Geometra y TrigonometraPolgonos 5. POLGONOS 5.1 Definicin y notacin de polgonos Unpolgonoesunafigurageomtricalimitadapor segmentosderectadenominadoslados,dondeel extremo de un segmento es el origen del otro. Etimolgicamente,lapalabraPOLGONOproviene de las races poli que significa muchos y gonos que significa ngulos. Lospolgonossenombranmedianteletras maysculassituadasenlosvrticesdelmismo.Su notacin se efecta escribiendo las letras maysculas despusdelapalabrapolgonoodelnombre especficodelpolgono,tambinporsussmbolos grficos. AB C DE F Polgono ABCDEF Hexgono Hexgono ABCDEF En un polgono se consideran los siguientes elementos:Diagonales Lados,ngulos,Diagonales yLado ngulo interno Vrtice ngulo externo Vrtices. 43Unidad unoGeometra y Trigonometra 5.2 Clasificacin de polgonos Se han establecido tres clasificaciones para los polgonos: Por la amplitud de sus ngulos. Por la medida de sus lados y sus ngulos. Por el nmero de lados. AMPLITUD DE LOS NGULOS ConvexosCncavos Sonaquelloscuyosngulosinterioresson todosmenoresde180yslopuedenser cortados en dos puntos por una recta secante. Sonlosquetienenunoovarios ngulos mayores de 180 y pueden ser cortados en ms de dos puntos por una recta secante. MEDIDA DE SUS LADOS y NGULOS RegularesIrregulares Cuando sus lados y ngulos son todos iguales entre s. Cuando al menos uno de sus lados o ngulos es diferente a los dems. 44Geometra y TrigonometraPolgonos NMERO DE LADOS NMERO DE LADOSNOMBRE DEL POLGONO 3Tringulo 4Cuadriltero 5Pentgono 6Hexgono 7Heptgono 8Octgono 9Enegono 10Decgono 11Endecgono 12Dodecgono 15Pentadecgono 20Icosgono A los dems polgonos se les nombra por el nmero de sus lados; por ejemplo: polgono de 13 lados, de 25 lados, etctera. 5.2.1 Cuadrilteros Son polgonos limitados por cuatro lados y forman entre s cuatro ngulos. Estos polgonos se indican por las letras maysculas de sus vrtices, escritas enseguida de su representacin grfica. C AB CD AB D CD A B ABCD ABCDABCD 45Unidad unoGeometra y Trigonometra Los cuadrilteros se clasifican de acuerdo a sus ngulos y a la forma de sus lados, es decir, al paralelismo de sus lados opuestos.Los tres principales grupos son: paralelogramos, trapecios y trapezoides. El esquema siguiente muestra la divisin y subdivisin de los cuadrilteros: Cuadrilteros Paralelogramos Trapecios Trapezoides Cuadrado Rectngulo Rombo Romboide Trapecio escaleno Trapecio rectangular Trapecio issceles Simtricos Asimtricos PARALELOGRAMOS Son paralelos sus lados opuestos. CuadradoRectnguloRomboRomboide Cuatro lados iguales.Cuatro ngulos rectos.Sus diagonales son iguales y perpendiculares. Lados opuestos iguales 2 a 2.Cuatro ngulos rectos.Diagonales iguales y oblicuas. Cuatro lados iguales.ngulos opuestos 2 a 2. Lados opuestos iguales 2 a 2.ngulos opuestos iguales 2 a 2. 46Geometra y TrigonometraPolgonos TRAPECIOS Si nicamente dos de sus lados opuestos son paralelos. EscalenoRectnguloIsscelesEs aquel que tiene los lados no paralelos desiguales. Esaquelquetieneunlado perpendicularalasbases, formando un ngulo recto con cada base. Es aquel que tiene los lados no paralelosdeiguallongitud, formandoconlasbases ngulos adyacentes iguales. TRAPEZOIDES Sus lados opuestos no son paralelos entre s. SimtricosAsimtricos Sonlosquetienendosparesdelados consecutivos iguales pero el primer par de lados consecutivos iguales es diferente del segundo. Sonaquellosquenoofrecenningunadelas caractersticas de un trapezoide simtrico. Eje de simetra 47Unidad unoGeometra y Trigonometra EJ ERCICIO 5-1 INSTRUCCIONES.-Relaciona las columnas escribiendo dentro del parntesis el nmero que correspondaa la respuesta correcta. 1) Figura geomtrica limitada por segmentos de recta denominados lados, donde el extremo de un segmento es el origen del otro. () Convexos. () Endecgono.2) Es un elemento del polgono. () Escaleno.3) Polgono que tiene sus ngulos interiores menores de 180. () Asimtrico.4) Polgono que tiene todos sus lados y ngulos iguales. () Cncavos.5) Polgono que tiene once lados. () Trapezoides.6) Cuadrilteros que tienen dos pares de lados opuestos paralelos. 7) Trapecio que tiene los lados no paralelos desiguales. () Muchos y ngulos. 8) Cuadriltero que sus lados opuestos no son paralelos entre s. () Regulares. 9)Trapezoidequenoofreceningunadelascaractersticasdeun trapezoide simtrico. () Polgono. 10) Polgono proviene de las races poli y gono que significa: () Paralelogramos. () Vrtices. 48Geometra y TrigonometraPolgonos EJ ERCICIO 5-2 INSTRUCCIONES.-Subraya la respuesta correcta de cada una de las siguientes preguntas. 1) Polgonos que tienen uno o varios ngulos mayores de 180. A) RegularesB) ConvexosC) IrregularesD) Cncavos 2) Polgonos en los que al menos uno de sus lados o ngulos es diferente a los dems. A) RegularesB) Convexos C) IrregularesD) Cncavos 3) Nombre del polgono de 20 lados. A) IcosgonoB) Pentadecgono C) DecgonoD) Tringulo 4) Polgonos que tienen nicamente dos de sus lados opuestos paralelos. A) ParalelogramosB) Trapecios C) Trapezoides D) Rombo

5) Trapezoides que tienen dos pares de lados consecutivos iguales pero el primer par de lados consecutivos iguales es diferente al segundo. A) SimtricosB) RectnguloC) IsscelesD) Rombo 49Unidad unoGeometra y Trigonometra 5.3 Teoremas sobre polgonos Teorema 1. La suma de los ngulos interioresde un polgono es igual al producto de dos ) (iSngulos rectos por el nmero de ladosdel polgono menos 2.) (n ) 2 ( 180 =n Si La medida de cada ngulo interior ) (ide un polgono regular de lados se puedencalcular por medio de la siguiente frmula:nSnnii== ) 2 ( 180 Teorema 2. La suma de los ngulos exterioresde un polgono es igual a 360.) (eS 360 =eS Lamedidadecadanguloexterior ) (e deunpolgonoregulardeladossenpuede calcular por medio de la siguiente frmula:ne 360= Teorema 3. El nmero de diagonalesde un polgono de lados es igual a la mitad del) (D nproducto de porn ). 3 ( n 2) 3 ( =n nD El nmero de diagonalesque se pueden trazar desde un vrtice de un polgono ) (dconvexo de lados es igual a: n 3 = n dLa diagonal es la lnea que une dos vrtices no consecutivos de un polgono. 50Geometra y TrigonometraPolgonos Porejemplo:Sitenemos unafiguradecincolados .5 = nLaaplicacindelosteoremasnospermitecalcular los siguientes aspectos de este polgono. Nmerode diagonalespor vrtice: Nmero de diagonales del polgono: Lasumadengulos interiores es: Lamedidadecada ngulo interior es: 3 = n d23 5= =dd

( )23 =n nD

( )23 5 5= D 5 = D ( )nni2 180 = ( ) 2 180 =n Si ( ) 2 5 180 =iS 540 =iS 1085 5405) 2 5 ( 180= == ii EJ ERCICIO 5-3 INSTRUCCIONES.-Resuelvelossiguientesproblemas,aplicandolosteoremas correspondientes. 1) Cunto suman los ngulos interiores de un heptgono? 2) Cuntas diagonales, en total, se le pueden trazar a un polgono de 15 lados? 51Unidad unoGeometra y Trigonometra 3) Cuntas diagonales se le pueden trazar desde un mismo vrtice a un polgono de 14 lados? 4) Cul es el polgono al que se le pueden trazar 11 diagonales desde un mismo vrtice? 5) Cuntos lados tendr un polgono regular, si sabemos que cada ngulo interior vale 140? 6) Cul es el polgono cuyos ngulos interiores miden 90cada uno? 7) Cul es el polgono cuyos ngulos interiores suman 1260? 52Geometra y TrigonometraPolgonos 5.4 Permetro y rea de polgonos 5.4.1 Definicin de permetro y rea PermetroEn los cuerpos geomtricos las caras o lmites de los slidos se llaman superficies, lascualesdeterminansuforma.Almedirelcontornodeunafigurageomtrica obtenemos su permetro que representamos con la letra P. reaEl rea de una figura geomtrica es la medida de su superficie; la unidad de medida, generalmente es el metro cuadrado y se expresa en. 2m FrmulaEl permetro y el rea de una figura geomtrica puede ser indicada por medio de una frmula, la cual es la expresin de una ley o de un principio general, usando smbolos o letras.Una frmula es una ecuacin en la que podemos despejar cualquiera de las variables que en ella intervienen, considerndola como incgnita. Ej emplo.- El rea del tringulo se expresa como: 2bh=

Ahe=: De

bdond=alturabasespejando para altura bAh =2 Despejando para basehAb =2 5.4.2Frmulas geomtricas para calcular superficies y permetros RECTNGULO Permetrorea b a P 2 2 + = ab A = 53Unidad unoGeometra y Trigonometra CUADRADO Permetrorea a a P 4 =2a A = PARALELOGRAMO Permetrorea a b P 2 2 + = bh A = TRINGULO Permetrorea c b a P + + =bh A21=) )( )( ( c s b s a s s A =2Ps tro Semiperme = = ROMBO Permetrorea a P 4 ='21dd A = 54Geometra y TrigonometraPolgonos TRAPECIO Permetrorea d c b a P + + + =h b a A ) (21+ = POLGONO REGULAR Permetrorea nb P =Pa A21=dondePa A21=Apotema aPermetro P== 55Unidad unoGeometra y Trigonometra EJ ERCICIO 5-4 INSTRUCCIONES.-Obtn el rea y el permetro de cada uno de losproblemas indicados, adems dibuja la figura que corresponda. 1) De un rectngulo cuya base mide 5cm y la altura 3cm. 2) De un cuadrado de 3cm por lado. 3) De un rombo cuya diagonal mayor es de 7cm, la menor de 4cm y sus lados miden 3cm. 56Geometra y TrigonometraPolgonos 4) De un tringulo issceles cuya base mide 6cm, la altura 5cm y los lados 10 cm. 5) De un hexgono regular cuyo lado mide 3cm y su apotema 1.5cm. 6) De un trapecio cuyas bases miden 10cm, 7cm, su altura 5cm y sus otros dos lados miden 6cm. 57