46 ตรีโกณมิติ ตอนที่3_ฟังก์ชันตรีโกณมิติ1

คมอประกอบสอการสอน วชาคณตศาสตร

เรอง

ตรโกณมต (เนอหาตอนท 3)

ฟงกชนตรโกณมต 1

โดย

รองศาสตราจารย จตรจวบ เปาอนทร

สอการสอนชดน เปนความรวมมอระหวาง คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย กบ

ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน (สพฐ.) กระทรวงศกษาธการ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

1

สอการสอน เรอง ตรโกณมต สอการสอน เรอง ตรโกณมต มจ านวนตอนทงหมดรวม 15 ตอน ซงประกอบดวย

1. บทน า เรอง ตรโกณมต 2. เนอหาตอนท 1 อตราสวนตรโกณมต

- สมบตของรปสามเหลยมมมฉากและทฤษฎบทพทาโกรส - อตราสวนตรโกณมต - อตราสวนตรโกณมตของมม 30 45 และ 60

3. เนอหาตอนท 2 เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมตและวงกลมหนงหนวย - เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต - วงกลมหนงหนวย การวดมมและหนวยของมม

4. เนอหาตอนท 3 ฟงกชนตรโกณมต 1 - ฟงกชนตรโกณมตของคาจรงและของมม - คาฟงกชนตรโกณมตของมม 30 45 และ 60

5. เนอหาตอนท 4 ฟงกชนตรโกณมต 2 - ความแตกตางและความสมพนธของอตราสวนตรโกณมต กบฟงกชนตรโกณมต - คาฟงกชนตรโกณมตของมมในจตภาคตาง ๆ

6. เนอหาตอนท 5 ฟงกชนตรโกณมต 3 - คาฟงกชนตรโกณมตของผลบวกและผลตางของมม - สตรผลคณ ผลบวกและผลตางของฟงกชนตรโกณมต

7. เนอหาตอนท 6 กฎของไซนและกฎของโคไซน - กฎของไซน - กฎของโคไซน

8. เนอหาตอนท 7 กราฟของฟงกชนตรโกณมต - การเปดตารางหาคาฟงกชนตรโกณมต - กราฟของฟงกชนตรโกณมต


2

9. เนอหาตอนท 8 ฟงกชนตรโกณมตผกผน

- ฟงกชนตรโกณมตผกผน - สมบตและความสมพนธของฟงกชนตรโกณมตผกผน

8. แบบฝกหด (พนฐาน 1) 9. แบบฝกหด (พนฐาน 2) 10. แบบฝกหด (พนฐาน 3) 11. แบบฝกหด (พนฐาน 4) 12. แบบฝกหด (ขนสง) 13. สอปฏสมพนธ เรอง มมบนวงกลมหนงหนวย 14. สอปฏสมพนธ เรอง กราฟของฟงกชนตรโกณมตและฟงกชนตรโกณมตผกผน 15. สอปฏสมพนธ เรอง กฎของไซนและกฎของโคไซน

คณะผจดท าหวงเปนอยางยงวา สอการสอนชดนจะเปนประโยชนตอการเรยนการสอนส าหรบคร และนกเรยนทกโรงเรยนทใชสอชดนรวมกบการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร เรอง ตรโกณมต นอกจากนหากทานสนใจสอการสอนวชาคณตศาสตรในเรองอนๆทคณะผจดท าไดด าเนนการไปแลว ทานสามารถดชอเรอง และชอตอนไดจากรายชอสอการสอนวชาคณตศาสตรทงหมดในตอนทายของคมอฉบบน


3

เรอง ตรโกณมต (ฟงกชนตรโกณมต 1) หมวด เนอหา ตอนท 3 (3 / 8) หวขอยอย 1. ฟงกชนตรโกณมตของคาจรงและของมม 2. คาของฟงกชนตรโกณมตของมม 30 45 และ 60 จดประสงคการเรยนร เพอใหผเรยน 1. เกดความเขาใจในมโนทศนของฟงกชนตรโกณมตของคาจรงและของมม 2. สามารถหาคาฟงกชนตรโกณมตของมม 0 90 180 270 และ 360 ได 3. สามารถหาคาฟงกชนตรโกณมตของมมบางมมในจตภาคท 1 (30 45 และ 60) ได ผลการเรยนร ผเรยนสามารถ 1. บอกบทนยามของฟงกนตรโกณมตของคาจรงและของมมได 2. หาคาฟงกชนตรโกณมตของมม 0 90 180 270 และ 360 ได 3. หาคาฟงกชนตรโกณมตของมม 30 45 และ 60 ได


4

เนอหาในสอการสอน

เนอหาทงหมด


5

1. ฟงกชนตรโกณมตของคาจรงและของมม


6

1. ฟงกชนตรโกณมตของคาจรงและของมม เราเรมดวยเรองฟงกชนตรโกณมตของคาจรงกอน โดยในตอนแรกจะกลาวถงสองฟงกชน คอ ฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซน


7

และเพอใหนกเรยนไดเขาใจในมโนทศนของฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซน จงเขยนกราฟของฟงกชนทงสอง ประกอบกบบทนยามไปดวยกน ส าหรบคาจรง ตาง ๆ ถาเราหาคา x และ y ได จากวงกลมหนงหนวยท าใหเราสามารถเขยนกราฟไดดงน


8

ถาเราอยากทราบเรนจของฟงกชนทงสอง พจารณาไดดงน


9

ตอไปจะแนะน าใหรจก เอกลกษณของฟงกชนตรโกณมต ซงกคอความสมพนธของฟงกชนไซนกบ ฟงกชนโคไซน

นกเรยนจะเหนวา เอกลกษณนกคอความสมพนธของ sin () และ cos () ส าหรบทกคาจรง ซงตอไปนกเรยนสามารถน าไปใชได และกอนทจะน าเอกลกษณของฟงกชนไซนและโคไซนไปใช


10

เราจะพจารณาเครองหมายของ sin () และ cos () เมอ อยในชวงตาง ๆ ดงน 3

0, , , , ,2 2 2

และ 3

, 22

ตอไปเปนตวอยางทใชเอกลกษณตรโกณมต และสมบตทเกยวกบเครองหมายของคา sin และ cos


11

ตวอยางเพมเตม

ตวอยาง ก าหนดให sin () = 3

4 และ < <

3

2

จงหาคาของ cos ()

วธท า ใชเอกลกษณตรโกณมต sin2 + cos

2 = 1

แลว cos() =

2

2 3 71 sin 1

4 4

แต 3

2

ดงนน cos () < 0 ฉะนน cos () =

7

4

เมอเรานยามฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซนจากจด (x, y) บนวงกลมหนงหนวย จะเหน (x, y) จะวนกลบมาทเดม ถาคาจรง เปลยนไปเปนคาจรง + 2 หรอคาจรง – 2


12

สรปไดวา


13

ตอไปเราจะหาคาฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซนของคาจรงบางคา จากรป

เมอเราได เซตของคาจรงทท าใหคาไซนเปน 0 และเซตของคาจรงทท าใหคาโคไซนเปน 0 ตอไปเราจะน าไปประกอบการนยามฟงกชนตรโกณมตอก 4 ฟงกชน


14

แตกอนอนเรามาหาคาฟงกชนจากตวอยางตอไปนกน

ฟงกชนตรโกณมตทเหลออก 4 ฟงกชน จะนยามดงน

และหาเอกลกษณตรโกณมตไดอก 2 เอกลกษณ คอ


15

เมอเรามฟงกชนตรโกณมตครบทง 4 ฟงกชนแลว เราจะแสดงคาฟงกชนตรโกณมตของคาจรงบางคาโดย ตารางตอไปน

และสมบตของฟงกชนตรโกณมตทเกยวกบมม และมม + 2n , n


16

เมอเรานยามฟงกชนตรโกณมตของคาจรงไปแลว คราวนจะนยามฟงกชนตรโกณมตของมมกนบาง


17

นกเรยนจะไดเหนวา คาฟงกชนไซนของมม เรเดยน จะเทากบคาฟงกชนไซนของคาจรง

และ คาฟงกชนโคไซนของมม เรเดยน จะเทากบคาฟงกชนโคไซนของคาจรง ซงตอไปจะใชแทนกนได ตอไปจะนยามฟงกชนตรโกณมตอน ๆ ของมมกน

และในท านองเดยวกบฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซน เราจะไดดวยวา คาฟงกชนตรโกณมตของมม เรเดยน จะเทากบคาฟงกชนตรโกณมตของคาจรง เมอไดความสมพนธของมมทมหนวยเปนเรเดยนกบคาจรงใด ๆ แลว เราสามารถหาคาฟงกชนตรโกณมต


18

ของมมบางมม (0, 90, 180, 270 และ 360) ไดดงน

ตวอยางเพมเตม ตวอยาง จงหาคาฟงกชนตรโกณมตของมมตอไปน

1. sin (–270) = sin3

2

= sin3

22

= sin

2

= 1

2. cos (450) = cos5

2

= cos 22

= cos

2

= 0

3. tan (540) = tan (3) = tan(2 + ) = tan() = 0

4. cosec (–90) = cosec 2

= cosec 22

= cosec 3

2

= –1

5. sec (–180) = sec (–) = sec(2 – ) = sec() = –1

6. cot (630) = cot 7

2

= cot 32

2

= cot 3

2

= 0

ตวอยาง ก าหนดให sec () = 5

3 และ

2

< < จงหาคาของ tan ()


19

วธท า ใชเอกลกษณตรโกณมต sec

2 – tan

2 = 1

แลว tan () =

2

2 5 4sec 1 1

3 3

แต 2

< < ดงนน sin () > 0 และ cos () < 0 แลว tan () < 0

ฉะนน tan () = 4

3

ตวอยาง ก าหนดให cot () = 1

3 และ < < 3

2

จงหาคาของ cosec ()

วธท า ใชเอกลกษณตรโกณมต cosec

2 – cot

2 = 1

แลว cosec () =

2

2 1 101 cot 1

3 3

แต < < 3

2

ดงนน sin () < 0 แลว cosec () < 0

ฉะนน cosec () = 10

3

ตวอยาง ก าหนดให tan () = –2 และ 32

< < 2 จงหาคาของ cos ()

วธท า ใชเอกลกษณตรโกณมต sec

2 – tan

2 = 1

แลว sec () = 2 21 tan 1 ( 2) 5

แต 3

2

< < 2 ดงนน cos () > 0 แลว cos () =

1

5

แบบฝกหดเพมเตม


20

เรอง ฟงกชนตรโกณมตของคาจรงและของมม

1. ก าหนดให sin () = 2

3 จงหาคาของ cos ()

2. ก าหนดให cos () = 1

5 และ 3

2

< < 2 จงหาคาของ sin ()

3. ก าหนดให sin 6

5

= – 0.5878 จงหาคาของ cos 6

5

4. ก าหนดให cos 3

4

= – 0.707 จงหาคาของ sin 3

4

5. จงหาคาของฟงกชนตรโกณมตของมมตอไปน

5.1 7

2

เรเดยน 5.2 900

5.3 8 เรเดยน 5.4 – 450

6. จงบอกคาจรง มา 3 จ านวนทท าให

6.1 sin () = 0 6.2 cos () = 1

6.3 sin () = –1 6.4 cos () = 0

6.5 tan () = 0 6.6 cosec () = 1

6.7 sec () = –1 6.8 cot () = 0

7. ก าหนดให tan () = 3 และ < < 3

2

จงหาคาของ sec ()

8. ก าหนดให cosec () = –2 และ 32

< < 2 จงหาคาของ cot ()

9. ก าหนดให cosec2 + cot

2 =

7

2 และ 0 < <

2

จงหาคาของ sin ()


5 และ 90 < < 180 จงหาคาของ cos( ) cot( )

cosec( ) tan( )


21

2. คาฟงกชนตรโกณมตของมม 30 45 และ 60

2. คาฟงกชนตรโกณมตของมม 30 45 และ 60


22

เราจะใชความรเกยวกบวงกลมหนงหนวยในการหาคาฟงกชนตรโกณมตของมมบางมม (30 45 และ 60) ซงมมเหลานอยในจตภาคท 1

เรมจากการหาคา sin (45) และ cos (45)

สรปเปน

sin (45) = sin 2

4 2

cos (45) = cos 2

4 2


23

การหาคา sin (30) และ cos (30)

สรปเปน การหาคา sin (60) และ cos (60)

สรปเปน สรปเปนตารางเพอการจดจ าของนกเรยน

sin (30) = sin 1

6 2

cos (30) = cos 3

6 2

sin (60) = sin 3

3 2

cos (60) = cos 1

3 2


24

นกเรยนจะไดเหนวา คาฟงกชนไซนจะเพมขนจาก 1 2 3

2 2 2, , เมอมมเพมขนในจตภาคท 1

และคาฟงกชนโคไซนจะลดลงจาก 3 2 1

2 2 2 , , เมอมมเพมขนในจตภาคท 1

และจะไดคาฟงกชนตรโกณมตอน ๆ ของมม 30 45 และ 60 ดงน

30 45 60

6

เรเดยน 4

เรเดยน 3

เรเดยน

1

3 3

2 2

3

2

3 2

3 1

3

ตวอยาง จงหาคาฟงกชนตรโกณมตตอไปน

มม

tan ()

cosec ()

sec ()

cot ()

1

1

2

2


25

1. sin 9

4

= sin 24

= sin

2

4 2

2. sin(– 300) = sin(– 360 + 60) = sin (60) = 3

2

3. cos 11

6

= cos 11

26

= cos

3

6 2

4. cos(765) = cos(720 + 45) = cos (45) = 2

2

5. tan 7

3

= tan 23

= tan 3

3

6. tan(– 330) = tan(– 360 + 30) = tan (30) = 1

3

7. cosec 5

3

= cosec5

23

= cosec

2

3 3

8. cosec (405) = cosec (360 + 45) = cosec (45) = 2

9. sec 13

6

= sec 26

= sec

2

6 3

10. sec (– 660) = sec (– 720 + 60) = sec (60) = 2

11. cot 17

4

= cot 44

= cot

4

= 1

12. cot (– 300) = cot (– 360 + 60) = cot (60) = 1

3


26

แบบฝกหดเพมเตม เรอง

คาฟงกชนตรโกณมตของมม 30 45 และ 60

1. จงหาคาฟงกชนตรโกณมตของมมตอไปน

1.1 25

4

เรเดยน 1.2 – 690

1.3 23

6

เรเดยน 1.4 420

2. จงหาของ

2.1 sin 13

6

cos 3

+ sin 9

4

cos 4

2.2 3 tan 6

– tan 11

6

2.3 2 cosec 3

+ sec 9

4

2.4 tan2 7

3

+ sec2 11

6


2 และ –2 < <

3

2

จงหาคาของ tan ()

4. ก าหนดให cos () = 3

2 และ 2 < <

5

2

จงหาคาของ cosec ()

5. ก าหนดให = 30 จงหาคาของ 3 4cos(2 ) sin(3 )

3 4sin(2 ) cos(3 )

6. ก าหนดให = 3

จงหาคาของ 2sin( ) 3cos(3 )

3sin 2cos(6 )

2

7. จงหาผลเฉลยในชวง 0,2

ของสมการตอไปน

7.1 sin (x) = cos (x)

7.2 4 cos2(x) + 2( 3 – 1) cos (x) – 3 = 0


27

สรปสาระส าคญประจ าตอน


28

สรปสาระส าคญประจ าตอน


29


30

เอกสารอางอง

1. ด ารงค ทพยโยธา, เสรมความรมงสโอลมปกคณตศาสตรโลกตรโกณมต,

โรงพมพแหงจฬาลงกรณมหาวทยาลย, 2550.


31

ภาคผนวกท 1 แบบฝกหด / เนอหาเพมเตม


32

แบบฝกหดระคน

1. ถา 4 tan () = 3 และ < < 3

2

แลวคาของ 5sin( ) 3cos( )

3cos( ) sin( )

คอขอใด

ก 9 ข 9

7 ค 3 ง 1

2. ถา cosec () = 5

4 และ cos () < 0 แลวคาของ 3 tan () + cot () – 2cos () คอขอใด

ก 89

20 ข 71

20 ค 89

20 ง 71

20

3. จงหาคาของ 5 cos2

3

+ 4

3 sin

2

6

ก 11

12 ข 9

4 ค 19

12 ง 49

12

4. ถา x1 และ x2 เปนผลเฉลยของสมการ x2

– (sec 60) x – 3 tan 45 = 0 จงหาคาของ x1 + x2 ก 2 ข –2 ค 3 ง –1

5. ก าหนดให sec2 + tan

2 =

7

2 และ < < 3

2

จงหาคาของ cos ()

ก 2

5 ข 2

5 ค 2

3 ง 2

3

6. จงหาคาของ 21 2sin ( )

3(cot( ) tan( ))sin( )cos( )

ก 13

ข 1

3 ค 3 ง –3

7. ถา 1 และ 2 เปนผลเฉลยของสมการ 3 cos

2 + sin

2 = 1 และ 1 [0, ]

และ 2 [2, 3] จงหาคา 3 1 + 2 ก ข 2 ค 3 ง 4


33

8. ถา 1 และ 2 เปนคาจรงในชวง 02

,

ซงเปนผลเฉลยของสมการ

cosec () + 2 sin () = 3 แลว | 1 – 2 | มคาเทาใด

ก 4

ข 3

ค

2

ง 3

4

9. ถา 1 และ 2 เปนคาจรงในชวง 02

,

ซงเปนผลเฉลยของสมการ

tan2 () – ( 3 1 ) tan () + 3 = 0 แลว 1 + 2 มคาเทาใด

ก 12

ข 7

12

ค 5

12

ง 2

10. ถา = 30 จงหาคาของ cos(2 ) 2sin(3 )

sin( ) 3cos(3 )

ก –1 ข 1 ค 5 ง 5

3


34

ภาคผนวกท 2 เฉลยแบบฝกหด


35

เฉลยแบบฝกหด เรองฟงกชนตรโกณมตของคาจรงและของมม

1. 5

3 2. 2 6

5

3. 0.809 4. 0.70721

5. ขอ มม sin cos tan cosec sec cot

5.1 7

2

1 0 – 1 – 0

5.2 900 0 –1 0 – –1 –

5.3 8 0 1 0 – 1 –

5.4 – 450 –1 0 – –1 – 0

6. 6.1 0, , – 6.2 0, 2, –2

6.3 3 7

2 2 2

, , 6.4 3

2 2 2

, ,

6.5 0, , – 6.6 5 9

2 2 2, ,

6.7 , –, 3 6.8 3

2 2 2

, ,

7. 10 8. 3

9. 2

5 10. 96

165


36

เฉลยแบบฝกหด เรองคาฟงกชนตรโกณมตของมม 30 45 และ 60

1.

ขอ มม sin cos tan cosec sec cot

1.1 25

4

2

2 2

2

2 2

1.2 – 690 1

2 3

2

1

3 2

3 3

1.3 23

6

1

2 3

2

1

3 2

3 3

1.4 420 3

2

1

2 3 2

3 1

3

2. 2.1 3

4 2.2 2 3

3

2.3 4 3 2

3 2 2.4 13

3

3. 1 4. 2

5. 4 32

3 6. 3 3

3

7. 7.1 4

7.2

3

เฉลยแบบฝกหดระคน 1. ค 2. ง 3. ค 4. ก 5. ง 6. ก 7. ง 8. ข 9. ข 10. ค

1 1

2

2

2


37

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน


38

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน

เรอง ตอน

เซต บทน า เรอง เซต

ความหมายของเซต

เซตก าลงและการด าเนนการบนเซต

เอกลกษณของการด าเนนการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร

สอปฏสมพนธเรองแผนภาพเวนน-ออยเลอร

การใหเหตผลและตรรกศาสตร บทน า เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร

การใหเหตผล

ประพจนและการสมมล

สจนรนดรและการอางเหตผล

ประโยคเปดและวลบงปรมาณ

สอปฏสมพนธเรองหอคอยฮานอย

สอปฏสมพนธเรองตารางคาความจรง

จ านวนจรง

บทน า เรอง จ านวนจรง

สมบตของจ านวนจรง

การแยกตวประกอบ

ทฤษฏบทตวประกอบ

สมการพหนาม

อสมการ

เทคนคการแกอสมการ

คาสมบรณ

การแกอสมการคาสมบรณ

กราฟคาสมบรณ

สอปฏสมพนธเรองชวงบนเสนจ านวน

สอปฏสมพนธเรองสมการและอสมการพหนาม

สอปฏสมพนธเรองกราฟคาสมบรณ

ทฤษฎจ านวนเบองตน บทน า เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน

การหารลงตวและจ านวนเฉพาะ (การหารลงตวและตวหารรวมมาก) ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย

ความสมพนธและฟงกชน บทน า เรอง ความสมพนธและฟงกชน

ความสมพนธ


39


ความสมพนธและฟงกชน โดเมนและเรนจ

อนเวอรสของความสมพนธและบทนยามของฟงกชน

ฟงกชนเบองตน

พชคณตของฟงกชน

อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส

ฟงกชนประกอบ

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม บทน า เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

เลขยกก าลง

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

ลอการทม

อสมการเลขชก าลง

อสมการลอการทม

ตรโกณมต บทน า เรอง ตรโกณมต

อตราสวนตรโกณมต

เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต และวงกลมหนงหนวย




กฎของไซนและโคไซน

กราฟของฟงกชนตรโกณมต

ฟงกชนตรโกณมตผกผน

สอปฏสมพนธเรองมมบนวงกลมหนงหนวย

สอปฏสมพนธเรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต

สอปฏสมพนธเรองกฎของไซนและกฎของโคไซน

ก าหนดการเชงเสน บทน า เรอง ก าหนดการเชงเสน

การสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตร

การหาคาสดขด

ล าดบและอนกรม บทน า เรอง ล าดบและอนกรม

ล าดบ

การประยกตล าดบเลขคณตและเรขาคณต

ลมตของล าดบ

ผลบวกยอย

อนกรม

ทฤษฎบทการลเขาของอนกรม


40


การนบและความนาจะเปน .

บทน า เรอง การนบและความนาจะเปน

การนบเบองตน

การเรยงสบเปลยน

การจดหม

ทฤษฎบททวนาม

การทดลองสม

ความนาจะเปน 1

ความนาจะเปน 2

สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เรอง สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เนอหา

แนวโนมเขาสสวนกลาง 1



การกระจายของขอมล

การกระจายสมบรณ 1



การกระจายสมพทธ

คะแนนมาตรฐาน

ความสมพนธระหวางขอมล 1

ความสมพนธระหวางขอมล 2

โปรแกรมการค านวณทางสถต 1

โปรแกรมการค านวณทางสถต 2

โครงงานคณตศาสตร การลงทน SET50 โดยวธการลงทนแบบถวเฉลย

ปญหาการวางตวเบยบนตารางจตรส

การถอดรากทสาม

เสนตรงลอมเสนโคง

กระเบองทยดหดได

Documents

46 ตรีโกณมิติ ตอนที่3_ฟังก์ชันตรีโกณมิติ1