操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度，小明站在离旗杆底部 10 米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为 34 度，并已知目高为 1 米．然后他很快就算出旗杆的高度了。

1 米34

10 米

?

你想知道小明怎样算出的吗？

我们已经知道，直角三角形 ABC 可以简记为 Rt ABC△ ，直角∠ C 所对的边 AB称为斜边，用 c 表示，另两条直角边分别叫∠ A 的对边与邻边，用 a 、 b 表示 .

图 19.3.1

在 Rt ABC△ 中，边的关系是＿＿角的关系是＿＿那么，边、角是否也存在一定关

系呢？

如图，在 Rt MNP△ 中，∠ N ＝ 90 ゜ .P∠ 的对边是 _______, P∠ 的邻边是 ______;M∠ 的对边是 _____, M∠ 的邻边是 _______;

（第 1 题）

MN PN

PN MN

• 观察图 19.3.2 中的 Rt AB△ 1

C1 、 Rt AB△ 2C2 和 Rt AB△ 3

C3 ，它们之间有什么关系？

图 19.3.2 Rt AB△ 1C1 Rt AB∽ △ 2C2 Rt AB∽ △ 3C3

所以　　　＝ __________=__________.1

11

AC

CB

可见，在 Rt ABC△ 中，对于锐角 A 的每一个确定的值，其对边与邻边的比值是惟一确定的 .

B2C2

AC2

B3C3

AC3对于锐角 A 的每一个确定的值，其对边与斜边、邻边与斜边、邻边与对边的比值也是惟一确定的 吗？

概括

我们同样可以发现，对于锐角 A 的每一个确定的值，其对边与斜边、邻边与斜边、邻边与对边的比值也是惟一确定的 .

因此这几个比值都是锐角∠ A 的函数，记作 sin A 、 cos A 、 tan A 、 cot A

正弦 :sin A= ,

余弦 :cos A= ,

正切 :tan A= ,

余切 :cot A= .

斜边的对边A

斜边的邻边A

的邻边的对边

A

A

的对边的邻边

A

A

AC

B

a

b

c

锐角三角函数的定义

在 Rt ABC△ 中，∠ C=90° ，

sinA= ， cosA= ，

tanA= ， cotA= 。 AC

B

a

b

cc

a

c

b

b

aa

b

显然，锐角三角函数值都是正实数，并且0 ＜ sin A ＜ 1 ， 0 ＜ cos A ＜ 1,tanA>0,cotA

>0根据三角函数的定义，我们还有 :tan A•cot A=1

锐角三角函数的定义

锐角三角函数的定义注意

2.sinA,cosA,tanA,cotA 都是整体符号 , 不能看成 sin•A,cos • A,tan • A,cot • A

1. 当角 A 固定时 , 它的三角函数值都是固定的 , 与角 A 的边长短无关

3. 若用三个大写字母表示一个角时 , 在表示它的三角函数时 , 角的符号“∠”不能省略 .

4 、 sinA 是一个比值 没有单位

• 试一试 . 求出图 19.3.3 所示的 Rt ABC△ 中∠ A 的四个三角函数值 .

图 19.3.1 15

8

1. 在 Rt△ABC 中，∠ C=90° ， sinA= ， 求∠ B 的四个三角函数值。

分析 在直角三角形中，给出锐角的任何一个三角函数值都等于给出两条边长的比，若两边都未给出，则可考虑设 K 法。若其中一条边长已知，就可求出另一条边长。

5

4

B C

A

「

解 在 Rt ABC△ 中，由 sinA=

可设 BC=4k ， AB=5k ， k≠0则有 AC=

∴sinB= ， cosB=

tanB= ， cotB=

5

4

2222 )4()5( kkBCAB

5

3

5

3

k

k

AB

AC5

4

4

3

3

4

例 题

2. 如图 , 在 Rt△ABC 中，∠ ACB=90° ， BC=5,AC=4,(1) 求 sinA ,sinB 的值， (2) 过点 C 作 CD⊥AB, 求 cos∠ACD.

D

AC

B

例 题

3. 在等腰△ ABC 中 ,AB=AC=13,BC=10, 求 tanB,cotC. A

CB┌D

求锐角三角函数时 , 勾股定理的运用是很重要的 .12

5cot,

5

12tan

12513

,,

,52

1,:

2222

AD

BDC

BD

ADB

BDABAD

ABDRt

BCBDDBCAD

得根据勾股定理中

则于作解

例 题

1. 如图 , 在 Rt△ABC 中 , 锐角 A 的对边和邻边同时扩大 100 倍 ,tanA 的值（ ）A. 扩大 100 倍 B. 缩小 100 倍 C. 不变 D. 不能确定2. 已知∠ A,∠B 为锐角(1) 若∠ A=∠B, 则 tanA tanB;(2) 若 tanA=tanB, 则∠ A ∠B.

A

B

C┌

3.sinA=2m-3(A 为锐角），则 m 的取值范围是___.

基础练习

练习 . 1. 若 tanA·cot20º=1 ，则锐角∠ A=

2. 在△ ABC 中，∠ C=90° ， BC=3 ， tanB=则 AB= 。

3. 已知 ,Rt ABC△ 中 , C=90°∠ , 2 ａ＝ 3 ｂ，求∠ Ｂ的四个三角函数值

4. 在 Rt ABC△ 中， ∠ C=90 ， CD AB⊥ＣＤ＝ ＢＣ＝２．求∠ A 的正弦、余弦值

A

B

C

D

3

3

5

A

B

C30°

12

3

sin30°=

cos30°=

tan30°=

cot30°=

2

1

2

3

33

3

300 角的各类三角函数值的探索

在直角三角形中，如果一个锐角等于 300 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

A

B

C45°

1

1

Sin45 ° =

cos45°=

tan45°=

cot45°=

22

22

1

1

2

450 角的各类三角函数值的探索

A C

B

60°

1

2

sin60°=

cos60°=

tan60°=

cot60°=

3

3

2

21

3

33

600 角的各类三角函数值的探索

三角函数锐角 α

正弦 sinα

余弦 cosα

正切 tanα

300

450

600

2

1

2

3

3

3

2

2

2

21

2

3

2

13

余切cotα

3

1

3

3

例： 计算 :(1)sin300+cos450;

(2) sin2600+cos2600-tan450.

老师提示 :

Sin2600 表示(sin600)2,

cos2600 表示(cos600)2,其余类推 .

计算 :

1 、 3tan36°+2cot45°+2sin60°

2 、

角为锐 1sin1sin 2

在 Rt ABC△ 中，∠ C=90° ，

sinA= ， cosA= ，

tanA= ， cotA= 。 AC

B

a

b

cc

a

c

b

b

aa

b

(1)0 ＜ sin A ＜ 1 ， 0 ＜ cos A ＜ 1, tanA>0,cotA>0

(2)tan A•cot A=1

锐角三角函数的意义

思考

.cossin

,90,22 的值求

中

AA

CABCRt

AC

B

a

b

c

小结 通过我们这一节课的探索与学习，你一定有好多的收获，你能把这些知识点加以收集与总结吗？