Dr Miodrag Popovi Osnovi elektronike za studente Odseka za softversko inenjerstvo Elektrotehniki fakultet Beograd, 2006.Sadraj 1. UVOD......................................................................... ................................................................................ .................. 1 1.1 ta je to elektrotehnika?................................ ................................................................................ ..................... 1 1.2 Oblasti elektrotehnike:............................. ................................................................................ .......................... 1 1.3 ta je to elektronika?........................... ................................................................................ ............................... 2 2. OSNOVNI POJMOVI O ELEKTRICITETU ........... ................................................................................ ............. 4 2.1 Elektrino optereenje ......................................... ................................................................................ .............. 4 2.2 Sila izmeu dva takasta elektrina optereenja ................... ............................................................................ 4 2 .3 Provodnici, izolatori i poluprovodnici....................................... ........................................................................ 4 2.4 E lektrina struja ................................................................. ................................................................................ 5 2.5 Napon ................................................................... ................................................................................ .............. 6 2.6 Referentni smerovi i polariteti ........................... ................................................................................ ................ 6 2.7 Energija i snaga......................................... ................................................................................ ......................... 7 2.8 Elektrino polje ................................. ................................................................................ ................................. 7 2.9 Modelovanje elektrinih sistema .......... ................................................................................ ............................. 8 2.10 Idealni elektrini elementi ................. ................................................................................ ................................ 8 2.11 Idealni pasivni elektrini elementi....... ................................................................................ .............................. 8 2.12 Idealni nezavisni elektrini izvori......... ................................................................................ ............................. 9 2.13 Idealni zavisni (kontrolisani) elektrini izv ori ............................................................................ .................... 10 3. KOLA SA STALNIM JEDNOSMERNIM STRUJAMA ............... ..................................................................... 11 3.1 Omo v zakon ........................................................................ ............................................................................. 11 3.2 Elektrino kolo.............................................................. ................................................................................ ... 12 3.3 Prvi (strujni) Kirhofov zakon........................................ ................................................................................ ... 13 3.4 Drugi (naponski) Kirhofov zakon...................................... .............................................................................. 1 3 3.5 Paralelna i serijska veza otpornika ...................................... ............................................................................ 13 3.5.1 Serijska (redna) veza otpornika .......................................... ................................................................. 13 3.5.2 Paral elna veza otpornika............................................................. ......................................................... 14 3.6 Transformacije trougao zvezda i zvezda - trougao .............................................. ........................................ 16 3.7 Sistem jednaina napona vorova..... ................................................................................ ............................... 17 3.8 Linearna kola: principi superpozicije i h omogenosti ..................................................................... ................. 17 3.9 Transformacija izvora ................................. ..................................................................................................... 18 3.10 Tevenenova i Nortonova teorema.................... ................................................................................ ................ 19 4. KOLA SA PROMENLJIVIM STRUJAMA ........................... .............................................................................. 2 1 4.1 Kondenzator .............................................................. ................................................................................ ....... 21 4.2 Kalem ........................................................... ................................................................................ .................... 22 4.3 Kola prvog reda sa kondenzatorima i kalemovima...... ................................................................................ ... 23 4.4 Kola drugog reda sa kondenzatorima i kalemovima...................... ................................................................. 26 5. KOLA SA NAIZMENINIM STRUJAMA ............................................................ ............................................. 30 5.1 Osnovni pojmovi............ ................................................................................ .................................................. 30 5.2 Predstavljanje sinusoi dalnih veliina kompleksnim brojevima............................................. ......................... 31 5.3 Opis elemenata kola pomou fazora................ ................................................................................ ................ 33 5.4 Uopteni Omov zakon: impedansa i admitansa ............... ............................................................................... 34 5.5 Snaga naizmenine struje................................................... .............................................................................. 3 7 5.6 Kirhofovi zakoni u kolima sa naizmeninim strujama ......................... .......................................................... 38 5.7 Osnovne transf ormacije u kolima sa naizmeninim strujama ....................................... ................................. 39 5.7.1 Serijska (redna) veza impedansi...... ................................................................................ .................... 39 5.7.2 Paralelna veza impedansi.......................... ................................................................................ ........... 40 5.7.3 Transformacije trougao zvezda i zvezda - trougao .......... ................................................................ 41 5.7.4 Transf ormacije izvora u kolima sa naizmeninim strujama ................................ ............................... 42 5.8 Sistem jednaina napona vorova za kola sa na izmeninim strujama ........................................................... 43 5.9 Tevenenova i Nortonova teorema za kola sa naizmeninim strujama ............. .............................................. 43 5.10 Kola sa jednim i dva pris tupa ........................................................................... ............................................... 44 5.11 Analiza kola sa sloenoper iodinim strujama................................................................. ................................ 46 ii6. OSNOVI FIZIKE POLUPROVODNIKA................................................. ............................................................ 49 6.1 Osnovni pojm ovi o provodnosti materijala ................................................... .................................................. 49 6.2 Elektronska struktura materijala...................................................................... ................................................ 50 6.3 Silicijum kao poluprovod nik ............................................................................ ............................................... 51 6.4 Dopiranje silicijuma prim esama........................................................................... ........................................... 52 7. PN SPOJ ...................... ................................................................................ .............................................................. 55 7.1 Nepolarisa ni pn spoj ..................................................................... ................................................................... 55 7.2 Direk tno polarisani pn spoj.......................................................... .................................................................... 56 7.3 Inve rzno polarisani pn spoj......................................................... ..................................................................... 57 7.4 Pro boj pn spoja i Zener dioda...................................................... .................................................................... 58 7.5 Mode li diode ....................................................................... ............................................................................. 58 7.5.1 Karakteristika diode..................................................... ........................................................................ 58 7.5. 2 Idealna dioda................................................................. ....................................................................... 59 7.5.3 Izlomljeno linearni model diode................................................ .......................................................... 59 7.5.4 Model diode sa konstantnim padom napona..................................................... .................................. 60 7.5.5 Model diode za male signale ........ ................................................................................ ....................... 60 7.6 Radna taka diode ................................. ................................................................................ ........................... 61 7.7 Primene i vrste dioda ....................... ................................................................................ ................................ 62 8. BIPOLARNI TRANZISTOR..................... ................................................................................ ............................. 63 8.1 Struktura i simboli bipolarnog tranzistora. ................................................................................ ...................... 63 8.2 Rad bipolarnog tranzistora u aktivnom reimu ....... ................................................................................ ........ 64 8.2.1 Model npn tranzistora za velike signale....................... ....................................................................... 65 8.2.2 Model tranzistora za male signale ............................................. .......................................................... 66 8.3 Ulazne i izlaz ne karakteristike tranzistora................................................... .................................................... 67 8.4 Polarizacija tranzis tora............................................................................ ......................................................... 67 8.5 Osnovna pojaavaka kola sa jednim tranzistorom ................................................... ..................................... 69 8.5.1 Pojaava sa zajednikim emitorom ..... ................................................................................ .............. 69 8.5.2 Pojaava sa zajednikim kolektorom .......................... ...................................................................... 70 8.5.3 Pojaava sa zajednikom bazom ....................................................... ................................................ 72 9. MOS TRANZISTOR (MOSFET).. ................................................................................ ......................................... 74 9.1 Struktura i simboli MOS tranzis tora............................................................................ .................................... 74 9.2 Princip rada NMOS tranzistora ...................................................................................... ................................. 75 9.2.1 Ponaanje NMOS tranzistora pri malim na ponima VDS ..................................................................... 76 9.2.2 Ponaanje NMOS tranzistora pri veim naponima VDS......................... ............................................. 76 9.3 PMOS tranzistor i komplemen tarni MOS (CMOS)................................................................ ........................ 77 9.4 Model NMOS tranzistora za velike signale ....... ................................................................................ ............. 77 9.4.1 NMOS tranzistor u zakoenju ............................... .............................................................................. 7 8 9.4.2 NMOS tranzistor u triodnoj oblasti ..................................... ................................................................ 78 9.4.3 NMOS t ranzistor u zasienju............................................................. .................................................. 78 9.5 Model NMOS tranzistora za male signale ............................................................... ....................................... 79 9.6 Osnovna pojaavaka kola sa NMOS tran zistorom........................................................................ ................ 81 9.6.1 Pojaava sa zajednikim sorsom ............................ ........................................................................... 81 9 .6.2 Pojaava sa zajednikim drejnom................................................. ..................................................... 81 9.6.3 Pojaava sa zajedniki m gejtom........................................................................ ................................ 82 10. SLOENA POJAAVAKA KOLA...................... ................................................................................ ............ 84 10.1 Strujni izvori ............................................ ................................................................................ ........................ 84 10.2 Pojaava sa dinamikim optereenjem................... ................................................................................ ....... 86 10.3 Diferencijalni pojaava ........................................... ................................................................................ ....... 87 10.4 Operacioni pojaava................................................ ................................................................................ ....... 90 10.5 Primene operacionog pojaavaa ..................................... ............................................................................... 91 10.5.1 Invertorski pojaava..................................................... ...................................................................... 91 10.5.2 Neinvertorski pojaava ........................................................... ........................................................... 91 10.5.3 Jedinini po jaava............................................................................. ................................................. 92 10.5.4 Kolo za sabiranje .. ................................................................................ ............................................... 92 10.5.5 Kolo za integraljenje. ................................................................................ ........................................... 93 10.5.6 Kolo za diferenciranje.... ................................................................................ ...................................... 94 11. DIGITALNA ELEKTRONSKA KOLA........ ................................................................................ ...................... 96 11.1 Analogni i digitalni signali i kola.............. ................................................................................ ....................... 96 iii11.2 Logike funkcije idealnih logikih kola i Bulova algebra ...................... ........................................................ 97 11.2.1 I operacija ( logiko mnoenje)................................................................... ......................................... 98 11.2.2 ILI operacija (logiko sabiran je) ............................................................................ ............................. 98 11.2.3 NE operacija (komplementiranje) ........ ................................................................................ ............... 98 11.2.4 Pravila Bulove algebre................................ ................................................................................ .......... 99 11.2.4.1 Identiteti Bulove algebre ............................... ................................................................................ .... 99 11.2.4.2 Zakoni Bulove algebre.......................................... ............................................................................. 99 11.2.4.3 Teoreme Bulove algebre................................................ .................................................................. 100 11.2.5 NI operacija...................................................................... .................................................................. 101 11.2.6 NI LI operacija.................................................................... ................................................................ 101 11.2.7 Iskl juivo-ILI operacija ............................................................. ........................................................ 101 11.2.8 Operacija ko incidencije (iskljuivo-NILI)..................................................... ................................... 102 11.2.9 Predstavljanje logikih funkcija .. ................................................................................ ...................... 102 11.3 Karakteristike realnih logikih kola ............. ................................................................................ ................. 103 11.3.1 Karakteristika prenosa ............................ ................................................................................ ........... 103 11.3.2 Margine uma .............................................. ................................................................................ ...... 104 11.3.3 Faktor grananja na izlazu i ulazu............................. .......................................................................... 105 1 1.3.4 Dinamike karakteristike.................................................... ............................................................... 106 11.3.5 Disip acija (potronja) logikog kola i proizvod snage i kanjenja.......................... ......................... 106 11.4 Realizacija invertora sa MOS tranzistorima... ................................................................................ ............... 107 11.4.1 Karakteristika prenosa .............................. ................................................................................ ......... 109 11.4.2 Dinamike karakteristike..................................... .............................................................................. 1 12 11.4.3 Disipacija CMOS kola.................................................. ..................................................................... 112 11.5 L ogika kola sa MOS tranzistorima ................................................. ............................................................. 113 11.6 Bistabiln a kola.......................................................................... ...................................................................... 114 11.6. 1 SR le ......................................................................... ........................................................................ 115 11. 6.2 D le ........................................................................ ........................................................................... 117 11.6.3 D flipflop............................................................... ............................................................................. 11 8 11.7 Multivibratorska kola.................................................... ................................................................................ . 119 11.7.1 Monostabilni multivibrator......................................... ........................................................................ 119 11. 7.2 Astabilni multivibrator..................................................... ................................................................... 121 11.8 Dig italno-analogna i analogno-digitalna konverzija..................................................................................... 123 11.8.1 Digitalno-analog na konverzija .................................................................. ......................................... 123 11.8.2 Analogno-digitalna konverzi ja ............................................................................. .............................. 124 11.9 Osnovna memorijska kola ................ ................................................................................ ............................. 125 11.9.1 Statike memorije ....................... ................................................................................ ........................ 126 11.9.2 Dinamike memorije ........................... ................................................................................ ............... 127 iv1. Uvod Savremeni tehnoloki problemi su veoma sloeni i njihovo reavanje zahteva uee inenjera i istraivaa iz raznih oblasti nauke i tehnike, koji se organizuju u razvojne ili ist raivake timove. U takvim uslovima inenjer, koji je specijalizovan za odreenu oblast, esto treba da radi sa strunjacima drugih specijalnosti. Da bi se olakala saradnja inenjera razliitih specijalnosti potrebno je da svaki od njih bar delimino poznaje srodne oblasti tehnike, kako bi razumeo probleme i ogranienja u reavanju problema u celini. Zbog toga se u svetu, prilikom obrazovanja inenjera uvek prouavaju i obl asti koje nisu direktno u vezi sa odabranom specijalizacijom. U savremenom svetu svedoci smo da elektrini ili elektronski ureaji prodiru u sve oblasti ivota. Autom obili imaju elektronske ureaje za nadzor i upravljanje, ureaji bele tehnike u domai nstvu imaju sve vie elektronskih funkcija, mobilni telefoni su napravili revoluci ju u telekomunikacijama, uvoenje raunara i Interneta u kue je promenilo nain ivota, i td. Ovaj predmet upravo ima za cilj da studente, kojima e primarna specijalizacij a biti pisanje softvera za razne vrste raunara, upozna sa osnovima elektrotehnike i elektronike kako bi razumeli kako takvi elektronski sistemi funkcioniu i kako bi mogli da efikasno komuniciraju sa ekspertima iz drugih struka sa kojima e sarai vati. 1.1 ta je to elektrotehnika? Oblast elektrotehnike obuhvata primene elektriciteta za zadovoljavanje potreba d rutva. Postoje dve glavne primene elektriciteta: za prenos elektrine energije sa j ednog mesta na drugo ili za prenos informacija. Elektrotehnika je oblast koja se izdvojila iz fizike i poslednjih 150 godina se stalno i dinamino razvijala. O ra zvoju elektrotehnike svedoi stalna pojava novih podoblasti kao i broj naunih i str unih publikacija iz elektrotehnike koji u velikoj meri prevazilazi obim slinih pub likacija iz drugih oblasti tehnike. 1.2 Oblasti elektrotehnike: Osnovno jezgro elektrotehnike se tradicionalno deli na sedam specijalizovanih po doblasti: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Elektroenergetika Elektromagnetika Komunikacije R aunarsko inenjerstvo Sistemi Upravljanje Elektronika Elektroenergetika se bavi proizvodnjom i prenosom elektrine energije sa jedne lok acije na drugu i najstarija je elektrotehnika specijalnost. Ceo razvoj savremenog drutva zavisi u kritinoj meri od potreba za elektrinom energijom za napajanje elek trinih ureaja u domainstvu i industriji. Zato su za proizvodnju elektrine energije r azvijeni razni sistemi za 1pretvaranje drugih oblika energije (toplotne, hidromehanike, nuklearne, solarne, energije vetra, elektrohemijske, ...) u elektrinu energiju. Elektromagnetika prem oava jaz izmeu primena elektrotehnike za prenos energije i ostalih disciplina koje su uglavnom vezane za prenos informacija. Ona se bavi prouavanjem i primenom elek trinog polja, magnetskog polja i struje. Elektrina struja moe biti uvek istog smera (jednosmerna struja) ili promenljivog smera (naizmenina struja). Kod naizmeninih struja definie se pojam uestanosti ili frekvencije, koja predstavlja broj promena smera struje u sekundi. Jedinica za frekvenciju je Herc (Hz). Opseg uestanosti ko ji se sree u praksi je veoma irok. U elektroenergetici se koriste naizmenine struje uestanosti 50 Hz ili 60 Hz, dok se u drugim oblastima koriste znatno vie uestanost i, ak do 1011 Hz. Na viim uestanostima poinje zraenje iz kablova i kroz atmosferu se prostiru elektromagnetski talasi. Ovakvi talasi su omoguili pojavu radija, televi zije, beinih komunikacija, radara, itd. Komunikacije ili telekomunikacije su podob last elektrotehnike koja se bavi prenosom informacija sa jednog mesta na drugo. Informacije se prenose pomou elektrinih provodnika, elektromagnetskih talasa, klas inim kablovima, optikim kablovima, itd. Jedan od vanih problema koji se reava u komu nikacijama je nain na koji se informacije utiskuju u elektrini signal. Taj proces se naziva modulacija ili kodovanje i obavlja se na predajnoj strani, dok se na p rijemnoj strani obavlja inverzni proces koji se naziva demodulacija ili dekodova nje. U procesu prenosa nastaje i degradacija signala sbog dejstva smetnji ili uma pa se u komunikacijama velika panja posveuje metodima za izvlaenje korisnih inform acija iz uma i metodima za zatitu informacija. Veina ovih metoda zahteva upotrebu r aunara. Raunarsko inenjerstvo je jedna od podoblasti elektrotehnike koje se bavi ra zvojem i projektovanjem raunarskog hardvera i softvera koji kontrolie njegov rad. Savremeni raunarski sistemi mogu biti veoma razliiti, poev od jednostavnih mikrokon trolera koji obavljaju jednostavne nadzorne funkcije, preko personalnih raunara i radnih stanica koji se koriste za obavljanje raznovrsnih aplikacija, sluanja muz ike, gledanje filmova i igru, pa do monih superraunara za izvravanje kompleksnih pr orauna u fizici, meteorologiji i istraivanju svemira. Oblast sistemskog inenjerstva se bavi modelovanjem kompleksnih sistema matematikim modelima u cilju njihovog j ednostavnijeg opisa i predvianja njihovog ponaanja. Primeri takvih sistema su, na primer, modelovanje saobraaja ili modelovanje leta aviona. Takav matematiki opis s istema omoguava jednostavniju analizu ponaanja sistema u raznim uslovima bez izvoen ja eksperimenta. Upravljanje sistemima je takoe jedna od vanih oblasti elektrotehn ike koja se bavi upravljanjem raznim elektromehanikim i drugim sloenim sistemima u z pomo odgovarajuih modela i algoritama za reagovanje u razliitim situacijama. 1.3 t a je to elektronika? Oblast elektronike se bavi prouavanjem i konstrukcijem elektronskih elemenata koj ima se kontrolie tok struje i povezivanjem takvih elemenata u sloena kola koja oba vljaju eljenu funkciju. Osnovni elementi savremene elektronike su diode i tranzis tori koji se povezuju u diskretna ili integrisana kola. Pored toga, elektronika se bavi i projektovanjem elektronskih kola za odreene namene, razvojem algoritama za projektovanje, razvojem i primenom raunarske podrke procesu projektovanja, imp lementacijom elektronskih kola koja realizuju razne metode potrebne u ostalim ob lastima elektrotehnike, itd. Mada je oblast elektronike stara ve oko 100 godina, ona je u toku svoje istorije imala izuzetno dinamian razvoj, a takva je i danas. Usled razvoja tehnologije stalno se pronalaze novi materijali i konstruiu nove ko mponente, to u velikoj meri utie na promenu postupaka 2projektovanja. Ve dvadesetak godina je prisutan trend minijaturizacije komponenat a i trend integracije velikog broja komponenata u jedno integrisano kolo. To je omoguilo drastino smanjenje dimenzija elektronskih ureaja, smanjenje njihove potronj e, poveanje brzine rada i poveanje pouzdanosti ureaja. Na primer, jedan od prvih el ektronskih raunara ENIAC iz 1947. godine koji je imao oko 17000 elektronskih cevi i memoriju od svega nekoliko kB, bio je smeten u prostoriju veliine sportske sale , a njegova potronja se merila desetinama kW. Dananji raunari imaju sve vane perform anse najmanje 1000 do 10000 puta bolje. Drugi karakteristian primer je mobilni te lefon koji je pre samo dvadesetak godina, za neuporedivo loije performanse, imao veliinu koja je jedva mogla da stane u automobil. 32. Osnovni pojmovi o elektricitetu Elektrotehnika se prvenstveno bavi elektrinim optereenjem (naelektrisanjem), njego vim kretanjem i efektima tog kretanja. Za nepokretno naelektrisanje esto se koris ti termin statiko naelektrisanje, a za pokretno naelektrisanje termin elektrina st ruja. 2.1 Elektrino optereenje Elektrino optereenje je fundamentalno svojstvo materije koje se ne moe se stvoriti niti unititi. To znai da ako se naelektrisanje odstrani sa nekog mesta, ono se mor a pojaviti na nekom drugom mestu. Postoje dva tipa naelektrisanja: pozitivno i n egativno naelektrisanje. Dva nelektrisanja se meusobno privlae ako su suprotnog po lariteta ili meusobno odbijaju ako su istog polariteta. Uproena struktura atoma se sastoji od pozitivno naelektrisanog jezgra i elektrona koji krue oko jezgra po ra zliitim orbitama. Elektrino optereenje elektrona je najmanje naelektrisanje koje po stoji. Elektrino optereenje jednog elektrona naziva se elementarno naelektrisanje ili kvant naelektrisanja. Pozitivno naelektrisanje jezgra je kompenzovano istom koliinom negativnog naelektrisanja elektrona, pa je atom elektriki neutralan. Meuti m, poto se elektroni iz najudaljenijih orbita mogu na razne naine odvojiti od atom a, atom moe postati naelektrisan (tada se naziva jon), a elektroni se mogu kretat i i formirati elektrinu struju. Uobiajeni simbol za optereenje je q (Q) a jedinica Kulon (C). Elektrino optereenje jednog elektrona je -1.60210-19 C. 2.2 Sila izmeu dv a takasta elektrina optereenja Sila izmeu dva naelektrisanja, koja su dovoljno mala u odnosu na njihovo rastojan je (pa se nazivaju takasta naelektrisanja), opisana je sledeom jednainom: F =k q1q2 d2 (2.1) gde je konstanta k = 8.99109 Nm2/C2, q1 i q2 predstavljaju veliine naelektrisanja (u C), a d njihovo meusobno rastojanje (u m). Ova relacija se naziva Kulonov zako n. Ako su naelektrisanja istog znaka sila je pozitivna i naelektrisanja se odbij aju, a ako su naelektrisanja suprotnog znaka sila je negativna i naelektrisanja se privlae. 2.3 Provodnici, izolatori i poluprovodnici Materijal kod kojeg su elektroni lako pokretljivi naziva se provodnik. Tipini pro vodnici su metali: srebro, zlato, bakar, aluminijum, itd. Kod metala elektroni i z spoljanjih orbita atoma mogu lako napustiti atome. Takvi elektroni se nazivaju slobodni elektroni i oni omguavaju lako uspostavljanje elektrine struje. Materijal kod kojeg su elektroni slabo pokretljivi naziva se izolator ili dielektrik. Tip ini izolatori su nemetali: staklo, plastine mase, keramika, guma, itd. Naelektrisa nje koje se dovede 4na izolator ostaje nepokretno i naziva se statiki elektricitet. Izolacioni materi jali se esto koriste za izolovanje provodnika da bi se spreio neeljeni dodir dva pr ovodnika i uspostavljanje struje izmeu njih. Poluprovodnici su po svojim osobinam a negde izmeu provodnika i izolatora i umereno se suprostavljaju kretanju nosilac a elektriciteta. Najvaniji poluprovodnici su silicijum, germanijum, galijum arsen id, itd. Poluprovodniki materijali su osnov savremene elektronike. Otpornost je m era suprostavljanja kretanju nosilaca elektriciteta i bie kasnije kvantitativno d efinisana. Provodnici imaju malu otpornost, dok izolatori imaju veliku otpornost . Na primer, otpornost bakra je oko 1025 puta manja od otpornosti kvarca istih d imenzija. 2.4 Elektrina struja Elektrina struja je jedan od osnovnih pojmova u elektrotehnici i predstavlja meru koliine elektriciteta koja se pomerila u jedinici vremena. Pomeraj naelektrisanj a moe se vriti na razliite naine. Kod metalnih provodnika, mehanizam pomeranja je kr etanje slobodnih elektrona. U rastvorima mehanizam pomeranja je kretanje pozitiv no ili negativno naelektrisanih jona, kao to je to sluaj u elektrohemijskim bateri jama ili u postupku galvanizacije. U poluprovodnicima naelektrisanje se kree kret anjem slobodnih elektrona ili upljina koje su nosioci pozitivnog naelektrisanja. Uobiajena oznaka za struju je I ili i. Jedinica za struju je Amper (A) i predstav lja pomeraj od 1 C/s. Po konvenciji se uzima da smer struje odgovara smeru kreta nja pozitivnog naelektrisanja. Prosena (srednja) struja I se definie kao kolinik uk upnog pomerenog naelektrisanja q i vremenskog intervala u kome se vri taj pomeraj t : I= q t (2.2) S druge strane, trenutna struja i se definie kao brzina promene naelektrisanja, o dnosno prvi izvod koliine elektriciteta po vremenu: i= dq dt (2.3) U sluajevima kada se struja sastoji od kretanja dva tipa nosilaca, trenutna struj a se moe izraziti i na sledei nain: i= dq dq + + dq - = dt dt (2.4) gde je dq+ pomereno inkrementalno pozitivno naelektrisanje dok je dq - pomereno in krementalno negativno naelektrisanje. U elektrotehnici se sreu vrlo razliite vredn osti struje. Struja kod munja i gromova je reda nekoliko desetina hiljada ampera . U industrijskim pogonima i elektrinim vozilima struje su reda stotinu ampera. U reaji u domainstvu obino rade sa strujama u opsegu od 0.5 A do 16 A. U elektronskim kolima struje su reda mA, A ili nA. U raznim mernim ureajima u fizici struje mogu biti vrlo male, reda pA (10-12 A), kolike su i struje izmeu nervnih elija kod ivih bia. 52.5 Napon Napon predstavlja potencijalnu energiju. Razlika potencijala predstavlja sposobn ost prenosa naelektrisanja u toku struje. Jedinica za napon je Volt (V) i predst avlja energiju od 1 J, koja je potrebna za pomeraj pozitivnog naelektrisanja od 1 C. Uobiajena oznaka za napon u elektronici je V ili v. Posmatrajui inkrementalne promene energije i naelektrisanja, trenutni napon se moe definisati kao: v= dw dq (2.5) 2.6 Referentni smerovi i polariteti Prilikom analize mehanikih sistema uvek se koristi neki koordinatni sistem, koji definie ta se podrazumeva pod pozitivnim smerom. Slina situacija je i u analizi ele ktrinih pojava, gde je vrlo vano da naponi i struje u kolu budu tako definisani da se lako moe odrediti koja je od dve take na viem potencijalu, ili koji je stvarni smer neke struje. Na sl. 2.1a sa V je oznaen napon izmeu taaka A i B. Znaci + i ozn aavaju referentni smer napona V. Ako je V > 0, onda je taka sa oznakom + (A) na vie m potencijalu od take sa oznakom (B), ako je V < 0, onda je taka sa oznakom + (A) na niem potencijalu od take sa oznakom (B). Znak se ne mora pisati, tada se on imp licitno podrazumeva. Referentni smer napona se moe proizvoljno usvojiti. Neka je, na primer, na slici 2.1a vrednost napona V = 3 V, to znai da je potencijal take A vei za 3 V od potencijala take B. Ako bi se referentni smer usvojio tako da + bude kod take B, onda bi vrednost napona V bila V = -3 V, to ima isto znaenje kao u pre thodnom sluaju. A + V B Kolo Kolo B A I Slika 2.1: Oznaavanje polariteta napona i referentnog smera za struju. Na slici 2.1b je strelicom oznaen referentni smer za struju I, tako da ona protie od take A, kroz element kola, do take B. Ako je I > 0, onda je stvarni smer struje isti sa referentnim smerom, a ako je I < 0, onda je stvarni smer struje suprota n referentnom smeru. Neka je I = 4 A. Onda je stvarni smer struje identian sa nac rtanim referentnim smerom, a amplituda struje je 4 A. Ako bi pretpostavljeni ref erentni smer bio suprotan nacrtanom na sl. 2.1b, tada bi vrednost struje bila I = -4 A, pa bi stvarni smer struje bio suprotan referentnom, odnosno isti kao u p rvom sluaju. Kao to se vidi, neophodno je potrebno specificirati vrednost i refere ntni smer bilo kog napona ili struje u kolu. Vrednosti veliina date bez referentn og smera su nekompletne, jer definiu samo vrednosti odgovarajuih veliina, a ne i nj ihove smerove. 62.7 Energija i snaga Energija je vaan pojam u analizi elektrinih kola. U elektrotehnici i elektronici s e sreemo sa elementima koji primaju energiju od kola ili predaju energiju kolu. S mer prenosa energije zavisi od znakova napona i struje. A + Kolo v(t) B Slika 2.2: Konvencija za oznaavanje polariteta pri izraunavanje snage. i(t) Na primer, na sl. 2.2 energija iz kola se predaje elementu vezanom izmeu taaka A i B ako je v(t) > 0 i i(t) > 0. Za takav element se kae da prima energiju i on se naziva pasivni element. Kod pasivnih elemenata pozitivna struja ulazi u pozitivn i naponski terminal. Ako je v(t) > 0 i i(t) < 0, element predaje energiju kolu. Takav element se naziva aktivni element ili izvor. Kod aktivnih elemenata poziti vna struja ulazi u negativni naponski terminal. Snaga se definie kao brzina prome ne energije: p= dw dw dq = = vi dt dq dt (2.6) Gornja jednaina pokazuje da se snaga na elementu kola moe predstaviti proizvodom n apona na elementu i struje kroz element. Poto napon i struja mogu biti vremenski promenljivi, snaga se takoe moe menjati sa vremenom i onda se oznaava sa p(t). Prom ena energije od trenutka t1 do trenutka t2 moe se odrediti integracijom jednaine z a snagu kao: w = p dt = vi dt t1 t1 t2 t2 (2.7) Izraunavanje snage zahteva konsistentno korienje konvencije o smerovima napona na e lementi i struje kroz element. Referentni polaritet napona na elementu v(t) i re ferentni smer struje kroz element i(t), moraju biti tako definisani da pozitivni terminal napona bude kod one take elementa u koju ulazi referentni smer stuje, k ao to je prikazano na sl. 2.2. Onda e proizvod napona i struje odrediti znak snage . Ako je p(t) > 0, element je pasivan, ako je p(t) < 0, element je aktivan. 2.8 Elektrino polje U prethodnom izlaganju smo objasnili da svako naelektrisano telo deluje na druga naelektrisana tela nekom mehanikom silom. Dakle, oko svakog naelektrisanog tela postoji polje koje se naziva elektrino polje. Jaina elektrinog polja se definie kao vektor iji je intenzitet: 7E= F q (2.8) a pravac i smer se poklapaju sa smerom sile koja deluje na pozitivno elektrino op etreenje. Elektrino polje oko takastog nalektrisanja je: E=k q d2 (2.9) Posebno interesantan je sluaj elektrinog polja izmeu dve ravne paralelne ploe razdvo jene dielektrikom debljine d. Takva struktura se naziva ploasti kondenzator. Neka je povrina ploa S, njihova nalektrisanja +q i q, a napon (potencijalna razlika) iz meu ploa V. Onda je jaina elektrinog polja: E= q V = eS d (2.10) gde je e tzv. dielektrina konstanta materijala. Dakle, elektrino polje u ploastom kon denzatoru je homogeno. 2.9 Modelovanje elektrinih sistema Modelovanje je proces uproenog predstavljanja realnog fizikog sistema na nain koji o moguava primenu matematikih tehnika za analizu takvog sistema. Uproavanje predstave sistema se izvodi usvajanjem izvesnih pretpostavki kojima se zanemaruju nebitna svojstva. U analizi elektrinih kola jedna od najvanijih uproavajuih pretpostavki je d a su osnovne karakteristike kola koncentrisane u pojedinane blokove (elektrine ele mente), koji su povezani idealnim provodnicima. Takva pretpostavka je opravdana sve dok uestanost signala nije suvie visoka, tj. manja je od mikrotalasnih uestanos ti. 2.10 Idealni elektrini elementi Idealni elektrini elementi su kompletno opisani matematikom relacijom izmeu napona na elementu i struje kroz element. Idealni elektrini elementi se mogu podeliti na aktivne ili pasivne zavisno od toga da li predaju energiju ostatku kola ili pri maju energiju iz kola. 2.11 Idealni pasivni elektrini elementi Idealni pasivni elektrini elementi su otpornik, kalem i kondenzator. Oni su opisa ni matematikim relacijama: v = Ri v=L di dt v= 1 i dt C (2.11) ili8i= 1 v R i= 1 v dt L i=C dv dt (2.12) i predstavljeni simbolima kao na slici 2.3: Otpornik + v Slika 2.3: Idealni pasivni elektrini elementi. Kalem i + v Kondenzator + v i i Otpornik predstavlja komponentu kod koje se energija koja se predaje elementu pr etvara u toplotu ili svetlosnu energiju. Konstanta R u definicionim relacijama p redstavlja otpornost otpornika (jedinica Om - ). Kalem predstavlja komponentu kod koje se energija koja se predaje elementu pretvara u magnetsko polje. Konstanta L u definicionim relacijama predstavlja induktivnost kalema (jedinica Henri - H ). Kondenzator predstavlja komponentu kod koje se energija koja se predaje eleme ntu pretvara u elektrino polje. Konstanta C u definicionim relacijama predstavlja kapacitivnost kondenzatora (jedinica Farad - F). Ova tri pasivna elementa, zaje dno sa izvorima koji e biti definisani u narednim odeljcima, omoguavaju da se pred stavi i analizira vrlo irok krug elektrinih i elektronskih kola. 2.12 Idealni nezavisni elektrini izvori Idealni nezavisni naponski izvor je aktivni element koji odrava napon izmeu pristu pa nezavisno od struje kroz njega. Vrednost napona nezavisnog naponskog izvora m oe biti konstantna V (kao kod elektrohemijskih baterija), ili neka funkcija vreme na v(t). Simboli koji se koriste za predstavljanje idealnih naponskih izvora pri kazani su na sl. 2.4. Znak + pored simbola oznaava referentni polaritet napona iz vora. V + + v(t) Slika 2.4: Idealni nezavisni naponski izvori. Idealni nezavisni strujni izvor je aktivni element koji odrava struju izmeu pristu pa nezavisno od napona izmeu pristupa. Vrednost struje nezavisnog strujnog izvora moe biti konstantna I, ili neka funkcija vremena i(t). Simbol koji se koristi za predstavljanje idealnog strujnog izvora prikazan je na sl. 2.5. Strelica u simb olu oznaava referentni smer struje izvora. 9i(t) Slika 2.5: Idealni nezavisni strujni izvor. Na primerima modela nezavisnih izvora mogu se lako uoiti uproavanja prilikom modelo vanja komponenti. Na primer, idealni naponski izvor odrava napon v(t) na svojim k rajevima nezavisno od struje. Teorijski, struja bi mogla da bude i beskonano veli ka, to bi izazvalo da takav izvor moe generisati beskonanu snagu. To je naravno fiz iki nemogue. Dakle, idealni modeli komponenata predstavljaju vaee aproksimacije real nih komponenata samo pod izvesnim uslovima. 2.13 Idealni zavisni (kontrolisani) elektrini izvori Za razliku od nezavisnih izvora koji generiu neki napon (ili struju) nezavisno od toga ta se deava u ostatku kola, idealni zavisni izvori generiu napon (ili struju) koja zavisi od nekog drugog napona ili struje u kolu. Ovakvi izvori su vani jer omoguavaju modelovanje mnogih elektronskih elemenata, kao to su, na primer, tranzi stori. Postoje 4 tipa idealnih zavisnih izvora, koji su prikazani na slikama 2.6 i 2.7. Kao to se vidi, zavisni izvori imaju etiri prikljuka. Ulazni krajevi (sa le ve strane) predstavljaju veliinu koja kontrolie izvor, a izlazni krajevi (sa desne strane) predstavljaju izlaznu struju ili napon kontrolisanog izvora. Primetimo da su konstante i b bezdimenzione konstante, jer se u prvom sluaju napon transformie u napon, a u drugom sluaju se struja transformie u struju. Konstanta se esto naziv a naponsko pojaanje, a konstanta b strujno pojaanje. S druge strane, konstante r i g su dimenzione konstante. Konstanta r ima dimenziju otpornosti pa se naziva tran simpedansa, dok konstanta g ima dimenziju recipronu otpornosti i naziva se transk onduktansa. + + v0 v= v0 i0 + v=ri 0 Slika 2.6: Naponski kontrolisani naponski izvor (NKNI) i strujno kontrolisani na ponski izvor (SKNI). + + v0 i=g v 0 i0 i= bi0 Slika 2.7: Naponski kontrolisani strujni izvor (NKSI) i strujno kontrolisani str ujni izvor (SKSI). 10Equation Section (Next) 3. Kola sa stalnim jednosmernim strujama Kola sa stalnim jednosmernim strujama sastoje se samo od otpornika i izvora kons tantnog napona ili struje. Jednaine koje opisuju takvo kolo su linearne, tako da se takav sistem jednaina moe lako reiti. Zbog jednostavnosti opisa kola, kod kola s a stalnim jednosmernim strujama lako je objasniti osnovne zakone, kao to su Omov zakon, prvi i drugi Kirhofov zakon. 3.1 Omov zakon Omov zakon definie zavisnost napona od struje kod otpornika i glasi: Napon na otp orniku je direktno proporcionalan struji kroz otpornik. V = RI (3.1) + V I R Slika 3.1: Omov zakon. Konstanta proporcionalnosti R predstavlja otpornost otpornika. Jedinica za otpor nost je Om (). U praksi se otpornici prave nanoenjem metalnog ili ugljenog filma n a keramiku podlogu, ili od ice velike specifine otpornosti. U integrisanim kolima s e otpornici prave posebnim tehnikama koje su prilagoene proizvodnji ostalih polup rovodnikih komponenata. Tipine vrednosti otpornosti koje se sreu u elektrotehnici i elektronici se kreu od delova do nekoliko M. Provodnost otpornika G je reciprona v rednost otpornosti: G= 1 R (3.2) Jedinica za provodnost je Simens (S). Omov zakon izraen preko provodnosti glasi: I = GV (3.3) Otpornik je pasivni element koji apsorbuje snagu elektri;ne energije i pretvara je u toplotu. Snaga razvijena na otporniku je proizvod struje i napona: P = VI (3.4) 11Primenom Omovog zakona, snaga na otporniku se moe izraziti i primenom ekvivalentn ih izraza: P = RI 2 = Specijalni sluajevi otpornosti: R=0 V2 I2 = GV 2 = R G (3.5) (G = ) (3.6) Ovaj sluaj se naziva kratak spoj. Napon izmeu pristupa kod kratkog spoja je jednak nuli, a struja moe imati ma kakvu vrednost. G=0 ( R = ) (3.7) Ovaj sluaj se naziva otvorena veza. Napon izmeu pristupa kod otvorene veze moe imat i ma kakvu vrednost, a struja je jednaka nuli. 3.2 Elektrino kolo Elektrino kolo predstavlja interkonekciju dva ili vie elemenata. Povezivanje eleme nata se vri provodnicima ija se otpornost moe zanemariti. A R1 V B + R2 R3 C I D Slika 3.2: Primer jednog elektrinog kola. Pre nego to formuliemo osnovne zakone koji opisuju ponaanje elektrinih kola, moramo se upoznati sa nekoliko definicija osnovnih termina: vor kola je taka spajanja dva ili vie elemenata kola (A, B, C, D, na sl. 3.2). Grana je deo kola koji sadri sam o jedan element i vorove na krajevima elementa (AB, AC, BC, BD, CD, na sl. 3.2). Petlja predstavlja ma koji zatvoreni put kroz kolo kod koga se kroz jedan vor moe proi samo jednom (ACBA, BCDB, ACDBA, na sl. 3.2). Kontura predstavlja petlju koji ne sadri u sebi neku drugu petlju (ACBA, BCDB, na sl. 3.2). 123.3 Prvi (strujni) Kirhofov zakon Nemaki fiziar Gustav Kirhof je jo sredinom 19. veka formulisao dva osnovna zakona k oji opisuju ponaanje elektrinih kola. Prvi Kirhofov zakon se odnosi na struje u ko lu i glasi: Algebarska suma struja koje utiu u ma koji vor kola jednaka je nuli. I j =1 N j =0 (3.8) gde je I j struja j-te grane koja ulazi u vor, dok je N broj grana koje ulaze u vo r. Po konvenciji se struje ija je referentna orijentacija ka voru uzimaju se sa po zitivnim predznakom, dok se struje ija je referentna orijentacija od vora uzimaju sa negativnim predznakom. Alternativna formulacija prvog Kirhofovog zakona glasi : Suma struja koje utiu u ma koji vor kola jednaka je sumi struja koje istiu iz istog vora. 3.4 Drugi (naponski) Kirhofov zakon Drugi Kirhofov zakon se odnosi na napone u kolu i glasi: Algebarska suma napona u bilo kojoj petlji kola jednaka je nuli. V j =1 N j =0 (3.9) gde je V j napon na j-toj grani petlje koja ukupno ima N grana. Po konvenciji se naponi na granama ija je referentna orijentacija suprotna orijentaciji petlje uz imaju se sa pozitivnim predznakom, dok se naponi na granama ija je referentna ori jentacija ista sa orijentacijom petlje uzimaju sa negativnim predznakom. 3.5 Paralelna i serijska veza otpornika Prvi i drugi Kirhofov zakon opisuju stanje svakog elektrinog kola. Meutim, kada se primene na kola sa samo jednim parom vorova, ili na kola sa samo jednom petljom, oni daju neke vrlo korisne rezultate, koji se mogu primeniti za uproavanje elektr inih kola. 3.5.1 Serijska (redna) veza otpornika Ako se N otpornika tako povee tako da se u svakom voru stiu samo po dva otpornika ( osim kod prvog i poslednjeg vora), takva veza se naziva serijska ili redna veza otpornika i prikazana je na slici 3.3a. Za jedinu petlju u kolu se moe napisati je dnaina po drugom Kirhofovom zakonu: V = R1 I s + R2 I s + + RN I s = ( R1 + R2 + + RN ) I s (3.10) 13dok se za ekvivalentnu petlju na slici 3.3b moe napisati: V = Rs I s (3.11) Is + V ... R1 R2 RN + Is V Rs Slika 3.3: Serijska (redna) veza otpornika. Ako su napon izvora i struja kroz izvor u oba kola isti, onda se za ekvivalentnu otpornost Rs dobija: Rs = R1 + R2 + + RN (3.12) odnosno, ekvivalentna otpornost serijski vezanih otpornika jednaka je zbiru poje dinanih otpornosti. Posmatrajmo dva serijski vezana otpornika, kao na slici 3.4. Poto kroz oba otpornika protie ista struja i, naponi na serijski vezanim otpornici ma su: VR1 = R1 R2 V , VR2 = V R1 + R2 R1 + R2 (3.13) odnosno, napon izvora V deli se izmeu otpornika R1 i R2 u direktnoj srazmeri sa n jihovim otpornostima. Ovakvo kolo se naziva delitelj (razdelnik) napona i esto se primenjuje u elektronici. I + V R2 Slika 3.4: Delitelj (razdelnik) napona. R1 + VR1 + VR2 3.5.2 Paralelna veza otpornika Ako se N otpornika tako povee da svi imaju zajednike prikljuke, takva veza se naziv a paralelna veza otpornika i prikazana je na slici 3.5a. Za vor u kome su povezan i naponski izvor i svi otpornici se moe napisati jednaina po prvom Kirhofovom zako nu: 14I p = G1V + G2V + + GNV = (G1 + G2 + + GN )V (3.14) dok se za ekvivalentni vor na slici 3.5b moe napisati: I p = G pV Ip + V R1 R2 Ip (3.15) ... RN + V Rp Slika 3.5: Paralelna veza otpornika. Ako su napon izvora i struja kroz izvor u oba kola isti, onda se za ekvivalentnu otpornost Gp dobija: G p = G1 + G2 + + GN (3.16) odnosno, ekvivalentna provodnost paralelno vezanih otpornika jednaka je zbiru po jedinanih provodnosti. Alternativni oblik prethodne jednaine je: 1 1 1 = + + R p R1 R2 + 1 RN (3.17) Posmatrajmo dva paralelno vezana otpornika, kao na slici 3.6. Poto je napon na ob a otpornika isti, struje kroz paralelno vezane otpornike su: I R1 = R2 R1 I , I R2 = I R1 + R2 R1 + R2 (3.18) odnosno, struja izvora I deli se izmeu otpornika R1 i R2 u obrnutoj srazmeri sa n jihovim otpornostima. Ovakvo kolo se naziva delitelj (razdelnik) struje i esto se primenjuje u elektronici. IR1 I R1 IR2 ... R2 Slika 3.6: Delitelj (razdelnik) struje. 153.6 Transformacije trougao zvezda i zvezda - trougao Jo dve esto koriene transformacije u reavanju elektrinih kola su transformacije trougl a u zvezdu i obrnuto. Na slici 3.7 je prikazano vezivanje tri otpornika u trouga o i zvezdu. U literaturi na engleskom jeziku ove transformacije su poznate kao Y, odnosno, Y. A A R1 R2 RC RA RB B C R3 B C Slika 3.7: Vezivanje otpornika u trougao () i zvezdu (Y). Da bi ova dva kola bila ekvivalentna, otpornost izmeu ma koje dve take u kada se trea taka ostavi nepovezana, mora biti ista. Dakle, korienjem ralelno i serijsko vezivanje otpornika, sa slike 3.7 se dobija: RAB = RA + RBC = RB + RC = RAC = RA + RC = R2 ( R1 + R3 ) R1 + R2 + R3 R3 ( R1 + R2 ) R2 + R3 R1 ( R2 + R3 ) R1 + R2 + R3 (3.19) Reavanjem ovog sistema jednaina po RA, RB i RC, dobija se: RA = RB = RC = R1 R2 R1 + R2 + R3 R2 R3 R1 + R2 + R3 R1 R3 R1 + R2 + R3 (3.20) dok se reavanjem sistema jednaina po R1, R2 i R3, dobija: R1 = R2 = R3 = RA RB + RA RC + RB RC RB RA RB + RA RC + RB RC RC RA RB + RA RC + RB RC RA 16 (3.21) oba kola, pravila za pa RB = R1 +3.7 Sistem jednaina napona vorova U procesu reavanja elektrinog kola potrebno je odrediti struje kroz elemente kola i napone na elementima kola. Za njihovo odreivanje moemo napisati sistem linearnih jednaina, koji se sastoji od jednaina po prvom Kirhofovom zakonu, jednaina po drug om Kirhofovom zakonu i jednaina elemenata po Omovom zakonu. Prilikom odreivanja na pona u kolu, jedan vor u kolu se bira za referentni vor, pa se preostali naponi rau naju u odnosu na njega. Referentni vor se najee naziva masa. Ovako formirani sistem ima veliki broj jednaina. Da bi se smanjio broj jednaina u sistemu moe se postupiti na dva naina. Prvi nain je da se prvo odrede svi naponi u kolu, a da se potom odr ede struje kroz elemente na osnovu Omovog zakona. Drugi nain je da se prvo odrede struje u kolu, pa tek onda naponi na elementima. U oba sluaja se broj jednaina u sistemu znaajno smanjuje. U elektronskim kolima je broj vorova obino znatno manji o d broja elemenata, pa je prvi nain formiranja jednaina korisniji. Da bi se formira o takav sistem jednaina, prvo se za svaki vor (osim za referentni) napie odgovarajua jednaina po prvom Kirhofovom zakonu, a zatim se struje koje utiu u vor ili istiu iz vora izraze preko napona vorova i Omovog zakona. U sluaju kola sa N vorova, broj je dnaina u sistemu je N - 1. Takav sistem jednaina se naziva sistem jednaina napona vo rova. Po Omovom zakonu struja kroz otpornik izmeu vorova m i n je: I mn = Vm - Vn R (3.22) Ova struja se pojavljuje samo u jednainama po prvom Kirhofovom zakonu napisanom z a vorove m i n. U sluaju kola sa N vorova, broj nepoznatih veliina (napona) u sistem u N-1, tj. isti je kao broj jednaina. Dakle, posle sreivanja napisanih jednaina, ko je se sastoji u grupisanju lanova koji odgovaraju istim nepoznatim naponima i pre bacivanja konstantnih lanova na desnu stranu jednaina, formirani sistem izgleda ov ako: G11V1 + G12V2 + G21V1 + G22V2 + + G1N -1VN -1 = I1 + G2 N -1VN -1 = I 2 + GN -1N -1VN -1 = I N -1 (3.23) GN -11V1 + GN -12V2 + Ovaj sistem jednaina se moe i direktno napisati na osnovu posmatranja kola, bez pr ethodnog formiranja jednaina po prvom Kirhofovom zakonu. Koeficijenti van glavne dijagonale Gmn , gde je m n , predstavljaju zbir provodnosti svih grana izmeu voro va m i n i uvek imaju negativni predznak. Dijagonalni koeficijenti Gkk predstavl jaju zbir provodnosti svih grana koje se stiu u vor k i uvek imaju pozitivni predz nak. 3.8 Linearna kola: principi superpozicije i homogenosti U elektrotehnici i elektronici veliku primenu ima klasa linearnih kola. Da bi ko lo bilo linearno mora zadovoljiti principe superpozicije i homogenosti. 17Princip superpozicije tvrdi da se u jednom linearnom kolu sa vie nezavisnih izvor a, struja kroz ma koji element ili napon bilo kog vora u kolu, moe biti predstavlj en kao algebarski zbir doprinosa pojedinanih izvora. Prilikom odreivanja doprinosa jednog izvora, preostali nezavisni naponski izvori moraju biti zamenjeni kratki m spojevima, a preostali nezavisni strujni izvori se moraju zameniti otvorenim v ezama. Zavisni izvori ostaju neizmenjeni u kolu. Iako primena principa superpozi cije zahteva viestruko reavanje sistema jednaina, sistemi jednaina koji se dobijaju posle anuliranja preostalih nezavisnih izvora su esto znatno jednostavniji, pa nj ihovo reavanje ne predstavlja problem. Princip homogenosti tvrdi da ako se u jedn om linearnom kolu neki nezavisni izvor pomnoi (skalira) nekom konstantom, onda se njegovi doprinosi strujama i naponima u kolu mnoe istom konstantom. Dokaz ovih p rincipa sledi iz linearnosti sitema jednaina koje opisuju kolo. 3.9 Transformacija izvora U elektrinim kolima se retko sreu idealni naponski i strujni izvori. Realni napons ki izvor, prikazan na slici 3.8, ima konanu unutranju otpornost RV . Realni strujn i izvor, takoe prikazan na slici 3.8, ima konanu unutranju provodnost Gi = 1 Ri . Rv Ip + V Rp Vp I Ri + Ip + Vp Rp Slika 3.8: Realni strujni izvor i realni naponski izvor. U cilju uproenja kola, ponekad je pogodno pretvoriti strujni izvor u ekvivalentni naponski izvor i obrnuto. Do uslova ekvivalencije se lako moe doi posmatranjem sli ke 3.8. Ako se na realni strujni ili naponski izvor prikljui isti otpornik proizv oljne otpornosti Rp, onda u sluaju ekvivalentnih izvora struja kroz otpornik Rp m ora biti isti u oba kola. Po Omovom zakonu, onda je isti i napon na otporniku Rp . Dakle, iz uslova jednakosti struja kroz Rp sledi: Ip = Ri 1 V= I Rv + R p Ri + R p (3.24) odakle se direktno dobijaju uslovi ekvivalencije realnog naponskog i strujnog iz vora: V = Ri I , Rv = Ri (3.25) Dakle, ako u kolu imamo strujni izvor struje I i njemu paralelno vezan otpornik R, onda se ova kombinacija moe zameniti ekvivalentnim naponskim izvorom napona V = RI i serijski vezanim otpornikom R. Takoe vai i obrnuto: ako u kolu imamo napons ki izvor napona V sa 18serijski vezanim otpornikom R, onda se ova kombinacija moe zameniti ekvivalentnim strujnim izvorom struje I = V R i njemu paralelno vezanim otpornikom R. Ostali parametri kola u kome se nalaze nezavisni izvori ostaju nepromenjeni. Transforma cije izvora imaju veliku primenu u uproavanju elektrinih kola, kada je potrebno sma njiti broj vorova ili smanjiti broj petlji u kolu. 3.10 Tevenenova i Nortonova teorema Pretpostavimo da imamo neko elektrino kolo i da elimo da odredimo struju, napon il i snagu na nekom otporniku, koji emo nazvati potroa i obeleiti sa Rp. Ova situacija je ilustrovana na slici 3.10a. Tevenenova i Nortonova teorema pokazuju kako se c elo kolo, osim potroaa, moe zameniti ekvivalentnim realnim naponskim ili strujnim i zvorom, tako da struja i napon potroaa ostanu nepromenjeni. Posmatrajmo kolo na sl . 3.10a. Ako se potroa iskljui iz kola, pristupni krajevi ostaju otvoreni, i na nji ma postoji napon, koji emo nazvati napon otvorene veze i obeleiti sa VOC , kao na slici 3.10b. Meutim, ako se posle iskljuenja potroaa pristupni krajevi kratko spoje, onda izmeu njih postoji struja kratkog spoja, koju emo obeleiti sa I SC , kao na s lici 3.10c. A + Kolo sa izvorima i otpornicima B Rp Kolo sa izvorima i otpornicima A + VOC B B Kolo sa izvorima i otpornicima A ISC Slika 3.10: Odreivanje napona otvorenih krajeva i struje kratkog spoja. Za izvoenje Tevenenove teoreme posmatrajmo kolo na sl. 3.11a, u kome je kompletno kolo sa izvorima i otpornicima (bez potroaa) zamenjeno ekvivalentnim naponskim iz vorom VT i serijski vezanim otpornikom RT . Poreenjem kola sa slike 3.10 i slike 3.11a, lako se vidi da su struja kroz potroa i napon na potroau isti ako je: VT = VOC , RT = A + VT B RT Rp VOC I SC A + RN B Rp (3.26) IN Slika 3.11: Tevenenovo i Nortonovo ekvivalentno kolo. 19Ove relacije predstavljaju Tevenenovu teoremu koja glasi: Svako elektrino kolo sa zavisnim i nezavisnim izvorima i otpornicima se moe zameniti ekvivalentnim kolom koje se sastoji od idealnog naponskog izvora VT , iji je napon jednak naponu kol a sa iskljuenim potroaem VOC , i serijskog otpornika RT , ija je otpornost jednaka k oliniku napona kola sa iskljuenim potroaem VOC i struje kroz kratkospojeni potroa I SC . Za izvoenje Nortonove teoreme posmatrajmo kolo na sl. 3.11b, u kome je komplet no kolo sa izvorima i otpornicima (bez potroaa) zamenjeno ekvivalentnim strujnim i zvorom I N i paralelno vezanim otpornikom RN . Poreenjem kola sa slike 3.10 i sli ke 3.11b, lako se vidi da su struja kroz potroa i napon na potroau isti ako je: I N = I SC , RN = VOC I SC (3.27) Ove relacije predstavljaju Nortonovu teoremu koja glasi: Svako elektrino kolo sa zavisnim i nezavisnim izvorima i otpornicima se moe zameniti ekvivalentnim kolom koje se sastoji od idealnog strujnog izvora I N , ija je struja jednaka struji kr oz kratkospojeni potroa I SC , i paralelnog otpornika RN , ija je otpornost jednaka koliniku napona kola sa iskljuenim potroaem VOC i struje kroz kratkospojeni potroa I SC . Specijalni sluaj Tevenenove i Nortonove teoreme nastaje kada kolo iji se ekvi valent trai sadri samo nezavisne izvore, odnosno ne sadri zavisne izvore. Tada se i zraunavanje ekvivalentne otpornosti RT ili RN moe uprostiti. Umesto potroaa na kraje ve A i B prikljui se naponski generator VT , nezavisni izvori u kolu se anuliraju kratkospajanjem nezavisnih naponskih izvora i raskidanjem nezavisnih strujnih i zvora, zatim se odredi struja kroz test generator IT , i na kraju ekvivalentna o tpornost RT = VT I T . Isti postupak se moe sprovesti i prikljuivanjem strujnog te st generatora, I T , i odreivanjem napona na njemu, VT . Odluka o tome koji postu pak treba primeniti zavisi od toga kolika uproenja donosi jedan ili drugi nain. 20Equation Section (Next) 4. Kola sa promenljivim strujama U elektronskim kolima se esto deava da se struktura kola menja otvaranjem ili zatv aranjem nekog prekidaa. Posle takve promene nastaje promena napona i struja u kol u koja se odvija po odreenim zakonitostima, a koje emo prouavati u ovom poglavlju. Takva analiza kola se naziva analiza prelaznog reima. U odvijanju prelaznih pojav a kljunu ulogu imaju dva pasivna elementa koje smo ve pomenuli: kondenzator i kale m. Oba ova elementa imaju neke zajednike osobine. Oni su linearni elementi jer je kod njih relacija izmeu struje i napona predstavljena linearnim diferencijalnim jednainama. Takoe, oba elementa imaju sposobnost akumulacije energije. Kod kondenz atora energija se akumulira u elektrinom polju, a kod kalema u magnetskom polju. Akumulirana energija se moe predati ostatku kola. Zbog ove osobine akumulacije en ergije, kondenzator i kalem se nazivaju i reaktivni elementi. 4.1 Kondenzator Kondenzator se sastoji od dve provodne povrine razdvojene izolacionim materijalom (dielektrikom). Optereenje kondenzatora, iji je simbol zajedno sa referentnim sme rovima za napon i struju prikazan na slici 4.1, srazmerno je naponu na kondenzat oru: Q = CV (4.1) Konstanta C u prethodnom izrazu naziva se kapacitivnost (kapacitet) kondenzatora . Ako se napon na kondenzatoru ne menja, poto su elektrode kondenzatora izolovane dielektrikom, nema stalne struje kroz kondenzator. Dakle, pri konstantnoj pobud i kondenzator se ponaa kao otvorena veza. + v(t) Slika 4.1: Simbol kondenzatora i referentni smerovi za struju i napon. i(t) q(t) C Meutim, ako se napon na kondenzatoru menja sa vremenom, menjae se i njegovo elektr ino optereenje: q(t ) = Cv(t ) Diferenciranjem ove jednaine po vremenu se dobija: (4.2) dq(t ) dv(t ) = i(t ) = C dt dt (4.3) 21Dakle, ako se napon na kondenzatoru menja, optereenje na kondenzatoru se takoe men ja, to znai da postoji struja kroz kondenzator. Iz poslednje jednaine se takoe vidi da nije mogue naglo promeniti napon na kondenzatoru jer bi to zahtevalo beskonano veliku struju kroz njega. Integracijom jednaine (4.3) se dobija: 1 1 0 1 1 v(t ) = i( x)dx = i ( x)dx + i ( x)dx = v(t0 ) + i ( x)dx C - C - C t0 C gde se v(t0 ) naziva poetni napon na kondenzatoru. t t t t (4.4) Energija akumulirana u elektrinom polju kondenzatora se moe odrediti iz snage koja se predaje kondenzatoru: wc (t ) = - t pc ( x) dx = - v( x) C t dv( x) 1 dx = Cv 2 (t ) dx 2 (4.5) Kapacitet kondenzatora u praksi kree se od pikofarada (1 pF = 10-12 F) do farada. Realni kondenzatori nemaju idealni dielektrik, tako da postoji slaba provodnost izmeu dve ploe. Neidealni dielektrik se modeluje vezivanjem otpornika velike otpo rnosti paralelno kondenzatoru. Slino otpornicima, i kondenzatori se mogu vezivati paralelno ili serijski. Koristei I Kirhofov zakon, lako se moe pokazati da ekviva lentna kapacitivnost paralelne veze kondenzatora predstavlja zbir kapacitivnosti paralelno vezanih kondenzatora: C p = C1 + C2 + + CN (4.6) Korienjem II Kirhofovog zakona, lako se dobija da reciprona vrednost ekvivalentne k apacitivnosti serijske veze kondenzatora predstavlja zbir recipronih vrednosti ka pacitivnosti serijski vezanih kondenzatora: 1 1 1 = + + C p C1 C24.2 Kalem + 1 CN (4.7) Kalem se sastoji od provodne ice koja je namotana oko jezgra od nemagnetnog ili m agnetnog materijala. Simbol kalema, zajedno sa referentnim smerovima za napon i struju prikazan je na slici 4.2. Relacija izmeu napona i struje kalema data je di ferencijalnom jednainom: v(t ) = L di (t ) dt (4.8) Konstanta L u prethodnom izrazu naziva se induktivnost kalema. Ako je struja kro z kalem konstantna, njen prvi izvod je nula, pa je napon na kalemu takoe nula. Da kle, u stalnom jednosmernom reimu kalem se ponaa kao kratak spoj. 22+ v(t) i(t) L Slika 4.2: Simbol kalema i referentni smerovi za struju i napon. Postupajui na slian nain kao kod kondenzatora, integracijom jednaine (4.8) se dobija : 1 1 i(t ) = v( x)dx = i(t0 ) + v( x)dx L - L t0 t t (4.9) gde je i(t0 ) poetna struja kroz kalem. Energija akumulirana u magnetskom polju k alema moe se odrediti iz snage koja se predaje kalemu: wL (t ) = - t pL ( x) dx = - L t di ( x) 1 i ( x) dx = Li 2 (t ) dx 2 (4.10) Induktivnost kalemova u praksi se kree od H do nekoliko H. Realni kalemovi imaju m alu, ali konanu otpornost ice, tako da disipiraju energiju. Neidealni kalem se mod eluje vezivanjem otpornika male otpornosti na red sa kalemom. Kalemovi se mogu p ovezivati paralelno ili serijski. U sluaju paralelne veza kalemova, iz I Kirhofov og zakona sledi da reciprona vrednost ekvivalentne induktivnosti paralelne veze k alemova predstavlja zbir recipronih vrednosti induktivnosti paralelno vezanih kal emova: 1 1 1 = + + Lp L1 L2 + 1 LN (4.11) Korienjem II Kirhofovog zakona, dobija se da ekvivalentna induktivnost serijske ve ze kalemova predstavlja zbir vrednosti induktivnosti serijski vezanih kalemova: Ls = L1 + L2 +4.3 + LN (4.12) Kola prvog reda sa kondenzatorima i kalemovima Kola prvog reda sadre izvore, otpornike i jedan kondenzator (RC kola) ili jedan k alem (RL kola) i prikazana su na slici 4.3. Da bi posmatrali prelazni reim kod ko la prvog reda, smatraemo da se prekida, koji je bio otvoren, zatvara u trenutku t = 0 , ime se pobudni izvor vezuje u kolo. Ponaanje RC kola za t > 0 odreeno je drug im Kirhofovim zakonom, koji za kolo sa slike 4.3a glasi: t 1 (4.13) i( x)dx + Ri (t ) = Vs C - 23ijim se diferenciranjem po vremenu dobija: i (t ) di (t ) +R =0 C dt ili, posle sreivanja, (4.14) di (t ) 1 i (t ) = 0 + dt RC t=0 + Vs i(t) Slika 4.3: Kola prvog reda: RC kolo i RL kolo. (4.15) t=0 R C + Vs i(t) R L Ponaanje RL kola za t > 0 odreeno je drugim Kirhofovim zakonom, koji za kolo sa sl ike 4.3a glasi: L ili, posle sreivanja, di (t ) + Ri (t ) = Vs dt (4.16) V di(t ) R + i (t ) = s dt L L (4.17) Poreenjem diferencijalnih jednaina za RC kolo (4.15) i RL kolo (4.17), vidi se da se oba kola mogu opisati diferencijalnom jednainom oblika: dx(t ) + ax(t ) = f (t ) dt (4.18) Iz matematike je poznato da se reenje diferencijalne jednaine (4.18) moe uvek preds taviti u obliku: x(t ) = x p (t ) + xc (t ) gde je x p (t ) prinudno reenje, koje predstavlja ma koje reenje diferencijalne jednaine: (4.19) dx p (t ) dt + ax p (t ) = f (t ) (4.20) dok je xc (t ) prirodno reenje, koje predstavlja reenje homogene diferencijalne je dnaine: dxc (t ) + axc (t ) = 0 dt (4.21) 24Iz jednaine koja daje prirodno reenje (4.20) se vidi da reenje xc (t ) i njegov izv od dxc (t ) dt moraju imati isti vremenski oblik, jer se inae ne bi mogli ponititi . Jedan mogui oblik za xc (t ) je eksponencijalna funkcija xc (t ) = Ke - at . to se prinudnog reenja x p (t ) tie, ono se mora sastojati od funkcije f (t ) i njenog prvog izvoda df (t ) dt . Izuzetak od ovog pravila predstavlja sluaj f (t ) = Ae- at , gde je a ista konstanta kao u diferencijalnoj j ednaini. U sluaju posmatranih RC i RL kola, f(t) = A = const, pa je prinudno reenje diferencijalne jednaine takoe konstanta x p (t ) = K1 . Prirodno reenje je, kao to je ve reeno, eksponencijalnog oblika xc (t ) = K 2e - at . Kompletno reenje diferenci jalne jednaine je onda: x(t ) = K1 + K 2 e- at = K1 + K 2 e-t / t (4.22) Konsana t = 1 a naziva se vremenska konstanta kola. Za RC kolo, t = RC, dok je za RL kolo t = L/R. Vremenska konstanta kola odreuje brzinu kojom se odvijaju promene napona ili struja u kolu. Lako je pokazati da se za vreme t = t posmatrana veliina x(t) promeni za 63.2% od ukupne mogue promene, dok se za vreme t = 5t ista veliina p romeni za 99.3%. Dakle, posle pet vremenskih konstanti prelazni proces je praktin o zavren. Ova analiza pokazuje da velika vremenska konstanta znai sporo odvijanje promena veliina u kolu, a da mala vremenska konstanta znai brzo odvijanje promena veliina u kolu. Za ilustraciju ove injenice, na slici 4.4 su prikazani oblici reenj a (4.22) dobijeni za dve vrednosti vremenske konstante t1 = 1 i t 2 = 0.2 , dok su o stali parametri isti: K1 = 0 i K 2 = 1 . 1 0.8 tau1 = 1 0.6 0.4 tau2 = 0.2 0.2 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 Slika 4.4: Zavisnost brzine promene odziva od vremenske konstante. Primetimo da drugi lan u reenju (4.22) tei ka nuli kada t. Dakle: K1 = lim x(t ) = x() t (4.23) Konstanta K1 se naziva ravnoteno reenje. 25Takoe se, iz uslova: lim x(t ) = x(0) = K1 + K 2 = x() + K 2 t 0 (4.24) dobija: K 2 = x(0) - x() tako da se konano reenje (4.22) moe napisati i u obliku: (4.2 5) x(t ) = x() + [ x(0) - x()] e- t / t (4.26) koji moe korisno posluiti za direktno pisanje jednaine za promenljivi napon ili str uju, ako su poznate veliine x(0) , x() i t. Rezime analize kola prvog reda: 1. Anali zira se kolo pre promene stanja prekidaa, da bi se odredio poetni napon na kondenz atoru vC(0) ili poetna struja kalema iL(0). 2. Posle promene stanja prekidaa, pono vo se analizira kolo da bi se odredili napon na kondenzatoru vC(t) ili struja ka lema iL(t). 3. Poetni i finalni uslovi u kolu se koriste da bi se odredile konsta nte K1 i K2 u dobijenom reenju. 4. Ukoliko traena nepoznata veliina nije napon na k ondenzatoru vC(t) ili struja kalema iL(t), koriste se jednaine kola da bi se odre dila traena veliina. Rezultati koji su izvedeni u ovom poglavlju mogu se uspeno pri meniti i na sloenija kola. Primenom Tevenenove ili Nortonove teoreme, deo kola sa otpornicima i izvorima se moe predstaviti ekvivalentnim izvorom i otpornikom, a vie kondenzatora ili kalemova se mogu ekvivalentirati jednim kondenzatorom ili ka lemom ukoliko su vezani paralelno ili serijski. 4.4 Kola drugog reda sa kondenzatorima i kalemovima Neto sloeniji sluaj za analizu nastaje kada su kondenzator i kalem istovremeno pris utni u kolu. Tada se dobijaju elektrina kola sainjena od izvora, otpornika, konden zatora i kalema (RLC kola), koja su predstavljena na slici 4.5. Ako postoji poetn a energija u kalemu i kondenzatoru, onda se za prvo RLC kolo moe napisati jednaina po I Kirhofovom zakonu: v(t ) 1 dv(t ) + iL (t0 ) + v( x)dx + C = is (t ) R L t0 dt dok se za drugo RLC kolo moe napisati jednaina po II Kirhofovom zakonu: t (4.27) 1 di (t ) Ri (t ) + vC (t0 ) + i( x)dx + L = vs (t ) C t0 dt t (4.28) 26+ is(t) R L C v(t) + R vs(t) i(t) L C + vc(t0) Slika 4.5: Kola drugog reda (RLC kola). Ako se obe jednaine diferenciraju po vremenu, a zatim prva podeli sa C a druga sa L, onda se dobija: d 2 v(t ) 1 dv(t ) 1 1 dis (t ) + + v(t ) = 2 dt RC dt LC C dt odnosno, (4.29) d 2i (t ) R di (t ) 1 1 dvs (t ) + + i(t ) = 2 dt L dt LC L dt (4.30) Dakle, oba kola se mogu opisati diferencijalnom jednainom drugog reda sa konstant nim koeficijentima: d 2 x(t ) dx(t ) + a1 + a2 x(t ) = f (t ) 2 dt dt ije je reenje: x(t ) = x p (t ) + xc (t ) (4.31) (4.32) gde je x p (t ) prinudno reenje, a xc (t ) prirodno reenje. Ako je pobudna funkcija konstanta, f (t ) = A , kao na slici 4.5, onda je prinud no reenje x p (t ) reenje jednaine: d 2 x p (t ) dt 2 + a1 dx p (t ) dt + a2 x p (t ) = A (4.33) Iz injenice da prinudno reenje mora biti sainjeno od funkcije f (t ) = A i njenog p rvog izvoda df (t ) dt = 0 sledi: 27x p (t ) = A a2 Homogena jednaina iz koje se dobija prirodno reenje se moe napisati i u obliku: (4.34) d 2 x(t ) dx(t ) 2 + 2a + w0 x(t ) = 0 2 dt dt Smenom x(t ) = Ke st 0 , ova jednaina postaje algebarska jednaina: 2 s 2 Ke st + 2asKe st + w0 Ke st = 0 (4.35) (4.36) (4.37) ili 2 s 2 + 2as + w0 = 0 Ova jednaina se naziva karakteristina jednaina, koeficijent a se naziva koeficijent p riguenja, a dok se w0 naziva rezonantna uestanost. Reenja ove kvadratne jednaine su: 2 s1 , s2 = -a a 2 - w0 (4.38) i nazivaju se prirodne (sopstvene) uestanosti. Reenja homogene diferencijalne jedn aine (4.35) su: x1 (t ) = K1e s1t , x2 (t ) = K 2 e s2t (4.39) a njihov zbir takoe predstavlja prirodno reenje: xc (t ) = K1e s1t + K 2 e s2t Konstante K1 i K2 se odreuju iz poetnih uslova x(0) i dx (0) dt . Zavisno od vredn osti parametara a i w0, razlikuju se tri sluaja: (4.40) 1. a > w0 - prigueno reenje. Reenja s1 i s2 su realna i nejednaka, pa je prirodno reenje oblika: xc (t ) = K1e 2 - ( a- a 2 -w0 ) t + K2e 2 - ( a+ a 2 -w0 ) t (4.41) i predstavlja zbir dve opadajue eksponencijalne funkcije. Konstante K1 i K2 se od reuju iz poetnih uslova. 2. a = w0 - kritino prigueno reenje. Reenja s1 i s2 su realna ednaka, pa je prirodno reenje oblika: xc (t ) = B1e-at + B2te-at Konstnte B1 i B2 se odreuju iz poetnih uslova. (4.42)283. a < w0 - neprigueno reenje. Reenja s1 i s2 su konjugovano kompleksna, pa je prirodno reenje oblika: xc (t ) = K1e- ( a- jwn )t + K 2 e- ( a+ jwn )t = e-at ( A1 cos wn t + A2 si e je: 2 wn = w0 - a 2 (4.43) (4.44) Dobijeno reenje ima oscilatorni karakter sa eksponencijalno opadajuom amplitudom o scilacija. Konstante A1 i A2 se odreuju iz poetnih uslova. Na slici 4.6 prikazani su odzivi kola u sva tri sluaja, za iste poetne uslove i istu uestanost w0 = 1 i tri vrednosti koeficijenta priguenja a, a = 2 , a = 1 i a = 0.5 . Uoava se da je odziv kola na jbri u sluaju kritinog priguenja. 1.4 1.2 1 0.8 x 0.6 0.4 Slucaj 1 Slucaj 2 Slucaj 3 0 2 4 6 8 10 t 12 14 16 18 20 0.2 0 Slika 4.6: Tri sluaja odziva kola drugog reda. 29Equation Section (Next) 5. Kola sa naizmeninim strujama Posebna klasa elektrinih kola su kola kod kojih su naponi i struje pobudnih izvor a sinusoidalne funkcije vremena. U reimu koji nastaje posle smirivanja prelaznih pojava, naponi i struje elemenata kola e takoe imati isti vremenski oblik, tj. pre dstavljae sinusoidalne funkcije vremena. U elektrotehnici je interes za prouavanje ovakvih kola veliki s obzirom na injenicu da je naizmenini napon dominantan u sna bdevanju elektrinom energijom u domainstvima i industriji. Takoe, poto se primenom F urijeove analize moe pokazati da se bilo kakva periodina funkcija moe predstaviti z birom sinusoidalnih funkcija, za analizu kola sa sloenim periodinim pobudama moe se primeniti princip superpozicije. 5.1 Osnovni pojmovi Posmatraemo prvo kola kod kojih pobudni izvori predstavljaju sinusoidalne funkcij e vremena. Analiziraemo ustaljeno, stacionarno ili ravnoteno stanje, koje nastaje posle smirivanja prelaznih procesa u kolu posle primene sinusoidalne pobude, a k ada su naponi i struje u kolu takoe sinusoidalni, odnosno prostoperiodini. Posmatr ajmo sinusnu funkciju: x(t ) = X M sin wt (5.1) koj je prikazana na slici 5.1. XM se naziva amplituda (maksimalna vrednost), w se naziva kruna ili ugaona uestanost, dok je wt argument. Veliina x(t ) moe predstavljat i napon v(t ) ili struju i (t ) . x(wt) XM x(t) XM p/2 p 3p/2 2p wt T/4 T/2 3T/4 T tXM XMSlik 5.1: Sinusna funkcija u funkciji argumenta wt i vremena t. Ova funkcija je periodina sa periodom od 2p radijana. Period ove funkcije T i uestan ost sinusoide f su povezani relacijom: f = 1 T (5.2) 30Iz uslova periodinosti: wT = 2p sledi: (5.3) w= 2p = 2pf T (5.4) Neto optiji oblik sinusoidalne funkcije je: x(t ) = X M sin(wt + q) gde je q fazni ugao ili poetna faza. 5.2 Predstavljanje sinusoidalnih veliina kompleksnim brojevima (5.5) Posmatrajmo jedno RL kolo pobueno naponskim sinusoidalnim izvorom. Onda se po II Kirhofovom zakonu moe pisati: L di (t ) + Ri (t ) = VM cos wt dt (5.6) Poto je pobuda sinusoidalna, struja mora biti oblika: i(t ) = I M cos(wt + f) (5.7) Zamenom u prethodnu diferencijalnu jednainu i reavanjem po nepoznatima IM i f, posle dueg izraunavanja se dobija: IM = pa je: VM R +w L 2 2 2 f = -rctg wL R (5.8) i(t ) = VM R +w L 2 2 2 cos(wt - arctg wL ) R(5.9) Kao to se vidi, do reenja smo doli na komplikovan i dugotrajan nain. Jednostavniji n ain reavanja se dobija uspostavljanjem veze izmeu sinusoidalnih funkcija i kompleks nih brojeva. Ova veza dovodi do algebarskih jednaina po prvom i drugom Kirhofovom zakonu, koje zamenjuju odgovarajue diferencijalne jednaine. Poi emo od Ojlerove pre dstave kompleksnog broja: e jwt = cos wt + j sin wt (5.10) 31iji su realni i imaginarni deo kosinusna odnosno sinusna funkcija. Pretpostavimo da je pobudna funkcija (fiziki neostvarljivi) kompleksni napon: v(t ) = VM e jwt = VM (cos wt + j sin wt ) iji su realni i imaginarni deo fiziki ostvarljivi. (5.11) Zbog toga to je kolo linearno, po principu superpozicije, struja u kolu mora se s astojati iz dve komponente: i(t ) = I M [ cos(wt + f) + j sin(wt + f) ] = I M e j ( wt +f) (5.12) gde je I M cos(wt + f) odziv na funkciju VM cos wt , a jI M sin(wt + f) odziv na funkciju jVM sin wt . Dakle, umesto da primenimo pobudu VM cos wt jwt i sprovedemo odgovarajua izraunavanja, mi moemo da primenimo pobudu VM e , odredimo odziv I M e j ( wt + f) i n aemo njegov realni deo. Mada to na prvi pogled izgleda mnogo komplikovanije nego prvi pristup, u praksi je sve mnogo jednostavnije. U sluaju posmatranog RL kola, zamenom pobude VM e jwt i odziva I M e j ( wt + f) u diferencijalnu jednainu (5.6), ima mo: L d ( I M e j ( wt +f) ) + RI M e j ( wt +f ) = VM e jwt dt (5.13) odakle se posle diferenciranja dobija: jwLI M e j ( wt +f ) + RI M e j ( wt +f) = VM e jwt Deljenjem obe strane jednaine (5.14) sa e jwt dobija se: (5.14) RI M e jf + jwLI M e jf = VM to je algebarska jednaina sa kompleksnim koeficijentima, ije je reenje: (5.15) VM = I = IM e = R + jwL jf VM R 2 + w2 L2 e - jarctg( wL ) R (5.16)Meutim, poto je stvarna pobuda VM cos wt a ne VM e jwt , stvarni odziv je realni deo d obijenog reenja, odnosno: i(t ) = I M cos(wt + f) = VM R +w L 2 2 2 cos(wt - arctg wL ) R (5.17) to je identino sa reenjem diferencijalne jednaine (5.9). Dakle, u optem sluaju imamo: 32x(t ) = X M cos(wt + f) = Re X M e j ( wt +f ) = Re ( X M e jf )e jwt (5.18) lan e jwt je zajedniki faktor u definicionoj jednaini za kolo i moe se implicitno podr azumevati u analizi. Preostali parametri, XM i f kompletno predstavljaju amplitudu i fazni ugao nepoznate struje ili napona. Kompleksna predstava struje ili napon a X M e jf naziva se fazor. Fazor X M e jf je kompleksni broj u polarnom obliku kod koga XM predstavlja amplitudu simusoidalnog signala, a f predstavlja fazni ugao si nusoidalnog signala meren u odnosu na kosinusoidu. U daljem radu, fazore emo oznaa vati velikim slovima koja su podebljana (bold) ili podvuena. Ako primenimo fazore na analizu RL kola, diferencijalna jednaina (5.6) dobija oblik: L d (Ie jwt ) + RIe jwt = Ve jwt dt (5.19) gde je I = I M f i V = VM 0 . Posle diferenciranja i eliminacije zajednikog faktora e jwt dobija se fazorska jednaina: jwLI + RI = V odnosno, (5.20) I= V = I M f = R + jwLVM R +w L 2 2 2 - arctg( wL ) R (5.21) tako da se opet dobija isto reenje: i(t ) = wL cos wt - arctg( ) R R +w L VM 2 2 2 (5.22) Analiza kola pomou fazora predstavlja analizu kola u frekvencijskom domenu. U faz orskoj analizi se sistem diferencijalnih jednaina sa sinusoidalnim pobudnim funkc ijama u vremenskom domenu transformie u sistem algebarskih jednaina sa kompleksnim koeficijentima u frekvencijskom domenu. Takav sistem je neuporedivo laki za reava nje. Kada se odrede nepoznati fazori, oni se ponovo transformiu u vremenski domen da bi se dobilo reenje originalnog sistema diferencijalnih jednaina. 5.3 Opis elemenata kola pomou fazora U prethodnom izlaganju definisane su relacije izmeu napona i struje za tri osnovn a elementa elektrinih kola: otpornik, kalem i kondenzator. Sada emo te relacije is kazati korienjem fazora. U sluaju otpornika, relacija izmeu struje i napona data jeOmovim zakonom: v(t ) = Ri(t ) (5.23) 33Ako je napon na otporniku v(t ) = VM e j ( wt + q v ) , struja kroz otpornik je i(t ) = I M e j ( wt + q i ) , pa se iz prethodne relacije dobija: VM e j ( wt +qv ) = RI M e j ( wt +qi ) ili, u fazorskom obliku: (5.24) V = RI (5.25)gde je V = VM e jq v = VM qv i I = I M e jq i = I M qi . Dakle, qv = qi , pa su kod otporni struja i napon u fazi. U sluaju kalema, relacija izmeu napona i struje je diferenc ijalna jednaina: v(t ) = L koja se moe napisati pomou fazora u obliku: di (t ) dt (5.26) V = jwLI (5.27) Poto je j = 1e j 90 = 1 90 , onda je q v = q i + 90 , pa kod kalema napon fazno prednjai struji za 90o, ili struja fazno kasni za naponom za 90o. U sluaju kondenzatora, relacija izmeu struje i napona je diferencijalna jednaina: i(t ) = C koja se moe napisati pomou fazora u obliku: dv(t ) dt (5.28) I = jwCV (5.29) Poto je qi = qv + 90 , kod kondenzatora struja fazno prednjai naponu za 90o, ili napon fazno kasni za strujom za 90o. Poto fazori predstavljaju kompleksne brojeve, oni se mogu predstaviti i grafiki u kompleksnoj ravni. Tako se dobija fazorski dijag ram. Na osnovu fazorskog dijagrama moe se utvrditi odnos amplituda dva fazora, ug ao (fazna razlika) izmeu njih, kao i njihov relativni meusobni odnos. Na slici 5.2 su prikazani odnosi izmeu napona i struje u vremenskoj i fazorskoj predstavi za sva tri osnovna pasivna elektrina elementa. 5.4 Uopteni Omov zakon: impedansa i admitansa Kod kola sa jednosmernim strujama otpornost otpornika je Omovim zakonom definisa na kao kolinik napona na otporniku i struje kroz otpornik. U sluaju kola sa naizme ninim 34strujama, kada se koristi fazorska predstava, naponi i struje postaju kompleksne veliine. Ako se formira kolinik fazora napona na nekom elementu i fazora struje k roz isti element: Z= V I (5.30)dobija se uopteni (generalizovani) Omov zakon. Kompleksna veliina Z, koja predstav lja analogiju otpornosti kod jednosmernog reima, naziva se impedansa. Jedinica za impedansu je Om (). v(t), i(t) + V=RI qv=qi Re v(t), i(t) v(t) i(t) Im V I + V=jwLI L qv=qi+90o I wt 90o qi Re v( ), i(t) i(t) v(t) Im I qi=qv+90o C wt 90o qv Re V v(t) Im i(t) R V wt I I I=jwCV + V Slika 5.2: Fazorski dijagrami za napone i struje kod pasivnih elemenata. U polarnom koordinatnom sistemu, impedansa se moe predstaviti preko svog modula i argumenta kao: Z= VM qv VM = (qv - qi ) = Z q z I M qi I M(5.31) dok se u pravouglom koordinatnom sistemu moe predstaviti preko svog realnog i ima ginarnog dela: 35Z( jw) = R(w) + jX (w) (5.32) Relni deo impedanse R(w) se naziva rezistivna komponenta ili rezistansa, dok se i maginarni deo impedanse X (w) naziva reaktivna komponenta ili reaktansa. Primetimo da impedansa nije fazor, iako je frekvencijski zavisna kompleksna veliina. Uslov da neka kompleksna veliina predstavlja fazor je da u vremenskom domenu odgovara nekom sinusoidalnom signalu. Dakle, pojam impedanse nema nikakvo znaenje u vremen skom domenu. Poreenjem dve prethodne jednaine (5.31) i (5.32) lako je utvrditi vez e izmeu dva oblika predstavljanja impedanse. Tako je: Z = R2 + X 2 , odnosno, q z = arctg X R (5.33) (5.34) R = Z cos q z , X = Z sin q z Kod analize kola sa jednosmernim strujama pokazalo se pogodno da se uvede veliina reciprona otpornosti, koja je nazvana provodnost. Odgovarajua definicija se moe da ti i kod kola sa naizmeninim strujama. Dakle, reciprona vrednost impedanse, koja p redstavlja kolinik fazora struje i napona: Y= 1 I = Z V (5.35) naziva se admitansa. Jedinica za admitansu je Simens (S). Poto je impedansa kompl eksna veliina, admitansa je takoe kompleksna veliina. Ona se takoe moe predstaviti pr eko svog modula i argumenta kao: Y= I M qi I M = (qi - qv ) = Y q y VM qv VM(5.36) ili preko svog realnog i imaginarnog dela: Y( jw) = G (w) + jB(w) (5.37) Relni deo admitanse G (w) se naziva konduktansa, dok se imaginarni deo admitanse naziva susceptansa. Na osnovu prethodnih jednaina lako je uspostaviti veze izmeu k omponenata impedanse i reaktanse. Polazei od jednaine: G + jB = lako se dobija: 1 R - jX = 2 R + jX R + X 2(5.38) 36G= R , R + X2 2 B= -X R + X2 2 (5.39) Na slian nain se dobijaju dualne relacije: R= G , G + B2 2 X= -B G + B2 2 (5.40) Interesantno je primetiti da rezistansa i konduktansa nisu reciprone veliine, i da takoe reaktansa i susceptansa nisu reciprone veliine. Na kraju, prikaimo tabelarno impedanse i admitanse tri osnovna elektrina elementa, otpornika, kalema i kondenz atora, koje emo esto koristiti u prouavanju elektrinih kola: Element Otpornik (R) Ka lem (L) Kondenzator (C) Impedansa (Z) ZR = R Z L = jwL Z C = 1 jwC = - j wC Admitansa (Y ) YR = G = 1 R YL = 1 jwL = - j wL YC = jwC 5.5 Sng naizmenine struje Neka su sinusoidalni napon i struja na nekom elementu kola VM cos(wt + q v ) i I M cos(wt + q i ) u vremenskom domenu, odnosno, neka su njihovi fazori V = VM e jqv = VM q v i I = I M e jqi = I M q i u frekvencijskom domenu. Snaga periodinog signala je po defini ciji srednja vrednost proizvoda napona i struje u okviru jedne periode. Dakle: 1 P = VM cos(wt + qv ) I M cos(wt + qi )dt T 0 V I = M M [cos(2wt + qv + qi ) + cos(qv 0 = VM I M V I cos(qv - qi ) = M M cos f 2 2 T T (5.41) gde je f = q v = q i fazna razlika izmeu napona na elementu i struje kroz element. Pose bno je interesantan sluaj snage na otporniku. Tada su napon i struja u fazi, pa j e f = q v - q i = 0 . Snaga na otporniku je onda data jednostavnim izrazom: P= VM I M 2 (5.42) odnosno jednaka je polovini proizvoda amplituda struje i napona. S obzirom da je kod otpornika V = RI , izraz (5.42) se moe napisati i kao: 37P= 2 2 RI M VM = 2 2R (5.43) Zamislimo sada da kroz isti otpornik tee neka jednosmerna struja I i da je tada n apon na njemu V koji na otporniku razvijaju istu snagu kao u sluaju sinusoidalne pobude. Takva vrednost struje naziva efektivna vrednost struje, a napona efektiv na vrednost napona. Poto je u jednosmernom reimu Vef = RI ef , onda je: 2 P = Vef I ef = RI ef = Vef2 R (5.44) Izjednaavanjem snaga iz izraza (5.43) i (5.44) se dobija: Vef = VM , 2 I ef = IM 2 (5.45) odnosno, efektivna vrednost napona na otporniku ili struje kroz otpornik dobija se deljenjem amplitude napona ili struje sa kvadratnim korenom iz 2. 5.6 Kirhofovi zakoni u kolima sa naizmeninim strujama U prethodnim izlaganjima ve je reeno da za kola s stalnim jednosmernim strujama ka o i za kola sa promenljivim strujama vai prvi Kirhofov zakon koji kae da je suma s truja koje utiu u ma koji vor kola jednaka nuli. i (t ) = 0 j =1 j N (5.46) gde je i j (t ) struja j-te grane koja ulazi u vor, dok je N broj grana koje ulaz e u vor. U sluaju sinusoidalne pobude, struje u kolu su takoe sinusoidalne i imaju istu uestanost. Dakle, prethodna jednaina dobija oblik: I j =1 N Mj cos(wt + f j ) = 0 (5.47) odakle se transformacijom sinusoidalnih veliina u fazore dobija prvi Kirhofov zak on za kola sa naizmeninim strujama u fazorskom obliku:I j =1 N j =0 (5.48) gde je I j fazor struje j-te grane koja ulazi u vor, dok je N broj grana koje ula ze u vor. Dakle, u frekvencijskom (fazorskom) domenu prvi Kirhofov zakon glasi: S uma fazora struja koje utiu u ma koji vor kola jednaka je nuli. 38Na isti nain se polazei od jednaine po drugom Kirhofovom zakonu u vremenskom domenu : v (t ) = 0 j =1 j N (5.49) transformacijom sinusoidalnih veliina u vremenskom domenu u fazore, dobija drugi Kirhofov zakon za kola sa naizmeninim strujama u fazorskom obliku: V j =1 N j =0 (5.50) gde je V j fazor napona na j-toj grani petlje koja ukupno ima N grana. Dakle, u frekvencijskom (fazorskom) domenu drugi Kirhofov zakon glasi: Suma fazora napona u bilo kojoj petlji kola jednaka je nuli. 5.7 Osnovne transformacije u kolima sa naizmeninim strujama Primenom prvog i drugog Kirhofovog zakona neka kola se mogu uprostiti, to smanjuj e broj jednaina kojima se ona opisuju i olakava njihovo reavanje. U narednom izlaga nju bie ukratko opisane neke takve transformacije: 5.7.1 Serijska (redna) veza impedansi Ako se N impedansi tako povee tako da se u svakom voru stiu samo po dve impedanse ( osim kod prvog i poslednjeg vora), takva veza se naziva serijska ili redna veza i mpedansi i prikazana je na slici 5.3a. ... Is + V Z1 Z2 ZN Is + V Zs Slika 5.3: Serijska (redna) veza impedansi. Primenom drugog Kirhofovog zakona dobija se ekvivalentna impedansa kojom se moe z ameniti serijska veza impedansi: Z s = Z1 + Z 2 + + ZN (5.51) odnosno, ekvivalentna impedansa serijski vezanih impedansi jednaka je zbiru poje dinanih impedansi. 39Posmatrajmo dve serijski vezane impedanse koje formiraju razdelnik napona, kao n a slici 5.4. I + + Z1 V Z2 + VZ1 VZ2 Slika 5.4: Delitelj (razdelnik) napona. Poto kroz oba impedanse protie ista struja, naponi na impedansama su: VZ1 = Z1 Z2 V, VZ2 = V Z1 + Z 2 Z1 + Z 2 (5.52) odnosno, napon izvora V deli se izmeu impedansi Z1 i Z2 u direktnoj srazmeri sa n jihovim vrednostima. 5.7.2 Paralelna veza impedansi Ako se N impedansi tako povee da sve imaju zajednike prikljuke, takva veza se naziv a paralelna veza impedansi i prikazana je na slici 5.5a. Ip + V Z1 Ip ... Z2 ZN + V Zp Slika 5.5: Paralelna veza impedansi. Primenom prvog Kirhofovog zakona dobija se ekvivalentna impedansa (admitansa) ko jom se moe zameniti paralelna veza impedansi: Yp = Y1 + Y2 + + YN (5.53) odnosno, ekvivalentna admitansa paralelno vezanih admitansi jednaka je zbiru poj edinanih admitansi. Alternativni oblik prethodne jednaine je: 1 1 1 = + + Z p Z1 Z 2 + 1 ZN (5.54) 40Posmatrajmo sada dve paral