ตรีโกณมิติ

ฟงกชนตรโกณมต [คณตศาสตร 2 (3000 1521)]

1

“ตรโกณมต ” ตรงกบภาษาองกฤษวา “Trigonometric” หมายถง การวดรปสามเหลยม ซงมการน าความรเกยวกบเรองตรโกณมตไปใชในการหาระยะทาง พนท มม และทศทางทมความล าบากในการวดโดยตรง เชน การหาความกวางของแมน า การหาความสงของภเขา ในสมยกอนวชานวาดวยความสมพนธระหวางมมและดานของสามเหลยมเทานน ตอมาไดมการน าไปประยกตใชในสาขาวชาตางๆ เชน สาขาวศวกรรมศาสตร ฟสกส เปนตน

ฟงกชนตรโกณมตเปนอกฟงกชนหนงในฟงกชนอดศย เปนฟงกชนทกลาวถงมมและมตวแปรอสระเปนมม จงมความจ าเปนทจะตองมความรเรองมม เพอมาใชในการด าเนนการเรองฟงกชนตรโกณมต

ถาหมน PR รอบจด P ไปอยในแนว PQ จะ

ไดสงทเกดขนทเรยกวา มม และเรยกสวนตางๆ ทเกยวของ

กบมมดงน

จด P เรยกวา จดยอด (Vertex) ของมม

PR เรยกวา ดานเรมตน (initial side) ของมม

PQ เรยกวา ดานสนสด(terminail side) ของมม

มมและการวดมม (Angle and Angle Measure)

ฟงกชนตรโกณมต

(Trigonometric Function)


2

1. ทศทางของมม

การวดมมจะเรมวดจากแกนนอนทางบวก โดยเกณฑการวดมมจะมตวชวดทศทาง ของมมอย 2 ทศทาง คอ

1.1 วดตามเขมนาฬกา เปนการวดมมโดยเรมจากแกนนอนทางบวกไปในทศทาง ทวนเขมนาฬกาจนถงจดสนสดมม คามมจะมคาเปน “ ลบ ”

1.2 วดทวนเขมนาฬกา เปนการวดมมโดยเรมจากแกนนอนทางบวกไปในทศทาง ทวนเขมนาฬกาจนถงจดสนสดมม คามมจะมคาเปน “ บวก ”

2. หนวยของการวดมม หนวยของการวดมมทนยมใชม 2 ระบบ คอ 2.1 องศา(Degree) เปนหนวยการวดทรจกกนด สญลกษณทใชแทนองศา คอ “”

และ มมทเกดจากการหมนของสวนของเสนตรงไปครบหนงรอบมขนาด 360 องศา และมหนวยยอยลงไปอก คอ ลปดา และ ฟลปดา ดงน

1 องศา เทากบ 60 ลปดา 1 ลปดา เทากบ 60 ฟลปดา 2.2 เรเดยน(Radian) มมขนาด 1 เรเดยน คอ มมทจดศนยกลางของวงกลมทรองรบดวยสวนโคง ของ

วงกลมทยาวเทากบรศมของวงกลมนน วงกลมทมรศม r หนวยมความยาวเสนรอบวงเทากบ 2 r หนวย ดงนนมมทจดศนยกลางทรองรบดวยสวนโคงทยาว 2 หนวย จงมขนาด

r

r2 เรเดยนหรอ 2 เรเดยนและ

มมทจดศนยกลางของวงกลมทรองรบดวยสวนโคงของวงกลม r หนวย จะมขนาด r

r

เรเดยน

หรอ เรเดยน


3

จะเหนไดวามมทจดศนยกลางของวงกลม( ) ทมรศมยาว r หนวย ซงรองรบดวยสวนโคงของวงกลมทยาว a หนวย จะมขนาด

r

a เรเดยน นนคอ

= r

a

จากการหมนรศมครบ 1 รอบ ของวงกลมทมรศม r หนวย จะมมมทจดศนยกลางเทากบ 2 r แตมมดงกลาวเมอวดเปนองศาจะได 360 องศา นนคอ 360 องศา = 2 เรเดยน หรอ 180 องศา = เรเดยน

สามารถน าความสมพนธระหวางหนวยองศา(Degree) และเรเดยน (Radian) ไปใช แกปญหาเกยวกบหนวยของมม ดงตวอยางตอไปน ตวอยางท 1 จงเปลยนหนวยของมมตอไปนใหเปน เรเดยน

1) 45 องศา 2) 120 องศา 3) 240 องศา วธท า 1) 45 องศา

180 องศา = เรเดยน 45 องศา =

180

45 เรเดยน

= 36

9

1) 120 องศา 180 องศา = เรเดยน 120 องศา =

180


= 3

2

2) 180 องศา = เรเดยน 240 องศา =

180


= 3

4

ตวอยางท 2 จงเปลยนหนวยของมมตอไปนใหเปนองศา


4

1) 3

เรเดยน 2) 4

5 เรเดยน 3) 3


วธท า

1) 3

เรเดยน

เรเดยน = 180 องศา

3

เรเดยน =

3180

องศา

= 60 องศา 2)

4



4

5 เรเดยน =

4

5180

องศา

= 225 องศา 3)

4



4

12 เรเดยน =

3

12180

องศา

= 720 องศา


5

ในเบองตนนกศกษาไดศกษาฟงกชนตรโกณมตมาแลว ฟงกชนตรโกณมตม 6 ฟงกชน คอ

1. ฟงกชนไซน (sine) ใชสญลกษณในการเขยน เปน sin 2. ฟงกชนโคไซน (cosine) ใชสญลกษณในการเขยน เปน cos 3. ฟงกชนแทนเจนต (tangen) ใชสญลกษณในการเขยน เปน tan 4. ฟงกชนโคเซคแคนต (cosecant) ใชสญลกษณในการเขยน เปน cos 5. ฟงกชนเซคแคนต(secant) ใชสญลกษณในการเขยน เปน sec 6. ฟงกชนโคแทนเจนต(cotangent) ใชสญลกษณในการเขยน เปน cot

การหาคาฟงกชนตรโกณมตสามารถหาไดตามลกษณะเงอนไขทใหมา ตอไปจะไดศกษาการหาคาฟงกชนตรโกณมตจากรปสามเหลยมมมฉากและการหาคาฟงกชนตรโกณมตจากวงกลมหนงหนวย

1. ฟงกชนตรโกณมตจากรปสามเหลยมมมฉาก

การหาคาฟงกชนตรโกณมตจากรปสามเหลยมมมฉาก เปนการพจารณาความสมพนธระหวางมม

ภายในและความยาวดานของรปสามเหลยม ก าหนดรปสามเหลยมดงรป จะไดวา

sin = c

a cosec = c

a

cos = c

a sec = c

a

tan = c

a cot = c

a

ฟงกชนตรโกณมต


6

ตวอยางท 3 จงหาคาฟงกชนตรโกณมตทงหมดของมม จากรปทก าหนดให

วธท า จากทฤษฎบทพทากอรส

จะไดวา 2

AB = 2

AC + 2

BC

2

AB = 4 2 + 3 2 = 16 + 9 = 25

ดงนน AB = 5

sin = AB

BC = 5

3

cos = AB

AC = 5

4

tan = AC

BC = 4

3

cosec = BC

AB = 3

5

sec = AC

AB = 4

5

cot = BC

AC = 3

4 ตอบ


7

การหาคาฟงกชนตรโกณมตของมมตางๆ ทจะตองกระท าไดโดยไมตองอาศยตารางของฟงกชนตรโกณมตหรอเครองชวยคดค านวณ คอ คาฟงกชนตรโกณมตของมม 30 , 45 และ

มม 60 มม 30 และมม 60 กระท าไดโดยการอาศยรปสามเหลยมดานเทามมเทา ความยาวดานละ 2 หนวย ลากเสนตรงแบงครงมมยอดไปยงฐาน จะแบงฐานออกเปนสองสวนทเทากนเปนสวนละ 1 หนวย และมมยอดทแบงจะเปน 2 มมซงกางมมละ 30 องศา รปสามเหลยมกจะถกแบงเปน 2 รป ใชทฤษฎบทพทากอรสหาความยาวสวนของเสนตรงทใชแบงสามเหลยม

ออกเปน 2 รป เมอไดความยาวครบทง 3 ดาน กสามารถหาคาฟงกชนตรโกณมตของมม 30

และมม 60 ได ดงน

มม 30 sin 30 = 2

1 cosec 30 = 2

cos 30 = 2

3 sec 30 =

3

2

tan 30 = 3

1 cot 30 = 3

มม 60 sin 60 =

2

3 cosec 60 = 3

2

cos 60 = 2

1 sec 60 = 2

tan 60 = 3 cot 60 = 3

1


8

มม 45 หาไดโดยอาศยรปสามเหลยมมมฉาก ทมความยาวของดานประกอบมมฉากยาวดานละ 1 หนวย อาศยทฤษฎบทพทากอรสหาความยาวดานทเหลอ เมอความยาวดานทงสามครบกสามารถหาคาฟงกชนตรโกณของมมได ดงน

จะได sin 45 = 2

1 cosec 45 = 2

cos 45 = 2

1 sec 45 = 2

tan 45 = 1 cot 45 = 1

สรปคาฟงกชนตรโกณมตของมม 30 , 45 และมม 60 เปนตารางดงน

มม ฟงกชน Sin cos tan cosec sec cot

30 หรอ (6

) 2

1 2

3 3

1 2 3

2 3

45 หรอ (4

) 2

1 2

1 1 2 2 1

60 หรอ (3

) 2

3 2

1 3 3

2 2 3

1

2. คาฟงกชนตรโกณมตบนวงกลมหนงหนวย

วงกลมหนงหนวย หมายถง วงกลมทรศมยาวหนงหนวย และจดศนยกลางอยทจดก าเนด (0,0)


9

การหาคาฟงกชนตรโกณมตบนวงกลมหนงหนวย

จากรปจะไดวา

sin = 1

y = y

cos = 1

x = x

tan = cosec =

sec = cot =

คอนดบ (x,y) ใดๆ บนจตภาค คอคาฟงกชนโคไซนและฟงกชนไซน นนคอ (x,y) = (cos ,sin )

2.1 คาฟงกชนตรโกณมตบนแกน จาก

sin = 1

y = y

cos = 1

x = x

(x,y) = (cos ,sin )

สามารถสรปคาฟงกชนตรโกณมตบนแกนของวงกลมหนงหนวยไดดงตาราง

ฟงกชน

มม Sin cos tan cosec sec cot

90 1 0 หาคาไมได 1 หาคาไมได 0

180 0 -1 0 หาคาไมได -1 หาคาไมได

270 -1 0 หาคาไมได -1 หาคาไมได 0 360 0 1 0 หาคาไมได 1 หาคาไมได

x

y

y

1

x

1

y

x


10

2.2 คาฟงกชนตรโกณมตบนจตภาค

2.2.1 คาฟงกชนตรโกณมตบนจตภาคท 1 (0 90 )หรอ (0( ) 2

)

sin = y cosec = y

1

cos = x sec = x

1

tan = x

y cot = y

x

2.2.2 คาฟงกชนตรโกณมตบนจตภาคท 2 (90 180 ) หรอ (2

)

sin ( - ) = y = sin

cos ( - ) = -x = cos

tan ( - ) = - x

y = tan

cosec ( - ) = y

1 = cosec

sec ( - ) = -x

1 = sec

cot ( - ) = -y

x = cot

2.2.3 คาฟงกชนตรโกณมตบนจตภาคท 3 (180 270 ) หรอ ( 2

3 )

sin (+ ) = - y = - sin

cos (+ ) = -x = - cos

tan (+ ) = x

y = tan

cosec (+ ) = -y

1 = - cosec

sec (+ ) = -x

1 = sec

cot (+ ) = y

x = cot


11

2.2.4 คาฟงกชนตรโกณมตบนจตภาคท 4 (270 360 ) หรอ (2

3 2 )

sin ( 2 - ) = - y = - sin

cos ( 2 - ) = x = cos

tan ( 2 - ) = - x

y = - tan

cosec ( 2 - ) = -y

1 = - cosec

sec ( 2 - ) = x

1 = sec

cot ( 2 - ) = -y

x = - cot

ตวอยางท 4 จงหาคาฟงกชนตรโกณมตของมม 120 องศา

วธท า มม 120 = - 60

sin ( -60) = sin 60 = 2

3

cos ( -60) = - cos 60 = -2

1

tan ( -60) = - tan 60 = - 3

cosec ( -60) = cosec 60 = 3

2

sec ( -60) = - sec 60 = - 2

cot ( -60) = - cot 60 = -3

1


12

ตวอยางท 5 จงหาคาฟงกชนตรโกณมตของมม 1,050 วธท า มม 1,050 = 6 - 30

sin (6 -30) = - sin 30 = -2

1

cos (6 -30) = cos 30 = 2

3

tan (6 -30) = - tan 30 = -3

1

cosec (6 -30) = - cosec 30 = - 2

sec (6 -30) = sec 30 = 3

2

cot (6 -30) = - cot 30 = - 3 ตวอยางท 6 จงหาคาฟงกชนตรโกณมตของมมตอไปน

1. sin 225 2. tan (3 - 30) 3. cosec (2 - 60) 4. cos 1125

5. sec (-150 )

วธท า 1. sin 225 = sin (+45) = - sin 45 = - 2

1

2. tan (3 - 30) = - tan 30 = 3

1

3. cosec (2 - 60) = - cosec 60 = 3

2

4. cos 1125 = cos 45 = 2

1

5. sec (-150 ) = - sec 30 = - 2

3


13

1. จงเปลยนมมตอไปนใหมหนวยเปนเรเดยน

1.1) 45 องศา 1.3) 240 องศา

1.2) 135 องศา 1.4) 330 องศา

...........................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................

.................................................................................................................................

2. จงเปลยนมมตอไปนใหมหนวยเปนองศา

1.1) 3 เรเดยน 1.3) เรเดยน

1.2) เรเดยน 1.4) เรเดยน...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

แบบฝกหด

3

5

3

4

6

15


14

3

3. จงหาคา sin 210 องศา , tan 390 องศา , cosec .........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

4. จงหาคาฟงกชนตรโกณมตของมม องศา .........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

5. จงหาคาฟงกชนตรโกณมตของมม 135 องศา

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

6

13


15

6. จงหาคาฟงกชนตรโกณมตของมม

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

...................................................................................................................................... 7. จงหาคาฟงกชนตรโกณมตของมม 1,020 องศา

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

...................................................................................................................................... 8. จงหาคาฟงกชนตรโกณมตของมม

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

1211

317


16

Documents

ตรีโกณมิติ