3. Helygörbék Eddig olyan áramköröket vizsgáltunk, amelyekben valamennyi elem jellemző értéke (ellenállása, induktivitása, kapacitása) állandó volt. Így egy adott gerjesztés hatására a kialakuló áramok illetve feszültségek időben állandó (egyenáramú hálózatok), illetve állandó amplitúdójú, időben szinuszosan váltakozó, állandó frekvenciájú mennyiségek (váltakozó áramú hálózatok). A továbbiakban azt vizsgáljuk meg, hogy időben szinuszosan váltakozó gerjesztés esetén milyen következményekkel jár, ha az áramkör valamelyik elemének jellemzője változik. A vizsgált áramkör minden esetben lineáris, koncentrált paraméterű, invariáns hálózat.

A váltakozó áramú hálózatok vizsgálatát a komplex számításmód alkalmazásával végeztük. Ennek során minden szinuszosan változó mennyiséghez hozzárendeltünk egy fázort, amelyeket a komplex számsíkon ábrázolhattunk (fázorábra). Ez az áramköri elemek egy adott értéke esetén kialakuló jellemzőket jeleníti meg. Egy változó áramköri jellemző – egy változó valós paraméter – hatására az áramkör valamennyi árama és feszültsége megváltozik. Ha energiatároló elem (tekercs vagy kondenzátor) található az áramkörben, akkor nemcsak a kialakuló áramok, feszültségek nagysága (csúcsértéke illetve effektív értéke) fog megváltozni, hanem a fázishelyzetük – pl. a feszültség és áram időfüggvények közötti fáziseltérések nagysága – is változhat. Természetesen ennek megfelelően változni az egyes fázorok helyzete, tehát a fázorábra is. A helygörbe a komplex számsíkon ábrázolt olyan görbe, amelyet egy valós válto-zójú komplex függvény fázorjának (vektorának) végpontja ír le, mialatt a valós változó az értelmezési tartományának valamennyi lehetséges értékét folyamatosan felveszi. Először azt vizsgáljuk meg, hogy az áramköri jellemzők változásának leírására, ábrázolására milyen lehetőségeink vannak, majd részletesen tárgyaljuk a villamos jellemzők meghatározásának, ábrázolásának különböző módjait. Külön elemezzük a gerjesztés frekvenciájának változása miatt létrejövő jelenségeket. 3.1. Az impedancia- és az admittancia-diagram

R0 2·R0

Ze

Lp = 0 p = 1 p = 2

jXLR0+jXL

2·R0+jXL

p-skála 210p→∞

Z(p)

Re Z

Im Z

p·R0

a) b) 1. ábra Változó paraméterű hálózat a) kapcsolási rajz b) az impedancia-diagram

Vizsgáljuk meg, hogy az ellenállás értékének változásakor (1a ábra), hogyan változik

a kör impedanciája. A váltakozó áramú hálózatok tárgyalásánál megismertek szerint az impedancia értéke felírható

LjRppZ oe ω+⋅=)( alakban. Tehát olyan komplex számmal adható meg, amelynek képzetes része állandó, és csak a valós része változik. Ezért az impedancia vektorok (komplex számok) ábrázolásakor (b

1

ábra) a vektorok végpontja egy – a valós tengellyel párhuzamos - egyenesen mozog. Az azonos tulajdonságú pontok halmazát mértani helynek nevezzük. Tehát az impedancia-diagram az impedancia-vektor végpontjainak mértani helye a komplex síkon.

Nyilvánvaló, hogy a helygörbe egyes pontjaihoz a változó elem (pl. ellenállás) külön-böző értéke tartozik. A változó érték jelöléséhez bevezetjük a paramétert, amely a változónak egy alapértékhez (Ro) viszonyított arányát adja meg:

p RRo

= .

Tehát a paraméter azt mutatja meg, hogy a változó értéke a választott alapérték hányszorosa. A paraméterek értékét az impedancia helygörbével párhuzamos egyenesen tüntetjük fel. Ezt - a lineáris léptékkel rendelkező - egyenest paraméter-skálának (p-skála) nevezzük.

A kör áramának értékét az Ohm-törvény alkalmazásával határozhatjuk meg:

)()(

)( pYUpZ

UpI ee

⋅==

Tehát a feszültséget az impedancia reciprokával, az admittanciával kell szorozni, ezért az admittancia változását is egy helygörbével ábrázolhatjuk, amit admittancia-diagramnak nevezünk. Ebből következik, hogy minden impedancia vektorhoz hozzárendelhetünk egy megfelelő inverz (reciprok) admittancia vektort. Vizsgáljuk meg, hogy ezt a hozzárendelést hogyan kell elvégezni.

A komplex inverzió az a matematikai művelet, amellyel egy vektort invertálunk, azaz a vektorhoz a megfelelő inverz (reciprok) vektort hozzárendeljük.

Röviden foglaljuk össze a komplex inverzió legfontosabb jellemzőit az ϕ

ϕj

j eZeZpZ

pY −⋅=⋅

==11

)(1)(

összefüggés alapján. Eszerint egy vektor invertálása két lépésben történhet (2. ábra):

1./ Tükrözzük a vektort a valós tengelyre (a ’+ϕ’ szögből ’-ϕ’ szög lesz).

2./ Képezzük a vektor hosszának a reciprokát.

Az impedancia-helygörbe a valós tengellyel párhuzamos egyenes, tehát a tükrözött görbe is a valós tengellyel párhuzamos egyenes lesz. A reciprokképzés során az origóhoz (inverziós centrumhoz) legközelebb lévő pont (p=0) kerül az origótól legtávolabbra. Tételezzük fel, hogy XL egységnyi (XL=1), ezért a reciproka is 1, tehát a p=0 pont helye nem változik (’A’ pont). Az OA szakaszra, mint átmérőre, rajzoljunk egy félkört. A tükör-kép helygörbe p=1 pontjához (C pont) húzott vektor a félkört a ’B’ pontban metszi.

-ϕϕ

CB

tükörképZ(p)p=2p=1p=0

p=2p=1p=0

Re Z

Z(p) jXL

Im

0

A

2. ábra

2

Mivel az OAC és OAB derékszögű háromszögek hasonlóak, felírhatjuk az oldalak arányára:

OCOA

OAOB

= .

Feltételeztük, hogy OA =1, ezért OC

OB 1= .

Az OC a p=1 paraméterhez tartozó impedancia nagyságát jelenti, ezért ennek reciproka az admittanciát adja meg.

Az inverzió eredményét a 3. ábrában foglaltuk össze. Az impedancia helygörbe egy általános helyzetű félegyenes (0<p<∞), tehát az admittancia helygörbe egy origón átmenő félkör lesz. A félkörön a különböző paraméterű pontok elhelyezkedése nem lesz lineáris, de az adott ponthoz tartozó paraméter meghatározá-sához a tükrözött impedancia helygörbe

paraméter-skálaként felhasználható, mivel lineáris léptékű. Ezzel párhuzamos bármely egyenes, azaz a kör p=∞ paraméterű pontjába húzható érin-tővel párhuzamos bármely egyenes lehet paraméter-egyenes.

p=2

p-skála

Re

p→∞ p=1

p=1 p=0

p=∞

Y(p)

Z(p)

Im

3. ábra

=2=0

Y(1)

Y(2)

Y(0)

Z(2) Z(1) Z(0)

p p

p=∞

(p=∞)

B’

A’

B

A inverz kör

tükrözött kör

K

B

A

K tükrözött egyenes

inverz egyenes (p=0)

p=∞

b)

a)

a/1

a

Im

Im

Im

Re

Re

Re

(p=∞)

A félkör átmérőjét az határozza meg, hogy milyen admittancia-léptéket választunk. Természe-tesen az impedancia és az admittancia léptéke egymástól függetlenül megválasztható.

A komplex inverzió szabályait az alábbi-akban foglalhatjuk össze:

1./ Az origón (inverziós centrumon) átmenő egyenes inverze a tükörkép-egyenes (4a ábra). A reciprok-képzés miatt a inverziós centrumban lévő pont megfelelője az inverz helygörbe végtelenben lévő pontja. Az inverz egyenes nem rendelkezik lineáris paraméter-skálával, ha az eredeti egyenes paraméterezése lineáris.

2./ Általános helyzetű egyenes inverze origón átmenő kör (4b ábra). A reciprok-képzés miatt az egyenes végtelenben lévő pontja (jelen esetben a p=∞ paraméterű pont) kerül az inverzió centrumába (az origóba), és az egyenesnek az origóhoz legközelebbi pontja lesz a kör origótól legtávolabbi pontja. Ez tehát a kör átmérőjének két végpontja, aminek felezési pontja lesz a kör középpontja.(A kör már ez alapján is megrajzol-ható.) Tehát a kör középpontja rajta lesz az origóból a tükrözött egyenesre bocsátott merő-legesen.

c)

4. ábra

3

Ebből következik, hogy az egyenes egy pontjának ( a vektor) invertálásával (1/ a vektor), és a húrfelező merőleges megszerkesz-tésével is meghatározható a kör középpontja (K). A paraméter-skála elkészítéséhez egy további pontra is szükség van

3./ Általános helyzetű kör inverze általános helyzetű kör (4c ábra). Az inverzió első lépése tükrözés a valós tengelyre. A tükrözés előtt megrajzoljuk az origóból induló, és a kör közép-pontján átmenő egyenest, valamint egy szelőt is húzunk a körhöz (A és B pontok). A tükrözést követően ezek a tükrözött kör A’ és B’ pontjai. Rajzoljuk meg az origóból a tükrözött körhöz húzható érintőket. Nyilvánvaló, hogy ezek az inverz körnek is érintői lesznek, mert a reciprokképzés során a szögtartomány nem változhat. Az inverz kör középpontja rajta lesz az origót a tükrözött kör középpontjával összekötő egyenesen.

Az A’ ponthoz tartozó vektor reciprok vektorának végpontja az A pontban van, illetve a B’ ponthoz tartozó vektor végpontja a B pont. Az eredeti körön a B pont volt közelebb az origóhoz, a reciprok körön viszont az A pont lesz közelebb, mert a nagyobb szám reciproka lesz kisebb. A két pont alapján megszerkesztett felező merőleges egyúttal az inverz kör húrfelező merőlegese, ami a tükrözött kör középpontjához az origóból húzott egyenesen kijelöli az inverz kör középpontját. Ennek ismeretében az inverz kör már megrajzolható. Természetesen a paraméter-skála elkészítéséhez itt is szükség van még egy pontra. Példa: Szerkesszük meg a komplex inverzió szabályainak alkalmazásával az 5. ábrán megadott kapcsolás eredő impedancia és admittancia diagramját ω = 2000 rad/s körfrekvencia esetén, ha a paraméter értéke a ∼

CR p·L0

0 ≤ p ≤ ∞ tartományban változik.

R = 2 Ω L0 = 1 mH C = 250 µF 5. ábra

Megoldás: Az energiatároló elemek reaktanciája a megadott körfrekvencián:

Ω=⋅=⋅= − 2102000 300 LX L ω Ω=

⋅⋅=

⋅=

− 2

10250200011

6CX C ω

Az első lépésben a párhuzamosan kapcsolt ellenállás és induktivitás admittanciáit kell össze-gezni, amihez az induktivitás admittancia-diagramját kell meghatározni. Az induktivitás impedancia függvénye pjpZ L ⋅⋅= 2)( , a képzetes tengely pozitív részébe eső, félvégtelen

egyenes (6a ábra). Ennek reciproka az p

jpjpZ

pYL

L5,0

21

)(1)( −=

⋅⋅== , ami a képzetes

tengely negatív részébe eső félvégtelen egyenes. Ennek a p=0 pontja van a ∞-ben, és a p=∞

pontja kerül az origóba. Ha ehhez hozzáadjuk az ellenállás reciprokát - S 5,0211

===R

YR -,

akkor ennyivel tolódik el az egyenes a valós tengely irányában (6b ábra). Így megkapjuk )( pYp -t, a párhuzamosan kapcsolt ágak eredő admittancia diagramját.

Ennek reciproka a )( pZ p impedancia-diagram, amely a párhuzamosan kapcsolt ellen-állás és induktivitás eredő impedanciáját adja meg. Ez egy félkör, tehát a képzetes tengellyel párhuzamos félvégtelen egyenes inverze a valós tengelyen nyugvó félkör.

Az eredő impedanciát úgy kapjuk meg, hogy ehhez hozzáadjuk a vele sorba kapcsolt kapacitás impedanciáját, amely Ω−= 2jZC . Ezzel a félkört eltoljuk a képzetes tengellyel

4

párhuzamosan (6c ábra). Így egy általános helyzetű kört (félkört) kapunk, amely a megadott áramkör eredő impedanciájának helygörbéje.

I,A

p=∞(p=0)

p=1p=1

p=0 -2 Ω

(p=0)

-0,5 S

2 Ω

-1 Ω

2 Ω

1 Ω

2 Ω

Re Z Re ZRe Y

Im Z

Im ZIm Y

p=0

p=0

p=1 p=1

p=1

p=∞

(p=∞)

p=∞p=∞

0,5 SZL(p)

YL(p) Yp(p)

Zp(p)

Ze(p)

0,5 S

a) b) c) 6. ábra

Az eredő admittancia helygörbéjét ennek inverziójával kapjuk meg (7. ábra). Az ábrán – az inverziós lépések jobb követhetősége érdekében – feltüntettük a )( pZ p helygörbét is.

A képzetes tengelyen nyugvó pont (p=0) inver-ze is a képzetes tengelyen lesz (az admittancia-lépték most is ez előzőekben használttal megegyező). Mivel az impedancia helygörbének érintője a képzetes tengely, ezért az inverz körnek is érintője lesz (l. a 4c ábrát!). Tehát az inverz kör középpontja rajta van a p=0 pontban a képzetes tengelyre állított merőlegesen. Másrészt rajta van az eredeti kör középpontján áthaladó egyenes tükörképén is, így a kör középpontja a két egyenes metszéspontja (L pont).

A másik két pont helyének meghatározásához húzzunk egyenest az impedancia-diagram p=1 paramé-terű pontján keresztül, amely most áthalad a p=∞ paraméterű ponton is. Ezt tükrözve a valós tengelyre, a tükrözött egyenes metszi a kört, és a metszéspontok kijelölik a keresett pontokat. Vigyázzunk, mert – a

reciprokképzés miatt – az origóhoz közelebbi pont (p=1) kerül az origótól távolabbra az inverz görbén (l. a 4c ábrán az A és B pontokat!). A keresett helygörbe a kör vastagon kihúzott szakasza, tehát egy 0,5 S átmérőjű háromnegyed kör. Ezt úgy kapjuk meg, hogy a p=0 pontból kiindulva haladunk a görbe mentén a p=∞ pontig úgy, hogy közben a p=1 ponton is áthaladjunk (vastag vonallal jelzett szakasz).

0

(2 Ω)

Im Y

p=0

p=0

p=1

p=1

p=∞

p=∞

0,5 S

Ye(p)

Ze(p)

0,5 S

K

L

Re Y

7. ábra

Tehát a helygörbe a körnek az a szakasza, amelyet akkor érintünk, ha a p=0 pontból a p=∝ pontba jutunk úgy, hogy közben a harmadik (például p=1 paraméterű) ponton is áthaladunk.

p=∞ p=0

Im Y

0 2 S

p=1 Re Y

1 S

Példa:

5

-1 S

8. ábra

Határozzuk meg a 8. ábrán megadott eredő admittancia-diagram alapján az áramkör felépítését, és az elemek értékét, ha ω = 2000 rad/s! Megoldás: Az admittancia diagramot bontsuk fel két összetevőre (9a ábra). Az egyik egy konstans ( S 11 jY −= ) míg a másik az )(2 pY félkör, amely a változó paramétert tartalmazza, tehát az eredő admittancia a kettő összege. Az admittanciák párhuzamos kapcsolás esetén összegződnek, tehát a kapcsolás két párhuzamos ágból áll. Az egyik ág impedanciája

Ω== 11

11 j

YZ , amiből az induktivitás értéke: H 500H

20001 µ

ω=== LXL .

A másik ág admittancia diagramját megrajzoltuk (9b ábra), és az inverziót elvégeztük. A )(2 pZ a képzetes tengellyel párhuzamos egyenes, tehát ez az ág egy soros RC-tag, ahol a kondenzátor kapacitása változik.

Mivel Ω−=+

== 5,05,0S1

11

)1(1)1(

22 j

jYZ , ezért az ellenállás értéke R = 0,5 Ω, a

kapacitás értéke pedig F 10F 502000

11 3

00

−=⋅

=⋅

=,X

CCω

.

10. ábra

∼p·C0

R L

9. ábra b) a) (p=0)

p=1 p=∞

Re

Re Y

Im Y

p=0

p=∞

2 S

-1 S

p=1

Im

p=∞p=0

p=1

Y2(p)

Y2(p)

Z2(p)Y1

Az áramkör felépítése a 10. ábrán látható.

A példák alapján összefoglalóan megállapíthatjuk:

Ha a passzív hálózatrész több elemet tartalmazó vegyes kapcsolás, akkor az eredő admittancia diagramját általában több lépésben – az inverziós szabályok ismételt alkalma-zásával - határozhatjuk meg. Ezek a lépések lehetnek összegzések vagy komplex inverziók is. Ha egy diagramhoz egy vektor hozzáadunk, akkor a diagram alakja nem változik, csak eltolódik a vektornak megfelelően.

Az komplex inverzió szabályaiból következik, hogy a helygörbék alakja kör vagy egyenes. Történhet olyan összegzés is, aminek következtében az eddig általános helyzetű kör átmegy az origón. Természetesen ennek inverze egyenes lesz. Ezek alapján kimondhatjuk: ha az áramkörben csak egy elem értéke változik, akkor a helygörbe egyenes vagy kör lehet. A továbbiakban mi csak ilyen eseteket vizsgálunk.

Ilyenkor viszont nem szükséges a fenti – sokszor körülményes, hosszadalmas – lépé-senkénti szerkesztést (komplex inverzió) alkalmaznunk. Ugyanis a három pontja ismeretében egyértelműen megállapítható a helygörbe alakja (egyenes vagy kör), és ez alapján a szerkesztés elvégezhető. A következő pontban ezt részletesen tárgyaljuk. Ellenőrző kérdések:

6

1./ Milyen következményekkel jár az energiatároló elemek reaktanciának változása szinuszos gerjesztés esetén? 2./ Hogyan ábrázolhatjuk a változó mennyiségeket? 3./ Mi a paraméter, és hogyan értelmezhető? 4./ Mi az impedancia-diagram? 5./ Mi az admittancia-diagram? 6./ Mi a komplex inverzió, és mik a szabályai? 7./ Hogyan szerkeszthető meg az összetett áramkörök eredő impedancia-diagramja? 8./ Hogyan szerkeszthető meg az összetett áramkörök eredő admittancia-diagramja? 9./ Milyen jellegű helygörbe fordulhat elő, ha csak egy elem értéke változik? 3.2. Az áram-munkadiagram

Ha az eddig vizsgált áramkörre egy állandó amplitúdójú, szinuszosan váltakozó feszültséget előállító generátort kapcsolunk (11a ábra), akkor a körben szinuszosan váltakozó áram alakul ki. Az ennek megfelelő fázorábra a 11b ábrán látható. I

UL

UL

p·R0 UR

Az UL = I·XL alapján nyilvánvaló, hogy a kör árama UL-el arányosan fog változni, tehát az ellenállás értékének növelésekor csökken. Az áram vektorának helyzete viszont az UR-el megegyező (az ellenállás áramá-nak és feszültségének fázisszöge azonos). Ha R=0 (p=0), akkor UL=U, és az áram 90o-kal késik az U feszültséghez képest (12a ábra).

a)

I

UL

U

UR

Reϕ

Im

Ha az ellenállás értékét növeljük, akkor a kör impedanciája nő, árama csökken és a ϕ fázisszög is kisebb

lesz. A kialakuló áram az I p UZ p

U Y p( )( )

( )= = ⋅ b)

összefüggés alapján az impedancia reciprokával az ún.

admittanciával arányos. Vegyük észre, hogy az áram-munkadiagram csak az U konstans szorzóban tér el az admittancia diagramtól! Ha az U feszültséget nulla fázisúnak tételezzük fel (időfüggvényének fázisszöge nulla), akkor fázora a valós tengelyen helyezkedik el. Ha az áramléptéket az

11. ábra

I(1)

UI(2)

a)

Im

I(p)

I(0)

Re

p-skála

p = 2

p = 1

p = 021

p = ∞

0

I(p)

I(0)

U Re

Im

b)12. ábra

[ ] ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

cmSV

cmA

YI aUa

7

összefüggés alapján határozzuk meg, akkor az admittancia- és az áram-diagram ugyanaz a helygörbe lesz a komplex számsíkon, csak a léptékben különböznek! A 12b ábrán az ennek megfelelő helygörbét ábrázoltuk. Az U feszültségfázor ábrázolása csak tájékoztató jellegű (nul-la fázisú mennyiség). Így feszültség-léptéket sem definiálunk (az U fázor hossza tetszőleges).

Az áram-munkadiagram az áramfázor végpontjainak mértani helye, amely a helygörbét és a hozzárendelt paraméter-skálát jelenti.

Az áram-munkadiagram meghatározására a következő lehetőségek állnak rendelkezésre:

1./ Felírjuk a függvény komplex alakját, és ez alapján megállapítjuk („kitaláljuk”), hogy milyen görbe egyenlete (l. később). Ez a módszer csak egyszerűbb esetekben alkalmazható (ha a helygörbe egyenes vagy kör), és megfelelő matematikai ismereteket igényel.

2./ A függvény egyenletébe behelyettesítve az adott (p1 ≤ p ≤p2 ) tartomány több pontjában, kiszámoljuk a függvény értékét (pl. áramot). A kapott értékeket a komplex számsíkon ábrázolva az összekötő görbe megadja a keresett helygörbét. Mindig használható módszer, de sok számolással jár (l. számítástechnika!).

3./ A komplex inverzió szabályainak alkalmazásával megszerkesztjük a diagramot (részletesen megtalálható az előző pontban). A gyakorlatban ritkán használjuk.

4./ A diagramot számítással határozzuk meg, azaz 3 pontban az áram értékét meghatározzuk. Az egyenes 2 pontja, a kör 3 pontja ismeretében rajzolható meg. Ez az áram-munkadiagramok megrajzolásánál kettő illetve három áramfázor (komplex szám) meghatározását jelenti. A továbbiakban csak ezzel a módszerrel foglalkozunk!

Mivel az általunk vizsgált áramkörökben csak egy elem értéke változik, ezért a helygörbe vagy egyenes, vagy kör lehet. Tehát három pont ismeretében egyértelműen eldönthetjük, hogy a diagram egyenes vagy kör. Ehhez ki kell választani azt a három pontot (paraméter értéket), amelyeknél kiszámoljuk az áram komplex értékét.

A p=0 és p=∞ paraméter esetén mindig számolunk (még akkor is, ha utóbbi értéket a paraméter ténylegesen fel sem veszi). Ezekben az esetekben a változó elem – jellegétől függő-en - rövidzárral illetve szakadással helyettesíthető, ami egyszerű számolást tesz lehetővé. Másrészt a paraméter-skála megszerkesztéséhez a p=∞ paraméterű pontra szükségünk van. Ha a valós paraméter ennél szűkebb tartományban változik (pl. 0 ≤ p ≤ 3), a helygörbén az értelmezési tartományt utólag – a paraméter-skála segítségével – jelölhetjük ki.

A harmadik pont egy tetszőleges paraméterű pont lehet, de a kiválasztásánál itt is a célszerűség a meghatározó (az áram komplex értékét minél egyszerűbben meghatározhassuk). Általában a p=1 (esetleg p=2 vagy p=0,5) paraméterű pontban számolunk. Ez a pont a paraméter-skála léptékének elkészítéséhez szükséges.

Ha a három pont egy egyenesbe esik, akkor a helygörbe nyilvánvalóan egyenes. Egyéb esetekben a húrfelező merőlegesek szerkesztésével a kör középpontját meghatározhatjuk, így a kör megrajzolható. Számos esetben a három pont ábrázolása után – a pontok elhelyezkedése alapján – a kör középpontja közvetlenül megállapítható, tehát a húrfelező merőlegesek szerkesztésére nincs szükség!

Ismételten felhívjuk a figyelmet arra, hogy a helygörbe a körnek az a szakasza, amelyet akkor érintünk, ha a p=0 pontból a p=∞ (vagy pmax) pontba jutunk el úgy, hogy közben a harmadik ponton (pl. p=1) is áthaladunk.

8

A diagramból közvetlenül leolvashatjuk az áram nagyságát és a fázisszögét, amely megadja, hogy mekkora szöggel késik az áram időfüggvénye a generátor feszültségéhez (U) képest. Ugyanakkor az ehhez tartozó paraméter értékét még nem ismerjük. Ha az ellenállás az impedanciának lineáris függvénye, akkor az impedancia-diagram lineáris paraméter-skálaként használható (l. a 2. és 3. ábrákat). A kör p = ∞ paraméterű pontjához húzható érintő adja meg az impedancia-diagram illetve tükörképének irányát. Ez a tapasztalatunk általánosítható:

A paraméter-egyenes a helygörbe p = ∞ pontjához húzott érintővel párhuzamos egyenes. (12b ábra).

Egy adott ellenállás értékhez (paraméterhez) tartozó pont helyének a helygörbén történő meghatározására szolgál a paraméter-skála, amely egy skála-beosztással ellátott paraméter-egyenes. Az egyenes önmagával párhuzamosan bármikor eltolható, így a skála-osztás tetszőlegesen nagyítható vagy kicsinyíthető.

A paraméter-skála megrajzolásának a menete a következő (13. ábra):

1./ Húzzunk egy egyenest a helygörbe p = ∞ pontjába húzható érintővel párhuzamosan.

2./ Húzzunk segédegyenest a p = ∞ pontból a helygörbe p = 0 pontján keresztül, amely kijelöli a p = 0 pontot (A) a paraméter-egyenesen.

3./ Húzzunk segédegyenest a p = ∞ pontból a helygörbe p = 1 pontján keresztül, amely kijelöli a p = 1 pontot (B) a paraméter-egyenesen.

4./ A paraméter-skála lineáris, tehát a p = 0 és a p = 1 pontok helyének ismeretében az egye-nesen a lineáris skálaosztást elkészíthetjük.

A fenti egyenessel párhuzamos bár-mely egyenes paraméterskálaként használ-ható! Például keressük meg a helygörbén a p = 1 5, paraméterű pont helyét!

Az először megrajzolt paraméter-skálán a p = 1 5, pontot nem tudjuk kijelöl-ni, mert a rajzon erre nincs elegendő hely. Mivel a p = ∞ pontba húzható érintővel párhuzamos bármely egyenes felhasznál-ható paraméter-egyenesként, ezért a p-skála osztását kicsinyíthetjük a p = ∞ ponthoz közelebb húzott párhuzamos egyenes felvételével. Ezen a paraméter-skálán az

′ ′A B másfélszerese jelenti a p = 1 5, para-méterű pont helyét ( ′C pont). A p = ∞ pontból ezen a ponton keresztül kell húznunk egy segédegyenest, amelynek a helygörbével adódó metszéspontja jelenti a diagram p = 1 5, paraméterű pontját (az ehhez tartozó áram-fázort ábrázoltuk).

11,5

0

0

A

p=∞

p=1

B

B’ C’ A’

1

1 1,5

p=1,5

U

I

( )pI

Re I

Im Ip-skála

p-skála

p-skála

0

p=0

13. ábra

A paraméter-skála kicsinyítését, a p = ∞ ponthoz közelebb húzott párhuzamos egye-nest megrajzolhattuk volna a valós tengely feletti részen is (tkp. középpontos tükrözés a p=∞ paraméterű pontra). Ennek a megoldásnak előnye, hogy a paraméter-skála a helygörbén kívül helyezkedik el, így áttekinthetőbb marad az ábra. Az egyes paramétereknek megfelelő pontok helyét a segédegyeneseknek a p=∞ ponton keresztül történő meghosszabításával jelölhetjük ki ezen a paraméter-egyenesen.

9

Példa: Rajzoljuk meg a 14. ábrán látható áramkör léptékhelyes áram-munkadiagramját!

U = 60 V ω = 1000 rad/s Ie

I2

I1 R2 p·C0

R1

LR1 = 20 ohm R2 = 10 ohm L = 10 mH Co = 50 µF

0 ≤ p ≤ 5 U

A diagram alapján határozzuk meg a p paraméter értékét Ie = 9 A esetén, valamint az eredő áram legnagyobb értékét!

14. ábra Megoldás: Az áramkör két párhuzamosan kapcsolódó részre bontható, amelyek közvetlenül a generátor kapcsaira csatlakoznak. Az egyik az R1 ellenállás, a másik a vegyes RLC kapcsolás, amelyben a változó értékű elem található. Így az eredő áram a két áram összege

( ) ( )pIIpIe 21 += ,

ahol a párhuzamosan kapcsolt R1 ellenállás árama a paraméter változásától független:

A 3 20V 60

11 =

Ω==

RUI .

Az I2 áram meghatározásához először határozzuk meg az energiatároló elemek reaktanciáját a megadott körfrekvencián:

Ω=⋅⋅=⋅= − 1010101000 3LX L ω illetve Ω=⋅⋅

=⋅

=−

2010501000

116

00 C

X C ω

A kondenzátor reaktanciája a paraméter függvényében az

( ) Ω==⋅⋅

=⋅

= 2011 0

0 ppX

CpCpX C

C ωω

összefüggés szerint változik. Az áramot a p=0 és p=∞ paraméterű pontokban, valamint a p=2 paraméternél határozzuk meg. Utóbbit az indokolja, hogy ekkor könnyen meghatározható a párhuzamosan kapcsolt elemek eredő impedanciája [ ( ) 551010 jj −=−⊗ ]. A számítás során előbb az eredő impedanciákat határozzuk meg, majd ebből az áramokat. p=0 esetén a kondenzátor szakadással helyettesíthető: ( ) ( )Ω+= 101002 jZ p=∝ esetén a kondenzátor rövidzárral helyettesíthető: ( ) Ω=∞ 102 jZ p=2 esetén a három elem eredő impedanciája: ( ) ( )Ω+=−+= 55551022 jjjZ

Így az áramok az egyes paramétereknél:

( ) A 3311

6 1010

V 6002 jjj

I −=⋅+

=Ω⋅+

= ( ) ( ) A 3633300 21 jjIIIe −=−+=+=

( ) A 6 10V 60

2 ⋅−=Ω⋅

=∞ jj

I ( ) ( ) A 6321 jIIIe −=∞+=∞

( ) A 6611

12 55

V 6022 jjj

I −=⋅+

=Ω⋅+

= ( ) ( ) A 6966322 21 jjIIIe −=−+=+=

10

Ez alapján az eredő áram léptékhelyes diagramja megrajzolható (15. ábra). Az ábrázoláshoz

cm A1=Ia léptéket vettünk fel.

A három pont bejelölése után megállapíthatjuk, hogy a helygörbe 6 A átmérőjű kör, melynek középpontja (K) a koordináta-rendszer (6, -6) pontja. Tehát a kör húrfelező merőle-gesek szerkesztése nélkül is megrajzolható (vékony vonal). A helygörbe háromnegyed kör lenne, ha a paraméter a 0…∞ tartományban változna (vastagabb vonal). Mivel a paraméter a 0…5 tartományban változik, ezért meg kell határozni a görbén a p=5 paraméterhez tartozó pont helyét. Ez a paraméter-skála felhasználásával végezhető el.

A kör p=∞ paraméterű pontjához húzható érintő a képzetes tengellyel párhuzamos egyenes, ezért a képzetes tengellyel párhuzamos bármely egyenes paraméter-egyenesként hasz-nálható. A skálabeosztás elkészítéséhez húzzunk segédegyeneseket a kör p=∞ paraméterű pontjából a p=0 és p=2 paraméterű pontjain keresztül. Ezek kijelölik a paraméter-egyenesen a 0 és 2 pontok helyét. Ez alapján a lineáris skálabeosztás elkészíthető, a keresett paraméterhez tartozó pont meghatározható Pl. a p=5 paraméter értékhez tartozó pont a 0 és 2 pontok távol-ságának másfélszeresére van a p=2 paraméterű ponttól. A paraméter-skála p=5 paraméterű pontját a kör p=∞ pontjával összekötve a segédegyenes és a kör metszéspontja adja meg a helygörbe p=5 paraméterű pontját. A körnek a p=0 és p=5 paraméterű pontok közötti része (vastag vonal) a keresett helygörbe.

15. ábra

p=5

5

10

10 5

5

0

2K

p=0

p=2 p=∞

9 A

p-skála

Re I, A Im I, A

0

Imax

I=9 A

I(p)

U

11

Ezzel a léptékhelyes diagram elkészült, aminek kiértékelésével válaszolhatunk a kérdésekre. Rajzoljunk az origóból mint középpontból a 9 A-nek megfelelő (9 cm) sugarú körívet. Ez két pontban is metszi a megrajzolt kört, de csak az egyik pont tartozik a diagramhoz. (Ha a paraméter-tartomány felső határa ∞ lett volna, akkor két megoldás lenne.) A körív és a diagram metszéspontja a 9 A nagyságú eredő áramhoz tartozó fázor végpontja. Ezt a pontot a kör p=∞ paraméterű pontjával összekötő segédegyenes jelöli ki a paraméter-skálán az ehhez a ponthoz tartozó paraméter értékét (p=1,15).

A maximális áramot a diagram origótól legtávolabb lévő pontja határozza meg. Ezt a pontot úgy kapjuk meg, hogy az origóból egyenest húzunk a kör középpontján keresztül. A kör és az egyenes metszéspontja adja meg a körnek az origótól legtávolabbi pontját, tehát a maximális áramhoz tartozó fázor végpontját. A léptékhelyes ábrából leolvasva: Imax= 11,5 A.

Feladat: A leírtak alapján határozzuk meg szerkesztéssel a maximális áramhoz tartozó paraméter értékét! (p=2,35)

A 13. ábrán megrajzolt helygörbe (áram-diagram) nemcsak az áramok, hanem a telje-sítmények meghatározására is alkalmas (16. ábra). Az I áramfázornak a valós tengelyre vett (az U feszültségvektor irányába eső) vetülete I ⋅ cosϕ (16a ábra), ami a hatásos teljesítmény-nyel arányos ( P U I= ⋅ ⋅ cosϕ ). Az I áramfázornak a képzetes tengelyre vett vetülete ( I ⋅ sinϕ ) pedig a meddő teljesítménnyel ( ϕsin⋅⋅= IUQ ) arányos. A látszólagos teljesítmény az áramfázor hosszával (az adott pontnak a koordináta-rendszer középpontjától mért távolságával) arányos ( IUS ⋅= ). Tehát az áramfázornak az U kapocsfeszültség irányába eső, illetve arra merőleges vetületeit kell az U kapocsfeszültséggel megszoroznunk. A különböző teljesítmények közvetlenül leolvashatók az áram-diagramból is, ha a teljesítmény-léptéket megfelelően definiáljuk.

a) b)

A B

A B

ϕ

p=0

Ip=1

p=0

P O

Q

P

I·sin ϕ

ϕ

Sp=1

p=∞ O

p=∞UI·cos ϕ Re I

Im I Q

16. ábra

Ha az áramlépték (aI) adott, akkor a 16a ábra alapján felírhatjuk: [ ] IaOAAI ⋅= [ ] IaABAI ⋅=⋅ ϕcos [ ] IaOBAI ⋅=⋅ ϕsin

A teljesítmények a 16b ábra alapján:

PI aOAaOAUS ⋅=⋅⋅= PI aABaABUP ⋅=⋅⋅= PI aOBaOBUQ ⋅=⋅⋅= .

Ez a - teljesítmények leolvasására alkalmas - diagram a munkadiagram (16b ábra).

A felírt összefüggéseket összehasonlítva megállapíthatjuk, hogy az áram-diagram és a munkadiagram ugyanaz a helygörbe, ha a teljesítmény-léptéket az

12

[ ]a U aP IVAcm

V Acm

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

= ⋅ ⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

összefüggés szerint rendeljük az áramléptékhez (tehát a kapocsfeszültséggel megszorozzuk az áramléptéket). Ilyenkor az áram és a teljesítmények leolvasásához ugyanaz a helygörbe használható (l. a 16. ábrán), tehát az áram-diagramból egyúttal a teljesítmények is meghatározhatók, ezért nevezzük ezt áram-munkadiagramnak.

A léptékhelyes ábra megrajzolásához az áramlépték (aI) tetszőlegesen felvehető, amihez a teljesítmény-lépték - a kapocsfeszültség alapján - egyértelműen hozzárendelhető (l. fentebb). Tehát a léptékhelyes ábrából a keresett teljesítmények közvetlenül, mennyiségileg helyesen leolvashatók, nincs szükség a számítással történő meghatározásukra. A görbe alapján az egyes mennyiségek szélső értékei (maximum, minimum) egyszerűen megállapíthatók. Példa: Rajzoljuk meg a 17. ábrán látható áramkör léptékhelyes áram-munkadiagramját! U = 50 V ω = 500 rad/s

Ie

I1 p·R0R1

L

IRL

R1 = 20 Ω Ro = 10 Ω L = 20 mH Határozzuk meg a p = 0,5 paraméterhez tartozó jellemzők értékét!

U

Megoldás: Az induktivitás reaktanciája a megadott körfrekvencián: Ω=⋅⋅=⋅= − 101020500 3LX L ω

17. ábra

Itt is felesleges az áramkör eredő impedanciájának meghatározásával foglalkozni, mert a kere-sett eredő áram a két párhuzamosan kapcsolt ág áramának összege:

( ) ( )pp 1 RLe III += ahol ( )Lo

RL XjRUI

⋅+⋅=

pp

A párhuzamosan kapcsolt ellenállás (R1) árama nem változik: A 5,2 20V 50

11 =

Ω==

RU

I

A diagram három pontját az általánosan használt három paraméternél (p = 0, 1, ∞) határozzuk meg. A változó ellenállást tartalmazó ág árama az egyes paraméterek esetén:

( ) A 5 10V 50

00 j

jXjRUI

LoRL −=

Ω=

⋅+⋅=

( ) ( A 5,25,2 1010

V 501

1 jjXjR

UILo

RL −=Ω+

=⋅+⋅

= )

p=∝ esetén az ágban áram nem folyhat: ( ) A 0=∞RLI

Az eredő áram értéke az egyes paramétereknél: ( ) ( A 55200 1 j,)(III RLe −=+= ) ( ) A 5,2)(1 =∞+=∞ RLe III ( ) ( ) A j2,5)-552525211 1 (,j,,)(III RLe =−+=+=

Az áramléptéket úgy kell megválasztani, hogy jól kiértékelhető (elegendően nagy méretű) ábrát kapjunk. Tehát legyen

13

aI = 0 5, Acm

, amihez a teljesítmény lépték aP = ⋅ =50 0 5 25 V Acm

VAcm

, ,

és ekkor az áramok és teljesítmények leolvasásához ugyanaz a helygörbe használható.

A három pont alapján a léptékhelyes ábra a komplex síkon megrajzolható (18. ábra). A helygörbe egy félkör, a körnek az a szakasza, amelyet akkor érintünk, ha a p = 0 pontból a p = ∞ jutunk úgy, hogy közben a harmadik ( p = 1) ponton is áthaladunk.

A paraméter-skála a p = ∞ ponthoz húzható érintővel ( a valós tengellyel) párhuzamos egyenes. A skálabeosztás a p = 0 és a p = 1 pontok alapján megrajzolható. A 01 távolság felezési pontja a p = 0 5, paraméterű pont. A kör p=∞ paraméterű pontjából ezen a ponton keresztül kell rajzolni egy segédegyenest, amely kimetszi a helygörbén a p = 0 5, paraméterhez tartozó pontot (az áramvektor végpontjának a helyét). Ezt az origóval összekötve kapjuk meg a keresett fázor hosszát.

Az eredő áram nagysága a fázor hossza alapján:

1

Im I,A

Re I,A

A

p=1

0,5

p=0

0

p=∞U

I(0,5)

C

p-skála

B

5 4321

5

4

3

2

1

0

18.ábra

A 6=cm 12cmA 5,0 ⋅=⋅= OCaI I ,

A vetületek alapján felírt komplex értékből - ( )I j= − ⋅4 5 4, A - is számolhatjuk:

14

A 6,02=A 454 22 +== ,II .

A kijelölt (C) ponthoz tartozó teljesítmények a teljesítmény-lépték alapján:

- a hatásos teljesítmény: P a OAp= ⋅ = ⋅25 9 VAcm

cm = 225 W

- a meddő teljesítmény: Q a OBp= ⋅ = ⋅25 8 VAcm

cm = 200 var

- a látszólagos teljesítmény az áram értékének ismeretében közvetlenül számolható:

S U I= ⋅ = ⋅50 6V A = 300 VA ,

vagy az áramvektor hossza alapján: VA 300=cm 12cmVA 25 ⋅=⋅= OCaS p .

A teljesítmények szélsőértékei, és a hozzájuk tartozó paraméter értékek:

Pmin = 125 W (p = 0 és p = ∞ esetén) Pmax = 250 W (p = 1 esetén)

Qmin = 0 (p = ∞ esetén) Qmax = 250 var (p = 0 esetén)

A látszólagos teljesítmény szélsőértékeinek meghatározásához a helygörbe origóhoz legközelebbi, illetve attól legtávolabbi pontját kell ismerni. A legközelebbi pont a helygörbe valós tengelybe eső pontja, míg a legtávolabbi pont az origóból a kör középpontján áthaladó segédegyenessel határozható meg. Smin = 125 VA (p = ∞ esetén)

Feladat: A leírtak alapján határozzuk meg a látszólagos teljesítmény maximális értékét és a hozzá tartozó paraméter értékét! (Smax = 300 VA, p=0,4)

A teljesítménytényező (cosϕ) meghatározása kapcsán ismételten felhívjuk a figyelmet arra, hogy a számítások és az ábrázolás során (l. a 12. és 13. ábrát) az U kapocsfeszültség fázor a valós tengelyen helyezkedik el, tehát a kapocsfeszültség időfüggvénye nulla fázis-helyzetű. Ez egyrészt lehetővé teszi a teljesítménytényező értékének szerkesztéssel történő (cos ϕ-slála) meghatározását, másrészt az I áramfázor szöge egyúttal a kapocsfeszültség és az eredő áram közötti szög, amiből cosϕ értéke számolható:

cos Re( ) ,ϕ = =

II

4 56

A A

= 0,75 .

Feladat: Rajzoljunk cos ϕ-skálát, és szerkesztéssel ellenőrizzük a teljesít-ménytényező értékét!

Nagyobb paraméter értékeknél a pont meghatározása egyre pontatlanabbul végezhető el, mert a segédegyenes és a helygörbe egyre kisebb szögben metszi egymást (metszéspontjuk meghatározása bizonytalanná válik), illetve a p-skála léptékét is egyre jobban kell kicsi-

p2

p1

p0

p2’

p1’ p0’

S

A∞

A2

A1

p’-skála p-skálaIm

Re

A0

19. ábra

15

nyíteni ( a 0 és 1 pontok távolsága egyre kisebb lesz, a leolvasás pontatlanabbá válik). Ebben az esetben a paraméter-skála elforgatásával érhetünk el pontosabb eredményt (19. ábra).

Rajzoljuk meg a kör p=∞ paraméterű pontjába húzható érintővel párhuzamos egyenest mint paraméter-egyenest (p), és készítsük el a skála-osztást a bejelölt pontok segítségével. Ezután vegyük fel az új paraméter-egyenest (p’), és jelöljünk ki a körön a p=∞ paraméterű pont (A∞) helyett egy új pontot (S) úgy, hogy az ebből a pontból az A0 ponton keresztül húzott segédegyenes merőleges legyen az új paraméter-egyenesre. A kör másik két bejelölt pontján keresztül is húzzunk segédegyenest az S pontból (ezért hívják ezt a pontot sorozópontnak), így a paraméter-skála elkészíthető. A kettő egyenértékű, mivel az azonos köríveken nyugvó kerületi szögek egyenlők, tehát a megfelelő derékszögű háromszögek hasonlóak.

A paraméter-skála sorozópontos szerkesztése az alábbi lépésekben történik:

1./ Kijelöljük az S sorozópontot a körnek azon a szakaszán, amely nem része a helygörbének.

2./ A sorozópontot összekötjük a kör p=∞ paraméterű pontjával. Ez az egyenes megadja a paraméter-egyenes irányát. Az ezzel párhuzamos bármely egyenes paraméter-egyenesként használható.

3./ A sorozópontból a helygörbe p0 paraméterű pontján keresztül rajzolt segédegyenes kijelöli a paraméter-egyenesen a p0 paraméterű pont helyét (pl. p0=0).

4./ A sorozópontból a helygörbe p1 paraméterű pontján keresztül rajzolt segédegyenes kijelöli a paraméter-egyenesen a p1 paraméterű pont helyét (pl. p1=1).

5./ A két pont ismeretében a paraméter-egyenesen a lineáris lépték elkészíthető.

R

CUg

Ie

IC

IRL

Példa: Rajzoljuk meg a 20. ábrán látható áramkör léptékhelyes áram-munkadiagramját! p·L0 Ug = 100 V ω = 500 rad/s

R = 20 Ω C = 50 µF L0 = 40 mH a./ Határozzuk meg 100 var eredő meddő teljesítmény esetén az eredő áram nagyságát és a hozzá tartozó paraméter értékét!

20. ábra

b./ Határozza meg a legnagyobb és a legkisebb áram értékét, és a hozzá tartozó paramétert is! Megoldás: Az energiatároló elemek reaktanciája a megadott körfrekvencián:

Ω=⋅⋅=⋅= − 201040500 300 LX L ω illetve Ω=

⋅⋅=

⋅=

− 40

105050011

6CX C ω

Az induktivitás reaktanciája a paraméter függvényében változik: ( ) Ω⋅= 20ppX L

Az eredő áram a két párhuzamosan kapcsolt ág áramának összege: ( ) ( )pp RLCe III +=

A párhuzamosan kapcsolt kondenzátor árama a paraméter változásától független:

A 5,2 40V 100 j

jXjUI

CC =

Ω−=

⋅−=

16

Az RL-ág áramát három paraméter értéknél kell meghatároznunk. A p=0 és a p=∞ mellett a p=1 értéket célszerű választani (egyszerű a gyöktelenítés elvégzése). Így az ág árama az egyes paraméterek esetén:

( ) A 5 20V 1000 =Ω

=RLI ( ) A 0=∞RLI ( ) ( )A 5252 2020

V 1001 ,j,j

I RL −=Ω+

=

Az eredő áram értéke az egyes paramétereknél:

( ) ( )A 52500 ,j)(III RLCe +=+= ( ) A 52,jII Ce ==∞ ( ) A 2,511 =+= )(III RLCe

Az áramléptéket úgy kell megválasztani, hogy jól kiértékelhető (elegendően nagy méretű) ábrát kapjunk, a megrajzolandó kör átmérője 10 cm körül legyen (kisebb ábrák esetén a kiértékelés nagyon pontatlanná válhat).

Fentiek alapján legyen az áramlépték aI = 0 5, Acm

, amihez a teljesítmény lépték

cmVA 50

cmA 5,0V 100 =⋅=Pa . Így az áramok és teljesítmények leolvasásához most is

ugyanaz a helygörbe használható.

A kör megrajzolásához most sem szükséges a húrfelező merőlegesek szerkesztése. Ugyanis eddigi ismereteink alapján már tudjuk, hogy az RL-ág helygörbéje a valós tengelyen

0

1

2

4

1 2 3 4 5

0

S

p=1

1

p1

p=0 p=∞

p-skála

Re I, AU

I(p1)

p2

3

5

100 var

K

Im I, A

p=p2

21. ábra

17

nyugvó félkör, ha az induktivitás értéke változik. Ezt a félkört az I1 áram értékének megfelelően a képzetes tengellyel párhuzamosan kell eltolni pozitív irányban.

Az ennek megfelelően megrajzolt kör a 21. ábrán látható. A helygörbe a vastag vonallal kihúzott félkör. Az ábrán feltüntettük a 100 var eredő meddő teljesítménynek megfelelő egyenest, ami az 1 A áramléptéknek felel meg (100 V·1 A). Ennek két metszéspontja van a helygörbével (p1 és p2 paraméter értékeknél), tehát a feladatnak két megoldása van. A p2 paraméterű pont közel esik a helygörbe p=∞ paraméterű pontjához, ezért p2 értékének meghatározása az eddig alkalmazott paraméter-skála szerkesztési eljárással nehézkesen, pontatlanul lenne elvégezhető. Ezért a paraméter-skálát elforgatjuk (l. a 19. ábrát!).

A sorozópontos szerkesztési eljárást a következők szerint végezzük el. Jelöljük ki a sorozópont (S) helyét a körnek azon a szakaszán (a felső félkörön), amely nem része a hely-görbének! Minél távolabb van a sorozópont a p=∞ paraméterű ponttól, annál nagyobb mértékű az elforgatás. Ezért a sorozópontot a felső félkör jobb oldali negyedében jelöljük ki. Kössük össze a sorozópontot a p=∞ paraméterű ponttal. Az így kapott egyenessel párhuzamos bármely egyenes paraméter-skála készítéséhez felhasználható, tehát húzzunk ezzel párhuza-mosan egy egyenest, amelyen a paraméter-skálát elkészítjük.

A paraméter-skála készítéséhez az S sorozópontból húzzunk egy segédegyenest a kör p=0 pontján keresztül, ami kijelöli az előbb megrajzolt paraméter-egyenesen a 0 paraméter helyét. Ezt ismételjük meg a kör p=1 pontjának felhasználásával is, így megkapjuk a slála 1 paraméterű pontját. Ezt a távolságot egységnek tekintve a lineáris skálabeosztás elkészíthető.

A fenti eljárás megismétlésével a helygörbe tetszőleges pontjához tartozó paraméter értéke meghatározható. Tehát húzzunk segédegyenest az S sorozópontból a p2 paraméterű ponton keresztül! Ennek a paraméterskálával képzett metszéspontja adja meg a p2 paraméter helyét a skálán. A paraméter értéke a távolságok arányából közvetlenül számolható:

mm 35mm 107

012 =

p , amiből a keresett paraméter értéke: 305,3mm35mm 107 2 ≈==p .

A leolvasás bizonytalansága (pontossága) miatt nincs fizikai tartalma (értelme) a túl sok jegy pontossággal elvégzett osztásnak, ezért általában két értékes jegyet veszünk figyelembe. Itt van jelentősége a nagyobb méretű (és így pontosabb) ábra rajzolásának!

Feladat: A fenti eljárás megismétlésével határozzuk meg a p1 paraméter értékét! (p1=0,34)

Az áramok nagyságát a helygörbe p1 és p2 paraméterű pontjainak az origótól mért távolsága adja meg. Tájékoztatásul az I(p1) fázort feltüntettük az ábrán.

Feladat: Határozzuk meg a keresett áramok értékét! (I1=4,6 A, I2=1,15 A)

A maximális áram értékét a helygörbe origótól legtávolabbi pontja határozza meg. Ez a p=0 paraméterű pont, amelynek távolsága az origótól 11,2 cm tehát Imax = 5,6 A. A minimális áram értéke a helygörbe origóhoz legközelebb lévő pontjához tartozó áram, ami Imin= 1 A.

Feladat: Határozzuk meg a minimális áramhoz tartozó paraméter értékét! (p=2,4)

A munkadiagramból nemcsak áramok, hanem teljesítmények is leolvashatók. A telje-sítmények ismeretében azok aránya, tehát a hatásfok is megállapítható. Ehhez vizsgáljuk meg a 22. ábra szerinti elrendezést. A hálózatról egy ohmos jellegű fogyasztót táplálunk. A hálózat által betáplált teljesítmény (PBE) egy része a termelőt a fogyasztóval összekötő Zv impedanciájú vezetéken hővé alakul. A teljesítmény többi része (PH) hasznosul a fogyasztó

18

ellenállásán. Tehát a vizsgálat során az összekötő vezeték impedanciáját (Zv) – és így a rajta fellépő veszteséget - is figyelembe vesszük. Vizsgáljuk meg, hogyan alakulnak a teljesítmény viszonyok illetve a hatásfok a terhelő ellenállás változásának a függvényében!

Az elrendezésnek megfelelő villamos helyettesítő kapcsolás a 23. ábrán látható. A vezeték impedanciája egy soros RL kör, tehát az áramkör ellenállása Rv (ez a p=0 paraméterű pont!) és ∞ között változik. Ehhez hasonló kapcsolás jellemzőit már vizsgáltuk (l. a 11. és 12. ábrákat), ezért az áram-munkadiagram menete most is hasonló az ott ábrázolthoz, de a helygörbe most nem lesz egy teljes félkör (24. ábra), mert az impedancia-diagram egyenese nem érinti a képzetes tengelyt. Az ábrába berajzoltuk az áramfázort p=0 esetén (I0) - ami a kör OB húrja -, és egy tetsző-leges paraméter értékhez tartozó terhelő ellenállás

(R1=p1·R0) esetén is (I1).

PBE

Pv

PH

p·R0

Zv

U

I

22. ábra

Ha a terhelő ellenállás értéke 0 (p=0), akkor az Rv ellenálláson keletkező veszteség:

p·R0 UI

23. ábra

p=0

p=0

p=∞

p=∞

Rv

Xv

Rv+R1 Re

ImZ(p)

I(p)

I0

I1

M

E

O

AB

C D

F

24. ábra

Lv Rv pvv aABRIP ⋅=⋅= 20 ,

ahol ap a teljesítmény-lépték. Az I1 áram esetén a derékszögű háromszögek hasonlósága alapján felírhatjuk a megfelelő oldalak arányát:

CECD

RRR

v

v =+ 1

.

A kifejezés bal oldalát az áram négyzetével bővítve:

1H1

1

121

21

21

1 PPP

RIRIRI

RRR

v

v

v

v

v

v

+=

⋅+⋅⋅

=+

a teljesítmények arányát kapjuk meg. Tehát megállapíthatjuk, hogy a hasznos teljesítmény illetve a betáplált teljesítmény meghatározható a

paDEP ⋅=1H illetve a paCEP ⋅=1BE összefüggés segítségével az ábrázolt diagram alapján. Az ábrából nyilvánvaló, hogy az OB húr (az

0I áramfázor) és a képzetes tengely közötti szakasz

( AB vagy CD ) hossza a Pv teljesítménnyel arányos, míg az OB húr és a kör közötti szakasz a változó értékű terhelőellenálláson fellépő teljesítmény értékével arányos.

A hatásfok definícióját alkalmazva:

[ ] 100 BE

H %CEDE

PPη ⋅== ,

19

tehát az adott paraméterhez tartozó hatásfok a megfelelő szakaszok arányából közvetlenül számolható.

Az előbbiekben láttuk, hogy az ábrából a teljesítmények értéke is meghatározható. Vizsgáljuk meg, hogy a hasznos teljesítmény legnagyobb értéke mikor (milyen ellenállás illetve paraméter értéknél) lép fel, és hogyan határozható meg az ábrából. Az OB húr és a kör közötti szakasz akkor a legnagyobb, amikor a kör adott pontja a húrtól legtávolabb van. Ez a húr felező merőlegesének megszerkesztésével kereshető meg (M pont). Így a változó értékű terhelőellenálláson fellépő teljesítmény maximális értéke:

pmax aFMP ⋅=H .

Paraméter-skála szerkesztése esetén az ehhez a ponthoz tartozó paraméter értéke – és így az ellenállás értéke is – meghatározható.

Példa:

Ub I

25. ábra

p·R0

Rb Lb Határozzuk meg egy ellenállással lezárt válta-kozó feszültségű generátorból kivehető maxi-mális teljesítmény értékét! (25. ábra)

Ub = 40 V ω =500 rad/s

Rb = 2 ohm Lb = 8 mH

Megoldás:

A váltakozó áramú hálózatok vizsgálata során megállapítottuk, hogy a generátorból akkor vehető ki a maximális hatásos teljesítmény, ha a lezáró impedancia a generátor impedanciájá-nak komplex konjugáltja ( *

bt ZZ = ). Ez itt nem alkalmazható, mivel a lezárás ellenállással történik. Ezért a feladatot léptékhelyes áram-munkadiagram szerkesztésével oldhatjuk meg.

Az induktivitás reaktanciája a megadott körfrekvencián: . Ω=⋅⋅=⋅= − 4108500 3bb LX ω

Az R0 ellenállás értékét úgy választjuk meg a számításokhoz, hogy p=1 esetén egyszerűen tud-junk számolni. Ezért legyen R0 = 2 Ω. A diagram három pontját az általánosan használt

három paraméternél (p = 0, 1, ∞) határozzuk meg.

20

240

400

26. ábra

Q, var P, W

p-skála 2,21 0

80

80

320

160

240 160 p=∞

p=1

p=0

( ) ( ) ( )A 84 42

V 400 jj

I −=Ω+

=

( ) ( ) ( )A 55 44

V 401 jj

I −=Ω+

=

( ) A 0=∞I

A kör a három pont alapján már megszerkeszthető (26. ábra). A kör középpontja a képzetes tengelyen található, mert „a valós tengellyel páthuzamos egyenes inverze a képzetes tengelyen nyugvó félkör” (l. a 26. ábrát!). A kör átmérője az Xb reaktancia értékéből számolható: 10 A.

A helygörbe a félkör vastag vonal-lal jelölt szakasza. A maximális hasznos teljesítmény pontját az előzőekben ismertetett módon szerkesztettük meg (l. a 24. ábrát). A léptéket közvetlenül teljesítmény leolvasására készítettük, ezért egy osztás 1 A illetve 40 VA .

A maximális teljesítménynek megfelelő vízszintes szakaszt bejelöltük az ábrába: hossza 3

osztás. Így a maximális teljesítmény értéke: W120osztás

W40osztás 3max =⋅=P .

Az ehhez tartozó paraméter érték a paraméter-skála alapján p=2,2. Tehát a terhelő ellenállás: ΩΩ 4,4 22,20 =⋅=⋅= RpRt

Ellenőrzés: A kör árama a diagram alapján p=2,2 paraméternél: 5,2 A. Ebből a teljesítmény: W5,1194,42,5 22

max =⋅=⋅= tRIP Ellenőrző kérdések: 1./ Mi az áram-munkadiagram? 2./ Mikor lesz azonos helygörbe az eredő admittancia illetve az eredő áram helygörbéje? 3./ Hogyan rajzolható meg a diagram a gyakorlatban? 4./ Milyen paraméterű pontokban számolunk? 5./ Hogyan rajzolható meg a paraméter-skála? 6./ Mikor van szükség a paraméter-skála elforgatására? 7./ Hogyan rajzolható meg a paraméter-skála sorozópontos szerkesztéssel? 8./ Mikor és miért alkalmas a diagram teljesítmények leolvasására (munkadiagram)? 9./ Hogyan olvashatók le a különböző teljesítmények az áram-munkadiagramból? 10./ Mit értünk léptékhelyes ábra alatt? 11./ Mit értünk minőségileg (jellegre) helyes diagram alatt? 12./ Hogyan határozható meg a hatásfok a diagram alapján?

21