-Brousseau, epistemolgicosylosproblemas enmatemticas,en
RecherchesenDidacquedes
Matbmetiques.4(2),.Mxico,DIE-Cirwestav:1983, .165-198.. Los
Obstculos Epistemolgicos y los P"Oblemasen Matemticas* Por Guy
Brousseau l. Introduccin 1.0. Tema del Estudio. tUnalumnonohace
matemticassinoplanteaynoresuelveproblemas.Todoelmundoest
deacuerdoconloanterior.Lasdificultadescomienzancuandosetrladesabercules
problemas l debe plantearse, quin los plantea, y cmo.
1.1.Concepciones clsicas de la nocin de problema. Para simplificar
estas dificultades, parece que los especialistas en didctica de las
matemticas ensayan,desde hacealgntiempo,de proyectar la coleccin de
problemas imaginablessobre unsub-espacio, producto de los
componentes siguientes: 1.1.1. Las intenciones metodolgicas del
profesor.
Eslacomponentedescritaalprincipiodel"librodelproblema"deGlaeserydesus
colaboradores (problemas de investigacin, de entrenamiento, de
introduccin, etctera ... ). 1.1.2. Las intenciones didcticas ylos
objetivos (por ejemplolos de Bloom):adquisiciones de conocimientos,
mejor comprensin, anlisis,etctera.
1.1.3.Elcontenidomatemtico:casisiemprelacuestinconsisteenrequerirdelalumnoel
establecer una frmula verdadera dentro deuna teora en cursode
estudio.Elcontenido de un prblema esentoncesaprioridefinible
comouna pareja .. (T,f);Tsiendounateorasupuesta " explicitada en
elcurso yf la frmula a encontrar, a establecer o a colocar en una
demostracin deT. Estaconcepcinpermiteen
principiodecolocarlosproblemasunosconrelacinaotros,a condicin
detener una axiomtica conveniente delateora por
ensear:lasdiscusiones sobre la seleccindela mejoraxiomtica
sustentanlamayor partedelasinvestigacionessobrelos programas desde
hace aos. "La mejor axiomtica" sera aquella que permitira con el
mnimo 'Ponencia presentada en la reunnla CIAEEMen Louvan-La-Neuve,
Blgica,1976. ,G63 Digitalizado por: I.S.C. Hctor Alberto
Turrubiartes Cerino [email protected] esfuerzo de
aprendizaje o de enseanza, engendrar la coleccin de los
teoremas-problemas, de examen o de control, fijados por un consenso
sociaL
Esnecesarioprevervariasteorasparticularesqueunorelacionarenseguida(tendencia
"clsica"),ounateoraunitariageneraldelacualunodeducelasotras(tendencia
"moderna")?Hacenfaltamuchosaxiomasdbilesybienordenados(Diendonn:lgebra
linealyGeometraElemental)?,pocosaxiomaspotentes(Choquet:Laenseanzadela
geometra)? axiomas "evidentes" o axiomas "muy elaborados"?
Enlaausenciadeunateoraconvenientedelconocimientoapoyndosesobreunateora
pertinente de!aprendizaje,las discusionesnohan dado jams lugar
aeshldl0Sexperimentales cientficos. Esta concepcin permite, por
otra parte, distinguir dos cosas: La
pareja(T,f)quecaracterizaalproblema,ylademostracindeT-f,lacualpuedeserel
objeto de un estudio matemtico o metamatemtico. Yesta distincin va
a servir de base a una
nuevadescomposicindelcontenidomatemtico,siguiendodoscriteriosdiferentes,pero
vecInOs: - Eldominiodeaplicacin:(la teora T),opuestoala
"estructura" matemtica olgicaque opera sobre T. -- Elmodelo
matemtico (en el sentido de los logicistas), opuesto al lenguaje.
Estosparesdecaracteresopuestoscorrespondenalosrasgosdistintivossobreloscualeslos
profesoresseapoyanespontneamente:abstracto-concreto,contenido-fornlal,tercoprctico,etctera...pero
su puesta en obra no ha proporcionado jams nitipologas utilizables
nindices objetivos.
1.1.4.Componentesmetamatemticos.Dehecho,todaslastentativasdedescripciones
racionalesyformalesdelasmatemticassonutilizadasparatratardeconstruirvariables
intermedias que, sin ser elcontenido mismo, pemIitrn engendrarlo a
menor costo. LaconcepcindelosproblemassobrelafomlaT-f
conducefrecuentementea asimilarlas
hiptesisa10queesconocido,lasconclusionesaloquesebusca(oalainversa)yla
Digitalizado por: I.S.C. Hctor Alberto Turrubiartes Cerino
[email protected] a uncamino que coincidira
fcilmente con la demostracin buscada.
Ciertasdemostracionespuedenser
obtenidassinmuchareflexin,porlaaplicacindeuna
sucesinfinitadeespecificacionesconocidasdeantemano:existeentoncesunalooritmo.,
autmata productor de la demostracin particular buscada.
Enestecaso,puedehacerseladescripcin,clsicaymaravillosamentesimpleygratificante
para el profesor, de la actividad cognitiva del alumno,
de!aprendizaje y del rol del que ensea.
Elmaestroenseaalalumno,quienlomemoriza,elalgoritmoquepermiteestablecerlos
teoremas. L1.5.Lacomponente heurstica.Peropara otras
demostraciones,no existen talesalgoritmos.
Paranorenunciaralmodelodeadquisicinprecedente,unovaaimaginarquela
demostracinpuedeserconducidapor"intuiciones"quejugarnunpocoelpapeldelos
algoritmos.Estasintuicionespodrn ser
racionalizadaslocalmente,unavezquelapuestaen
obradeunateorayaconstituidaproporcionelademostracinbuscadaounapartedesta
(unoaplicar un teorema) -la seleccin de las teoraso de
lasestructurasestando igualmente i
JIguiadaporheursticas,queunopuede,despus,invocarparajustificarelprocedimiento
seguido.Apesar de su carcter un poco ad hoc,estos conceptos no
faltande inters, como lo
muestranenesteencuentro(ref.alaCIEAEM,1976)lasexposIcionesdeG.Glaeser,deG.
Paquette, M.Ciosek, F.Wilson, de C.Janvier, etctera... 1.2.Crtica
de estas
Yocontestolavalidezdetaldescomposicinclasificatoria,apesardelasfacilidadesque
procura,porqueconduceaaceptarpre-supuestoslamentables,separandoloselementosque
funcionan juntos. 1.2.1. El sujeto. Elsujeto--elalumno--
estausentedeesteanlisis,dondenoaparecemsquecomoun
receptor,unregistradorextremadamentesimplificadoqueelsaberadquiridonomodifica
sensiblemente, ni, sobre todo, estructuralmente. 1.1..2.La
significacin y el sentido. Dela misma fonna,y por va de
consecuencia,la significacin dela matemtica desaparece: . L65
Digitalizado por: I.S.C. Hctor Alberto Turrubiartes Cerino
[email protected],nosolamentelaverdad,sinoelintersdeunteorema
yconeso,loque F. Gansethllamaba elcarcter idneo (idoneidad)de
unconocimientomatemtico,10quehace que esteconocimientoexista
comosolucinptima dentrodelcampodefinidopor uncierto
nmeroderestricciones(relativasalsujetocognoscenteoalconocimientomismo),loque
hacede lunobjetoenelsentidodeR.Thom,una solucinaunproblema
yenfin,loque dice elinters del problema mismo.
Elsentidodeunconocimientomatemticosedefine--nosolamenteporlaeoleccinde
situaciones donde esteconocimientoes realizadoen
t&"1toqueteoramatemtica (semntica en elsentido deCamap)-
nosolamente por la coleccin desituaciones donde elsujetolaha
encontradocomomediodesolucin,sinotambinporelconjuntodeconcepciones,de
eleccionesanterioresquerechaza,deloserroresqueevita(yoagreK.ara:laseconomasque
procura,lasfOlTImlacionesque retornay muchas
otrascosasqueformantambinpartedesu"'t'$ sentido). 1.2.3.
Elaprendizaje.
Laconstruccinaxiomticasugieretambinunaprendizajefricodondeelvolumende
conocimientos -inmediatful1ente adquiridos,estructurados,
utilizablesytransferibles- se infla en un espacio virgen. Pero ...
-:ztU(j!:1 nt.;.s Res":,IIJ:;bn (!e Pr.:"bk-n(1 1)j dacias Ix,r 7
e3tuclla ntes R"SI)'i'i:St,lSdad% pe,rl \...,.,:
anii\rJ';ubic,ldossloel1lasc!,lses11 lolargo
ti.:ladiagonalprincipal,illcluyend\)algullosC,ISOSqueCOI1t1:vicl1cnelordende
algunosdielosejes,esdecir,1111105ubicadosen1,15
ChlSleSc:orres!Jondicntes11 los dCI11{lSvrtices delcubo.
EnrelacinalobjetivoIdeestudio,esdecir,niqueserefierea
respuestaSespontneasdelosniosantelas"prilllerasecuaciones no ..
arilmlicas",fueron
encadageneracindeii'os,lastresclasesqueaparecenalo
deladiagonalprillcipni,alascualesdenominamosestratosbajo,medioy
EntoralfueroncIHrcv,tac!Gsveintisicteniiios.lasentrevistas
Lassecuencias detel11sque conformanlaentre\
istaclnic,1nnlllllCruspanicul;n:s: 1.l{cprOl!u,:cilldelmodelo
1---,n'o ----1 IC---jTr----,(Traduccindela c:cu:\cinImodelo) x L-
'--'-------.-... 1 2Comparacillde reas: I--'C---;T X :!
J,Elaboracin delaecuacinsimplificada:(C-A) x=o B,
'1Rt'so)ucinelelaccuncinsilllplificadn, 5,\'crileciidelarespuesta,
r,'lt1IkLlde'balanL:1: EcuncinpropllCSlt:/idll",'huje' --?or
-t.."en 1_"'I"'oria'"/,;,""";((1.
npreestoymteresaaopor1",umomenOlugH'de!Osnoumenamatell'' ( lapuede
serampliadaaotras clases de noumena.
2.2.ElpapelquedesempeflAnlosejemplos
,Elejemplodefenomenologfaconquecomienzaelcaptulo1era,claramente,unarelacinconstruidaa
postuiorientreelconceptomatemticode
longitudyelmundodelosobjetosdelosquesepuedepredicarlalongitud,
estructuradomediante laoperacinde composicion,e. la longitudse
interpret en esemundo como unafundn.No analic
cmolleguaesafundn.Aunque
estoeraIndispensable,loomitrporquetenCaqueabordaresacuestinenla
seccl6n ,defenomenolgicadidcticayquedaevitarrepeticiones.Pero,como
con.secuenda,laseccindefenomenologfadidcticacontieneejemplosdepura
'fenomenologfa,talescomo laseccin1.1Ssobrelasaplicacionesde
congruenciay lassecciones1.18-19
sobreflexiones.Delamismamanera,enloquesigueno separar connltldez
fenomenologfayfenomenologfadidcticaunade otra.Como he prometido en
elprefacio, no voy a sacrificar la legibilidad a lasistematicidad.
Dnde busqu elmaterialrequeridopara mifenomenologladidcticade las
estructurasmatemticas?Apenaspudeapoyarmeenlostrabajosdeotros.He
aprovechadomisconocimientosdematemticas,susaplicacionesysuhistoria.
S c:6mohannacidolas ideasmaternatkasocmopodranhabernacido.Deun
anlisisde loslibrosdetexto,sdequ manera juzgan los didactas
quepueden
apoyareldesarrollodetalesideasenlasmentesdelosestudiantes.Finalmente,
porlaobservacindeprocesosdeaprendizaje,he logradoaprenderunpoco
sobre10$procesosrealesdelaconstitucindeestructurasmatemticasyla
adquisicindeconceptosmatemticos.Unpoco--estonoprometemuchoy desde
elpunto de vista de lacantidad noes muc;ho,desde luego,
loqueyopuedo
ofrecer.Yahecontadounoscuantosejemplosdedichasobservacionesy
continuar enlamismaIrnea.Nopretendoqueenestaoaquellaedad,estao
aquellaideaseadquieredeestaoaquellamanera.Losejemplosestn
encaminadosmsbienamostrarquesenecesitanprocesosdeaprendizajepara
cosas para las quenoesperaramos que se
necesitarantalesprocesos.Enelprimer
capItulo,mostraunnifloenfrentadorepentinamentealanecesidaddediferenciar-grande'"segnvariasdimensiones,aunnit\oubicando"'lejos"enel
contextode"'largo'"yi\;>rendiendoacercadelaconexinentre"medio"y"en
medio".Voyaat\adirotrahistoria,queocurriunas cuantashorasdespusdel
evento en elque "'medioHy-en medio" estabanunidos uno alotro:
Lahermana (3;3) de Bastim (5;3)rompe piezas de espuma de plsticoen
trozos pequeftos, que ella Dama IIJda.Basrian se pone aJl:>cer
lo mismo ain ella.tomaurotrozo rectangular y lo parte poco m4s
omenos l!!'I dos mitldes, coloca.uro mitad sobre la otra. 1:15
rompe juntas y repite lo mismo COI1 un comb-inad6n de tres pisos
-la ru:u1a pieza ya era suficientemente pequel\a. No s
'dndetendrfaque situar estaobservacin:silatendraqueclasificar
comomatemticas,pongamosgeometrra,osipertenecealaconductacognitiva
general.Relato esta obSrvadnporque pienso que esunade las
msimportantes que jams he hechoporque me diouna leccin sobre qu
esobservar.No!;sila edadde 5;3estemprana
otardCaparaestaformaeconmicaderomper;nos si I (!"! 2c...n con
seguridad:queloquetIhizo esImportantey
merecc:aena.sc.'rapren-:!ido. .n{rrestollteri,ropi!Stlgl.formlue
nos demos cuenta de todas las cosas que losnl/\osdeben a'.Siobservo
qu
ingenialagenteparaenael\lIrftlosnil\os,mesientoInclinadoallamarlesla
atencin:no te esfuerces, simplemente mira, alalcancede tumano. Por
qu lagente no buscatales cosas simples, que merecen tanto la pena
ser aprendidas? Porque lamitad de ellos no se preocupa 'delas cosas
que piensan que
sontonterfas,mientrasquelosquesepreocupantemenparecertontossilo
muestran.W((diilgandSowingestllenodehistoriassimplescomosas.Lashe
contadoenconferencias.Nomepreocupaqueunagranpartedelpblico
interpretemIdiscursocomosenil,contalque,conmiejemplo,unapeque.l\a
partedelpblicoseanimeahacerlomismoqueyo-esto, claloest, coraje.'
2.3.Enactivo,ic6nico,simblico Antesus latrfadadeBruner
simblico,lenico"'.Bruncr sugiri
tresformasdetransformarlasexperienciasenunmodelodelmundo:las
representadonesenactiva,lenicaysimblica.Y
distinguefasesdecrecimiento cognitivo, que corresponden
alpredominIo de unauotrade ellas. Elesquemade Brunerpuede Srtil.
Hasido asumidopor otros ysu, campo. de aplicacinhasido
extendido,enparticular,hacialaadquisicinde conceptos en
losprocesosde aprendizaje, enlaque sedistinguenfasessimilares.
Mstarde explicar mis objeciones alaideade laadquisicin de
conceptoscomotal, aunque
nomeopondrfa.alaampliacindelatriadadeBruneralaadquisicinde
conceptos. Enrealidad, en eltrabajodeI3runerhay un ejemplo
quemuestra cmo
lostresmodosderepresentacinpuedenseraplicadosalaadquisicinde
conceptos:cnactivamente elnudoenhojade trbolesunacosaqueestanudada,
icnicamen teesunafigura'paraserobservada,ysimblicamen teesalgo
representadopor lapalabra"nudo", tantosiestacompanado por una
definicl6n msomenos rigurosa, como sino.. Hay unabroma harto
conocida:preguntar alagentequesuna escalerade "caracol".
Todosreaccionan delmismomodo:hacensubir su dedoCndicepor una
escalera de caracolimaginaria. Por supuesto que, sifuesenecesario,
serran capaces
dedibujarla.Significaesoqueestnenlafaseenactivaoenlaicnlca?Desde
luegoqueno.Paraelconceptoencuestinposeenunsfmbolo-las palabras
"escaleradcaracol"'- aunque,sihayqueproducirunadefinicin,vana
encontrar: msomenos dificultaden pasarde larepresentacin
enactivao!cnlca alaConsideremos elconceptonumrico "tres"
yelconcepto geomtrico "'recto"'. Antesdeque
elnil'lodomineesaspalabras,puedetenerfamiliaridadconloque
significan:aplaudiendoconsusmanostresvecesydirigindoseentrnearecta
hadaunobjetivo,siselesugiere(faseenactiva);apartandolasfichascontres
ir!Cogni/irxGrowth(EdilN by J.5.Bruner),Towarda Theory of
lnstruction. 1966.pp.lO11. 3 Digitalizado por: I.S.C. Hctor Alberto
Turrubiartes Cerino [email protected].
tresrrect,'"'!Ias'c6nt>mln trq(!cto)significaque est
enlafasesimblica, yaque"tres", cornopalbra..
delconceptotres(o"'recto"loespara recio).Perotambinlostr
puntoseneldadopuedenserunsmbolo:porejemplo,jugandonIJuegodela
oca.Unnii'lOque cuentaInteligentemente
estenlafasesImblica,Inclusosiese Contarse
acampanaconeldesplazamientode lascuentasdeunbaco.Sumaren
elbacoesenactivoslomomentneamente.Traslaprimeraexperiencia,Se
convierteensimblico,auriqueelsimbolismodifieredeldelosguarismosescritos.Losnmerosromanossontansimblicoscomolosarbigos.Muescasy
cuentaspara indicar nmeros pertenedan a
lafasesimblica,antesinclusode que
seInventaranlascifras--sontansimblicascomolosnmerosromanosy
arbigos.Elcajerodelsupermercado que escribe
enlacajaregistradoracantidades dedineron
estatareadonienactivaniic6nicamente.Unninopequet\oque hacepalmas
consusmanosconalegdaexpresasus sentimientos simblicamente,
inclusosiannopuedepronunciarlapalabra"alegra".Yaenlaguarderfa,los
n!l'osaceptanundibujodeunaposicindebaileenelquelosbailarinesestn
representadosportrazos en vezdepor
maniques.Siaspuertasdelosservicios de hombres y mujeres
.sedistinguenporplacas configurasde pantaloneso faldas,
estonosignificaqueeldecoradorImaginaraquelosusuariossehallanenlafase
lenica;lohizoasporque
estadiferenciaestsimbolizadadiferentementeenlos cientos de
lenguasque lahumanidad hablay escribe -adems, lasmismasplacas son
yasmbolos.
Conestosejemplosintentodecirqueensituacionesdeenset'lanzaaprendizaje,quesonnuestrointersprincipal,latradadeBrunernoayuda
demasiado.Eldominiodeaplicacin deBrunereslapsicologfadelosnif\osmuy
pequel'losyen ese perrodo pueden ser dotadasde sentido.
VI-S.lAadquisicindtCO/lCtptosylaccmstitucindeobjetosmentales
2.4.Megustarla subrayarotra idea, yasubrayada en
mispublicacionesanteriores.
Empezarconunanlisissemnticodeltrmino"'concepto".Sidiscuto,por
ejemplo,elconceptodenmerodeEuclides,Frege,oBourbaki,Intento
comprenderquesloqueestosautorestenan. enmentecuandoutilizabanla
palabra"nmero",SiInvestigoelconceptodenmerodeunatribudePapes,
intentoInformarmedeloquelosmiembrosdeestatribusabenacercadelos
mlmerosyqu hacenconellos; por ejemplo,hasta cunto p.uedencontar.
Meparecequeestedoble significado de"concepto'"tiene origenalemn.La
palabraalemanaparaconceptoesBegriff,que,etimolgicamente,esuna
traducd6ndellatn....conceptus..ytambinde "'comprehensio",
porloquepuede
significartanto"concepto"como"comprensin(slmpattica)","'Zahlbegriff"
puedesignificarentoncesdoscosas,conceptodenmeroycomprensindel
mlmero;"Raumbegrlff",conceptodeespacioeIntuicingeomtrica;
"KunstbegTlff", conceptode arte y competencia arUstical
Enrealidad,tambinenotraslenguas"conce'pto'"sederivadeunapalabra
,quesignificacomprensin(Ingls,toCO/lCtive;francs,concevoirl
),que,sin embargo,notienelafue:zaqueinducea
equvocoquetienelapalabraalemana Iy en eisteUano, col1Ct:blr., c..n
en 4 _.:greijiopldecir1sid,nflue
la(.naparticularlafilosoffadelasmatemticas-
Joquehacreado:significado delconcepto de nmero, delconceptode
espacio y, por lavfaabIerta, del concepto
degrupo,delconceptodecuerpoydelconceptode conjunto,etc.Encualquier
caso,laconfusinha estado en funcionamientodurantemuchotiempoyha
sido reforzadaenormementeporla"matemticamoderna"yporunamosofra
racionalista"delaenset\anzadelasmatemticas(ydeotrasmaterias),quede
ningnmodoestJustificadaporningunafenomenologra.EslafilosoHa)'l
didcticade laadquisicin de
conceptos,deantiguareputacinyrenombre,que
haganadonuevopesoyautoridadennuestrosiglograciasanuevasformulaciones.EnelmtodosocrticotalcomoloejerdaScratesenpersona,las
esquinasamadasdelaadquisicindeconceptoshabransidolimadas,porque,
desdesupuntodevista,laadquisicineraunare-adquisidn,elrecuerdode
conceptos perdidos.Pero en laprcticageneraleldoble significado de
conceptoha
estadofundonandodurantemuchotiempo.Lonicoquehanal'ladidounosy
otrossistemasdeaprendizajeestructuralhasidounasbasestericasyunas
formulacionesmsomenosingeniosas.ParatenerunciertoXconcebido,se
enserta,oseintentaense!\ar,elconceptodeX.Paratenernmeros,grupo'-,
espaciosvectoriales,relacionesconcebidos"seinculcanlosconceptosdenmero,
grupo, espado vectorial,relacin,o,mejordicho,seintentaninculcar.
Esbastante obvio,dehecho,quealasedades
enqueseintenta,estonoesfactible.Por est\,
razn,entonces,seintentamaterializarlosconceptosdesnudos(enun
"embodiment"'2).Sinembargo,esasconcrecionessonusualmentefalsas:SOI"\
demasiadobastasparareflejarlosrasgosesencialesdelosconceptosquetienen
queser"'embodied",inclusosi,medianteunavariedadde"embodiments", uno
deseadarcuentademsdeunaf!lcet!l.Sunivelesdemasiadobajo,muypor
debajodelconceptoque sepersigue. Didcticamente esto significaque
elcarro va delante delcaballo:ensel\ar abstracciones hacindolas
concretas.
Loqueunafenomenologadidctieapuedehaceresprepararelenfoque
contraro:empezarporesosfenmenosquesolicitan serorganizadosy,desde
tal punto departida, ensenar alestudiante amanipular esosmediosde
organizacin.
Sehadepedirlaayudadelafenomenalogradidcticasisequieredesarrollar'
planesparanevaracabounenfoquedeeseestilo.Enlafenomenologfadidctica
delalongitud,nmeros,etc.,losfenmenosorganizadosporlongitud,nmero,
etc.,semuestranlomsampliamenteposible.Paraenset\argrupos,envezde
empezarporelconceptodegrupoyandarbuscandomaterialesquehagan
concretoeseconcepto,sedebedabuscarprimerofenmenosquepudieran'
compeliral a constituir elobjetomentalqueestsiendomatematizado
porelconceptodegrupo.Sienunaedaddadadichosfenmenosnoestn2tdisposicindelosalumnos,unoabandonaelIntento-intil-
deinculcarel concepto de grupo. En elsentido de la epistemologa de
los conceptos a priori del siglo XVIII. 2He dejado t1'f!bodimcnlsin
traducir para res:llmran mis las comillas que le
poner.,.euderlthal.La traduccin usual alcas!ellano noel blubarismo
MconcretLud6nMque, ad",.,ds, pierde el
cuerpoolacarnequecontienelapalabraInglesayquepodrraconservarsecon1.')5
castellanas 'corpomzad6n' o 'encamad6n1. Freudenthal hace
rellm:mda. entre otros, Ojenes y sus materiales, que pretenden ser
COI'I. objetomental"'rea",mientrasque
elconocimientodelafrmuladelreadeun
rectngulo,comoelqueexhibennji'losentrelos10y12at\os,nosignifica'
necesariamenteprogreso-por elcontrariopuedemuybien
significarretroceso. Anteriormente
subraylaimportanciadelastransformacionesde composiciny
descomposicin paraeldesarrollodelasmagnitudes como objetosmentales.
5.4.2.Todoyparte
DelmodomsconcretolasfraccionessepresentansiuntodohasidoO" est.
siendo rajado, cortado,rebanado,roto, coloreado, en partes iguales,
o si se experimenta,imagina,piensa comosilofuera.Enestecomplejode
fenmenosvoyaintentar una clasificaci6n, ilustradaconejemplos.
Eltodo puede ser discretoocontinuo, definidooindefinido,
estructuradoo carente de estructura, loquequieren
:.crcalificaciones extremas conunavariedaddetransiciones entre
ellas. La atencin p.uede ser dirigida a ., unaun nmero de
partes,todilslilspartes. Laspartes pueden estar conectadas o
desconectadas. Elmodo de dvidir puede ser estructurado o no
estructurado. 15 Digitalizado por: I.S.C. Hctor Alberto
Turrubiartes Cerino [email protected] _"'"tres
.ljada...llas(. ___.cnlt .,)minpalat , trt..Jeto)significa que
estenlafasesimblica, yaque "tres", comopalabra,. uns
mbolodelconceptotres(o"recto"loespara rtcto).Perotambi"Jos
puntoseneldadopuedenserunsfmbolo:porejemplo,jugandoaljuegodela
oca.Unnlt\oque cuentaInteligentemente
estenlafasesimblica,inclusosiese contarse
acampanaconeldesplazamientodelascuentasdeunbaco.Sumaren
elbacoesenactlvoslomomentneamente.Traslaprimeraexperiencia,se
convierteensimblico,aunqueelsimbolismodifieredeldelosguarismosescritos.LesnmerosromanossontansImblicoscomolosarbigos.Muescasy
cuentaspara indicar nmeros pertenecanala {ase simblica, antes
inclusodeque seInventaranlascifras-son
tansimblicascomolosnmerosromanosy arbigos.Elcajero
delsupermereadoque escribe enlacajaregistradoracantidades
dedineronoestatareadonienaetivaniic6nlcamente.UnnlMpequet\oque
hacepalmas con susmanos
conalegrfaexpresasussentimientossimblicamente,
inclusosiannopuedepronunciarlapalabraHalegda".Yaenlaguardera,los
niflosaceptanundibujodeunaposicindebaileenelquelosbailarinesestn
representadospor
trazosenvezdepormaniqufes.Silaspuertasdelosservicios de hombres
ymujeres sedistinguen por placas con figurasde pantalones ofaldas,
estonosignificaque eldecorador
Imaginaraquelosusuariossehallanenlafase !cnica;lohizoasrporque
estadiferenciaestsimbolizadadiferentementeenlos cientosde lenguas
que lahumanidadhablay escribe -adems, lasmismasplClcas son
yasfmbolos.
ConestosejemplosIntentodecirqueensituacionesdeensel'lanzaaprendizaje,quesonnuestrointersprincipal,latrradi'ldeBrunernoayuda
demasiado. Eldominiode aplicaci6nde Bruner
eslapsicologfade105ninosmuy pequenos yen ese perrado pueden ser
dotadas de sentido.
2.4-5.lAadquisicindeconCtptosylaconstitucindeobjetosmmfllles 2.4.Me
gustada subrayar otraIdea,yasubrayadaen mispublicacionesanteriores.
Empezarconunanlisissemnticodeltrmino"concepto",Sidiscuto,por
ejemplo,elconceptodenmerodeFrege,oDourbakl,Intento
comprenderquesloqueestosautorestenran, enmentecuandoutilizabanla
palabra"nmero"'.SiinvestigoeleonceptodenmerodeunatribudePapes,
intentoInformarmedeloquelosmiembrosdeestatribusabenacercadelos
nmeros y qu hacencon ellos; por ejemplo,hasta cunto 'Pueden contar.
Me parecequeestedoble significadode "'concepto"tieneorigenalemn.La
palabraalemanaparaconceptoesBtgriff,que,etimolgicamente,esuna
traduccindellatfn"'eonceptus" ytambin de "'comprehensio", por
loquepuede
significartanto"'concepto"como"comprensin(simpattica)"."Zahlbegriff"
puedesignificarentoncesdoscosas,conceptodenmeroycomprensindel
nmero;"'Raumbegrlff",conceptodeespacioeIntuicingeomtrica;
"'Kunstbegriff", concepto de art,ey competencia artfstica.
Enrealidad,tambinenotraslenguas"'concepto"!e derivadeunapalabra
queslg nlcacomprensin(Ingls,locOllctvt;francs,concevor l ),que,sin
embargo,notiene lafuerzaqueInduceaequfvocoquetienelapalabraalemana
......1Y ton .:a$trllano, .. O") W4 . :grei)loP'ded' \sid'nOuf'
-'.de17 1;1,,(,.]pmana_n particularlafilosoffadelasmatemticas--
loquenacreaoo'"delconceptodenmero, delconcepto de espacio y,por
lavraa., delconcepto
degrupo,delconceptodecuerpoydelconceptodeconjunto,etc.Encualquier
caso,laconfusinhaestadoenfuncionamientodurantemuchotiempoyhasido
reforzadaenormementeporla"matemticamoderna"yporunafilosoHa
racionalistadelaenset\anzadelasmatemticas(ydeotrasmaterias),quede
ningnmodoestjustificadaporningunafenomenologfa.Eslaflosoffayla
didcticadelaadquisicinde conceptos,deantiguareputacinyrenombre,que
haganadonuevopesoyautoridadennuestrosiglograciasanuevasformulaciones.EnelmtodosocrticotalcomoloejerdaScratesenpersona,las
esquinasafiladasdelaadquisicindeconceptoshabfansidolimadas,porque,
desdesupuntodevista,laadquisicineraunare-adquisici6n,elrecuerdode
conceptosperdidos.rero enlaprcticageneraleldoble significadode
concepto ha
estadofuncionandodurantemuchotiempo.Lonicoquehanat\adidounosy
otrossistemasdeaprendizaje
.estructuralhasidounasbasestericasyunift!cQhlaImg"" Ca!pe,
Madrid.1986,pg24(,) 13 " ---"-----Digitalizado por: I.S.C. Hctor
Alberto Turrubiartes Cerino
[email protected] COMOFRACTUlv\DOR
'5.4.1Causarfracciones Yahemos explicado
c6mosedividenlasmagnitudes, conosinresto.PMadividir
substancias,medidaspormagnitudes,haymuchosmtodosdisponibles:
fracturar12 puede ser irreversible,oreversible,omeramentesimblico.
Laigualdad de partes se estima a ojoo por tacto, opor mtodos ms
sofisticados. t)no de elloses doblarloen dos para partirlo por
lamitad, doblado en tres para dividirlo en tres partes iguales;
doblarlorepetidamente en dos y tres conduce amsfracciones.
Losobjetos pesados se parten por lamitad pesandolas partes enlas
manos oen unabalanza, mIentrassecorrigerepetidamentelafaltade
equilibrio.Similarmente comparar y corregir
desempet\asupapelsiengeneralunasubstanciamedidaper tiene que
serdistribuida;porejemplo;unHquldoenunnmrodevasoscongruentes, en
los que se comparalas alturas dcllrquldo.
Lasfigurasuobjetosplanosyespaciales,asrcomocantidadesgr1ndes,se
distribuyenaveces conalreaovolumenmediante elu.sode congruencias y
simetrfas; '-"por ejemplo, elpastelredondo enpartes congruentes,
que puede dividirse C') COaojoopor tacto, . 12l mtc!6n corno
resultadofrnch.trilr p=ent;en elnombrecas!dbno rora
135frl.:c:one5:'1urbrados. 14
Entodosestosejemplosdesatendlamedidacorrecta.[alapreSldl
atencinamtodosmsprimitivos.EnlaCos!itucinmenta!d'-_"slas dases
demagnitudes,repartirenpartesequitativasmepareceunC!slabnimportante
-msimportantequeloquelospsiclogosinvestiganbajoelnombrede
conservacin. Queyosepa, lospsiclogos
deldesarrollonohanprestadoninguna atencin aeste 3spectc.He
observ:1damuchas".:ces'Icede los7"1058al'\O$se es' capazde
estim."!!U',,,,mitado unledo de unrea quehayqlle 1),pero, cuando
seAese punto, la matematizacindelasfraccionesyde
lasoperacionesconfraccionesest .yaen
plenofuncionamiento,sinocompletada;laextensl6nrequeridapara{racclones
m.lxtassimplemente
esarrastradaporlacorrientedematematlzacin,Ollevadaa
cabodemanerapuramenteformalsinningnvrnculofenomenolgico.
Expresiones tales como'I sonmateriadetrabajo en
elpapel,desvInculado de la realidad, que es an visible en
lasfraccionespropias.. La"fraccin comofracturador"noess610un
comienzodemasiado estrecho, estambin
urJdirecdonal.Esextral'loquetodoslosintentosdeinl'lOvacinhayan
pasadoporaltoestepunto.Elmodernoanlisisfenomenolgicohaenfocadoel
conceptodemagnitudcon cuidado;sehareconocidoelpapeldesempet'ladopor
equivalenciay fracciones,peroeste
anlisisfenomenolgiconuncahatenidouna vertiente didctica.
Enparticular, no sehan dado cuentade que ladidcticade las
magnitudesnopuedeserconstruidasobreladelasfracciones,que11 suvez
requieremagnitudesparaqueseanenfocadasdidcticayfenomenolgicamente.
La"fracci6ncomofracturador"puedeserdescritamedianteunconceptode
eq\Jivalenciabastanterestringido:norequieremsquedividiralgoennpartes
iguales.Peroenlarealidaddeladidcticasenecesitaunaequivalenciadems
amplioalcance,asrcomounadisponibilidadsin restriccionesdeob,ietosen
qda clasedeequivalencia.Estanecesidadnohasidoreconocidaen
ladidcticade fraccionesnien la elecci6n
demodelosdidcticoshastalafeUn peligro del aprendizaje
memorsticoesque10:3estudiantesaparentan
unnivelderazonamientosuperioral querealmentetienenporquehan
aprendido vocabulario y formas da
trabajopropiosdelnivelsuperior,aunquerealmentenoloscomprendenn
lossabenutilizarcorrectamente.Un ejemplo muyfrecuentelotenemosen
los estudiantes de Enseanza Secundaracuando losprofesores les
ensean ma.temticasformalesylespiden que
repitanlasdemostracionesoqU2resuel vanformalmenteproblemas;esta
prctica se traduce en que, con el paso del tiempo,los estudiantes
han aprendido mecnicamente ciertas formas de actuar y de contestar
los ejercicios propias dellenguaje matemtico formalizado,con las
que dan laimpresin de encontrarse en el 4 nivel,cuando en idad estn
muy lejos de ese tipo de razonamiento. Especificidad del lenguaje:
Cada nivel lieva asociado un tipo de lengudje para comunicarse y un
signicado espec:ficonel vocabulario matemtico,de
formaquedospersonilSqueulil:f"'cn lenguajes de diferentesl1C drn
entenderse. POlCj(tlll');'la bra "demostrar" ""J:.'. ,,:.'
ferentesenlosniveles2,,jyIJ,pIJe:, para demostrar una',)rr
tudiantedelnivrl cumple en uno ovanos el ba.star para convencerle;
tUi \'dI te del nivel 3 sabe que derv' (ldJ'F';). caeiones
generales,pero 6stdSsebdsarn en algn ejemplo () en manipuliL
cionesfsicasdelos(1);f Digitalizado por: I.S.C. Hctor Alberto
Turrubiartes Cerino [email protected]
hg.5411[OUCACINNATU1TICAVol.3- No.2Agosto199111GElIi estudiante del
nivel4 har una demostracinformal. Sonevidenteslaslmp]caclonesde
esta propiedad en la forma de comportarselosprolesores
enlasaulas.Con esto, Van Hiele nos avisa de que si queremos que
nuestrOs alumnos nos entlen danrealme!1te,debemos situarnosen su
nivel, en vez de pretender que ellos sesitenenelnuestro.
Continuidad: Nuestra experiencia personalnos dice que el trnsito
entre los ni veles de Van Hele se produce de forma continua
ypausada,pudiendo durar varios aos en el caso de los niveles
3y4_Dado que las caractersticas de cada nivel de razonamiento son
mltiples,esnecesariopreguntarsecmo hay que tratar dlos estudiantes
que presentan i:1dic:os de haber adquiric algunds caractersticas de
un nivel ytam- . bindenohaberadqUiridootras. Localidad: Por
logenerai, unestudiantenose encuentraenelmismoI1lvel de
razonamiento en cualquier rea de la Geometra, pues el aprendizaje
previoylos conocimientos que tenga son un elemento bsico en su
habilidad de razonamiento_ Los que hemos estudiado Matemticas
superiores sabernos que, al enfrentarnos con una nueva rea de
estudio, lo usual es empezar tomando contacto con los eiementos ms
importantes, despusconsuspropiedadesbsicas,a continuacin relacionar
unos elementosopropiedadesconotros,etc.En otras palabras, lo usual
es recorrer (posiblemente de forma muy rpida) los niveles de
VenHiele desde el1 en adelante_Por lotanto,eremos que losniveles de
razoncmiento son de carcter local yque la "localidad" es ms acusada
cuanto ms bajo es el nivel.pues i'!menor nivel de razonamiento
menor es la capacidad de lo alumnos para g 10balizar sus
conocimientos y abarcar un reaampliadelaGeometra. ElModelo de
VanHieleproponea los profesores una secuencia cclica de
cincofasesdeaprendizajeparaayudar alos estudiantes a progresar
desde unnIvelde pensarmento alsiguiente. Bsicamente,estas cinco
fasesconstituyen un esquema para organizar la enseanza.Su carcter
cclico viene dado por el hecho de que cuando los estudiantes, t r a
~recorrer las cinco fases, consiguen:Jcanzarunnivelderazonamiento
superior al que tenan, deben iniciar un nuevo recorrido por las
cinco fasespara conseguir llegar alnivel superior al
actual.Naturalmente, aunque las fases son las mismas para todos los
niveles,los contenidos matemticos, el lenguaje empleado y la forma
de resolver los problemas son diferentes paracada nivel;lo que
permanece es la metodologadetrabajO,perocambia
sucontenidoconcreto.Lasfasesdel Modelo de Van Hiele son
las's-iquientes: Informacin: Al empezar a estudiar un tema nuevo,
elproescr debe informar alos estudiantes sobre cules elCllTIpo de
investigacin en el que van a trabajar y cules van aser losproblemas
que van atratar de resolver.Estafase si rve tambin para que el
profesor a verige los conocimientos previos de sus alumnossobre ese
temay,en caso de que :engan algunos conocimientos organizados, cul
es su calidad yen qu nivel de razonamiento son capaces de
desenvolverselosestudiantes. En todo caso, no hay que despreciar
losconocimientosquepuedanhaber adquiridolosestudiantesdeforma
extra-acadmica,pues sison adecuados deben servir como punto
elepartida ysisonerrneos,elprofe';;i"Jrbe
empezarpor-modificaresosclnTVS. Orientacin dirigida: En la se(J
unda la se los estudiantes exploran el cam00 dC'
investigacinpormediodd:,. que les ha suministrado el pruj(;,.1
materialsueleestarformadopor;1]0 ques de actividades diri(Jidos al
(L:: cubrimiento y aprendizaje de los
Cl"Cptosypropiedadesfundamentalesdel rea de estudio en
cuestin.Estas (J\] 1 vidades deben estar claramente onen- - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - _ . _ - ~ . - . _ ..~ _
.."" Digitalizado por: I.S.C. Hctor Alberto Turrubiartes Cerino
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No.2Agosto199 I
