646. Үл огтлолцох 2 тойрог өгөгдөв. Эдгээр тойргуудын төвүүдийг холбосон

хэрчимтэй A цэгээр огтлолцох ерөнхий шүргэгчүүд татав. Жижиг тойргийн

радиус R. A цэгээс том тойргийн төв хүртэлх зай 6R.A цэг нь шүргэгчүүдийг 1:3

харьцаатай хуваадаг бол шүргэгч хэрчмүүд шүргэлтийн цэгүүдээр тойргийн том

нумуудтай холбогдон хязгаарлагдсан дүрсийн талбайг ол.

Бодолт:

Шүргэгч хэрчмүүд ВЕ ба СD байг. Мөн

их тойргийн төв О, бага тойргийн төв

Q, их тойргийн шүргэлтийн цэгүүд В ба

С, бага тойргийн шүргэлтийг цэгүүд нь

E ба D, AEQ ба ABO гурвалжнууд

төсөөтэй.

1 1 63 3

AQ AO R= = ⋅

Эндээс

060AQE AQD AOC∠ = ∠ = ∠ =

2 23 9 3,2 2AQE AQD AOC

R RS S S AOB S= = − = =V V VV

QD ба QE радиус бага тойргийг 2 секторт хуваана. Бидний сектор нь дугуйн талбайн

23

өөрөөр хэлбэл 22

3Rπ

болно. Том дугуйн харгалзах хэсгийн талбай 229

3Rπ

⋅

Эдгээр талбай дээр олсон гурвалжны талбайг нэмэхэд олох ёстой талбай гарна.

22 22 210 10 3 10 3

3 3RS R Rπ π = ⋅ + = +

647. R ба 2R радиустай огтолцоогүй 2 тойрог өгөгдөв. Тэдгээрт татсан ерөнхий

шүргэгчүүд нь тойргийн төвүүдийг холбосон хэрчимтэй А цэгт огтолцох ба төвүүдийн

хоорондох зай нь 2R 3 бол шүргэгч хэрчмүүд шүргэлтийн цэгүүдээр тойргийн

том нумуудтай холбогдон хязгаарлагдсан дүрсийн талбайг ол.

Бодолт: Шүргэгч хэрчмүүд ВЕ

ба СD байг. Мөн их тойргийн

төв О, бага тойргийн төв Q, их

тойргийн шүргэлтийн цэгүүд В

ба С, бага тойргийн шүргэлтийг

цэгүүд нь E ба D, төвүүдийг

холбосон хэрчмийн их

тойрогтой огтолцох цэг М, бага

тойрогтой огтолцох цэг К байг.

АМ=x гэе. Тэгвэл АК=2R 3 -3R-

х болно. АОВ ба АQE

гурвалжинууд төсөөтэй тул ����

� ���

� 2 буюу 2R+x=2(2R 3 .-2R-x)

Болно. Эндээс x=4 3 6

3R−

гэж гарна. OA=2R+4 3 6

3R−

=4 3

3R болох ба cos

6 3cos24 3

OB RAOB AQEOA R

∠ = ∠ = = = болж 030AOB AQE∠ = ∠ = гэж олдоно. Бидний

сонирхож буй секторууд тойргийн 56

хэсэг буюу 2 25 4 5,

6 6R Rπ π⋅ ⋅

гэж гарна. Мөн

0 2

4 32 4 33 sin 302 6OAB OAC

R RS S R

⋅= = ⋅ =V V ба 0 2

2 333 sin 30

2 6QAD QAE

R RS S R

⋅= = ⋅ =V V

болно. Олсон талбайнуудыг нэмэхэд бидний олох дүрсийн талбай гарах буюу S25 (5 2 3)

6R π= + болно.

648. ABCD трапецийн сууриуд BC ба AD, хажуу талууд нь AB ба CD, багтсан

тойргийн төв O. Хэрэв DAB өнцөг нь тэгш, OC=2, OD=4 бол трапецийн талбайг

ол.

Бодолт:

Тойргийн радиус нь – r, Багтсан тойргийн хажуу талтай шүргэх цэг M байг. Тэгвэл

090COD∠ = тул (313-р бодлого)

2 2 4 16 2 5CD OC OD AB= + = + =uuur

OC OD CD OM⋅ = ⋅

Эндээс 45

OC ODr OMCD

⋅= = =

гэж олдоно. Трапецийн өндөр

825

AB R= = Эндээс

( ) ( )1 1 722 2 5ABCDS AD BC AB CD AB AB= + ⋅ = + ⋅ =

649. ABC гурвалжны AC талд буусан өндөр ба медиан харгалзан BK ба MB

мөнAM=BM. Хэрэв AB=1, BC=2 бол KBM өнцгийн косинусыг ол.

Бодолт:

BM AM MC= = тул ABC

гурвалжин тэгш өнцөгт (1188-р

бодлого) Иймээс

2 2 5AC AB BC= + =

AC BK AB BC⋅ = ⋅

25

AB BCBKAC⋅

= =

1 52 2

BM AC= =

4cos5

BKKBMBM

∠ = =

650. ABC гурвалжныABC=α, BCA=β, AC=b гэж мэдэгдэж байгаа. BC тал дээр D

цэгийгBD=3DC байхаар авъя. B ба D цэгийг дайран,A цэгээс AC талыг

үргэлжлүүлэн татсан шулууныг шүргэн тойрог татъя. Энэ тойргийн радиусыг ол.

Бодолт:

AC шулуунтай тойргийн шүргэх цэг

P байг. Тэгвэл 2 24 4PC CB CD x x x= ⋅ = ⋅ =

Иймээс 2PC x= . PCD гурвалжны

хувьд косинусын теорем бичвэл.

2 2 2 2 22 cos 4 4 cos 5 4cosPD CP CP CD PC C x x x xβ β= + − ⋅ ∠ = + − = −

Синусын теорем ёсоор

sin sinsin5 4cos

CDCPDPD

α ββ

⋅∠ = =

−

2PDCPD PBD∠ = = ∠

(

R нь BPD гурвалжны багтаасан тойргийн радиус. Тэгвэл

( )5 4cos2sin 2sin

xPDRPBD

ββ

−= =

∠

sin4sin( )ACBC x α

α β= =

+ гэж олдоно. Эндээс

sin (5 4cos )8sin sin( )

bR α αβ α β

−=

+ гэж гарна.

651. O цэгт оройтой өнцгийн тал дээрA, B (A цэг O ба B-ын хооронд) цэгүүдийг

OA=3AB байхаар авъя. A, B цэгүүдийг дайруулан татсан тойрог өнцгийн нөгөө

талыгD цэгээр шүргэнэ. Мөн OD цацраг дээр E цэг авъя. (D цэг O ба E-

ынхооронд). Хэрэв OE=m, BEO=α, BOE=β болох нь мэдэгдэж байгаа бол

тойргийн радиусыг ол.

Бодолт:

, 3 ,AB x AO x ODA OBD γ= = ∠ = ∠ = гэж авъя. Тэгвэл

2 212OD OB OA x= ⋅ =

( )2 23 7 4 3 cosAD x α= −

3 sin sinin ,sin( )

xs xAD

α βγα β

= =+

Эндээс олох ёстой радиус

( )2 7 4 3 cos sin

2sin sin sin( )

mAD α β

γ α α β

−=

+

байна.

652. KLM гурвалжныLKM=β, LMK=γ, KM=a болох нь мэдэгдэж байгаа. KL тал дээр

N цэгийгKN=2NL байхаар авъя. L ба N цэгийг дайруулан KM талыгM цэгээс

үргэлжлүүлэн татсаншулууныг шүргэдэг тойргийн радиусыг ол.

Бодолт:

Өгөдсөн нөхцөлийн ашиглан KLM гурвалжны хувьд синусын теорем бичвэл

0sin sin sin(180 )LM LK KM

β γ β γ= =

− −байх ба эндээс KL=

sinsin( )

a γβ γ+

гэж олдоно. Эндээс NK=

2 2 sin3 3sin( )

aKL γβ γ

=+

болно. KM талын тойрогтой шүргэх цэгийг D гэж тэмдэглэе. Тэгвэл KND

гурвалжны хувьд синусын теорем бичвэл sin

NK NDsin NDK β

=∠

болно. NDL гурвалжин тойрогт

багтсан тул 2sin

ND RNLD

=∠

байна. Мөн sin sinNDK NLD∠ = ∠ тул 2

sinNK R ND

ND β⋅

= буюу

2

2 NK sinNDR

β= болно. KND гурвалжны хувьд косинусын теорем бичвэл ND2=NK2+KD2-

2NK·KDcosβ, нөгөө талаар огтлогч шүргэгчийн чанар ёсоор KD2=NK·KL =22

3KL

. Эдгээрийн

өмнөх тэгшитгэлүүдэд орлуулан хялбарчилбал R=

5 2 5 2( 2 cos ) sin ( 2 cos )3 3 3 3

2sin 2sin( )

KL aβ γ β

β β γ

− −=

+гэж олдоно.

653. O цэгт оройтой өнцгийн нэг тал дээр B, D (B цэг O ба D-ын хооронд)

цэгүүдийг 2OB=3BD байхаар авъя. B, D цэгүүдийг дайруулан татсан тойрог

өнцгийн нөгөө талтайA цэгээр шүргэлцэнэ.Oба Aцэгүүдийн хооронд F уэг авъя.

OF=l, DOF=α, DFO=β болох нь мэдэгдэж байгаа бол тойргийн радиусыг ол.

Бодолт:Өгөдсөн нөхцөлийн ашиглан OFD гурвалжны хувьд синусын теорем бичвэл

0sin sin sin(180 )OD FD OF

β α β α= =

− −байх ба эндээс OD=

l sinsin( )

ββ α+

гэж олдоно. Эндээс OB=

3 3 sin5 5sin( )

lOD ββ α

=+

болно.ОАВ гурвалжны хувьд синусын теорем бичвэл sin

OB ABsin OAB α

=∠

болно. Тойргийн радиусыг R гэе. АВD гурвалжин тойрогт багтсан тул 2sin

AB RBDA

=∠

байна.

Мөн sin sinOAB BDA∠ = ∠ тул 2

sinOB R AB

AB α⋅

= буюу 2

2 sinABR

OB α= болно. ОАВ гурвалжны

хувьд косинусын теорем бичвэл АВ2=ОА2+ОВ2-2ОА·ОВcosα, нөгөө талаар огтлогч

шүргэгчийн чанар ёсоор ОА2=ОВ·ОD =23

5OD

. Эдгээрийн өмнөх тэгшитгэлүүдэд орлуулан

хялбарчилбал R=

8 3 8 3OD( 2 cos ) lsin ( 2 cos )5 5 5 5

2sin 2sin sin( )

α β α

α α β α

− −=

+гэж олдоно.

654. ABC гурвалжныABC=α, ACB=β, BC=агэж мэдэгдэж байв. AC тал дээр D

цэгийгAD=3DC байхаар авъя. A ба D цэгийг дайран, BC талыгB цэгээс

үргэлжлүүлэн татсан шулуунтай шүргэлцсэн тойргийн радиусыг ол.

Бодолт:

Өгөдсөн нөхцөлийн ашиглан

АВС гурвалжны хувьд

синусын теорем бичвэл

0sin sin sin(180 )AB AC BC

β α β α= =

− −

байх ба эндээс АС=sin

sin( )a α

β α+

гэж олдоно. Эндээс DC=

1 sin4 4sin( )

aAC αβ α

=+

болно.

Тойргийн ВС талыг шүргэх цэгийг М гэе. MDC гурвалжны хувьд синусын теорем бичвэл

sinDC MD

sin DMC β=

∠болно. АМD гурвалжин тойрогт багтсан тул 2

sinMD R

MAD=

∠байна.

Мөн sin sinMDC MAD∠ = ∠ тул 2

sinDC R MD

MD β⋅

= буюу 2

2 sinMDR

DC β= болно. МDС

гурвалжны хувьд косинусын теорем бичвэл МD2=DC2+MC2-2DC·MCcosβ, нөгөө талаар

огтлогч шүргэгчийн чанар ёсоор MC2=AC·DC =2

4AC

. Эдгээрийн өмнөх тэгшитгэлүүдэд

орлуулан хялбарчилбал R=

5 5AC( cos ) sin ( cos )4 4

2sin 2sin sin( )

aβ α β

β β β α

− −=

+гэж олдоно.

655. Aцэгт оройтой өнцгийн нэг тал дээрC, D (C, A ба D-н хооронд) цэгүүдийг

AC=2CD байхаар авъя. C, D цэгүүдийг дайруулан өнцгийн нөгөө талыгB цэгт

шүргэх тойрог татав. A ба B цэгийн хооронд E цэгийг авъя. Хэрэв DAE=α,

DEA=β, AE=b болох нь мэдэгдэж байгаа бол тойргийн радиусыг ол.

Бодолт:

Өгөдсөн нөхцөлийн ашиглан AED гурвалжны хувьд синусын теорем бичвэл

0sin sin sin(180 )AD ED AE

β α β α= =

− −байх ба эндээс AD=

bsinsin( )

ββ α+

гэж олдоно. Эндээс AC=

2 2bsin3 3sin( )

AD ββ α

=+

болно. АВC гурвалжны хувьд синусын теорем бичвэл sin

AC BCsin ABC α

=∠

болно. Тойргийн радиусыг R гэе. ВCD гурвалжин тойрогт багтсан тул 2sin

BC RBDC

=∠

байна.

Мөн sin sinABC BDC∠ = ∠ тул 2

sinAC R BC

BC α⋅

= буюу

2

2 sinBCR

AC α= болно. АВC

гурвалжны хувьд косинусын теорем бичвэл ВC2=АB2+AC2-2AB·ACcosα, нөгөө талаар огтлогч шүргэгчийн чанар

ёсоор АB2=AC·AD =22

3AD

.

Эдгээрийн өмнөх тэгшитгэлүүдэд орлуулан хялбарчилбал R=

5 2 5 2AD( 2 cos ) bsin ( 2 cos )3 3 3 3

2sin 2sin sin( )

α β α

α α β α

− −=

+гэж олдоно.

656. Тойрогт багтсан ABC зөв гурвалжины талууд 3 баD цэг тойрог дээр орших ба

AD хөвч √3 бол BD, CD хөвчийг ол.

Бодолт:

C цэгийг агуулаагүй AB

нум дээр D цэг авъя.ADB

гурвалжны хувьд

03, 3, 120AD AB ADB= = ∠ = гэж мэдэгдэж байгаа

DB=x гэж аван, энэ

гурвалжны хувьд косинусын

теорем бичвэл:

2 2 2 2 cosAB AD BD AD BD ADB= + − ⋅ ∠ буюу

29 3 3x x= + +

2 3 6 0x x+ − = Энэ тэгшитгэлээс

3x = гэж олдоно. ADC гурвалжны хувьд

03, 3, 60AD AC ADC ABC= = ∠ = ∠ = байна. Үүнтэй адилаар

2 3CD = гэж олдоно.

657. ABCDдөрвөн өнцөгтийн AB, BC талууд тэнцүү, AC диагональ CD талтай

тэнцүү, өнцөг ACB=ACDACB ба ACDгурвалжнуудад багтсан тойргийн радиусууд

3:4 харьцаатай бол энэ гурвалжнуудын талбайн харьцааг ол.

Бодолт:

ACB ACD α∠ = ∠ = гэж тэмдэглэе.

AB, CD талууд параллель.

BAC ACB ACD∠ = ∠ = ∠ Иймд ABCD

нь трапец болно. ABC ба ACD

гурвалжны С ба А оройгоос татсан

өндрүүд тэнцүү. Иймээс ABC ба ACD

гурвалжны талбайн харьцаа,

трапецийн AB ба CD сууриудын

харьцаатай тэнцүү болно. ABC ба

ACD гурвалжнуудад багтсан тойргийн

төвүүд O ба Q нь эдгээр гурвалжнуудын биссектриссүүдийн огтолцол тул ACO ACQ∠ = ∠ .

Тойргуудын AC талтай шүргэх шүргэлтийн цэг дээр татсан радиусууд нь OM ба QK болог.

Мөн ACD адил хажуут гурвалжны AD суурийн дундаж цэг N байг. CKQ, CMO тэгш өнцөгт

гурвалжнуудын 2 өнцгүүд тэнцүү тул энэ 2 гурвалжин төсөөтэй. Төсөөгийн коеффициент нь

43

QMOM

= Иймд

43

CKCM

=.

4 , 3CK x CM x= = гэж авъя. ABC адил хажуут гурвалжны AC суурийн дундаж цэг M учраас

2 6 , 6 4 2 , 2 , 4CD AC CM x AK AC CK x x x AN AK x AD x= = = = − = − = = = =

Косинусын теорем ёсоор

2 2 2 2 2 236 36 16 7cos2 2 6 6 9

AC CD AD x x xAC CD x x

α + − + −= = =

⋅ ⋅ ⋅

BMC тэгш өнцөгт гурвалжнаас

3 277cos 79

CM x xBCα

= = =

гэж гарах тул

277

xAB BC= = Эндээс

2797

6 14ABC

ACD

xS ABS CD x

= = =V

V гэж олдоно.

658. Тойрогт багтсан ABC адил хажуут, тэгш өнцөгт гурвалжны (өнцөг В-тэгш)

талбай 4 � 2√2 . BD хөвч 2-той тэнцүү байхаар энэ тойрог дээр D цэг авъя. AD

ба CD хөвчийг ол.

Бодолт:

Гурвалжны катетуудыг а-аар

тэмдэглэе. Бодлогын нөхцөл ёсоор

2

4 2 22a

= + Иймээс

2 8 4 2a = +

С цэгийг агуулаагүй АВ нум дээр D

цэг оршдог байг. Тэгвэл

0 0 0 0180 180 45 135ADB ACB∠ = − ∠ = − = тул косинусын теорем ёсоор

2 2 2 02 cos135AB AD BD AD BD= + − ⋅ буюу

28 4 2 4 2AD AD+ = + + Эндээс

6 4 2 2 2 2 2AD = − + = − + + = гэж олдоно. BDC гурвалжнаас үүнтэй адилаар

0( 45 )BDC BDC BAC∠ = ∠ =

2( 2 1)DC = + гэж олдоно.

659. ABCD дөрвөн өнцөгтийн А өнцгийн биссектрис АЕ нь ABE (AB=BE) адил

хажуут гурвалжин болон AECD ромбо болгон хуваана. ECD гурвалжныг

багтаасан тойргийн радиус нь ABE гурвалжинд багтсан тойргийн радиусаас 1,5

дахин их бол эдгээр гурвалжнуудын периметрүүдийн харьцааг ол.

Бодолт:

, 2AE x BAE α= ∠ = гэж тэмдэглэе. Тэгвэл , 2DC EC x EAD ECD AEB α= = ∠ = ∠ = ∠ =

болно.ABE гурвалжинд багтсан тойргийн радиус r байг. Тэгвэл 2xr tgα= ⋅

R нь ECD гурвалжныг багтаасан тойргийн радиус байг. Тэгвэл

02sin 2sin(90 ) 2cosEC x xR

EDC α α= = =

∠ −

Бодлогын нөхцөлөөс

3 3,2 2 cos 2 2

R x x tgr

αα

= = ⋅ ⋅ тэгвэл

2 2 5 1cos ,sin ,cos ,cos 23 3 3 9

tgα α α α α= = = =

ABE гурвалжны хувьд

92cos 2 2

x xAB BEα

= = =. Иймээс түүний периметр

9 9 102 2x x x x+ + =

байна.

ECD гурвалжны хувьд

42 sin3xDE x α= =

Иймээс түүний периметр нь

4 103 3x xx x+ + =

Эндээс периметрүүдийн

харьцаа

10 3103

xx =

гэж гарна.

660. 2αхэмжээтэй өнцөгт багтсан шүргэлцсэн 2 тойрог өгөгдөв. Тэгвэл бага

тойргийн радиусыг энэ өнцгийн нэг тал ба уг 2 тойргуудыг шүргэсэн 3 дахь

тойргийн радиуст харьцуулсан харьцааг ол.

Бодолт:

r ба R (r<R) өгөгдсөн тойргуудын радиусууд байг. O ба Q нь харгалзан тэдгээрийн

төвүүд, A ба B нь харгалзан өнцгийн талтай шүргэх цэгүүд, х нь 3 дахь тойргийн

радиус, C нь түүний өнцгийн талтай шүргэлцсэн цэг байг.

, 2 , 2 , 2AB AC BC AB rR AC rx bc Rx= + = = = байх тул

2 2 2rx Rx rR+ = болно. Энэ тэгшитгэлээс

( )2rRx

r R=

+ гэж олдоно. Тэгвэл

( )2 2 2

1r Rr r R r

x R RR

+ += = = +

болно.

O цэгээс QB радиуст OP шулуун татъя. OPQ тэгш өнцөгт гурвалжны хувьд

, ,OQ r R PQ R r POQ α= + = − ∠ = Иймээс ( ) sinR r R r α− = +

1 1 sinr rR R

α − = + ⋅ болно. Эндээс

2

2

1 sin cos1 sin (1 sin )

rR

α αα α

−= =

+ + гэж олдох ба

2cos 2(1 cos )11 sin 1 sin

rx

α αα α

+ = + = + + гэж гарна.

661. ABCгурвалжны А оройг дайрдаг, BC талын дунджийг шүргэх тойрог AB ба

AC хэрчмүүдийг харгалзан D ба E цэгээр огтолдог. Хэрэв BC=12, AD=3,5 ба

EC= �√�

бол BAC өнцгийг ол.

Бодолт: ВС-ийн дундаж М байг. Огтлогч, шүргэгчийн

теорем ёсоор

2 2,BM AB BD CM AC CE= ⋅ = ⋅ буюу

7 936 ,3622 5

ACAB AB = − = Энэ тэгшитгэлээс

8, 4 5AB AC= = гэж олдоно.

2 2 2 (64 80 144)AB AC BC+ = + = тул ABC нь 090BAC∠ = байх тэгш өнцөгт гурвалжин болно.

662. A, B, C, D нь тэгш өнцөгтийн дараалсан оройнууд. A ба B-г дайран,CD талын

дунджийг шүргэх тойрог татъя. D цэгийг дайруулан уг тойргийг E цэгээр шүргэх

шулууныг AB талын үргэлжлэлтэй K цэгт огтлолцуулан үргэлжлүүлэн татъя..

Хэрэв AB = 10и KE : KA = 3 : 2 бол BCDK трапецийн талбайг ол.

Бодолт:

CD-н дундаж M байг. Тэгвэл 5DE DM= = болно.

2 , 3AK x KE x= = гэж тэмдэглэе. Огтлогч шүргэгчийн теорем ёсоор

2KE BK AK= ⋅ буюу 29 (10 2 )2x x x= + энэ тэгшитгэлээс x=4 гэж олдоно. Иймээс

8, 18, 12, 12 5 17AK BK KE KD KE ED= = = = + = + =

2 2 2 217 8 289 64 225 15AD KD AK= − = − = − = = Эндээс

1 1( ) (18 10) 15 2102 2BCDKS BK CD AD= + ⋅ = + ⋅ =

гэж гарна.

663. ABCDEF зургаан өнцөгтийг багтаасан тойргийн радиус R. ∠� = ∠� = ∠�,

AB=a, CD=b, EF=c бол ABCDEF зургаан өнцөгтийн талбайг ол.

Бодолт:

Тойргийн радиус R байг. A C E∠ = ∠ = ∠ тул BF BD DF= = хөвчүүд тэнцүү. Иймээс BDF

нь адил талт гурвалжин болно. Эндээс

0 0120 , 2 sin 60 3A C E BF BD DF R R∠ = ∠ = ∠ = = = = =

201 3 33 3 sin 60

2 4BDFRS R R= ⋅ =V

ABF гурвалжнаас

sin sin2 2AB aAFB

R Rα = ∠ = =

0 0 0 0 0

2 2 22

sin sin(180 120 ) sin(60 ) sin 60 cos cos 60 sin

1 1 12 3( 3(1 sin ) sin ) 3 32 2 2 2 4

ABF

a a R a aR R R

α α α α

α α

∠ = − − = − = − =

− − = − − = − − = гэж олдоно.

Эндээс

2 2

2 2 2

1 1 12 3sin 32 2 4

3 ( 12 3 )8

ABFR a aS AB BF ABF a R

R

a R a a

− −= ⋅ ∠ = ⋅ ⋅ =

= − −

V

гэж гарна. BCD ба DEF гурвалжны талбай үүнтэй адилаар олдоно.

664. ABC гурвалжны AB=20,AC=24 гэж өгөгдсөн. C орой ABC гурвалжныг

багтаасан тойргийн төв ба A өнцгийн биссектрис BC талтай огтолцсон цэг гурав

AC тал дээр төв нь орших тойрог дээр байрлана. ABC гурвалжныг багтаасан

тойргийн радиусыг ол.

Бодолт:

O нь ABC гурвалжинд багтсан тойргийн төв, Mнь A өнцгийн биссектрис BC талтай

огтолцох цэг, Q нь C,O, M цэгүүдийг дайрах тойргийн төв, CP нь энэ тойргийн диаметр

байг.

OCA OCB α∠ = ∠ = гэж тэмдэглэе. Тэгвэл 0, 90OMP OCP AMC AMP PMCα α∠ = ∠ = ∠ = ∠ + ∠ = +

0 0 0 0180 180 ( 90 ) 2 90 3MAC AMC MCA α α α∠ = − ∠ − ∠ = − + − = −

02 180 6BAC MAC α∠ = ∠ = −

0 0 0180 180 2 (180 6 ) 4ABC ACB BAC α α α∠ = − ∠ − ∠ = − − − = Синусын теорем ёсоор

20 24,sin 2 sin 4 sin 2 2sin 2 cos 2

AB ACα α α α α

= = болно. Эндээс

12 3 4cos 2 ,sin 220 5 5

α α= = = гэж

олдоно. Хэрэв ABC гурвалжны багтаасан тойргийн радиус R гэвэл

252sin 2 2

ABRα

= = гэж гарна.

665. KLM гурвалжны L өнцөг мохоо, KM тал 6-тай тэнцүү. Хэрэв тойргийн төв нь

KLM гурвалжны K, M оройн өндрүүдийн огтлол дээр оршдог бол KLM гурвалжны

багтаасан тойргийн радиусыг ол.

Бодолт:

ABC гурвалжны өндрүүдийн огтолцлын цэг H байг.

KLM α=R , KLM, KHL гурвалжнуудыг багтаасан тойргийн радиусууд R ба R1гэж тус тус

тэмдэглэе. Тэгвэл 0180KHM α= −R

Синусын теорем ёсоор

2sin 2sinKM KMR

KLM α= =

∠

1 02sin 2sin(180 ) 2sinKM KM KMR R

KHM α α= = = =

∠ −

KLM гурвалжны багтаасан тойргийн төв KHM гурвалжны багтаасан тойрог дээр орших ба

OKHM дөрвөн өнцөгт багтсан тул

0180KOM KHM α∠ = − ∠ =

KM ерөнхий хөвчтэй тойргуудын нумууд тэнцүү тул ���� = ���� харин KOM нь төв өнцөг

тул 0 02(180 ) 360 2KOM KLM KLM α∠ = = − ∠ − −

( тэгэхээр

0360 2α α= − тул 0120α = ба

эндээс 0

6 2 32sin120 3

KMR = = =гэж олдоно.

666. ABC гурвалжны C өнцөг мохоо, B өнцгийн биссектрис BE нь AC талыгAE=3,

EC=2 байхаар хуваана. BC талынC оройгоос татсан үргэлжлэл дээр орших К

цэг нь АСК өнцгийн биссектрис, В өнцгийн биссектристэй огтолцох цэг ба C, E-г

дайран тойргийн төв болдог бол Е цэгээс АВ тал хүртэлх зайг ол.

Бодолт:

ABC өнцгийн биссектрис, ACK өнцгийн биссектристэй огтолцох цэг L байг. BKM α∠ = гэе.

CKE нь бодлогын нөхцөлд яригдаж буй тойргийн төв өнцөг, харин CLE нь багтсан өнцөг

тул

12 2

CLE CKE α∠ = ∠ =

CKE адил хажуут гурвалжнаас

0902

KCE α∠ = −

Тэгвэл0 01 1 90 45

2 2 2 4LCE KCE α α ∠ = ∠ = − = −

0 0 0 0180 180 90 902 2

ACB KCE α α ∠ = − ∠ − − − = +

02 902

EKL LCE α∠ = ∠ − −

0 0 090 45 135 42 4

BCL ACB LCE α α α∠ = ∠ + ∠ = + + − = +

0 0 0 0 3180 180 (135 4 ) 452 4

CBL BLC BCL α α α∠ = − ∠ − ∠ = − − + = −

0 22 903

ABC CBL α∠ = ∠ − −

0 0 0 02 2180 180 90 903 3

BAC ABC ACB α α α ∠ = − ∠ − ∠ = − − − + =

Тэгэхлээр BKE гурвалжин BAE гурвалжинтай тэнцүү. Иймээс KC=KE=AE=3. ABK өнцгийн

биссектрис дээр Е цэг орших ба өнцгийн талууд ижил зайд байрлана. Иймээс олох ёстой

зай KC=KE=3 ба CE=2 талтай KCE талтай адил хажуут гурвалжны EF өндөртэй тэнцүү.

Энэ гурвалжны өндөр KH байг. Тэгвэл

9 1 2 2KH = − = харин CK EF CE KH⋅ = ⋅ тул 2 2 2 4 2

3 3CE KHEF

CK⋅ ⋅

= = = гэж олдоно.

667. AOB тэгш өнцөгт секторын АВ хөвчийг татан үүссэн сегментэд квадрат

багтаав. Квадратын талыг, АВ нут ба АВ хөвчид перпендикуляр квадратын

талуудыг шүргэдэг тойргийн радиуст харьцуулсан харьцааг ол.

Бодолт:

а нь MNPQ квадратын тал ( P ба Q нь AB хөвч дээр оршино.) R-секторын радиус,

F- өгөгдсөн тойргийн төв, r- түүний радиус, E ба H нь MNPQ квадратын тал ба АВ хөвчтэй

энэ тойргийн шүргэлцсэн цэгүүд, T нь MN дундаж цэг, К нь АВ хөвчийн дундаж, D нь FE

шулуун DT хэрчимтэй огтолцох цэг байг.

OMT тэгш өнцөгт гурвалжнаас

2 2 2OM OT MT= +

2 2 21( )2

R OK KT MN= + +

2 22 2 2, 2 4 2 5 0

42R aR a R aR a = + + − − =

гэж гарах ба энэ тэгшитгэлээс

5 22

aR = гэж

олдоно.

ODF тэгш өнцөгт гурвалжнаас

,2aOF OH FH R r FD FE ED r= − = − = + = +

2ROD OK KD r= + = +

гэж гарна. Пифагорын теорем ёсоор

2 2 2OF OD DF= + буюу

2 22( )

22R aR r r r − = + + + энэ тэгшитгэлд

5 22

aR = гэж орлуулан эмхтгэсэний дараа

2 26 (5 2 6) 0a ar r− + − = тэгшитгэл үүсэх ба ar

668. AOB тэгш өнцөгт секторын B цэгээс ВО радиустай ОС нум татав. (C цэг нь

энэ нумын AВ нумтай огтолцох цэг). ОС нум, ОА шулуун шүргэх S1тойрог, AB

нум, OA шулуун, S1тойрогтой шүргэхS2тойрог тус тус өгөгдөв. S1тойрог

радиусыг S2тойргийн радиуст харьцуулсан харьцааг ол.

Бодолт:

Секторын радиус R, S1 тойргийн төв P, түүний радиус r, ОА шулуун, АВ

нумтайшүргэлцсэн цэгүүд харгалзан M ба D байг. Мөн S2

тойргийн радиус Х, Q нь түүний төв, N ба K ОА шулуун ба АВ нумтай шүргэлцэх цэгүүд нь

тус тус байг. N цэг нь OD хэрчмийн (D цэгээс үргэлжлүүлэн) үргэлжлэл байх тохиолдолд

авч үзье.

2 , ,OD rR OP OM MP R r DP r= = − = − =

Пифагорын теорем ёсоор 2 2 2OP OD PD= + буюу 2 2 2( ) (2 )R r rR r− = + Эндээс

6R r= гэж олдоно. OQN тэгш өнцөгт гурвалжнаас

6 ,OQ OK KQ R x r x QN x= − = − = − =

2 2ON OD DN rR rx= + = + гэж олдоно. Пифагорын теорем ёсоор

2 2 2OQ QN ON= + буюу 2 2 2(6 ) 4( 6 )r x x r rx− = + +

3 2 6 4 0r rx x

− − = Эндээс

6 3 2 2 63 3

rx

+ += =

гэж олдоно. Эндээс

4(2 3)3

rx

+=

байна.

Одоо N нь O ба D цэгийн хооронд оршдог байг. Тэгвэл ON=OD-DN

Энэ тэгшитгэлээс

3 2 6 4 0r rx x

+ − =

4(2 3)3

rx

−=

гэж олдоно.

669. AOB тэгш өнцөгт секторын B цэгээс ВО радиустай ОС нум татав. (C цэг нь

энэ нумын AВ нумтай огтолцох цэг). ОС нум, АВ нум, ОА шулуун шүргэх

S1тойрог, S2тойрог нь ОС нум, ОА шулуун S1тойрогтойшүргэсэн тойрог

болS1тойрог радиусыг S2тойргийн радиуст харьцуулсан харьцааг ол.

Бодолт:

670. Параллель шулуунуудын чанар: 2 параллель шулууныг 3 дахь шулуунаар

огтлоход үүсэх дотоод солбисон өнцгүүд, дотоод өрөөл өнцгүүдийн нийлбэр

1800-тай тэнцүү болохыг батал.

Бодолт:

671. ABC гурвалжны B өнцөг нь 450-тай тэнцүү, C өнцөг нь 300. BM,

CNмедиануудаар диаметрээ хийсэн тойргууд P ба Qцэгээр огтлолцох ба

PQхөвч BC талтай D цэгээр огтолдог бол BD ба DC хэрчмүүдийн харьцааг ол.

Бодолт:

BM ба CN медианаар диаметрээ хийсэн тойргууд BC талтай харгалзах X ба Y цэгтэй

огтолцдог байхаар байгуулъя. Тэгвэл X ба Y нь ВС тал дээрх N ба M цэгийн проекц болно.

BXN ба CYNтэгш өнцөгт гурвалжнаас 3 3YC MY NX= = гэж олдоно.

Огтолцсон хөвчүүдийн тухай теоремоос

BD DY PD DQ DX DC⋅ = ⋅ = ⋅

Иймээс ( ) ( ),BX XD DY XD DY YC BX DY DX CY+ = − ⋅ = ⋅ буюу 3BX DY DX BX⋅ = ⋅

Эндээс 13,

3 3 3BD BX XD DX BXDY DXDC DY CY DX BX

+ += = = =

+ + гэж мөрдөн гарна.

672. ABCD трапецийн AD суурь нь BC сууриас 2 дахин их ба A өнцөг 450-тай

тэнцүү, D өнцөг 300-тай тэнцүү. Трапецийн диагоналиудаар диаметрээ хийсэн

тойргуудын огтлолын цэгүүд M ба N. MNхөвч, BC суурийг F цэгээр огтолдог бол

BF:FC харьцааг ол.

Бодолт:

MN шулуунAD суурьтай огтлох цэг E, харин AC, BD диаметртэй тойргуудын энэ

суурьтайогтлох цэг X ба Y байг. Тэгвэл X ба Y цэгийн AD суурь дээрх проекц C ба B болно.

BY=CX=EF

, ,BF YE a CF EX b EF BY CX h= = = = = = = гэж тэмдэглэвэл CXD, BYA тэгш өнцөгт

гурвалжнуудаас 3 3,XD CX h AY BY h= = = = гэж олдоно.

Огтолцсон хөвчүүдийн тухай теоремоос

AE EX ME EN⋅ = ⋅ ба DE EY ME EN⋅ = ⋅

Иймээс ( ) ( 3 ) 3h a b h b a hb ab b a+ = + ⇔ + ⇔ = Эндээс 13

BF aFC b

= = гэж гарна.

673. АВС хурц өнцөгт гурвалжны С өнцөг нь 600. ВМ ба СN медиануудаар диаметрээ хийсэн тойргууд P ба Q цэгээр огтолцдог.PQ хөвч нь ВС талтай D цэгээр огтолцдог ба

BD:DC= 3 бол В өнцгийг ол.

Бодолт:

ВМ, CN медиануудаар диаметрээ хийсэн тойргууд ВС талтай харгалзан Y, Х байг. ВС тал дээрх N, M цэгүүдийг проекц нь X, Y болно. Олох ёстой В өнцгийг α гэе. Тэгвэл ВXN, CYM

тэгш өнцөгт гурвалжнуудаас NX=BXtgα, MY=YCtg600, буюу NX=YC тул tgα= 3YC

BX болно.

Oгтлолцсон хөвчүүдийн чанар ёсоор BD·DY=PD·DQ=XD·DC ба (BX+XD)DY=XD(DY+YC)

гэдгээс BX·DY+XD·DY=XD·DY+XD·YC болж BX·DY=XD·YC өгөгдсөн нөхцөл ёсоор

13

BD XD BXDC DY YC

= = = болно. Эндээс tgα= 3YC

BX=1 буюу α=450гэж гарна.

674. ABCD трапецийн суурь AD=2BC, 0 030 , 60A D∠ = ∠ = .Трапецийн диагоналиудаар диаметрээ хийсэн тойргууд К ба L цэгт огтолцдог бол трапецийг KL хөвчөөр хуваахад үүсэх дөрвөн өнцөгтүүдийн талбайн харьцааг ол.

Бодолт:

KL шулуун AD суурьтай огтлолцох цэгийг Е, ВС суурьтай огтлолцох цэгийг F гэе. Харин АС, BD диагоналиудтай тойргуудын AD суурьтай огтолцох цэгүүдийг харгалзан Y, X гэе. Тэгвэл AD дээрх В,С цэгүүдийн проекц болох ба BY=CX=EF болно. BF=YE=a, CF=EX=b, EF=BY=CX=h гэж тэмдэглэе. CXD, BYA тэгш өнцөгт гурвалжнуудаас өгөгдсөн

нөхцөл ёсоор XD=CX 3 =h 3 , AY=

3h

болно. Тойргийн огтлолцсон

хөвчүүдийн чанар ёсоор

AE·EX=ME·EN, DE·YE=ME·EN буюу AE·EX=DE·YE болно. Эндээс ( ) ( 3)3

h a b b h a+ = +

33

h b ab ab h a⇒ + = + ⇒ b=3a болно. Эндээс олох ёстой талбайн харьцаа 3 гэж гарна.

675. Тойрогт багтсан KLMN трапецийн сууриуд KN, LM ба тойргийн төв KN суурь

дээр оршино. KM диагональ 4, KL хажуу тал 3 бол LM суурийг ол.

Бодолт:

Трапецийн суурь төвийг дайрах учир адил хажуут трапец бөгөөд NMK гурвалжин тэгш өнцөгт болно. Иймд Пифагорын терем ёсоор NK=5 болно. М цэгээс NK суурьт буулгах өндрийн суурийг Н, ML=x, NH=y гэж тус тус тэмдэглэе. Тэгвэл Пифагорын теорем ёсоор MH2=32-y2=42-(5-y)2 болох ба энэ тэгшитгэлээс y=1.8 гэж гарна. Нөгөө талаар адил хажуут трапец тул 2y+x=5 гэдгээс x=1.4 гэж олдоно.

676. ABCD трапецийн сууриуд AD ба BC, багтаасан тойргийн радиус 5. Багтаасан

тойргийн төв AD суурь дээр орших ба BC суурь 6 бол трапецийн AC

диагоналийг ол.

Бодолт:

Өгөгдсөн нөхцөлөөс адил хажуут трапец болно.Мөн AD=10, АCD гурвалжин тэгш өнцөгт болно. С оройн AD суурь дээрх проекц Н байг. Тэгвэл AH=8, HD=2 болно. AHC, CHD, ACD тэгш өнцөгт гурвалжнуудын хувьд Пифагорын теоерм бичвэл CH2=AC2-82=CD2-22 ба

102=AC2+CD2 Эдгээр тэгшитгэлээс АС=4 5 гэж олдоно.