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INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 81


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página 82 DIVISIÓN DE FRACCIONES

DIVISIÓN DE FRACCIONES

Si se divide una cuarta parte de un pastel a la mitad se obtiene una octava parte del mismo, lo queescrito en simbología matemática es

1 12

4 8÷ =

Lo anterior es lo mismo que

1 2 1 1 1

4 1 4 2 8÷ = × =

De donde se obtiene la regla práctica de la división de fracciones consistente en invertir la segun-da fracción al mismo tiempo que se invierte la operación, es decir, de división se pasa a multiplica-

ción. En ese momento, al ser ya multiplicación, se aplica el procedimiento visto en el capítulo ante-rior.

Ejemplo 1: Dividira c

b d ÷

Solución: Invirtiendo la segunda fracción se invierte también la operación, es decir de división se pasa amultiplicación, esto es

a c a d ad

b d b c bc÷ = × =

De aquí se deduce la peligrosa regla de "multiplicación en cruz" para la división:

Ejemplo 2: Dividir las fracciones2

2

2 10 5

7 10 12 24

a a ax x

a a a

− −÷

+ + +

Solución: Invirtiendo la 2ª fracción, al mismo tiempo que se convierte en multiplicación, resulta:

2 2

2 2

2 10 5 2 10 12 24

7 10 12 24 7 10 5

a a ax x a a a

a a a a a ax x

− − − +÷ = ×

+ + + + + −

Factorizando el primer numerador 2a 2 - 10a (factor común, página 11)

2a 2 - 10a = 2a(a - 5)


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Factorizando el primer denominador que es un trinomio de la forma x 2 + bx + c, página 18):

a 2 + 7a + 10 = (a + 5)(a + 2).

Factorizando el segundo numerador 12a + 24 (factor común, página 11):

12a + 24 = 12(a + 2).

Entonces:

2 2

2 2

2 10 5 2 10 12 24

7 10 12 24 7 10 5

a a ax x a a a

a a a a a ax x

− − − +÷ = ×

+ + + + + −

2 5 12 2

5 2 5

a( a ) ( a )

( a )( a ) x( a )

− += ×

+ + −

( )( ) ( )

2 125

a

a x=

+

=24

5

a

ax x=

+

Ejemplo 3: Dividir las fracciones3

2 2

8 1 9

4 1 4 12 5

x x

x x x

− −÷

− + +


3 3 2

2 2 2

8 1 9 8 1 4 12 5

4 1 4 12 5 4 1 9

x x x x x

x x x x x

− − − + +÷ = ×

− + + − −

Factorizando el primer numerador 8 x 3 + 1 (suma de cubos, página 27):

8 x 3 + 1 = (2 x + 1)(4 x 2 - 2 x + 1)

Factorizando el primer denominador 4 x 2 - 1 (diferencia de cuadrados, página 16):

4 x 2 - 1 = (2 x + 1)(2 x - 1)

Factorizando el segundo numerador que es un trinomio de la forma ax 2 + bx + c (página 20):

4 x 2 + 12 x + 5 = (2 x + 1)(2 x + 5)


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Entonces:

3

2 2

8 1 9

4 1 4 12 5

x x

x x x

− −÷ =

− + +

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )22 1 4 2 1 2 1 2 5

2 1 2 1 9

x x x x x

x x x

− + + + += ×

− + −

( ) ( )24 2 1 2 5

9

x x x

x

+ + +=

−

3 28 24 12 5

9

x x x

x

+ + +=

−

Ejemplo 4: Dividir las fracciones2 2

2 2

2 3 2 3

2 3 2 3

ab a a b a

ab b ab b

+ +÷

+ −


2 2 2 2

2 2 2 22 3 2 3 2 3 2 32 3 2 3 2 3 2 3ab a a b a ab a ab bab b ab b ab b a b a

+ + + −÷ = ×+ − + +

Factorizando el primer numerador 2ab + 3a (factor común, página 11)

2ab + 3a = a(2b + 3)

Factorizando el primer denominador 2ab + 3b (factor común, página 11)

2ab + 3b = b(2a + 3)

Factorizando el segundo numerador 2ab 2 - 3b 2 (factor común, página 11)

2ab 2 - 3b 2 = b 2(2a - 3)

Factorizando el segundo denominador 2a 2b + 3a 2 (factor común, página 11):

2a 2b + 3a 2 = a 2(2b + 3)


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Entonces:

b

( )( )

( )( )

22 2

2 2 22 3 2 32 3 2 32 3 2 32 3 2 3a b b aab a a b a

ab b b aab b a b+ −+ +÷ = ×

+ +− +a

( )

( )

2 3

2 3

b a

a a

−=

+

2

2 3

2 3

ab b

a a

−=

+


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EJERCICIO 20

Dividir las siguientes fracciones:

1) 2)15 21 4230 48 15 24

a

a a

−÷

+ +

4 2 2

5 4 3 2

3 3

3 11 2 6 22

a a a a

a a a a a

+ +÷

+ + + +

3) 4)2

2 3 5

6 13 6 14 21

3 2 35

x x x

x x x

− + −÷

−

3 2

2

27 6 9

30 905 15 45

x x x

x x x

+ + +÷

−− +

5) 6)2 2

2 2 2

25 20 4 25 4

5 3 2

a a a

a a ab b

− + −÷

+ − +

6

3 2 2 2

2 10 3 15 14

3 15 8 12

bc c b a

b b a bc a b

+ − −÷

+ +

7) 8)3 2 2 3 2 4 2

2 3 2

64 48 12 3

16 12

a a b a b a b

a a b

+ − +÷

−

2 2

2 4 4

2 3 2 15 27

6 4 12

x x x x

x x a x a

− − − +÷

+ − +

9) 10)2 2

2

4 25 100

21 632 15

a a

axy xya a

− +÷

−− −

2 2 2

2 2 2 2

2 6 3 2 6

4 3 2

a b ab a ab a b

a ab b a ab b

− − − +÷

+ + + +

11)3 2 2 2 2

2

8 5 10 20

2 6 3 20

y ab y ab y ab

xy x y a b

− + +÷

− + −

12)2 2 2 2

3 2 3 2

5 5 5 10

10 10 10 20

a b ab a b ab

a a b a a b

− −÷

+ +


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FRACCIONES COMPLEJAS

La fracción tiene el significado de que hay dos partes de las cinco en que se dividió la uni-25

dad. Sin embargo, la línea de fracción también tiene el significado de "división", o sea que quiere2

5

decir 2 ÷ 5.

Visto a la inversa, la división 3 ÷ 7 se puede escribir como . De manera que si se divide3

7

, cuyo resultado es , también se puede escribir comoa c

b d ÷

ad

bc

a

bc

d

que obviamente equivale a , es decir quead

bc

.

a

ad bc bc

d

=

Tratando de descubrir alguna regla práctica para obtener el resultado de esta fracción compleja,surge la conocida "ley de la herradura", llamada así por semejanza con la figura que se forma almultiplicar los extremos, por una parte, y los medios, por otra.

Debe quedar, por esta razón, bien claro que la "ley de la herradura" solamente puede emplearsecuando existe una sola fracción en el numerado y una sola fracción en el denominador. O lo que esexactamente lo mismo, únicamente cuando la operación principal es la multiplicación, tanto en el


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1ª OPCIÓN:

Paso 1: Hacer la suma de fracciones indicada en el numerador y/o en el denominador;

Paso 2: Una vez reducido el numerador y el denominador a una sola frac- ción, aplicar la ley de la herradura.

numerador como en el denominador, no la suma. De manera que para reducir una fracción complejaa una fracción simple, pueden seguirse dos caminos, es decir, se tienen dos opciones:

Ejemplo 1: Reducir3

21

23

aa

b

b

+

+

Solución: La operación principal del numerador es la suma, lo mismo que en el denominador, por lo tantono se puede utilizar la ley de la herradura.

Realizando las sumas indicadas, tanto en el numerador como en el denominador, sacando en

ambos casos su respectivo común denominador (ver página 40), se obtiene:

( ) ( )

( ) ( )

2 3 13

2 21 3 2 1 123 3

b a aaa

b b

bb

++

=+

+


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6

26 1

3

ab a

bb

+

=+

En este momento ya se tiene una sola fracción en el numerador y una sola fracción en el denomi-nador, por lo que ya se puede aplicar correctamente "la ley de la herradura":

( )

( )

( ) ( )

( )

3 6 3 6 1

2 6 1 2 6 1

ab a a b

b b b b

+ += =

+ +

3

2

a

b

Ejemplo 2: Reducir2

5 1

6 32

5

x

y

y y

x

−

−

Solución: En el numerador existen dos fracciones, lo mismo que en el denominador, por lo tanto no se puede utilizar la ley de la herradura. En otras palabras, la operación principal del numerador esuna resta, lo mismo que en el denominador:

Realizando las restas indicadas, tanto en el numerador como en el denominador, sacando en

ambos casos su respectivo común denominador (ver página 58), se obtiene:

( ) ( )

( ) ( )2 2

1 5 2 15 1

6 3 6

2 5 1 25 5

x y x

y y

y x y y y

x x

−−

=−

−


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2ª OPCIÓN:

Paso 1: Se multiplica el numerador y denominador (propiedad de las fracciones) por el común denominador de todos los denominadores parciales

que aparezcan; al realizar la multiplicación anterior desaparecen los

denominadores parciales, quedando ya la fracción como fracción sim-

ple.

Paso 2: Factorizar para simplificar.

2

5 2

65 2

5

x y

y

xy y

x

−

=−

En este momento ya se tiene una sola fracción en el numerador y una sola fracción en el denomi-nador, por lo que ya se puede aplicar correctamente "la ley de la herradura":

( )

( )( )

( ) ( )25 5 2 5 5 2

6 5 26 5 2

x x y x x y

y y x y y xy y

− −= =

−−2

5

6

x

y

Otra opción válida para reducir las fracciones complejas a una fracción simple es:

Ejemplo 1: Reducir3

21

23

aa

b

b

+

+

Solución: El común denominador de los denominadores parciales (del 2b y del 3) es 6b. Así que multipli-cando todo el numerador y todo el denominador por 6b, resulta

2

6 318 32

1 12 26 2

3

ab a

ab ab

b bb b

⎛ ⎞+⎜ ⎟ +⎝ ⎠ =

+⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠


11/12


( )

( )

3 6 1

2 6 1

a b

b b

+=

+

3

2

a

b

Que es el mismo resultado obtenido por la otra opción en el ejemplo 1, página 89.

Ejemplo 2: Reducir2

5 1

6 32

5

x

y

y y

x

−

−

Solución: El común denominador de los denominadores parciales (del 6 y, del 3 y del 5 x) es 30 xy. Así quemultiplicando todo el numerador y todo el denominador por 30 xy resulta

2

2 32

5 130

6 3 25 10

30 12230

5

x xy

y x xy

xy y y xy y

x

⎛ ⎞−⎜ ⎟

−⎝ ⎠ =−⎛ ⎞

−⎜ ⎟⎝ ⎠

( )( )2

5 5 2

6 5 2

x x y

y x y

−=

−

= 25

6

x

y

Que es el mismo resultado obtenido por la otra opción en el ejemplo 2, página 90.


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EJERCICIO 21

Reducir las siguientes fracciones complejas por cualquiera de los dos métodos explicados:

ojo

1) 2)22

a a

b

b

−

−

2

2

18 21

214

24

a a

b

bb

a

+

+

3) 4)

2

3 2

45

5

4

bxab

a a

x b

−

−

2 3

2 3

2 2

8 5

3

6 5

4

a a b

y y

b y ab y

x x

+

+

5) 6)

3 1

5 65

29

a

cc

a

+

+

2

2

5 10

3 35 10

a a

b b

a a

b b

−

−

7) 8)

5 1

2 25

1 1

ba ab

a a

+

+

− −

3

22

3

a

bb

a

+

+

9) 10)

5

22

5

y

x x

y

+

+

2

2 2

12 5

12 5bb

a b

ab b

−

−

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