff 0 02min{ ( ), ( )}P P F f P F f ，值

之拒絕域為

之拒絕域為


若某公司由 A、 B 兩條不同的生產線分別抽出 16 及 10 件產品作檢查，發現 A、 B 兩條生產線之樣本變異數分別為16 及 50 ，請以顯著水準　檢定此兩條生產線所生產之產品變異數是否有顯著地差異？ ( 假設兩母體均具有常態分配 )

1.0

例題 22


令、分別表 A、 B 生產線之產品支母體變異數，、分別表 A、 B 生產線之產品之樣本變異數。依題意可建立假設：

而其檢定值落在拒絕域中，因此拒絕　，

即兩條生產線之產品變異數有顯著地差異。

221

220 :&: yxyx HH

}386.05876.2

1006.3{

})15,9(

1)9,15()9,15({

00

05.095.0005.00

ff

fffff

或

或

解

0H

拒絕域為

0.3860.322

2

0 y

x

ks

sf

2x 2

y 2xs

2ys

10. 結論在假設檢定程序中，首先須建立假設，假設可分為虛無假設與對立假設，虛無假設是研究者欲推翻之假設，而對立假設是研究者想找到充分的證據證明的假設。建立假設後，研究者可利用樣本統計量之抽樣分配來作為決策法則之依據。

可採用臨界值法或 P 值法，當檢定值落在拒絕域或若 P值小於顯著水準，則拒絕，否則便接受。若結論為接受，則表示研究者並未找到充分之證據證明不成立；若結論為拒絕，則表示研究者找到充分之證據證明不成立。

0H

0H0H

0H0H

0H

Documents

假設檢定